河南三门峡市渑池县第二高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 聚焦高二下学期核心知识，通过梯度化题型设计考查导数应用、排列组合与概率等，以实际情境问题（如地区流感概率）和逻辑推理题（如相邻排列）落实数学思维与数据观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数计算、二项式定理、古典概型|基础巩固，如切线平行求参数考查导数几何意义| |多选|3/18|组合运算、二项式系数|辨析性强，如展开式系数和与二项式系数和对比| |填空|3/15|排列（甲不站两端）、导数单调性|简洁考查关键能力，如单调递减区间需导数符号分析| |解答|5/77|排列组合（相邻/不相邻）、导数极值、条件概率|综合性强，如19题结合地区人口比计算流感概率，体现数据观念与实际应用|

渑池二高2025～2026学年下学期期中考试 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C C B D A D BD CD 题号 11 答案 BD 12． 13．72 14． 15．(1)1440种 (2)144种 (3)3720种 【分析】（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数. （2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数. （3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数. 【详解】（1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法． （2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法． （3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法． 16．(1)3 (2)⋅ 【分析】（1）求出函数的导数，根据函数在处取得极值，求出的值；再根据函数导数验证函数的极值； （2）利用导数判断函数的在上的单调性，求出最值. 【详解】（1）由题意得的定义域，且 因为函数在处取值得极值，所以 解得 此时，， 令得或，令得， 故函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取极大值，在处取极小值，符合题意 所以． （2）由（1）得，， 令，得，所以函数在单调递增， 令，得，所以函数在单调递减， 所以函数在处取极小值， 所以当时，的最小值为 17．(1) (2) 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. （2）根据古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】（1）甲抽到选择题的概率为 （2）在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率为. 18．（1）；（2）3. 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等式右边的最小值成立，可得答案； （2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根据已知递减区间，可得答案 【详解】（1）因为，且在区间上为增函数， 所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， 所以在上恒成立，所以，即a的取值范围是 （2）由题意知.因为，所以. 由，得， 所以的单调递减区间为， 又已知的单调递减区间为， 所以， 所以，即. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题. 19．(1) (2) 【分析】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区，记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区，利用全概率公式可求得的值； （2）利用条件概率公式可求得的值. 【详解】（1）记事件选取的这个人患了流感，记事件此人来自甲地区， 记事件此人来自乙地区，记事件此人来自丙地区， 则，且、、彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 . （2）由条件概率公式可得 学科网（北京）股份有限公司 $ 渑池二高2025～2026学年下学期期中考试 高二数学 考试时间：120分钟 分值：150分 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知的二项展开式共有12项，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（   ） A． B． C． D． 4．的值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．36 5．已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知曲线在点处的切线与直线平行，则a的值为（   ） A．3 B． C． D． 7．甲、乙分别报名参加春季运动会中的跳远、1500米、铅球三项比赛项目，根据运动会比赛安排，这三项比赛同时进行，每人只能报其中一项，则不同的报名种数为（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 8．从大小、材质均相同的6个红球和4个白球中依次不放回地摸出2个球，在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到白球的概率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．一共有5项 B．第3项为 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 11．现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是（    ） A．从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D．若要选出2个球分给甲、乙两名同学，有210种不同的方法 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为________． 13．现有5名学生站成一排，若学生甲不站两端，则不同站法共有__________种（用数字作答）. 14．已知函数，则的单调递减区间为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答题应写出文宇说明，证明过程或演算步骤． 15．【本题满分13分】7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 16．【本题满分15分】已知函数在处取得极值． (1)求实数的值； (2)求函数在区间上的最小值． 17．【本题满分15分】已知10道试题中有4道选择题，甲、乙两人依次不放回地抽取1道，求： (1)甲抽到选择题的概率； (2)在甲抽到选择题的情况下，乙抽到选择题的概率. 18．【本题满分17分】已知函数. （1）若在区间上为增函数，求a的取值范围. （2）若的单调递减区间为，求a的值. 19．【本题满分17分】在甲、乙、丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有、、的人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一个人. (1)求这个人患流感的概率； (2)如果此人患流感，求此人选自甲地区的概率. 高二数学试题第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $