02 几何专练(一)与等腰、直角三角形性质、判定有关的证明或计算（提分小卷）-【精英新课堂·三点分层作业】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

提分小卷 阶段小测（一） 1.C2.C3.C4.C5.C6.B7.三角形中至少有两个钝角8.60°9.102 10.16 11.解：：∠BAC=100°，∠B=40°，∴.∠ACB=180°-∠BAC-∠B=40°=∠B.∴AC =AB=3.∠D=20°，.∠CAD=∠ACB-∠D=20°=∠D.,∴.CD=AC=3. 12.证明：∠ABC-∠ACB,AB=AC:AD-号AB,AE=号AC,AD=AE在 AD-AE, △ACD和△ABE中，∠A=∠A,∴.△ACD≌△ABE(SAS).∴.CD=BE. AC=AB, 13.(1)解：：AB=AC,AD⊥BC,∴.∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°.∴.∠BAD= ∠CAD=90°-∠C=48°.(2)证明：，EF∥AC,∴.∠F=∠CAD.:∠BAD=∠CAD, ∴∠BAD=∠F.∴.AE=EF. 14.(1)解：△CDE是等边三角形.理由如下：：△ABC是等边三角形，∴.AC=BC= AB.ZC-60BDLAC.AELBC.CD-AC.CE-BC..CD-CE.CDE 是等边三角形.(2)证明：：△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°.：BD⊥ AC,AELBC,∴∠OAB=∠BAC=30,∠AB0=∠OBE=号∠ABC=30,∠OEB =90°.∠OAB=∠ABO,OB=2OE.∴.OA=OB..OA=2OE. 15.(1)证明：：AB=AC,.∠ABC=∠ACB.,∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACB= ∠BCD+∠ACD,∠BCD=∠A,∴∠BDC=∠ACB.∴∠ABC=∠BDC.∴.CD=BC. (2)证明：，BE⊥AC,.∠BEC=90°.∠ACB=90°-∠CBE..∠ABC=∠BDC= 90°-∠CBE.∴.∠BCD=180°-∠BDC-∠ABC=180°-(90°-∠CBE)-(90° ∠CBE)=2∠CBE.(3)解：∠A的度数是45°或36°.【点拨】设∠CBE=a,则∠A= ∠BCD=2a,∠BDC=∠ACB=90°-a,.∠DBF=90°-∠A=90°-2a,∠BFD= ∠CBE+∠BCD=3a.分三种情况讨论：①BD=BF;②BD=DF;③BF=DF. 几何专练（一）与等腰、直角三角形性质、判定有关的证明或计算 1.解：AB=AD,∠ADB=∠B=2(180°-∠BAD)=80.AD=CD,∠C= ∠CAD=号∠ADB=40. 2.解：△ABC是等边三角形，.AB=AC,∠BAC=60°.AD⊥BC,∴∠CAD= 合∠BAC-30.:AD=AC,∠ACD=∠ADC-2(180-∠CAD)=75.∠E- 180°-∠BAC-∠ACD=45. 3.证明：CELAD,∠CED=90°..∠C+∠D=90°.∠A=∠C,∠A十∠D= 90°..△ABD是直角三角形. 4.证明：BH=CH,.∠CBH=∠BCH.,CF⊥AB,BE⊥AC,∴.∠BFC=∠BEC= 90°..∠ABC+∠BCH=90°，∠ACB+∠CBH=90°.∠ABC=∠ACB.∴AB=AC. ∠A=60°，∴.△ABC为等边三角形. 5.解：在△ABD中，AD=AB=2√2，∠BAD=90°，.BD=√AB+AD=4.CD =4√3，BC=8,BD2十CD2=64=BC.∴∠BDC=90°.∴.S四边形ABCD=SAABD十S△cD =号AB·AD+2CD·BD=号×22X2E+合X4V5X4=4+8E. 6.(1)证明：'∠BAC=∠DAE=90°，.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即 ∠BAD=∠CAE.AB=AC,AD=AE,∴.△ABD≌△ACE(SAS).(2)解：：∠BAC= 90°，AB=AC=1,∴BC=√AB2+AC=√2，∠B=∠ACB=45.∠BAD=22.5°， ∠ADC=∠B+∠BAD=67.5°，∠CAD=∠BAC-∠BAD=67.5°..∠ADC= /CAD...CD=AC=1..BD=BC-CD=2-1. -49 7.(1)解：，△ABC是等边三角形，.AC=BC,∠A=∠ACB=60°.，D是AC的中点， CD=AD=ACCE=合BC,CD=CE.∠E=∠CDE.:∠ACB=∠E+ ∠CDE,∴.∠E=∠CDE=30°..∠ADF=∠CDE=30.∴.∠AFD=180°-∠A- ∠ADF=90°.AF=3,.AD=2AF=6.(2)证明：连接BD.△ABC是等边三角形， D是AC的中点，∠ABC=60,BD平分∠ABC∠ABD=∠DBC=7∠ABC= 30°.由(1)知∠BFD=90°，∠E=30°，∴.BD=2DF.·∠DBC=∠E=30°，.DE=BD =2DF. &.I证明：AD=DE,∠DAE=∠DEA=号(180°-∠D)=72.:AD∥BC, .∠C=∠DAE=72°，∠EBC=∠D=36°.，BE平分∠ABC,∴.∠ABC=2∠EBC= 72°.∠ABC=∠C.∴.AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.(2)解：由(1)可知∠ABC= ∠C=∠DAE=∠DEA=72°，∴.∠BAC=180°-∠ABC-∠C=36°.：∠DEA= ∠BEC,∠BEC=∠C.∴BE=BC=V5-1.:BE平分∠ABC,·∠ABE=分∠ABC =36°..∠BAC=∠ABE=∠D..AE=BE=√5-1，AB=AD=2..AC=AB=2. .CE=AC-AE=2-(W5-1)=3-√5. 几何专练（二）与线段的垂直平分线、角平分线有关的证明或计算 1.证明：：∠PAB=∠PBA,∴.PA=PB.PA⊥OM,PB⊥ON,∴.点P在∠MON的 平分线上..OP平分∠MON. 2.证明：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC,DE=DF.又：AD=AD, ∴.Rt△AED≌Rt△AFD(HL).∴.AE=AF. 3.解：由题意知EF垂直平分线段AB,∴AD=BD.,∠C=90°，BC=4,AB=5,∴.AC =√AB-BC=3.∴.△ACD的周长为AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC =7. 4,解：I):AB=AC,∠ABC=∠C=合(180°-∠A)=72.:DE垂直平分AB, .AD=BD.∠ABD=∠A=36°.∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=36°.(2)由(1)知AD =BD,∠DBC=36°，∠C=72°.∴∠BDC=180°-∠C-∠DBC=72°.∠C=∠BDC. .BC=BD...AD=BC=4. 5.解：BE平分∠ABC,∠ABE=∠CBE.DE垂直平分AB,BE=AE.∠A =∠ABE=∠CBE.∠C=90°，.∠A+∠ABC=∠A+∠ABE+∠CBE=90°. ·∠A=∠ABE=∠CBE=30°.∴CE=2BE.设AE=BE=x,则CE=AC-AE= 9-x.9-x=2x,解得x=6.六AE=6. 6.(1)证明：：P为∠CBM,∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC, .PD=PE,PD=PF..PE=PF.(2)解：连接AP.:四边形ABPC的面积为20， ∴SAa+SAAn=20.∴号AB·PE+专AC·PF=20.由1)知PE=PF=PD=4, 7×4AB+2×4AC=20.∴AB+AC=10. 7.解：(I)DE垂直平分AB,AD=7AB=2,∠ADP=90.:AP平分∠BAC, ∴∠PAD=2∠BAC-45.∠DPA=90°-∠PAD=45°=∠PAD.∴PD=AD=2. (2)过点P作PF⊥AC于点F.·AP平分∠BAC,PD⊥AB,PF⊥AC,.PF=PD=2, ∠PAF=7∠BAC=45°.∠APF=90°-∠PAF=45=∠PAF.·AF=PF=2. ∴.CF=AC-AF=1.在Rt△PFC中，PC=√PF+CF=√5. 8.(I)证明：连接PB,PC.PE垂直平分AB,PM垂直平分AC,PA=PB,PA= PC.∴PB=PC.∴点P在线段BC的垂直平分线上.(2)证明：由(1)知PB=PC -50 ∴∠PBF=∠PCN.PE垂直平分AB,PA=PB,AF=BF.∠PAB=∠PBA, ∠FAB=∠FBA.∴.∠PAB-∠FAB=∠PBA-∠FBA,即∠PAF=∠PBF.同理可 得∠PAN=∠PCN.∠PAF=∠PAN.∴AP平分∠FAN.(3)解：90-a 阶段小测（二） 1.B2.B3.A4.C5.C6.D7.BC=FE(答案不唯一)8.49.90°10.9.6 11.解：AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°，∴CD=DE=1.6..BD=BC-CD= 2.4.在Rt△BDE中，BE=√BD-DE=4Y5 5 12.证明：AB=AC,∠BAC=120°，AD是BC边上的中线，∠DAC=号∠BAC= 60°，AD⊥BC.∴∠ADC=90°.∠C=90°-∠DAC=30°.：EF垂直平分CD,∴.DE =CE..∠EDC=∠C=30°.∴.∠AED=∠EDC+∠C=60°，∠ADE=∠ADC ∠EDC=60°.∴.△ADE是等边三角形. 13.解：(1)如图所示. D (2):AC=6,BC=8,∠C=90°，∴.AB=√AC+BC=10.由作图可知AC=AD, ∠CAF=∠DAF.:AF=AF,△ACF≌△ADF(SAS)..CF=DF,∠ADF=∠C= 90°，AD=AC=6.·∠BDF=90°，BD=AB-AD=4.设DF=CF=x,则BF=8-x. 在Rt△BDF中，BD2十DF2=BF2,∴.42十x2=(8-x)2,解得x=3.∴DF=3.∴.S△ABF =2AB.DF=3×10X3=15. 14.(1)证明：DE⊥AB,DF⊥AC,.∠E=∠DFC=90°.在Rt△BDE和Rt△CDF BD=CD, 中，BE=CF, .Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)..DE=DF.∴AD平分∠BAC.(2)解： AB+AC=2AE.理由如下：AD平分∠BAC,∴.∠EAD=∠CAD.由(1)知∠E= ∠AFD=90°.又AD=AD,.△AED≌△AFD(AAS)..AE=AF..AB+AC=AE -BE+AF+CF=2AE. 易错章测（一） 1.D【易错点拨】无图时应画出草图，避免弄错斜边和直角边 2.A3.A4.B5.A 6.D【易错点拨】由尺规作图痕迹判断线段或角的关系时理解不清而致错. 7.真 8.CF=BE(答案不唯一)【易错点拨】对判定直角三角形全等的条件理解不清而 致错。 9.名 10.2【易错点拨】不能根据角平分线的性质正确作出辅助线而致错。 1,证明：△ABC是等边三角形，AB=AC,∠A=60,:CDLAB,AD=之AB. :E为AC的中点，AE=号AC.AD=AE.:△ADE是等边三角形， 12.(1)证明：∠A=75°，∠C=35°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=70°.：BD平分 ∠ABC,∠DBC=号∠ABC=35.∠DBC=∠C.DB=DC△BCD为等腰三 角形.(2)解：.∠C十∠CDE=90°，.∠DEC=90°，即DE⊥BC.DB=DC,.E为 BC的中点..BC=2CE=20. 13.(I)证明：：AD平分∠CAB,∠C=90°，DE⊥AB,.CD=ED,∠CAD=∠EAD.在 RAACD和R△AED中，(AD=AD:RIAACDS≌R△AED(H.:AC=AE. CD=ED, -51几何专练（一）与等腰、直角三角形性质、判定有关的证明或计算 (时间：40分钟满分：60分) 1.(6分)如图，在△ABC中，AB=AD=4.(8分)如图，BE和CF是△ABC的高，H CD,∠BAD=20°，求∠C的度数. 是BE和CF的交点，且BH=CH,∠A= 60°，求证：△ABC为等边三角形 2.(6分)如图，在等边三角形ABC中，AD⊥ BC,AD=AC,连接CD并延长，交AB的 延长线于点E,求∠E的度数. 5.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB= AD=2√2，∠BAD=90°，CD=4√3， BC=8,求四边形ABCD的面积. D 3.(6分)如图，CE⊥AD,垂足为E,∠A= ∠C.求证：△ABD是直角三角形 ·3· 6.(8分)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°， (2)求证：DE=2DF. AB=AC=1,D是边BC上的一点，以AD 为直角边作等腰直角三角形ADE,其中 ∠DAE=90°，连接CE. (1)求证：△ABD≌△ACE: (2)若∠BAD=22.5°，求BD的长， 8.(10分)如图，在△ABC中，BE平分 ∠ABC,交AC于点E,过点A作AD∥ BC,交BE的延长线于点D,且AD= DE,∠D=36°. (1)求证：△ABC是等腰三角形； (2)若AD=2,BC=√5-1，求CE的长. B 7.(8分)如图，△ABC是等边三角形，延长 BC到点E,使CE=BC,D是AC的中 点，连接ED并延长，交AB于点F. (1)若AF=3,求AD的长；