专题03直角三角形.垂直平分线与角平分线易错必刷题型专项训练(16大题型共计48道题)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题03直角三角形.垂直平分线与角平分线易错必刷专练 本专题汇总直角三角形.垂直平分线与角平分线章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.写出命题的逆命题 题型02.判断互逆命题 题型03.HL证明直角三角形全等 题型04.HL全等形线综合应用 题型05.线段垂直平分线的性质 题型06.线段垂直平分线的判定 题型07.角平分线的性质 题型08.角平分线的判定 题型09.角平分线性质的实际应用 题型10.命题真假判断 题型11.举反例证假命题 题型12.垂直平分线与等腰三角形综合 题型13.角平分线与平行线综合 题型14.角平分线与全等三角形综合 题型15.角平分线与内角和角度计算 题型16直角三角形全等综合判定 易错必刷题型01.写出命题的逆命题 题型特征：给出原命题，要求互换条件与结论写出逆命题 易错点：分不清命题的条件和结论，改写语句语序混乱，丢字漏字 1．命题“若，那么”的逆命题是______． 【答案】若，那么 【分析】交换原命题的条件与结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“若，则”的条件为，结论为， 交换条件与结论，可得逆命题为：若，则. 2．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角都等于 D．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【分析】本题考查命题与逆命题的概念，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，准确写出逆命题是解题关键． 先写出各选项命题的逆命题，再依据全等三角形、对顶角、等边三角形的判定及有理数的性质，判断逆命题的真假，进而选出正确选项． 【详解】解：选项：原命题的逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形， ∵对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定全等， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为相等的角是对顶角， ∵相等的角可能是同位角、内错角等，不一定是对顶角， ∴该逆命题是假命题； 选项：原命题的逆命题为如果一个三角形的三个内角都等于，那么它是等边三角形， ∵三个内角都相等的三角形是等边三角形， ∴该逆命题是真命题； 选项：原命题的逆命题为如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等， ∵互为相反数的两个有理数平方相等，但本身不相等， ∴该逆命题是假命题． 综上，逆命题为真命题的是选项． 故选：． 3．如图，在中，．写出命题“若则”的逆命题，并证明该逆命题． 【答案】逆命题为：在中，，若，则．证明见解析． 【分析】本题考查的是逆命题定义及证明，根据题意交换命题的条件和结论得出逆命题，再证明；延长至点，使，连接，证明是等边三角形，根据等边三角形性质得出结论即可． 【详解】逆命题为：在中，，若，则． 证明：延长至点，使，连接， 则垂直平分． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴是等边三角形． ∴． ∴． 易错必刷题型02.判断互逆命题 题型特征：判断两组命题是否互为互逆命题 易错点：混淆原命题与逆命题的关系，判断标准记不清 4．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 5．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 6．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 易错必刷题型03.HL证明直角三角形全等 题型特征：直角三角形中，用斜边、直角边对应相等证全等 易错点：普通三角形乱用HL，不先标注直角三角形，证明条件写不全 7．在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作法可得到，，，再加上公共边，则可利用“”判断． 【详解】解：由作法可得，，， 则， 在和中 ， ∴． 8．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 9．如图，，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 易错必刷题型04.HL全等形线综合应用 题型特征：先HL证全等，再利用全等性质求边长、角度 易错点：全等证出来后，不会对应边角推导，步骤逻辑混乱 10．将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的中线上 D．边的垂直平分线上 【答案】A 【分析】连接，证明出，得到，即可得到点一定在的平分线上． 【详解】解：如图，连接 根据题意得，， 又∵ ∴ ∴ ∴点一定在的平分线上． 11．如图，，是的高，且.若，则的度数是_____°． 【答案】23 【分析】根据证明可得，由三角形内角和定理可得，再根据直角三角形两锐角互余可求出的度数． 【详解】解：∵，是的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又，且， ∴， ∴， 又， ． 12．如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理： （1）先判断三角形的类型，再寻找全等条件即可； （2）先得到，再用勾股定理求，利用全等判定是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可计算． 【详解】（1）证明：， 与都是直角三角形， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ，， ， 在中， ， 由（1）可知， ， ∴， 又， ． 易错必刷题型05.线段垂直平分线的性质 题型特征：点在垂直平分线上，利用性质求线段长度 易错点：性质和判定互相混淆，不会直接用距离相等解题 13．陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 【答案】C 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可得答案． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． ∴观景台应建在三条边的垂直平分线的交点处． 14．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长为______． 【答案】 【分析】连接，由垂直平分线性质可得，所以，然后求出，最后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交．点，连接． (1)若的周长为，线段的长为_____； (2)判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)点O在的垂直平分线上，理由见详解 (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得出，，求出； （2）根据垂直平分线的性质得出，，推出，即可证明点O在的垂直平分线上； （3）根据三角形内角和得出，根据等腰三角形的性质得出，，根据求出结果即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴； （2）解：点O在的垂直平分线上， 理由：∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上； （3）解：∵， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴ ∴． 易错必刷题型06.线段垂直平分线的判定 题型特征：已知线段两端距离相等，判断点的位置 易错点：忽略必须是线段，随便判定点在垂直平分线上 16．如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 【答案】A 【分析】根据题意可得饮水点到的三个顶点的距离相等，则饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 【详解】解：∵要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，即饮水点到的三个顶点的距离相等， ∴该饮水点应建在三边的垂直平分线的交点处． 17．如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，等面积法求三角形的高，推导出的最小值即为中边上的高是解题的关键． 先根据垂直平分线的判定与性质可得，再根据垂线段最短得出的最小值即为中边上的高，利用勾股定理计算出，即可得到的长，再运用等面积法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当、、三点共线，且时，的值最小，最小值为， ∵在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 18．如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为4 【分析】（1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形得，再证明可得到解答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， 点、点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 易错必刷题型07.角平分线的性质 题型特征：角平分线上的点，到角两边垂线段长度相等 易错点：把斜线段当成距离，不用垂线段，乱用性质 19．如图，射线是的角平分线，，，若，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，由的长度即可得出的长度． 【详解】∵ 是的角平分线，，， ∴ (角平分线上的点到角两边的距离相等)， ∵ ， ∴ ． 20．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，先求出，再求出，然后根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，，的面积为， ∴，即， ∴， ∵平分，且，， ∴， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，的长度最小，最小值为． 21．如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质可得，进一步可证，得到，即可求解； （2）证得，结合可得即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 易错必刷题型08.角平分线的判定 题型特征：点到角两边垂距相等，判定是否在角平分线上 易错点：不看垂直距离，直接判定在角平分线上 22．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角平分线的判定定理可得平分，再计算角度． 【详解】解：于点，于点，且， 平分， ， ． 23．如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的值是________． 【答案】/140度 【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质．连接，过作，利用角平分线的判定得到平分，利用角平分线性质及三角形内角和定理得出相应角度，进而求得；再根据折叠可知，得出，，由等腰三角形性质结合三角形的外角性质即可得到答案． 【详解】解：连接，过作，如图所示： ∵平分，平分， ， ∴平分， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ， ∴， ∴， ∵将纸片沿折叠，点A落在点处， ∴，， ∴，， ∴， 是的一个外角，是的一个外角， ∴， 故答案为：． 24．如图，在中，，于点，是上一点，连接与相交于点，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）证明，即可知，根据等腰三角形三线合一即可求解； （2）根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ． 在和中， ∴, 垂直平分； （2）， ． 又，， 即，， 平分． 易错必刷题型09.角平分线性质的实际应用 题型特征：生活场景中，利用角平分线性质找相等距离点 易错点：不会转化实际场景，找不到角平分线模型 25．如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 【答案】4 【分析】本题考查角平分线的性质．角的平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可得到答案． 【详解】解：如图， 三角形内角平分线的交点D，和外角平分线的三个交点A、B、C，共4处可供选择． 故答案为：4． 26．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF=3cm，再由，即可求解． 【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F， ∵和的角平分线交于点O，， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=3cm， ∵的周长是， ∴AB+BC+AC=36cm， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离是解题的关键． 27．如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 【答案】(1)证明见解析 (2)为等边三角形，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质和角平分线的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． （3）过点分别作于点，于点，由全等三角形对应边上的高相等得，根据角平分线的性质证明平分． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． （2）解：为等边三角形，理由如下： 由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． （3）证明：过点分别作于点，于点， 由（1）知，根据全等三角形的性质，全等三角形对应边上的高相等， ∴， ∵，，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 易错必刷题型10.命题真假判断 题型特征：直接判断给出命题是真命题还是假命题 易错点：凭主观感觉判断，抓不住命题关键条件 28．下列命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．同位角相等 D．直角三角形的两锐角互余 【答案】D 【分析】根据平行线的性质、对顶角的定义、直角三角形的内角性质，逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，不一定相等，原命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，不符合题意； D、直角三角形的两锐角互余，原命题是真命题，符合题意； 29．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 【答案】C 【分析】先将各选项原命题的条件和结论互换得到逆命题，再逐一判断逆命题的真假即可得到答案. 【详解】A、原命题：全等三角形的对应角相等， 逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形． ∵对应角相等的三角形不一定全等（可能只是相似），∴逆命题是假命题，不符合题意． B、原命题：三角形的中位线平行于第三条边， 逆命题是平行于三角形第三条边的线段是三角形的中位线． ∵该线段需要同时满足端点平分三角形另两条边才是中位线，∴逆命题是假命题，不符合题意． C、原命题：直角三角形的两锐角互余， 逆命题是两锐角互余的三角形是直角三角形． ∵三角形内角和为，两锐角互余即两锐角和为，则第三个角为， ∴该三角形是直角三角形，逆命题是真命题，符合题意． D、原命题：等边三角形是等腰三角形， 逆命题是等腰三角形是等边三角形． ∵等腰三角形只有两条边相等，不一定是等边三角形，∴逆命题是假命题，不符合题意． 选C． 30．下列命题中，逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．面积相等的两个三角形全等 C．对顶角相等 D．如果，那么 【答案】B 【分析】先根据逆命题的定义写出各选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，即可得到答案． 【详解】解：A选项：原命题：若，则， 逆命题为：若，则， 当，时，成立，但， 该逆命题是假命题， 故A选项不符合题意； B选项：原命题：面积相等的两个三角形全等， 逆命题为：全等的两个三角形面积相等， 全等三角形能完全重合， 全等三角形的面积一定相等， 该逆命题是真命题， 故B选项符合题意； C选项：原命题：对顶角相等， 逆命题为：相等的角是对顶角， 两直线平行时内错角相等，但内错角不是对顶角， 该逆命题是假命题， 故C选项不符合题意； D选项：原命题：若，则， 逆命题为：若，则， 当，时，成立，但， 该逆命题是假命题， 故D选项不符合题意． 易错必刷题型11.举反例证假命题 题型特征：举出一个例子，证明命题是错误假命题 易错点：举的例子不符合题意，反例举得不到位 31．要说明命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可以举反例为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了举反例说明命题为假命题，逆命题为“如果，那么”，举反例时，但． 【详解】解：原命题的逆命题是“如果，那么”．当时，，但，所以逆命题是假命题． 故答案为：． 32．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的的值可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．反例中的满足，使，据此求解即可． 【详解】解：当时，满足，但， 所以判断命题“如果，那么”是假命题，举出． 故答案为：（答案不唯一）． 33．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、当，时， ，， 不满足条件，结论也不成立，不能作为反例，不合题意； B、当，时， ，， 满足条件但结论不成立，能作为反例，符合题意； C、当，时， ，又， 不满足条件，但结论成立，不能作为反例，不合题意； D、当，时， ∵，又， 满足条件，结论也成立，不能作为反例，不合题意． 易错必刷题型12.垂直平分线与等腰三角形综合 题型特征：结合垂直平分线、等腰三角形一起求边求角 易错点：两个知识点结合不会串联，做题思路断裂 34．如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，直线上与已知两点组成等腰三角形的点． 根据等腰三角形的定义，结合线段垂直平分线的性质，分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】解：为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， 以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 作的垂直平分线，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 35．