13.3数据的离散程度第2课时离差、方差课件2025-2026学年青岛版八年级数学下册

第13章 数据的分析 青岛版 八年级下册 内容提要 数据的集中趋势 数据的离散程度 随机现象的变化趋势 一组数据的差异程度叫作这组数据的离散程度。 在统计中,通常需要综合分析一组数据的集中趋势和离散程度,数据的离散程度一般用这组数据偏离其平均数的程度来衡量。 1.数据的离散程度的概念：: 温故而知新 数据的离散程度越大，表示数据分布得越分散，变动范围越广，越不稳定，平均数的代表性也就越小； 数据的离散程度越小，表示数据分布越集中，变动范围越小，越稳定，平均数的代表性就越大。 温故而知新 2.数据的离散程度的意义：: 设计情景 导入新课 两组数据的离散程度不同时,应该用什么统计量来比较它们的离散程度呢? 本节我们将研究表示两组数据的离散程度的统计量 -----离差与方差。 青岛版数学 八年级下册 第13章 数据的分析 13.3 数据的离散程度 第2课时 离差、方差 在“激活沉默用户”的问题中，A,B两个方案的激活人数平均数都是1046,你能分别计算两个方案每天的激活人数与它们的平均激活人数的差？ A组 27 44 54 -21 -25 -21 -58 B组 -24 -136 234 -126 246 -24 -170 探究一 数据的离差 观察与发现 这个差就叫作离差 在一组数据中，一个数据与这组数据的平均数的差叫作这个数据的离差。 探究一 数据的离差 离差的概念: 提示：（1）离差可能是正数或负数,也可能是0；（2）离差的符号及其绝对值分别反映了该数据偏离平均数的方向与大小；（3）任意一组数据的离差之和都是0。 (1)能否利用所有数据的离差之和或离差的平均数表示一组数据的离散程度呢? 通过计算，我发现两组数据的离差之和都是0,不能简单地利用离差之和或离差的平均数表示一组数据的离散程度。 思考与交流 探究二 数据的离差平方和、方差 （2）我发现，无论数据如何变化，它们的离差和都为零，所以为了解决离差符号对和的影响，能否利用离差的平方和来说明这组数据偏离平均数的程度呢? 思考与交流 可以用离差的平方和来说明这组数据偏离平均数的程度。 探究二 数据的离差平方和、方差 概括与表达 离差平方和的概念: 设n个数据 x1,x2, …,xn 的平均数是 ,各个数据离差的平方和叫作这组数据的离差平方和,即 （x1- ）2 +（x2 - ）2+ …+（xn- ）2 探究二 数据的离差平方和、方差 各数据离差的平方的平均数,叫作这组数据的方差, 记作S2, 即S2=［ (x1- )2+(x2- )2+…+(xn- )2］。 概括与表达 方差的概念: 探究二 数据的离差平方和、方差 反过来也成立。方差刻画了一组数据平均偏离平均数的程度，克服了数据量的影响，所以通常用于比较多组数据的离散程度。 探究二 数据的离差平方和、方差 方法总结 离差平方和、方差的作用: 离差平方和、方差都是刻画一组数据的离散程度的统计量。 当一组数据的离差平方和较大时，方差也较大； 当一组数据的离差平方和较小时，方差也较小。 第一步：先求该组数据的平均数； 求方差的步骤： 第二步：把求得的平均数代入方差公式进行计算。 探究二 数据的方差 方法总结 在“激活沉默用户”的问题中，A,B两个方案的激活人数平均数都是1046,分别计算A,B两组数据的方差。 A组 27 44 54 -21 -25 -21 -58 B组 -24 -136 234 -126 246 -24 -170 探究一 数据的离差 分别计算A,B两组数据的方差: SB2=［ (-24)2+(-136)2+2342+（-126）2+2462+（-24）2 +（-1702］ = SA2=［ 272+442+542+（-21）2+（-25）2+（-21）2+（-58）2］。 = 由SA2 ＜SB2可知,A方案7天的激活人数与B方案相比,波动较小,更加稳定,这与前面直观判断的结果是一致的。 