2026年九年级数学中考二轮复习轴对称综合题（几何变换）解答题专题提升训练

2026年九年级数学中考二轮复习轴对称综合题（几何变换）解 答题专题提升训练 1.在ABC中，BD⊥AC于点D,点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP,将线 段PA绕点P顺时针方向旋转a,a=∠ABC,得到PE,连接CE. 图1 图2 图3 (I)【观察发现】如图1，当BA=BC,且∠ABC=60°时，BP与CE的数量关系是_，BC与 CE的位置关系是_ (2)【猜想证明】如图2，当BA=BC,且∠ABC=90°时，(1)中的结论是否成立？若成立， 请予以证明；若不成立，请说明理由.（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理） (3)【拓展探究】在(2)的条件下，若AB=4√2，AP=5,请直接写出CE的长. 2.综合与实践. 【问题初探】(1)如图1，在ABC中，BA=4,BC=6,BD为AC边上的中线，求BD的 取值范围.解答这个问题，我们可以将△ABD绕点D旋转180°，得到△CED,则BD的取 值范围可解.请作出△CED并直接写出BD的取值范围； 【问题解决】(2)如图2，P为等边三角形内一点，满足PB=1,PA=√2，PC=√3，试 求∠BPA的大小（提示：将△BPA绕点B顺时针旋转60°）； 【问题拓展】(3)如图3，在正方形ABCD中，E,F分别为BC,CD边上的点，且满足 LEAF=45°，AB=2,BE+DF=V3,求△AEF的面积. 图1 图2 图3 3.综合实践 问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶 试卷第1页，共3页 点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究.如图1，在“ABC中， ∠B=90°，AB=BC=4,分别取AB,AC的中点D,E,作ADE.如图2所示，将 ADE绕点A逆时针旋转，连接BD,CE B 图1 图2 图3 图4 (I)探究发现：旋转过程中，线段BD和CE的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并 证明， (2)性质应用：如图3，当DE所在直线首次经过点B时，求CE的长. (3)延伸思考：如图4，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,分别取AB,BC的 中点D,E.作△BDE,将△BDE绕点B逆时针旋转，连接AD,CE,当边AB平分线段 DE时，求tan∠ECB的值 4.如图，ABC和△CDE都是等腰直角三角形，LACB=∠DCE=90°. R 图① 图② (I)如图①，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是-，位置关系是-； (2)把△CDE绕直角顶点C旋转到图②的位置，(1)中的结论还成立吗？说明理由； (3)把△CDE绕点C在平面内自由旋转，连接BE,若AC=BC=I2,CE=CD=5,当AE最 大时，直接写出BE的长是-· 5.如图1，点O为直线MN上一点，0D为射线，∠D0N=120。,将一个含30°角的直角三 角尺的一个顶点放在点O处，直角边OB与直线MN重合. 试卷第1页，共3页 D(F M B N M B N 图1 图2 备用图 1)如图1，在∠D0A内部，过点O作射线OE,使得∠DOE=3∠A0E,求∠NOE的度数. (2)将图1中的三角尺绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，射线0C平分∠D0B ，在旋转的过程中，是否存在某个时刻t(秒)，使得LD0C=∠NOB,若存在，求出t的值， 若不存在，请说明理由； (3)如图2，OP平分∠D0N,将三角尺绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，若射线 OF从0D出发绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，设三角尺与射线0F运动时间 为t(0<1<18,在旋转过程中，若∠F0D与∠BOP始终满足aLF0D-∠B0P=b。(a与b 为常数)，求a+b的值 6.如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形 G F 图1 图2 (I)如图1，连接AG、CE,试判断AG和CE的数量关系和位置关系并证明. (②)将正方形BEFG绕点B顺时针旋转B角0°<B<180),如图2，连接AG、CE相交于点 M,连接MB,求∠EMB的度数. (3)若BE=2,BC=6,连接DG,将正方形BEFG绕点B顺时针旋转B角(0°≤B≤180)， 则在这个旋转过程中线段DG长度的最大值为，最小值为（直接填空，不写过程）. 7.如图，Rt△ABC中，CA=CB,∠ACB=90°，D为射线AC上一点，过点D作 DE⊥AB于点E,F是BD的中点. 试卷第1页，共3页 D B E (I)如图1，FE与FC有何关系，并说明理由： (2)如图2，将ADE绕点A顺时针旋转，使点D落在ABC内部，判断(1)中的结论是否 还成立？如果不成立，请说明理由，如果成立，请证明： (3)将ADE绕点A顺时针旋转75°，若CA=4,且CB⊥BD,连接CE,请直接写出△CEF 的面积。 8.已知正方形ABCD的边长为1，将边BC绕点B逆时针旋转a(90°<a<180)得BE. M B 4 图1 图2 (1)如图1，连接AE,CE, ①∠AEB的度数为 (用含a的式子表示)； ②过点C作CF⊥AE,垂足为F,连接FD.求证：FD∥CE; (2)如图2，过点E作EM⊥AD于M,EN⊥DC于N.设AM=x,CN=y,四边形MDNE的 面积为S,请写出S的取值范围，并说明理由。 9.旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实 际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：ABC和△DEF 均为等腰直角三角形，LBAC=∠EDF=90°，点D为BC中点，将△DEF绕点D旋转，连接 AE、CF. B 图1 图2 观察猜想：(1)如图1，在△DEF旋转过程中，AE与CF的位置关系为 试卷第1页，共3页 探究发现：(2)如图2，当点E、F在ABC内且C、E、F三点共线时，试探究线段CE、 AE与DE之间的数量关系，并说明理由， 解决问题：(3)若ABC中，AB=√5，在△DEF旋转过程中，当AE=√2且C、E、F三 点共线时，直接写出DE的长， B 备用图 10.