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边对等角得，由垂直平分线的性质可得，然后通过三角形内角和定理求得，最后通过直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的垂直平分线交于点，交于点， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．如图，在中，于点，且点为线段的中点． (1)若，则的度数为 ； (2)求证：； (3)已知，，求线段的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先得到垂直平分，则，再由等边三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可； （2）根据等腰三角形三线合一证明即可； （3）根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵，点为线段的中点 ∴， ∴ ∴； （2）证明：∵， ∴平分，即； （3）解：∵，，， ∴， ∴． 易错必刷题型13.角平分线与平行线综合 题型特征：角平分线加平行线，推导等腰三角形求角度边长 易错点：看不出隐含等腰三角形，模型识别不出来 37．如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，若的周长为14，则的周长是________． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据角平分线的性质得到、，根据平行线的性质得到、，进而得到、，根据的周长为14，得到，进而得到的周长． 【详解】解：和的平分线相交于点D， 、， ， 、， 、， 、， 的周长为14， ， ， ， ， 的周长为， 故答案为：21． 38．如图，，，于点C．若，则的长为（    ）． A．12 B．10 C．6 D．8 【答案】C 【分析】作于H，根据角平分线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，再根据平行线的性质和等腰三角形的判定解答即可． 【详解】解：作于H． ∵，，， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴． ∴． 39．如图，在中，是BC上一点，且，连接交的平分线于点，过点作，分别交，于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由等边对等角，结合，证出，得，由平分，结合，证出，得，即可证出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 易错必刷题型14.角平分线与全等三角形综合 题型特征：结合角平分线条件，搭配全等一起做几何证明 易错点：条件不会结合套用，证明步骤跳步、缺步骤 40．如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为______． 【答案】7 【分析】本题主要考查角平分线的性质．此题由两角相等可以确定是角的平分线，利用角平分线的性质即可得解． 【详解】解：∵， ∴是的平分线， 又∵于点，于点． ∴， ∵， ∴， 故答案为：7． 41．如图，中，，平分，于，的垂直平分线交于点，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，先通过勾股定理求出，再由角平分线性质可得，从而得，所以，又垂直平分，所以，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴． 42．证明命题：在三角形中，如果某个角的平分线与这个角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．学习小组通过作垂线以及证明全等的思路得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明： (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：在中，平分交于点，是的中点，于点，于点．求证：是等腰三角形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据作垂线步骤，过点D作的垂线即可． （2）由垂线的定义得出，由角平分线的性质定理得出，由线段中点的定义得出，证明，由全等三角形的性质得出，由等角对等边得出． 【详解】（1）解：过点D作的垂线如下图： （2）证明：∵于点E，于点F， ∴． 又平分， ∴． 又∵D是的中点， ∴． ∴． ∴，即． ∴， ∴是等腰三角形． 易错必刷题型15.角平分线与内角和角度计算 题型特征：多个角平分线结合，利用内角和求角度大小 易错点：角度推导混乱，加减计算粗心，角度关系理不清 43．如图，在中，平分， 平分交于点O，，若，，则 ________ ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，关键是三角形内角和定理的应用． 根据三角形内角和定理，可得，从而得到，再由三角形外角的性质求得的度数，再利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 44．如图，分别是的高和角平分线，若，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 45．如图，是的高，是的角平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】由高线可得，再由三角形的内角和可求得，从而可求得，由角平分线的定义可求得，则可根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：是的高线， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 易错必刷题型16直角三角形全等综合判定 题型特征：多种方法辨析，综合判定直角三角形全等 易错点：混淆SSS、SAS、AAS、HL用法，判定定理乱用 46．如图，在中，，于点D，点F在线段AD上，连接BF，，点E在BF上，连接DE，． (1)求证：； (2)若，，求EF的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）证明是等腰直角三角形，求得，再利用证明即可推出； （2）先求得，证明是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在与中，，， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 47．如图，在中，，，，是边上的两点，并且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由线段的和差等量代换证明，从而证明； （2）根据含角直角三角形的性质可得BE的长，证明是等边三角形，可得，从而根据线段的和差关系，依次求得、的长． 【详解】（1）证明：，， ， ， ，即， ，， ． （2）解：，，， ，， 是等边三角形， ， ， ． 48．如图，在中，，，，点在边上，，点在边上，点在直线上，连接，，． (1)求的长； (2)若，，求的长； (3)若，且是等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得，根据勾股定理可得，根据，即可求解； （2）分类讨论，分别当在点的左侧时，过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理表示出，根据建立方程，解方程，即可求解，当在点的右侧时，结合图形，同理可求； （3）分类讨论，分别设，，，分别画出图形，构造直角三角形，结合勾股定理构造方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴ （2）解：如图，当在点的左侧时，过点作于点， 设，则， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， 在中， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 当在点的右侧时，如图 设，则， ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴， 在中， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 综上所述，或 ； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， 设，则 ∴， 在中，， ∵是等腰三角形 ∴ 在中， ∴ ∴ 解得：，即 当时，如图，过点作于点， ∴， 又∵ ∴， ∴ 在中， ∴， 设，则 ∴， ∵ ∴， ∴ 解得：，即； 当时，如图， 在中，，， ∵ ∴ 解得：（负值舍去） 综上所述，或或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03直角三角形.垂直平分线与角平分线易错必刷专练 本专题汇总直角三角形.垂直平分线与角平分线章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.写出命题的逆命题 题型02.判断互逆命题 题型03.HL证明直角三角形全等 题型04.HL全等形线综合应用 题型05.线段垂直平分线的性质 题型06.线段垂直平分线的判定 题型07.角平分线的性质 题型08.角平分线的判定 题型09.角平分线性质的实际应用 题型10.命题真假判断 题型11.举反例证假命题 题型12.垂直平分线与等腰三角形综合 题型13.角平分线与平行线综合 题型14.角平分线与全等三角形综合 题型15.角平分线与内角和角度计算 题型16直角三角形全等综合判定 易错必刷题型01.写出命题的逆命题 题型特征：给出原命题，要求互换条件与结论写出逆命题 易错点：分不清命题的条件和结论，改写语句语序混乱，丢字漏字 1．命题“若，那么”的逆命题是______． 2．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．全等三角形的对应角相等 B．对顶角相等 C．等边三角形的三个内角都等于 D．如果两个有理数相等，那么它们的平方相等 3．如图，在中，．写出命题“若则”的逆命题，并证明该逆命题． 易错必刷题型02.判断互逆命题 题型特征：判断两组命题是否互为互逆命题 易错点：混淆原命题与逆命题的关系，判断标准记不清 4．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 5．下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 6．（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 易错必刷题型03.HL证明直角三角形全等 题型特征：直角三角形中，用斜边、直角边对应相等证全等 易错点：普通三角形乱用HL，不先标注直角三角形，证明条件写不全 7．在数学活动课上，老师用三角尺演示角平分线的作法如图：在的两边上分别取点、，使；再分别过点，作，的垂线，交点为，连接．通过证明得到平分，则证明最直接的依据是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 9．如图，，E是上的一点，且，，求证：． 易错必刷题型04.HL全等形线综合应用 题型特征：先HL证全等，再利用全等性质求边长、角度 易错点：全等证出来后，不会对应边角推导，步骤逻辑混乱 10．将两个大小完全一样的直角三角尺按如图所示的方式摆放在中，它们的顶点重合于点，则点一定在（    ） A．的平分线上 B．边的高线上 C．边的中线上 D．边的垂直平分线上 11．如图，，是的高，且.若，则的度数是_____°． 12．如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错必刷题型05.线段垂直平分线的性质 题型特征：点在垂直平分线上，利用性质求线段长度 易错点：性质和判定互相混淆，不会直接用距离相等解题 13．陕西省某景区规划在一片三角形草坪上修建一座以兵马俑为主题的观景台，如图所示，要求观景台到三角形草坪三个顶点的距离相等，则观景台应建在（   ） A．三条高线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条边的垂直平分线的交点处 D．三条角平分线的交点处 14．如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，若，则的长为______． 15．如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交．点，连接． (1)若的周长为，线段的长为_____； (2)判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由； (3)若，求的度数． 易错必刷题型06.线段垂直平分线的判定 题型特征：已知线段两端距离相等，判断点的位置 易错点：忽略必须是线段，随便判定点在垂直平分线上 16．如图，三个社区分别坐落在，，所在位置，现要规划一个饮水点，使得该饮水点到三个社区的距离相等，该饮水点应建在（　　） A．三边的垂直平分线的交点处 B．的三条高线的交点处 C．的三条角平分线的交点处 D．的三条中线的交点处 17．如图，在中，，点为边上的定点，，，，，是线段上的动点，交于点，则的最小值是______． 18．如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 易错必刷题型07.角平分线的性质 题型特征：角平分线上的点，到角两边垂线段长度相等 易错点：把斜线段当成距离，不用垂线段，乱用性质 19．如图，射线是的角平分线，，，若，则的长度为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 20．如图，平分，在上取一点P，作，已知，的面积为，点是射线上一动点．则长度的最小值为_________． 21．如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错必刷题型08.角平分线的判定 题型特征：点到角两边垂距相等，判定是否在角平分线上 易错点：不看垂直距离，直接判定在角平分线上 22．如图，，点是内一点，于点，于点，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 23．如图，将纸片沿折叠，点A落在点处，恰好满足平分，平分，若，则的值是________． 24．如图，在中，，于点，是上一点，连接与相交于点，连接，，且． (1)求证：垂直平分； (2)若，求证：平分． 易错必刷题型09.角平分线性质的实际应用 题型特征：生活场景中，利用角平分线性质找相等距离点 易错点：不会转化实际场景，找不到角平分线模型 25．如图，为了促进当地旅游发展，某地区要修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，这个度假村的选址有________处可供选择． 26．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 27．如图，和都是等边三角形，且点在一条直线上，连接和，交、于点．和相交于点，连接． (1)求证：． (2)连接，请判断的形状，并说明理由． (3)求证：平分 易错必刷题型10.命题真假判断 题型特征：直接判断给出命题是真命题还是假命题 易错点：凭主观感觉判断，抓不住命题关键条件 28．下列命题是真命题的是（    ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．相等的角是对顶角 C．同位角相等 D．直角三角形的两锐角互余 29．下列命题中，逆命题是真命题的是（ ） A．全等三角形的对应角相等 B．三角形的中位线平行于第三条边 C．直角三角形的两锐角互余 D．等边三角形是等腰三角形 30．下列命题中，逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．面积相等的两个三角形全等 C．对顶角相等 D．如果，那么 易错必刷题型11.举反例证假命题 题型特征：举出一个例子，证明命题是错误假命题 易错点：举的例子不符合题意，反例举得不到位 31．要说明命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可以举反例为______． 32．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举一个反例，反例中的的值可以是__________． 33．下列选项中，可以用来证明命题“若，则”假命题的反例是（   ） A． B． C． D． 易错必刷题型12.垂直平分线与等腰三角形综合 题型特征：结合垂直平分线、等腰三角形一起求边求角 易错点：两个知识点结合不会串联，做题思路断裂 34．如图，点在直线上，点在直线外．若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有___个． 35．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，且，若，则的长是（ ） A． B． C． D． 36．如图，在中，于点，且点为线段的中点． (1)若，则的度数为 ； (2)求证：； (3)已知，，求线段的长度． 易错必刷题型13.角平分线与平行线综合 题型特征：角平分线加平行线，推导等腰三角形求角度边长 易错点：看不出隐含等腰三角形，模型识别不出来 37．如图，在中，，和的平分线相交于点D，过点D作的平行线交于点E，交于点F，若的周长为14，则的周长是________． 38．如图，，，于点C．若，则的长为（    ）． A．12 B．10 C．6 D．8 39．如图，在中，是BC上一点，且，连接交的平分线于点，过点作，分别交，于点，．求证：． 易错必刷题型14.角平分线与全等三角形综合 题型特征：结合角平分线条件，搭配全等一起做几何证明 易错点：条件不会结合套用，证明步骤跳步、缺步骤 40．如图，，点在上，于点，于点．若，则的长为______． 41．如图，中，，平分，于，的垂直平分线交于点，已知，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 42．证明命题：在三角形中，如果某个角的平分线与这个角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形．学习小组通过作垂线以及证明全等的思路得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和证明： (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：在中，平分交于点，是的中点，于点，于点．求证：是等腰三角形． 易错必刷题型15.角平分线与内角和角度计算 题型特征：多个角平分线结合，利用内角和求角度大小 易错点：角度推导混乱，加减计算粗心，角度关系理不清 43．如图，在中，平分， 平分交于点O，，若，，则 ________ ． 44．如图，分别是的高和角平分线，若，，则___________． 45．如图，是的高，是的角平分线，，求的度数． 易错必刷题型16直角三角形全等综合判定 题型特征：多种方法辨析，综合判定直角三角形全等 易错点：混淆SSS、SAS、AAS、HL用法，判定定理乱用 46．如图，在中，，于点D，点F在线段AD上，连接BF，，点E在BF上，连接DE，． (1)求证：； (2)若，，求EF的长． 47．如图，在中，，，，是边上的两点，并且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 48．如图，在中，，，，点在边上，，点在边上，点在直线上，连接，，． (1)求的长； (2)若，，求的长； (3)若，且是等腰三角形，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $