四川省三台中学2025-2026学年高一数学5月第2周周练

**基本信息** 聚焦平面向量核心概念与几何应用，以基础辨析、动态问题及综合计算为载体，构建从线性关系到几何表征的知识逻辑链，训练数学眼光与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-3、填空7|基底判定、共线条件、投影模长计算|从基底线性无关性到共线向量基本定理，构建向量运算基础| |几何应用|选择4、多选6、填空8|正三角形动点、平行四边形向量分解、垂直条件应用|结合平面图形性质，体现向量工具性，强化几何直观| |综合计算|解答9-10|三点共线参数求解、夹角与模长综合运算|融合坐标法与向量法，形成“概念-运算-应用”完整推导链条|

2026年03月15日xx学校高中数学试卷 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1．若是平面内的一个基底,则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是(      ) A. B. C. D. 答案：B 解析：对于A,,所以两向量共线,即不能构成一组基底,故A错误； 对于B,设则,显然无解,则向量与向量不共线,即能构成一组基底,故B正确； 对于C,,所以两向量共线,即不能构成一组基底,故C错误； 对于D,,所以两向量共线,即不能构成一组基底,故D错误. 故选：B. 2．已知,,,则______三点共线(   ) A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 答案：A 解析：对于A,因为, 所以,所以A、B、D三点共线,故A正确； 对于B,因为,, 所以不存在,使得,所以A、B、C三点不共线,故B错误； 对于C,因为,, 所以不存在,使得,所以B、C、D三点不共线,故C错误； 对于D,因为,, 所以不存在,使得,所以A、C、D三点不共线,故D错误. 故选：A. 3．已知,则在上的投影向量的模为(      ) A.2 B. C. D. 答案：B 解析：因为,, 所以,, 则在上的投影向量为, 其模为. 故选：B. 4．已知M是边长为1的正的边上的动点，N为的中点，则的取值范围是(      ) A. B. C. D. 答案：A 解析：取AC的中点O，以O为原点，直线AC为x轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则：，，， 设，， ，， ，且， 时，取最小值；时，取最大值， 的取值范围是， 故选：A. 二、多项选择题 5．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是(      ) A. B. C.与的夹角为 D.在方向上的投影为 答案：AB 解析：因为，，所以. 在A中，由，可得，故A正确； 在B中，由，可得，故B正确； 在C中，由，可得与的夹角为，故C错误； 在D中，在方向上的投影为，故D错误. 故选:AB. 6．如图,在平行四边形中,E为的中点,,则(      ) A. B. C. D. 答案：BCD 解析：对A,由题意得 ,故A错误； 对B,,故B正确； 对C,,故C正确； 对D,,故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 7．设、为单位向量,且,则________________. 答案： 解析：因为、为单位向量,所以, 因为,所以,, 则,, 故答案为. 8．已知,且,则___________________. 答案： 解析：, 化简得, ,, 解得, 故答案为：. 四、解答题 9．设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且A，E，C三点共线. (1)求的值： (2)若，， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点D的坐标为，若四边形为平行四边形.求点A的坐标. 答案：(1) (2)①；② 解析：（1）由已知得， 因为A，E，C三点共线，所以，即. （2）由已知得，， ①； ②由平行四边形得，又， 所以，解得，即. 10．如图,已知,的夹角为. (1)求的值； (2)若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 答案：(1) (2)（i）,；（ii） 解析：(1)因为 , 由得, 所以 . (2)（i）方法一：因为, 因为的中点分别为, 所以,即, 由不共线得. 方法二：连结,取的中点M, 则, 由,不共线得. （ii）因为 , 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $三台中学高一数学5月周练2参考答案 一、选择题 1.若{名，}是平面内的一个基底则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是() A.{8-20,2e,-g} B.{2e+3e,2e,+3e} C.{3e+26,4e,+6e} 答案：B 解析：对于A,g-2e=-(2,-),所以两向量共线，即不能构成一组基底，故A错误： 对于B,设2g+30=(2e+36)则 2=32 3=22 ,显然无解，则向量2e+3,与向量2e,+3g不 共线，即能构成一组基底，故B正确； 对于C3名+26，=46+6©)，所以两向量共线.即不能构成一组基底放C错误： 对于D2g-265 所以两向量共线，即不能构成一组基底，故D错误 故选：B. 2.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b,则 三点共线() A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 答案：A 解析：对于A,因为BD=BC+CD=-2ā+8b+3a-3b=+5b, 所以AB=BD,所以A、B、D三点共线，故A正确： 对于B,因为AB=a+5b,BC=-2a+8b, 所以不存在ER,使得AB=BC,所以A、B、C三点不共线，故B错误； 对于C,因为BC=-2a+8b,CD=3a-3b, 所以不存在2∈R,使得BC=2CD,所以B、C、D三点不共线，故C错误： 对于D,因为AC=AB+BC=a+5b-2a+8b=-a+13b,CD=3a-3b, 所以不存在∈R,使得AC=2CD,所以A、C、D三点不共线，故D错误 故选：A. 3.已知ā=(-3,4)，b=(2,-1),则a在b上的投影向量的模为() A.2 B.25 C.√5 D. 2 5 答案：B 解析：因为ā=（-3,4)，b=（2,-1) 所以a-b=(←3x2+4x(-1)=-10,5=V2+(-1=5, 可a在6上的投影向为疗月62办一22-（网 其模为V-4)2+22=2W5. 故选：B. 4.己知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则BM.MN的 取值范围是() 17 2 23 B. 55 564】 答案：A 解析：取AC的中点O,以O为原点，直线AC为x轴， 体 建立如图所示的平面直角坐标系， 题4号4 设M(x,0),- ≤x≤ ∴.BM w 丽m=+且 2 时，BMMN取最小值-}：x=时，BMM取最大值 23 64 .BM.MN的取值范围是 故选：A 二、多项选择题 5.如果平面向量ā=(2，-4)，b=(-6,12),那么下列结论中正确的是() A.b3al B.al/b C.a与b的夹角为30° D.ā在b方向上的投影为2√5 答案：AB 解析：因为ā=(2，-4)，b=(-6,12),所以b=-3a. 在A中，由b=-3ā，可得b上3引al,故A正确： 在B中，由b=-3ā，可得ab,故B正确： 在C中，由b=-3ā，可得a与b的夹角为180°，故C错误： 五_(2，-4)(-6,12=-25，故D错误. 在D中，ā在6方向上的投影为-6矿12 故选：AB 6.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AF=A正，则() 3 A.AE=BC--BA 3 B.BE=BC+BA C.BF=1BC+5BA D.AE+BE=2BC 3 6 答案：BCD 解析：对A由恩意得A正=AB+B旺=AB+BC+C正=AB+BC+CD =-BM+BC+BM=-B1+BC,故A错误： 对B,BE=BA+AE=BA-】BA+BC=BA+BC,故B正确： 对c旺-亚-厨证-顾厨CC故c正确 3 对D,AE+BE=-BA+BC+BA+BC=2BC,故D正确 三、填空题 7.设a、6为单位向量，且a-26=2,则a+2 答案：√6 解析：因为a、五为单位向量，所以园==1 因为a-20-2所以a-26=+4-4a-6=5-4a-6=4,4-b=1. 则a+26=+4+4a.6=5+1=6,+26=6, 故答案为√6 8.已知a+b+c=0,且l同=5==1，则ab+bc+ca= 祭案：月 解：a+b+c=0,.(a+b+c)2=0 化简得a2+b2+c2+2a.b+2ac+2b·c=0, l同=bl==1.a+b2+2+2a.b+2ac+2b.c=1+1+1+2a-b+2ac+2b.c=0, 3 解得ab+bc+c.a=- 故答案为： 3 四、解答题 9.设2∈R,已知C,E2是平面内两个不共线的向量，AB=e+C,BE=3C+C, EC=-2E+,且A,E,C三点共线. (1)求2的值： (2)若=(1,1)，e2=(0,1), ①求向量AB与BC的夹角的余弦值； ②已知点D的坐标为(3,4)，若四边形ABCD为平行四边形.求点A的坐标. 答案：(1)2=-1 (2)0310 ②A(2,3) 10 解析：(1)由已知得AE=AB+BE=46+2e,, 因为4,6C三点线，所以号是即-1 (2)由已知得AB=(L,2),BC=BE+EC=G=(1,1), ①cos(AB,BC)= AB·BC 3 310 AB.BC52 10 ②由平行四边形得AD=BC,又AD=(3-xA,4-ya), 所以 3,解得=2 11=4-yA (y4=3 ,即A(2,3). 10.