【问题探究】 (1)如图①，在ABC中，AB=AC,∠B=40°，点D是BC上的一动点，连接AD,将 △ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE,当AE的值最小时，求∠CAE的度数； 【问题解决】 M B 图① 图② (2)如图②，四边形ABCD是一个工厂的平面示意图，AD=1000m,AD∥BC, CD⊥BC,连接BD,BD=1600m,BD平分∠ABC,点E是BD的中点，点F是BC上 动点，在F处修建一个员工休息处，连接EF,将EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG, 按规划在G处修建一个废品处理站，MN是一条产品加工线，其中点M在AB上，点N是 四边形ABCD内一动点，MB=MN=片4B,为方便回收废品，现要沿NG安装一条自动运 输带.为节约成本，要使自动运输带NG的长尽可能的小，自动运输带NG的长是否存在最 小值，若存在，请求出NG的最小值，若不存在，请说明理由 11.新定义：把长方形ABCD绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称 为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”.如图①，在长方形ABCD中，AB<AD, AC是对角线. 试卷第1页，共3页 D D B D2 C 图① 图② (I)如图②，把长方形ABCD绕点A逆时针作“对角旋转”，使边AB落在对角线AC上，此时 点B的对应点为B,点C的对应点为C,点D的对应点为D,连接AC,CC,如果LCAD 的度数为o,请求出“对角旋转角”的度数（用含有α的代数式表示）. (②)在(1)的条件下，若∠CAD=40°，把长方形ABCD绕点A顺时针作“对角旋转”，使边 AD落在对角线AC上，点B的对应点为B,点C的对应点为C,点D的对应点为D2,连 接AC2.请求出∠CAD的度数. (3)在长方形ABCD中，BC=2AB+4,在(1)(2)的基础上经“对角旋转”后，连接 CC2,△ACC的面积为312，△ACC,的面积为130.请直接写出此时长方形ABCD的面积. 12.【问题背景】在几何学习中，利用旋转的性质可以将一些零散、难以关联的条件进行有 效转化，从而使题目变得简单. D 图1 图2 (1)【问题提出】如图1，在等边ABC中有一点P,AP=3,BP=5,CP=4,求∠APC的度 数 (2)【问题解决】如图2，某地计划新建一个四边形的休闲场所（四边形ABCD),在点A,C处 修建两个管理室，且两个管理室A,C的距离为600m.根据设计要求，将休闲场所分为 △ABD与△BCD两部分，其中在△ABD中，∠A=90°，AB=AD,用来作为游乐场，由管 理室A负责管理；在△BCD中，∠BCD=45°，将它作为开心农场，由管理室C负责，为了 容纳更多动物，要求开心农场的面积尽可能大，请你利用所学知识求出开心农场（△BCD) 试卷第1页，共3页 的最大面积. 13.在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D为平面内一点. B B 万 图1 图2 图3 (I)如图1，点D在AB上，E是BC上一点，连接CD、ED,过点D作DF⊥BC于点F, 若4C=8,tn/ACD-CE=2反，求DE的长： (②)如图2，点D在BC上，E是AC上一点，连接ED并延长交AB的延长线于点H,F是 DH上一点，连接BF,满足BF=CE,∠BFD+∠CED=I8O°，连接CH,过点A作 AG⊥CH于点G,若LAHD=∠DAG,请用等式表示线段DH与CH之间的数量关系，并 证明： (3)如图3，D为ABC内的动点，∠BDC=135°，以BA、BC为邻边构造平行四边形 ABCE,连接DA、DE,M是ADE内一动点，G是直线BC上一个动点，将点G绕着 AC的中点F逆时针旋转45°到点G,若AC=8,当MA+ME+MD和CG'同时取得最小值 时，连接DG'、EG',直接写出四边形ADG'E的面积. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)如图，连接AE, :BA=BC,∠ABC=60°， .ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°， :BD⊥AC, ∠ABD-ABc-0. :PA=PE,∠APE=∠ABC=60°， .△APB是等边三角形， .AP=AE,∠PAE=60 .∠BAC=∠PAE=60°， .LBAC-∠PAC=∠PAE-LPAC,即∠BAP=∠CAE, 在△BAP和ACAE中 AB=AC ∠BAP=∠CAE, AP=AE .△BAP≌△CAE(SAS), .BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°， :∠ACB=60°， .∠BCD=LBCA+∠ACE=60°+30°=90°， .BC⊥CE; 故答案为：BP=CE;BC⊥CE (2)不成立，结论是EC=√2BP;理由如下： 连接AE, 答案第1页，共2页 B :BA=BC,∠ABC=90°，=∠ABC, 由旋转的性质得，∠APE=a=∠ABC=90°，PA=PE, :ABC、APE都是等腰直角三角形， AC=√2AB,AE=√2AP, ∠BAC=∠ACB=∠PAE=45°， .LBAP=∠CAE, :BA=BC,BD⊥AC, 六D-ac=5, 4C、A =2, AB AP △CAE∽△BAP :C-4C-5 ·BPAB :EC=2BP, BP=CE不成立，结论是EC=√2BP, (3)当点P在线段BD上时，如图2中， E AB=CB=4V2,∠ABC=90°， 图2 :AC=AB2+BC2=8, :BD⊥AC, ∴AD=DC=二AC=4, 2 AP=5, 答案第1页，共2页 .PD=VAP2-AD2=V52-42=3, .BD=AD=DC=4, BP=BD-PD=4-3=1, EC=√2BP=√2； 如图3所示，当P在BD延长线上时，连接AE, AB=CB=4V2,∠ABC=90°，∠APE=90°，PA=PE, 图3 ∠BAC=45°，∠PAE=45°：∠BAD+∠PAD=∠PAE+∠PAD,即∠BAP=∠CAE, 同(2)可得4C=E-2, AB AP △BAP△CAE, s .EC =2BP 同理可求得：BD=AD=4,PD=√AP2-AD2=V52-42=3, :BP=BD+DP=4+3=7, .CE=√2BP=7N2. 综上所述：CE=√2或7√2 2.(1)图见解析，1<BD<5;(2)150°；(3)√5 【分析】(1)如图，将△ABD绕点D旋转180°，得到△CED,连接AE,由旋转得到 DA=DC,DB=DE,证明四边形ABCE是平行四边形，根据三角形三边的关系得到 2<BE<10,从而得到BD的取值范围： (2)如图，将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BDC,连接PD,由旋转可知，证明 △PBD是等边三角形得∠PDB=60°，在△PCD中，运用勾股定理逆定理可得∠PDC=90°， 求出∠BDC,结合旋转可求解； (3)将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM,由旋转可知，∠MAB=∠FAD, 答案第1页，共2页 AM=AF,BM=DF,推出∠MAE=∠FAE,证明△MAE≌△FAE(SAS),求出S△ABM即可. 【详解】解：(1)如图，将△ABD绕点D旋转180°，得到△CED,连接AE, 图1 :DA=DC,DB=DE, .四边形ABCE是平行四边形， :BA=CE.DB=BE, :BA=4,BC=6, 又：BC-CE<BE<BC+CE, .6-4<BE<6+4,即2<BE<10, .1<BD<5, .BD的取值范围为I<BD<5; (2)如图，将△BPA绕点B顺时针旋转60°得到△BDC,连接PD, B 、- D 图2 BD=BP=I,∠PBD=60°，CD=PA=V2,∠BPA=∠BDC, △PBD是等边三角形， .PD=BP=1,∠PDB=60°， 在△PCD中，PD=1,CD=√2，PC=5, :PD+CD2=P+2=3,PC2=(5=3 .PD2+CD2=PC2, 答案第1页，共2页 .∠PDC=90°， .∠BDC=∠PDC+∠PDB=90°+60°=150°， ∠BPA=LBDC=150°； ∠BPA的大小为150°： (3)如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABM, A D M:-- B E 图3 .∠MAB=∠FAD,AM=AF,BM=DF,∠ABM=∠ADF, :四边形ABCD是正方形，∠EAF=45°，AB=2,BE+DF=V3, ∴∠ABM=LADF=90°，LABE=∠BAD=90°， .点M在CB的延长线上， :EM BE+BM=BE DF=3, ∠BAE+∠DAF=90°-∠EAF=45°， LMAB+LBAE=LFAD+∠BAE=45°， ∴.∠MAE=∠EAF. 在△MAE与△FAE中， AM=AF ∠MAE=∠EAF, AE=AE .△MAE≌△FAE(SAS), SAEE=SAAEM=2EM4B-7x13x2=13 .△AEF的面积为√. 【点晴】本题考查旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等 边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识 点.解题的关键是旋转构造全等进行转换 答案第1页，共2页 3.(1)猜想BD=V2 证明见解析 CE 2 (2)CE=2V6 ③)tan∠LECB= 1 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角形，解题的关键是 熟练掌握旋转前后对应角相等，对应边相等；相似三角形对应角相等，对应边成比例，以及 解直角三角形的方法和步骤. （①)根据申点的定义得出A0=4B4亿=4C,进而得出把-经 AEC易得 Cos∠BAC=AB-V ,通过证明aABD~aACE,即可得出结论： AC 2 (2)根据题意推出当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE,根据勾股定理可得 BD=VAB2-AD=2V5,根据(1)可得BD=2 即可求解： CE 2 (3)令AB,DE相交于点Q,过点E作EG⊥BC于点G,根据直角三角形斜边中线的性质 得出BQ=DQ-DE,测∠QBD:∠0D3,限据相似三角形的性质得出∠QD8=∠CMB, 进而推出∠C4B=∠EBG,则sn∠C1B=sim∠EBG=}cos∠CMB=cos∠EBG-手，求出 4 BG-BG=BE-cOs /EBGCG-BC-BG 【详解】(1)解：猜想8D-5,证明如下： CE 2 :点D和点E为分别为AB,AC中点， 由图1可知，AD=方B,证=方4C, 治长，则拾是 AE AC :∠B=90°，AB=BC=4, .∠BAC=45°， ·cos∠BAC=AB-V2 AC2 根据旋转的性质可得：∠BAD=∠CAE, .△ABD△ACE, :.BD=AB CE AC 2 (2)解：由图1可知点D和点E为分别为AB,AC中点， 答案第1页，共2页 DE∥BC,AD=AB=2, .△ABC∽△ADE, .LADE=LABC=90°， 当DE所在直线经过点B时，AD⊥BE, 根据勾股定理可得：BD=√AB2-AD2=2V, 由(1)可得： BD CE 2 :232 CE 2 解得：CE=2V6; (3)解：令AB,DE相交于点Q,过点E作EG⊥BC于点G, 根据题意可得：BE=BC= 2 2, :∠ABC=90°，AB=4,BC=3, :AC=AB2+BC2=5, sin∠CAB AC5cos∠CAB=B4 BC 3 :边AB平分线段DE,LDBE=LABC=90°， :.BO=DO=IDE, .L0BD=∠QDB, :△DBE∽△ABC, .∠QDB=∠CAB, .∠QBD=∠CAB, 根据旋转的性质可得：∠QBD=∠EBG, .∠CAB=∠EBG, 3 ·sin CAB=sin∠EBGE5,cos∠CAB=cos∠E8G= 5 EG=Esin∠EBG=8BG=o∠EBG-g 6 :.CG-BC-BG-3-5-5 69 .tan∠ECB= EG 1 CG 2 答案第1页，共2页 A E B G 4.(I)AE=BD;AE⊥BD (②)成立；理由见解析 (3)13 【分析】(I)如图①中，延长AE交BD于H,由等腰直角三角形性质及三角形全等的判定 定理证明△ACE≌△BCD,再由全等性质得到AE=BD,∠EAC=∠CBD,从而确定AE=BD ;AE⊥BD; (2)结论不变.延长AE交BD于H,交BC于O,如图所示，由三角形全等的判定定理证 明△ACE≌△BCD,再由全等性质得到AE=BD,LEAC=∠CBD,从而确定AE=BD; AE⊥BD; (3)由题意知，点E在以C为圆心，CE为半径的圆上运动，如图所示，当A、C、E共线 时，AE存在最大值，由勾股定理解答即可得到答案. 【详解】(I)解：延长AE交BD于H,如图所示： ABC和aCDE都是等腰直角三角形， D .AC=BC,CE CD,ZACB=ZECD=90 在△ACE和△BCD中， AC=CB ∠ACE=∠BCD, CE=CD △ACE≌△BCD(SAS), AE=BD,∠EAC=∠CBD, :LEAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEH, 答案第1页，共2页 LBEH+∠EBH=90°， .