例1、一组数据9,x,y,8,7,11,7,6的平均数为7，其中 y-x=20。(1)求x,y的值； (2)试求这组数据的离差平方和与方差。 解：(1)由题意，得 =7 所以x+y=8。 又因为y-x=2， 所以x= 3,y=5. 例题讲析 (9-7)2+(3-7)2+(5-7)2+(8-7)2+(7-7)2 +(11-7)2+(7-7)2+(6-7)2=42. (2)当x=3,y=5时，这组数据的离差平方和为: 这组数据的方差为S2=42=. 例2、甲、乙两名篮球运动员本赛季出场次数分别为10次和9次,得分情况为: 甲 12 15 28 15 26 19 11 10 8 6 乙 14 16 13 15 19 13 17 13 15 依照这些数据,如果在这两名运动员中选一名参加本年度的比赛，选谁呢？ 例题讲析 解: = ×（12+15+28+15+26+19+11+10+8+6=15）=15, = ×（14+16+13+15+19+13+17+13+15）=15 两名运动员在这个赛季的平均得分相同,说明他们的得分能力相当。 即S甲2=［ (12-15)2+(15-15)2+(28-15)2+(15-15)2+(26-15)2+(19-15)2 +(11-15)2)+(10-15)2+(8-15)2 +(6-15)2］=48.6。 即S乙2=［ (14-15)2+(16-15)2+(13-15)2+(15-15)2+(19-15)2+(13-15)2 +(17-15)2)+(13-15)2+(15-15)2］≈3.78。 由S甲2＞S乙2可知,甲运动员在这个赛季的得分波动较大,乙运动员在这个赛季的得分更稳定。选乙去参加比赛。 1. 八年级1班和2班各有10名同学参加电脑绘图技能测试, 成绩如下表(满分10分): 利用平均分和方差对两个班同学的测试成绩进行分析比较。 跟踪练习 解: = ×（5×1+6×1+8×4+9×3+10×1）=8, = ×（5×0+6×4+8×1+9×2+10×3）=8 S12=［ (5-8)2×1+(6-8)2×1+(8-8)2×4+(9-8)2×3+(10-8)2×1］=2。 S22=［ (5-8)2×0+(6-8)2×4+(8-8)2×1+(9-8)2×2+(10-8)2×3］=3。 因为两班的平均数一样，但S12＜S22可知,所以一班成绩分布相对均匀，二班成绩波动较大,所以一班比二班好。 2. 甲、乙两名同学练习投篮,练习10次记为1组。他们最近6组投篮的命中次数分别为: 甲 4 5 6 8 9 10 ； 乙 4 6 9 10 8 5 谁的投篮命中情况更为稳定? 课堂小结 这节课你有什么收获？ 1.在"五四"文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下： 91.96.95.92.94.95.95， 分析这组数据，下列说法错误的是( ) A.中位数是95 B.方差是3 C.众数是95 D.平均数是94 B 当堂检测 2.某校要从甲，乙两位射击人员中挑选一人参加比赛。在最近10次的选拔赛他们的射击成绩(单位：环)信息如下： 信息一：甲，乙队员的射击成绩甲：10,8,8,10,6,8,6,9,10,8. 乙：8,9,10,9,6,7,7,9,10,8. 信息二：甲，乙队员射击成绩的部分统计量 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m,n的值：m=,n=. (2)队员在射击选拔赛中发挥得更稳定(填"甲"或"乙"). (3)小瑜认为甲，乙两人射击成绩的平均数一样，推荐哪位队员参赛都可以。你认为他说的对吗?请说明理由(写出一条合理的理由即可). (3)解：不对，乙的方差小于甲，乙发挥更稳定，应选乙参赛 解：(1)m=8.5，n=8； (2)解：甲的方差2.01，乙的方差1.61，乙的方差小，故乙发挥更稳定； $