如图，已知AB=2CD-4,AB,CD的夹角为写 D (I)求AB.BC+BC.CD+CD.DA+DAAB的值： (2)若线段AD,BC的中点分别为P,Q,PQ=xAB+yCD (i)求实数x,y的值： (i)求线段PQ的长， 答案：(1)-28 ②①=2y:m) 解析：(I)因为AB.BC+BC.CD+CD.DA+DA·AB =BC.AB+CD+DA.(CD+AB)=(BC+DAAB+CD), 由AB+BC+CD+DA=0得BC+DA=-(AB+CD), 所以AB.BC+BC.CD+CD·DA+DA·AB=-(AB+CD)2 =-AB+CD+2AB.CD)=-(22+42+2×2×4×cos60）=-28, (2)(i)方法一：因为PQ=PA+AB+BQ,PQ=PD+DC+CQ, 因为AD,BC的中点分别为P,Q, 所以 2PQ-PA+AB+BQ+PD+DC+CO=(PA+PD)+AB+(BO+CQ)+DC-AB+DC., PO-AB-CD. 由P0=6+yC0,ACD不共线得x-分y=号 方法二：连结BD,取BD的中点M, 则PO=PM+M0=AB+DC, 2 2y、1 由P四=xAB+yCD,AB,CD不共线得x=,y i因为P0-日a-西-6+c0.西 4+16-×2x4co 1 二3 3 所以PQ=P可=3三台中学高一下数学5月周练2 一、选择题（每小题5分，共20分） 1.若{祀，2}是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是() A.{6-20,2e,-g} B.{2e+3e,28,+38 C.{3e+2e,4e,+6e} D-25 2.已知AB=a+5b,BC=-2a+8b,CD=3a-3b,则 三点共线() A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 3.已知ā=(-3,4)，b=(2,-1),则a在b上的投影向量的模为) A.2 B.2V5 C.5 4.已知M是边长为1的正△ABC的边AC上的动点，N为AB的中点，则BM.MN的 取值范围是() c引 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 5.如果平面向量ā=(2，-4)，b=(-6,12),那么下列结论中正确的是() A.b=3al B.al/b C.a与b的夹角为30° D.a在b方向上的投影为2W5 6.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，AF=1A正，则()》 A.AE=BC--BA B.BE=BC+BA C.BF=-BC+5 BA D.AE+BE=2BC 3 三、填空题（每小题5分，共10分） 7.设a、b为单位向量，且a-2b=2,则a+2b 8.已知a+b+c=0,且l=5=l=1,则a-b+bc+ca 四、解答题（第9题13分，第10题15分，共28分） 9.设∈R,已知e,e2是平面内两个不共线的向量，AB=e,+e,BE=3E+e, EC=-2e+C,且A,E,C三点共线. (1)求的值： (2)若g=(1,1),e2=(0,1), ①求向量AB与BC的夹角的余弦值： ②已知点D的坐标为(3,4)，若四边形ABCD为平行四边形.求点A的坐标. 10.如图已知AB=2CD=4,AB,CD的夹角为 (I)求AB.BC+BC.CD+CD·DA+DA·AB的值； (2)若线段AD,BC的中点分别为P,Q,PQ=xAB+yCD. (i)求实数x,y的值： (ii)求线段PQ的长， 三台中学高一下数学5月周练2 一、选择题（每小题5分，共20分） 1．若是平面内的一个基底,则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是(      ) A. B. C. D. 2．已知,,,则______三点共线(   ) A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 3．已知,则在上的投影向量的模为(      ) A.2 B. C. D. 4．已知M是边长为1的正的边上的动点，N为的中点，则的取值范围是(      ) A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分，共12分） 5．如果平面向量，，那么下列结论中正确的是(      ) A. B. C.与的夹角为 D.在方向上的投影为 6．如图,在平行四边形中,E为的中点,,则(      ) A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共10分） 7．设、为单位向量,且,则________________. 8．已知,且,则___________________. 四、解答题（第9题13分，第10题15分，共28分） 9．设，已知是平面内两个不共线的向量，，，，且A，E，C三点共线. (1)求的值： (2)若，， ①求向量与的夹角的余弦值； ②已知点D的坐标为，若四边形为平行四边形.求点A的坐标. 10．如图,已知,的夹角为. (1)求的值； (2)若线段的中点分别为. （i）求实数的值； （ii）求线段的长. 学科网（北京）股份有限公司 $