∠EHB=90°，即AE⊥BD, 故答案为：AE=BD;AE⊥BD; (2)解：成立， 理由如下： 延长AE交BD于H,交BC于O,如图所示： B :∠ACB=∠ECD=90°， .LACE+∠BCE=90°=∠BCD+LBCE .LACE=∠BCD, 在△ACE和△BCD中， AC=CB ∠ACE=∠BCD, CE=CD △ACE≌△3CD(SAS), AE=BD,∠EAC=∠CBD, :∠EAC+LAOC=90°，∠A0C=∠BOH, LB0H+∠0BH=90°， .∠OHB=90°，即AE⊥BD; (3)解：把aCDE绕点C在平面内自由旋转，CE=5, 点E在以C为圆心，CE=5为半径的圆上运动，如图所示： B 答案第1页，共2页 当A、C、E共线时，AE最大， :∠DCE=90°， .∠BCE=90°， △BCE是直角三角形， 在RtaBCE中，BC=12,CE=5,由勾股定理得BE=VBC2+CE2=V122+52=13, 故答案为：13 【点晴】本题考查几何变换综合题，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、 直角三角形的判定与性质、辅助圆-点圆模型、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌 握全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识. 5.(1)LN0E=52.5 (2)t=4或1=28 (3)当0<1≤6时，a+b=-61;当6<1<18时，a+b=61 【分析】本题考查了角的旋转和计算.熟练掌握角旋转性质，角的和差倍分关系，是解题的 关键， (1)根据已知得∠A0D=90°，得∠A0E=22.5°，即得∠N0E=52.5°； (2)当0<t≤12时，∠N0B=101°，∠B0D=120°-101°，根据角平分线得∠C0D=60°-5° ,由∠D0C=∠N0B,得10t=60-5t,解得t=4;当12<t≤18时，无解；当18<t≤30时， ∠N0B=360°-10t°，∠B0D=101°-120°，得∠C0D=51°-60°，得360-101=5t-60,解得 1=28;当30<1≤36时，无解；故t=4或1=28； (3)由已知得∠N0P=60°，∠F0D=∠N0B=10t°，当0<1≤6时，得 -∠F0D-∠B0P=-60°，得a=-1,b=-60,a+b=-61;当6<1<18时，得 ∠F0D-∠N0B=60°，得a=1,b=60,a+b=61· 【详解】(1)解：：∠D0N=120,∠A0B=30°， .∠A0D=∠D0N-∠A0B=90°， :∠D0E=3∠A0E, .∠A0E=22.5°， .∠N0E=∠A0B+∠A0E=52.5°； 答案第1页，共2页 E M 0 B N (2)当0<t≤12时，∠N0B=10°，∠B0D=120°-101°， :射线0C平分∠D0B, :∠C0D=1∠D0B=60°-5°， 2 :∠D0C=∠N0B, .10t=60-5t, .t=4; D M 0 N 当12<1≤18时，∠N0B=10°，∠B0D=101°-120°， :∠C0D=∠D0B=5°-60°， 2 .10t=51-60, .1=-12,不合； 当18<t≤30时，∠N0B=360°-10t°，∠B0D=10t°-120°， :∠C0D=∠D0B=51°-60°， .360-101=5t-60, t=28; D B 当30<1≤36时，∠N0B=360°-101°，∠B0D=360°+120°-101°=480°-101°， 答案第1页，共2页 :∠C0D=1∠D0B=240°-50， 2 .360-10t=240-51, .1=24,不合； 综上所述，t=4或1=28； (3)∠D0N=1209,OP平分∠D0N, ∠oP-0W=60, :∠F0D=∠N0B=10t°， .当0<t≤6时，LB0P=∠N0P-∠N0B=60°-∠F0D, .-∠F0D-∠B0P=-60°， .a=-1,b=-60, .a+b=-61; 当6<t<18时，∠B0P=∠N0B-∠N0P=∠F0D-60°， ∠F0D-∠N0B=60°， .a=1,b=60, .a+b=61, 故当0<1≤6时，a+b=-61;当6<1<18时，a+b=61. D —NM 6.(I)AG=CE,AG⊥CE,证明见解析 (2)45[ (3)10:62-2 【分析】(I)证明Rt△GBA≌Rt△EBC(SAS)得出AG=CE,且LGAB=LBCE,可判定出其 位置关系； (2)过B作BP⊥EC,BQ⊥MA,垂足分别为P、Q,证明△BPE≌△BQG得BP=BQ, 通过证明四边形BPMQ为正方形可得出∠EMB的度数； (3)由旋转性质可知：当点G在线段BD上时DG的长度最短，当在初始位置时，DG最大， 利用勾股定理求出其长度即可. 答案第1页，共2页 【详解】(I)解：AG=CE,AG⊥CE. 证明：延长CE交AG于点， G 图1 :四边形ABCD、BEFG均为正方形， .∠GBA=∠EBC=90°，BG=BE,BA=BC, 在△GBA和△EBC中， BG=BE ∠GBA=∠EBC, BA=BC .RtAGBA≌RtAEBC(SAS), .AG=CE,∠GAB=∠BCE, .LBGA+∠BCE=LBGA+LGAB=90°， .LCHG=90°， AG⊥CE; (2)解：如图，过B作BP⊥EC,BQ⊥MA,垂足分别为P、Q,设AM交BC于点O, .∠BPE=∠BPM=90°=∠BQM, :将正方形BEFG绕点B顺时针旋转B角(0°<B<180),且四边形ABCD为正方形， .∠CBA=∠EBG=90°，BG=BE,BA=BC, :∠CBA-∠CBG=∠EBG-∠CBG,即∠GBA=∠EBC, 在△GBA和△EBC中， 答案第1页，共2页 BG=BE ∠GBA=∠EBC, BA=BC △GBA≌△EBC(SAS), .BG=BE,∠GAB=∠BCE, .∠M0C+∠BCE=∠B0A+∠GAB=90°， LOME=∠MOC+LBCE=90°，即AG⊥CE, ∠GMP=90°=∠BPM=∠BQM, .四边形BPMQ为矩形， :∠PBE+∠PBG=∠QBG+∠PBG=90°， .ZPBE =Z0BG 在△BPE和△BQG中， ∠PBE=∠QBG ∠BPE=∠BQG, BE=BG △BPE≌ABOG(AAS), .BP=BO, .四边形BPMQ为正方形， .∠EMB=45°； (3):将正方形BEFG绕点B顺时针旋转B角0°≤B≤180)，且四边形ABCD为正方形， 当正方形BEFG在初始位置时，DG最大，如图， :四边形ABCD、BEFG均为正方形，BE=2,BC=6, .∠GCD=90°，GC=GB+BC=2+6=8,CD=BC=6, 此时DG=VGC2+CD2=V82+62=10: 答案第1页，共2页 当G点在线段BD上时，DG最小，如图， G :四边形ABCD、BEFG均为正方形，BE=2,BC=6, ∠BCD=90°，BG=BE=2,CD=BC=6, :..BD=BC2+CD2=62+62=6v2 此时DG=BD-BG=6N2-2; 综上所述，在这个旋转过程中线段DG长度的最大值为10，最小值为6√2-2. 故答案为：10；6√2-2. 【点晴】本题是几何变换的综合题，考查了旋转的性质，正方形的判定和性质，矩形的判定 和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是通过作辅助线构造全等三角形、 利用正方形BEFG的特殊位置确定线段DG长度的最大值与最小值是解题的关键. 7.(I)EF=FC,EF⊥FC,理由见解析； (2)成立，理由见解析； (3)16-45 【分析】I)根据题意得到FC=BD,EF=)BD,EF=FC,同时可以得到点 B,C,D,E在以F为圆心，BD为直径的圆上，得出∠EFC=2∠EBC=90°，EF⊥FC: (2)成立，取AB中点M,AD中点N,连接CM、FM、EN、NF,证明 △ENF≌aFMC(SAS,得到EF=FC,∠MCF=∠NFE,推出EF⊥FC; (3)取AB中点M,AD中点N,BD中点F,作DG⊥AB,连接CM、FM、EN、NF, 证明△CMF≌aFNE(SAS),得到EF=FC,EF⊥FC,证明DG=BG,设DG=BG=x, 则AG=√5x,BD:√5x,求出x=2√6-2W2, BD=45-4,得到FC2=BF+BC2-32-85,继而得到S=)CF2=16-4V5. 2 【详解】(1)解：EF=FC,EF⊥FC,理由如下， :∠ACB=90°，F是BD的中点， 答案第1页，共2页 .FC=IBD, :DE⊥AB, ∠DEB=90°， :.EF=IBD, 2 :EF FC; AC=BC, ∴.∠ABC=45°， :∠DEB=∠DCB=90°， :点B,C,D,E在以F为圆心，BD为直径的圆上， LEFC=2LEBC=90°， EF⊥FC; (2)解：成立，理由如下， 如图，取AB中点M,AD中点N,连接CM、FM、EN、NF, :LAED=LACB=90°，AC=BC, :.EN=AD,CM=TAB ) :F是BD的中点， :FM是△ABD的中位线，NF是△ABD的中位线， :.FM=1AD,NF=CM=1AB, 2 2 NE=FM,由旋转得∠DAE=∠CAB=45°， :∠ADE=∠DAE=45°， ∠END=90°=∠ENF+∠DNF, :CM⊥AB, ∠CMB=90°=∠FMC+∠BMF, MF‖AD,NF‖AB, ·∠BMF=∠DAB,∠DNF=∠DAB, .LENF=∠FMC, △ENF≌△FMC(SAS), EF=FC,∠MCF=∠NFE, 答案第1页，共2页 CM⊥AB,NF‖AB, .CM⊥NF, :∠MCF+∠CFN=90°， .LCFN+∠NFE=90°， EF⊥FC; M E (3)解：如图，取AB中点M,AD中点N,BD中点F,作DG⊥AB,连接CM、FM、 EN、NF, FM=4D,EN=AD,CM=N=4B,W1AB,EN⊥4D,FM∥4D NF∥AB, :∠CMB=∠END=90°，∠BMF=∠BAD,∠FND=∠BAD, ∠BMF=∠FND, ∴：LCMB+∠BMF=LEND+∠FND,即LCMF=∠FNE, △CMF≌△FNE SAS, :EF=FC,LMCF=∠NFE, CM⊥AB,NF‖AB, CM⊥NF, .∠MCF+∠CFN=90°， ·LCFN+∠NFE=90°， 由旋转得∠BAD=75°-∠CAB=30°， :BD⊥BC, .LABD=90°-∠ABC=45°， :DG=BG, 设DG=BG=x,则AG=√3x,BD=2x, AB=2AC=42, 答案第1页，共2页 AG+BG=4√2，即V3x+x=4V2, x=26-2V2, BD=4V3-4, 4BF=BD=23-2 FC2=BF2+BC2=32-8V5, 5w-cr=16-4N5 D 8.1)0a-45°；②证明见解析 2 ②2<5≤+V5,理由见解析 【分析】(1)①根据旋转的性质，得到CB=BE,进而得到AB=BE,根据周角的定义结合 等边对等角，进行求解即可；②连接AC,易得ADCF四点共圆，进而得到 ∠AFD=∠ACD=45°，求出∠CFD=45°，根据三角形的内角和定理，求出∠FCE=45°， 即可得证： (2)延长AB交EN于点G,由题意，四边形MDNE,BCNG,AGEM均为矩形， 进而得到EG=AM=x,BG=CN=y,勾股定理得到x2+y2=1,根据矩形的面积公式，得 到S=(1+x)(1+y)=1+x+y+y,利用完全平方公式，得到x+y=Vx2+y2+2xy=V1+2xy ,进而得到S=1+y+1+2xy,进而得到S随着的增大而增大，根据(x-y)≥0，求出 y的最大值，即可得出结果。 【详解】(1)解：①：正方形ABCD, ∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，AB=BC=CD=AD, 旋转， BC=BE,∠CBE=a, 答案第1页，共2页 AB=BE,∠ABE=360°-90°-=270°-a, ∠ABB=∠B4E=l80-∠48E)=0-45, ②连接AC,则LACD=45°， :CF⊥AE, .∠CFA=LCFE=90°， .LCFA+LADC=180°， A,D,C,F四点共圆， .∠AFD=∠ACD=45°， .∠DFC=∠CFA-LAFD=45°， :BC=BE,∠CBE=a, ∠cE8=180-aj=90 2, 由①知：∠AEB=，a-45, .∠CEF=∠CEB+∠AEB=45°， .∠ECF=180°-90°-45°=45°， .∠ECF=∠DFC, .FD∥CE; 3 (2)解：2<S≤三+√2，理由如下： 2 延长AB交EN于点G,由题意，四边形MDNE,BCNG,AGEM均为矩形， M B G D C .EG=AM=x,BG=CN=y, :正方形ABCD的边长为1， 答案第1页，共2页 .BE BC=1,DM=AD+AM=1+x,DN=CD+CN=1+y, .S=(1+x)1+y)=1+x+y+xy, 在Rt△BGE中，由勾股定理，得x2+y2=1, (x+y)}2=x2+y2+2y=1+2y, ..x+y=1+2xy, :S=1+xy+1+2xy, .S随着少的增大而增大， (x-y)2=x2+y2-2y=1-2y≥0， x' :0<w2 1 当m=0511-2:当w号时51y+2+5 1 :2<Ss3+2. 9.(1)AE1CF:(2)CE-AE=DE,理由见解析；(3)6-2或6+2 2 2 【分析】(I)如图所示，连接AD,根据等腰三角形的性质可证△AED≌△CFD(SAS),由此 即可求解； (2)由(1)中△AED≌△CFD(SAS),再根据△DEF为等腰直角三角形，由此即可求解； (3)点C、E、F三点共线，分类讨论，根据(1)，(2)中的结论即可求解. 【详解】解：AE⊥CF. 理由：如图所示，连接AD,设AE交CF于点G, .∠DFG+∠DFC=180°， :ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°， .AB=AC,∠B=∠ACB=45°， :点D为BC中点， :AD⊥BC,AD平分∠BAC, :∠DAC=∠BAC=x90°=45°=∠ACD, 2 2 答案第1页，共2页 .AD =CD :△DEF为等腰直角三角形，∠EDF=90°， .DE=DF,∠EDA+∠ADF=90°=∠ADF+∠FDC, LEDA=∠FDC, 在△AED和△CFD中， AD=CD ∠EDA=∠FDC, DE=DF △AED≌aCFD(SAS), .AE=CF,∠DEA=∠DFC, :∠DFG+∠DFC=180°， .∠DFG+∠DEA=180°， 在四边形DEGF中， ∠EGF=360°-∠DEA+∠DFG+∠EDF=360°-(180°+90）=90°， .AE⊥CF, 故答案为：AE⊥CF; (2)CE-AE=√2DE. 理由：如图所示，连接AD, 由(1)可知：AE=CF, :C、E、F三点共线 .CE CF +EF AE +EF .CE-AE =EF, :△DEF是等腰直角三角形，∠EDF=90°， :DE DF, EF=DE2+DF2=2DE2=2DE, 答案第1页，共2页 CE-AE-2DE: B (3)AB=V5,AE=√2，C、E、F三点共线， :ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°， :AC=AB=5, ①如图所示，连接AD, 由(2)可知：CE-AE=√2DE, 由(1)可知：AE⊥CF,AE=CF, .LAEC=90°，CF=AE=√2， 在Rta4CE中，CE=AC2-AE=5-(2=5, .√2DE=CE-AE=V5-√2， ·DE=V6-2 2 B ②如图所示，连接AD, :ADEF是等腰直角三角形，∠EDF=90°， :DE =DF, ∴CF-CE=EF=VDE2+DF2=VDE2+DE2=√2DE, 由(I)可知：AE⊥CF,AE=CF, LAEC=90°，CF=AE=V2, 在Ra4CE中，CE=VAC2-AE=5-(2-5, √2DE=CF-CE=V2-V5, 答案第1页，共2页 :DE=2-6（此时DE<0,不符合题意，舍去， 2 D入 ③如图所示，连接AD, :△DEF是等腰直角三角形，∠EDF=90°， :DE DF, :CE+CF=EF=DE2+DF2=DE2+DE2=2DE, 由(1)可知：AE⊥CF,AE=CF, ∠AEC=90°，CF=AE=√2， 在Ra4CE中，CE=VAC2-AE-5-(2-5, 2DE=CE+CF=√5+√2， :DE=6+V2 2 综上所述，DE的长为6-2或V6+2。 B 【点晴】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等角对等边，旋转的性 质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，运用了分类讨论的思想.掌握旋转的性 质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键， 10.(1)50°；(2)自动运输带NG的长存在最小值，NG的最小值为800m 【分析】(1)根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠ACB=∠B=40°，∠BAC=100°，由 旋转的性质得AE=AD,∠CAE=∠BAD,当AE最小时，此时AD也最小，即当AD⊥BC 答案第1页，共2页 时，AD最小（如图），由等腰三角形三线合一得∠BAD=)∠BAC=50°，可得结论： (2)连接AE并延长交BC于点Q,连接DQ,证明△ADE≌aQBE(ASA),可得四边形 ABQD是平行四边形，进一步证明四边形ABQD是菱形，得AQ⊥BD, AB=BQ=AD=1000,QE=AE=√AB2-BE2=600,以M为圆心MB为半径作弧，该弧交 AB于点R,连接RE,推出点N在以M为圆心MB为半径的四边形ABCD内的弧上运动， 继而推出RE是△ABQ的中位线，得RE=BQ=500,RE∥BQ,过点E作EP1BC于点P ,过点G作1⊥BC于点S,过点E作EH⊥1于点H,可得∠PEH=90°，根据旋转的性质得 EF=EG,∠FEG=90°，证明△FEP≌△GEH(AAS),得到EP=EH,推出随着点F的运动， 点G在直线l上运动，过点M作MO⊥I于点O,交BD于点J,交EP于点K,证明四边形 EKOH是矩形，得KO=EH=EP,则NG的最小值为MO-MN,再推出MO∥BC∥RE, 根据平行线分线段成比例定理得PK-B-BM=1,即点」是BE的中点，点K是PE的中 KE JE MR 点，可得MJ=)RE=250,JK=BP,则MO=MW+K+K0=250+BP+EP,在 RIABEQ中，由EP=BE:OE=40,在RtABEP中，BP:VBB-EP-640,可得结论 BO 【详解】解：(1)：AB=AC,∠B=40°， ∠ACB=∠B=40°， .∠BAC=180°-∠ACB-∠B=180°-40°-40°=100°， :将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE, .AE=AD,∠CAE=∠BAD, 当AE最小时，此时AD也最小， 即当4D18C时，AD最小（甸图，此时∠B4D=B4C= 1o=50 .LCAE=∠BAD=50°， 当AE的值最小时，∠CAE的度数为50°； A B D (2)连接AE并延长交BC于点Q,连接DQ, 答案第1页，共2页 :AD∥BC, .∠ADE=∠QBE, :BD=1600m,点E是BD的中点， .DE BE =800m, 在ADE和△QBE中， ∠ADE=∠QBE DE=BE ∠AED=∠QEB △ADE≌△QBE(ASA), AE=QE,即点E是AQ的中点， .四边形ABQD是平行四边形， :BD平分∠ABC,AD=1000m, .∠ABD=∠QBD=∠ADB, .AB AD, .四边形ABQD是菱形， :AO L BD,AB=BO=AD=1000m, .QE=AE=√AB2-BE2=V10002-8002=600(m, 以M为圆心MB为半径作弧，该弧交AB于点R,连接RE, :点N是四边形ABCD内一动点，MB=MN=AB=x1000=250(m, 4 点N在以M为圆心MB为半径的四边形ABCD内的弧上运动， .MR=MB =250m :BR=MR+MB=250+250=500=2AB, 点R是AB的中点， ·RE是△ABQ的中位线， :R5=80=x100=500,RE∥B0. 过点E作EP⊥BC于点P,过点G作I⊥BC于点S,过点E作EH⊥I于点H, ∠EPF=∠EPS=PSH=∠EHS=90°， .四边形EPSH是矩形， 答案第1页，共2页 ∠PEH=90°， :将EF绕点E逆时针旋转90°得到线段EG, .EF=EG,∠FEG=90°， :ZFEP ZGEH 在△FEP和△GEH中， '∠EPF=∠EHG ∠FEP=∠GEH, EF=EG .△FEP≌aGEH(AAS), .EP=EH, 随着点F的运动，点G在直线1上运动， 过点M作MO⊥I于点O,交BD于点J,交EP于点K, .LKOH=90°=∠EHO=LKEH, .四边形EKOH是矩形， .KO=EH =EP .NG的最小值为MO-MN, :I⊥BC,EH⊥1，MO⊥1，RE∥BQ, MO∥BC∥RE, :点R是AB的中点， :PK=B-BM=1,即点J是BE的中点，点K是PE的中点， ·KEJE MR .MJ是△BER的中位线，JK是△EBP的中位线， M=RE=x50=250m,K=号8P, 2 :MO=MJ+JK+KO=250+-BP+EP, 在RtBEQ中，SABE0=)BQ·EP=BE·QE, 2 2 :EP=BE·OE800x600 480(m, B01000 在RtaBEP中，BP=VBE2-EP2=V8002-4802=640(m, 1 .M0=250+5×640+480=1050(m), 答案第1页，共2页 .M0-MN=1050-250=800(m), .自动运输带NG的长存在最小值，NG的最小值为800m· E R 【点晴】本题是旋转变换综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判 定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线分线 段成比例定理，勾股定理等知识点，通过构造圆并确定NG的最小值为MO-MN是解题的 关键. 11.(1)“对角旋转角”为90°-0. (2)∠CAD=50° (3)240 【分析】(1)根据对角旋转的定义，确定旋转角与∠CAD的关系，通过角度推导求解： (2)先根据已知角度求出∠CAD,再结合顺时针对角旋转的定义，推导∠C2AD的度数； (3)根据△ACC,和△ACC,的面积公式，结合旋转后线段的对应关系，列出关于 AC、AB、BC的等式，再通过比例关系和BC与AB的数量关系，求解AB和BC的长度，进 而得出长方形的面积. 【详解】(1)解：(1)由题意可知“对角旋转角”为∠BAC,∠BAC+∠CAD=90°， .∠BAC=90°-a, :“对角旋转角”为90°-α. (2)解：由旋转可知，∠DAC=∠D,AC,. :∠DAC,+∠C,AD+∠DAC=90°，∠C,AD=40°， .∠D,AC,+∠DAC=90°-40°=50°， .·.2∠DAC=50°，∠DAC=25° 答案第1页，共2页 ：“对角旋转角”为25°， ∠CAC2=25°，.∠C,AD=50°. (3)解：240 ⑤4c7AC-BC=312 SCC=AC.D.C,=130,BC=BC,D:C:=4B :312=AC.BC,130=AC.AB, 2 1 AC.BC 31221 1301 AC·AB 130BC=312AB. :BC=2AB+4, .AB=10,BC=24, S长方形4BcD=AB,BC=10×24=240. 【点睛】本题考查长方形的旋转与三角形面积的综合应用，掌握根据旋转定义确定角度关系， 结合面积公式列方程求解边长是解题的关键. 12.(1)150 (2)180000√2-180000m2 【分析】(I)如图：将△ACP绕顶点A旋转到△ABP'处，此时ACP≌BCP',连接PP, 即BP=AP=3,PC=P'C=4,∠PCP'=60°，∠APC=∠BP'C;易得△PCP'是等边三角形， 则PP'=PC'=4,∠PP'C=60°，再利用勾股定理逆定理可得∠PP'B=90°，再根据角的和 差即可解答； (2)如图2，连接AC,将△ADC绕点A顺时针旋转得△ABC',连接CC'.利用旋转的性 质以及勾股定理可得CC'=VAC2+AC2=600√2m,再说明LCBC'=135°；如图2：过点B 作BN⊥CD，,垂足为N,过点C作C'M⊥CB,交CB的延长线于点M.则 LCBM=180°-LCBC'=45°，进而得到S.Bco=SBCc;设点O为CC'所在圆的圆心，连 接OC,OC,OB.过点O作OF⊥CC',垂足为F;过点B作BE⊥CC',垂足为E,则 LC0C'=90°.利用三角形的不等关系可得BE的最大值为(600-300V2)m,最后运用三角 答案第1页，共2页 形的面积公式求解即可. 【详解】(I)解：如图：将△ACP绕顶点A旋转到△ABP'处，此时ACP≌BCP',连接 PP, B BP'=AP=3,PC=P'C=4,∠PCP'=60°，∠APC=∠BP'C .△PCP'是等边三角形， .PP'=PC'=4,∠PP'C=60°， BP2=32=9,PP'=42=16,PB2=52=25, .BP'+PP'=25=PB2, .△PBP'是直角三角形，即∠PP'B=90°， ∠BP'C=∠PP'C+LBP'P=150°， .∠APC=∠BP'C=150°. (2)解：如图2，连接AC,将△ADC绕点A顺时针旋转得△ABC',连接CC', M 图2 .AC=AC=600m,∠CAC=90°，∠ABC'=∠ADC,BC'=DC. .CC"=4C2+AC2=6002m. :∠DAB=90°，∠DCB=45°， LABC+∠ABC'=∠ABC+LADC=225°， .∠CBC'=135°」 如图2：过点B作BN⊥CD,垂足为N,过点C作C'M⊥CB,交CB的延长线于点M. 答案第1页，共2页 则∠CBM=180°-∠CBC'=45°， BN= BC.CM-Bc-CD. 2 2 1 ·Sacn=)CD:BN= cp.nC.sc.c 4 2 CD.BC S.BCD=S.BcC, CC'=600W2m,∠CBC'=135°， ·点B在以CC'为弦，所含圆周角为135°的弧CBC'上. 设点O为CC所在圆的圆心，连接OC,OC',OB.过点O作OF⊥CC',垂足为F;过 点B作BE⊥CC',垂足为E,则LCOC'=90°. 0F=300V2m,0B=0C=600m. :BE+OF≤OB, :.BE≤0B-0F=600-300V2m, :BE的最大值为600-300V2m. :Scn=S,cc=号CC.BE=300V2BE=300W2(600-300W2)=180000W2-180000)m2, 2 .开心农场（△BCD)的最大面积为180000V2-180000)m2. 13.(1)210 (2)CH=√2DH (3)32+16√2-8V5-4√6 【分析】(I)根据等腰直角三角形的性质先求出AB、BC的长度，过点D作DF⊥BC于 点F,利用三角函数定义求出AD、CD相关线段长度，利用勾股定理求解即可； (2)在DH上取一点M,使得FM=DE,连接BM,将aADH沿AH翻折得到△ANH,连 接CN,设CD与AG交于点I,易证明△CED≌△BFM(SAS),设 ∠AHD=∠AHN=∠DAG=∠BCH=a,易得到A、N、H、C四点共圆，进而得到 △HNC是等腰直角三角形，利用勾股定理证明即可； (3)根据题意可得，点D在以点H为圆心，BH长为半径的⊙H上运动，点G在直线BC上 运动时，点G在直线CP'上运动，作FP⊥AC交BC于点P,将FP绕点F逆时针旋转45°至 答案第1页，共2页 FP',连接G'P交AC于点Q,易证明aGPF≌△G'FP'SAS),得到△FPQ是等腰直角三角形， 则FQ=FP.sin45°，当CG'⊥G'P'时，CG有最小值，此时点G与点Q重合，将△AEM绕 点E顺时针旋转60°至△A'EM',得到△EMM'是等边三角形，即 MA+ME+MD=A'M'+MM+MD,当A、M'、M、D、H共线时，MA+ME+MD有最 小值，证明△ABD是以30°为顶角的等腰三角形，过点A作AR⊥BD于点R,在RtA ARB中， AR=AB.sin30°、BR=AB.cos30°，利用勾股定理求出CD和DF长，利用 S西边形4DGE=S。ADG+S.ABG进行求解即可. 【详解】(1)解：：DF⊥BC, ·∠BFD=∠EFD=90°， :在Rt△ABC中，AB=AC=8, :LB=LACE=45°，BC=VAB2+AC2=V82+82=8V2, :在RtADC中，tanLACD=AD=AD=1 AC82' AD=4, :BD=AB-AD=8-4=4, :在Rt△BDF中，∠B=45°， DF=BD.sin 45=4x =2√2， 2 BF=BD-cos45=4x 2 .EF=BC-BF-EC=82-22-22=42, 在Rt△DFE中，由勾股定理得： DE=VEF2+DF=4'+2=2而： (2)解：CH=√2DH,证明如下： 在DH上取一点M,使得FM=DE,连接BM,将△ADH沿AH翻折得到△ANH,连接CN, 设CD与AG交于点I, 答案第1页，共2页 E B D/ C G :DH=NH,∠NAH=∠DAH, M :∠BFD+∠CED=180°，∠BFM+∠BFD=180°， :Z CED ZBFM 在△CED和△BFM中， CE=BF ∠CED=∠BFM DE=FM ACED≌△BFM(SAS), .CD=BM,∠BMF=∠CDE=∠BDF, :BM BD CD AC=AB, :AD⊥BC,∠BAD=5∠BAC=45, 2 .∠ADC=90°， :AG⊥CH, .∠AGC=90°， :∠AID=∠CIG, .90°-∠AID=90°-∠C1G, .∠DAG=LDCH, :∠AHD=∠DAG, :设∠AHD=∠AHN=∠DAG=∠BCH=Q, 由(1)知，∠B=∠ACB=45°， ∠ACH=∠ACB+LBCH=45°+a, :∠AHC=90°-∠ACH=45°-a, :∠NHC=∠AHC+∠AHN=45°-a+a=45°， 答案第1页，共2页 :∠NAH=∠BAD=45°， .∠NAC=∠NAH+∠BAC=45°+90°=135°， :∠NAC+∠NHC=180°， :A、N、H、C四点共圆， ∠HNC=∠HAC=90°， :△HNC是等腰直角三角形， :NH =CN, CH=VWH2+CN2=√2NH, .CH=√2DH; (3)解：：四边形ABCE是平行四边形， CE=AB-AC=8,AF=CF--AC-4, .在Rt△ABC中，AB=AC=8, :.BC=AB2+AC2=82, :∠BDC=135°， :在BC下方作以BC为斜边的等腰直角三角形BCH, 则点D在以点H为圆心，BH长为半径的OH上， :△BCH是等腰直角三角形， .BH=CH,∠HBC=∠HCB=45°， ∠HBA=∠HBC+∠ABC=45°+45°=90°， 作FP⊥AC交BC于点P,将FP绕点F逆时针旋转45°至FP',作直线GP'交AC于点Q, GP G》 FG=FG',FP=FP',∠GFG'=LPFP'=45°， H ∠GFP=G'FP', aGPF≌aG'P'F(SAS, 答案第1页，共2页 .LGPF=∠G'P℉， :点G在直线BC上运动时，点G在直线G'P'上运动， :FP⊥AC, .LPFC=90°， :∠P'FC=90°-∠PFP'=45°，∠FPC=90°-∠FCP=45°， ∴△FPC是等腰直角三角形， FP=FC=4, :LGPF=∠G'P'F,∠GPF+∠CPF=180°，∠G'P'F+∠QP'F=180°， .∠QP'F=∠CPF=45°， ∴.∠P'QF=180°-∠CFP'-∠QP'F=180°-45°-45°=90°， ,△FPQ是等腰直角三角形， F0=Fp'-.sin45°=4x =22, 2 当CG'⊥G'P'时，CG有最小值，此时点G与点Q重合， 将△AEM绕点E顺时针旋转60°至△A'EM', M' E M (Q) G .ME=ME,A'M'=AM,∠A'ME=∠AME, B “△EMM'是等边三角形， ∠MME=∠MEM'=LEMM=60°、MM'=ME, .MA+ME+MD A'M'+MM +MD 当A、M'、M、D、H共线时，MA+ME+MD有最小值， 答案第1页，共2页 M M D ) G :∠AME=∠A'ME=180°-∠MME=120°， B LAMM'=60°， :∠AMM'=∠EMM=60°， .AM‖ME, .∠AEM'=∠EAM, :四边形ABCE是平行四边形， LBCE=∠BAE=180°-∠B=135°，∠ABC=∠AEC=45°， ∠EAM=∠BAE-∠BAC=135°-90°=45°， :∠AEM'=45°， :∠MEH=∠MEA+∠AEH=45°+45°=90°， ∠CHM=90°-∠EMM=30°， :∠BHC=90°， .∠BHD=90°-∠CHM=60°， .BH=DH, △BDH是等边三角形， ∠HBD=60°，BD=BH, :∠HBA=∠BAC=∠BHC=90°， :四边形ABHC是矩形， :BH=CH, :四边形ABHC是正方形， 答案第1页，共2页 .AB=BH, :AB BD=8, 如图，在△ABD中，过点A作AR⊥BD于点R, :∠ARB=∠ARD=90°， R B 在Rt ARB中，∠ABD=∠HBA-∠HBD=90°-60°=30°， AR=AB:sin30°=8×=4， 2 BR=AB:cos30°=8x5 =4V3, .DR=BD-BM=8-43, 在RtAADR中，由勾股定理得： AD2=AR2+DR2=42+(8-4V, :AF=CF,DF⊥AC, .AD=CD △ACD是等腰三角形， :CD=AD, CD2=AD2=42+8-45°， 在Rt△CDF中，由勾股定理得： DF=VCD2-CF2=V42+(8-43-42=8-45, S四造形ADGE=SDG+SAEG, 4GxDF+54GxCE, 21 FFDFCE) =4+22列x8-45+8到， =32+16V2-85-4√6. 答案第1页，共2页 【点晴】本题考查等腰直角三角形的性质、解直角三角形、勾股定理、圆周角定理、全等三 角形的判定与性质、旋转的性质、翻折的性质，正确作出辅助线，熟练掌握相关性质定理， 数形结合的思想方法的运用是解题的关键. 答案第1页，共2页