精品解析：北京市第一零九中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试卷

北京市第一零九中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试卷 2026.4 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知某宿舍的7位学生站成一排合照留念，若中间位置只能站7位学生中的甲或乙．则不同的站队方法种数是（ ） A. 464 B. 576 C. 720 D. 1440 3. 曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 4. 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. 504 B. 210 C. 336 D. 120 5. 若，则（ ） A. 18 B. C. 12 D. 6. 若，则在处的切线方程为（    ） A. B. C. D. 7. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格品．令事件A为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，事件B为“从100个产品中任意取一个，取出甲生产的产品”，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共25分） 11. 的展开式中的系数为___________. 12. 已知随机变量，若，，则______． 13. 在二项式的展开式中，常数项为_____________． 14. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________. 15. 已知，，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 P a b 若，则a=___________________；_______________． 三、解答题（共85分） 16. 现有5道题，其中3道甲类题，2道乙类题． （1）若从这5道题中任选2道，求这2道题至少有1道题是乙类题的概率； （2）若从甲类题、乙类题中各选1道题，求这2道题包括但不包括的概率． 17. 某校组织一次冬令营活动.有7名同学参加，其中有4名男同学，3名女同学.为了活动的需要，要从这7名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务.记其中有X名男同学. （1）求X的分布列与期望； （2）求去执行任务的同学中有男有女的概率. 18. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 19. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． （1）证明：； （2）若点是中点，求点到平面的距离． 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）试判断函数的单调性并写出单调区间； 21. 北京时间2021年7月23日19：00东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交元（）的税收，预计当每件产品的售价为元时，一年的销售量为件. （1）求该商店一年的利润（万元）与每件品的售价的函数关系式； （2）求出的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一零九中学2025-2026学年第二学期期中检测高二数学试卷 2026.4 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共40分） 1. 记的内角，，的对边分别是，，，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理求出的值，再结合角的取值范围确定角的大小. 【详解】 因为，所以. 故选：B. 2. 已知某宿舍的7位学生站成一排合照留念，若中间位置只能站7位学生中的甲或乙．则不同的站队方法种数是（ ） A. 464 B. 576 C. 720 D. 1440 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列公式即可得到答案. 【详解】将除甲或乙以外的同学进行排列，共有种， 再将甲或乙插到队伍中间，有2种选择， 则共有种. 故选：D. 3. 曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数在处的切线的斜率即可得答案. 【详解】因为，所以， 设在处的切线的倾斜角为， 由导数的几何意义得， 而，可得. 4. 某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ） A. 504 B. 210 C. 336 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】分两步：先从9个位置中任选3个位置安排插入的3个新节目，再把原来的6个节目按原来顺序安排到剩余的6个位置，进而根据分步计数原理可得结果. 【详解】将3个新节目插入节目单中，共有9个节目，原来的6个节目顺序不变. 分两步：先从这9个位置中任选3个位置安排插入的3个新节目，共有种方法；再把原来的6个节目按原来顺序安排到剩余的6个位置，共有1种方法. 故共有种不同的方法. 故选：A 5. 若，则（ ） A. 18 B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项分别求出和的展开式中的项，进而求得的值. 【详解】由题意可知， 展开式的通项，令，则， 所以展开式中系数为； 展开式的通项，令，则， 所以展开式中系数为； 所以. 故选：C． 6. 若，则在处的切线方程为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定切点坐标，再利用复合函数求导法则计算导函数得到切线的斜率即可求解. 【详解】将代入中，得，因此切点为， ，， 即切线斜率为且过点， 故切线方程为，整理得. 7. 曲线过坐标原点的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 8. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 9. 两位工人加工同一种零件共100个，甲加工了40个，其中35个是合格品，乙加工了60个，其中有50个合格品．令事件A为“从100个产品中任意取一个，取出的是合格品”，事件B为“从100个产品中任意取一个，取出甲生产的产品”，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知求出的值，进而根据条件概率公式，即可得出答案. 【详解】根据已知可得，为“从100个产品中任意取一个，取出甲生产的合格品”， 所以，. 又， 所以，. 故选：C. 10. 已知函数，，若对任意的 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将原式转化为，以此构造函数，由题意得，参变分离后可得，由导数计算的最小值即可求解. 【详解】由题意得，即， 设，则在上单调递增， 即上恒成立， 则恒成立，即， 设，则，令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以. 第II卷（非选择题） 二、填空题（共25分） 11. 的展开式中的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果. 【详解】由通项公式可得，即的系数为. 故答案为：. 12. 已知随机变量，若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算可得. 【详解】因为，所以，， 即，所以. 故答案为： 13. 在二项式的展开式中，常数项为_____________． 【答案】240 【解析】 【分析】根据二项式定理，展开式中要出现常数项即需要消掉，不难发现，当的次方为4次方时即可为常数项. 【详解】常数项为：. 故答案为：240. 14. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间上单调判断极值点与区间关系可得. 【详解】， 令， 时，时， 所以在单调递减，在上单调递增， 又函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故答案为：. 15. 已知，，随机变量X的分布列是 X 0 1 2 P a b 若，则a=___________________；_______________． 【答案】 ①. ②. 5 【解析】 【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，期望定义，方差定义以及方差的性质即可求出． 【详解】由题意可得，解得， 因此，， 即． 故答案为：；5． 三、解答题（共85分） 16. 现有5道题，其中3道甲类题，2道乙类题． （1）若从这5道题中任选2道，求这2道题至少有1道题是乙类题的概率； （2）若从甲类题、乙类题中各选1道题，求这2道题包括但不包括的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出基本事件总数，再用列举法求出至少有1道题是乙类题包含的基本事件，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率． （2）先求出基本事件总数，再用列举法求出包括但不包括包含的基本事件，由此能求出抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率． 【详解】（1）从这5道题中任选2道，基本事件有：，共10个. 至少有1道题是乙类题包含的基本事件有，，，，共7个， 所以这2道题至少有1道题是乙类题的概率为； （2）从甲类题、乙类题中各选1道题，基本事件有：，共6个. 包括但不包括包含的基本事件有：，共2个. 这2道题包括但不包括的概率为. 【点睛】本题考查古典概型的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 17. 某校组织一次冬令营活动.有7名同学参加，其中有4名男同学，3名女同学.为了活动的需要，要从这7名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务.记其中有X名男同学. （1）求X的分布列与期望； （2）求去执行任务的同学中有男有女的概率. 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可得出随机变量的分布列与期望； （2）由题意可知，事件“去执行任务的同学中有男有女”包括、，利用概率的加法公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 由题意可知，随机变量的可能取值有、、、， ，，，. 所以，随机变量的分布列如下表所示： 【小问2详解】 记事件去执行任务的同学中有男有女 则. 18. 在中，角的对边分别为,且． （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 19. 如图，在多面体中，平面平面，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，． （1）证明：； （2）若点是中点，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，结合面面垂直的性质定理可得平面，从而可得. （2）根据（1）的结果可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求点面距. 【小问1详解】 因为，，故，故. 因为平面平面，平面平面， 平面，故平面，而平面， 故. 【小问2详解】 由（1）可得平面，而， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 因为， 故，所以，故， 而，设平面的法向量为， 则即，取， 故到平面的距离为. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程． （2）试判断函数的单调性并写出单调区间； 【答案】（1） （2）单调增区间是，单调减区间是． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出； （2）根据导函数值的正负即可判断其单调性及单调区间. 【小问1详解】 由函数，所以函数的定义域为， ， 所以，，∴曲线在点处的切线方程为：，即． 所以曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为函数的定义域为，且， 令，得；令，得， 因此函数的单调增区间是，单调减区间是． 21. 北京时间2021年7月23日19：00东京奥运会迎来了开幕式，各国代表队精彩入场，运动员为参加这次盛大的体育赛事积极做准备工作，当地某旅游用品商店经销此次奥运会纪念品，每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交元（）的税收，预计当每件产品的售价为元时，一年的销售量为件. （1）求该商店一年的利润（万元）与每件品的售价的函数关系式； （2）求出的最大值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合利润的算法，即可求出商店一年的利润（万元）与售价的函数关系式； （2）可知，，求导得，令求出极值点，结合导数分类讨论求出函数的单调性和最值，即可求出的最大值. 【小问1详解】 解：由题可知，预计当每件产品的售价为元， 而每件产品的成本为5元，并且每件产品需向税务部门上交元（）， 所以商店一年的利润（万元）与售价的函数关系式为： ，. 【小问2详解】 解：，， ， 令，解得：或， ，∴.， 所以①当，即时， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， ； ②当，即时， 则恒成立，所以在单调递增， ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $