《10.5分式方程》同步练习题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 分层梯度清晰，从概念辨析到实际应用，覆盖分式方程全知识点，适配新授课基础巩固与能力提升，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|分式方程定义、基本解法|单选1（概念辨析）、填空8（去分母），夯实概念理解与运算基础| |中档|解的检验、含参问题|单选4（解的非负性）、解答17（含参无解），强化逻辑推理与分类讨论| |提高|实际应用与综合探究|解答20（劳动基地面积问题），融合生活情境，提升模型意识与问题解决能力|

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《10.5分式方程》同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列方程中，是分式方程的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①③ C．②③ D．①②③④ 2．若分式与分式的和为1，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 4．已知关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 5．一个不透明的袋子中装有2个黑球和N个红球，这些球除颜色外其他都相同．摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了2000次球，发现有1600次摸到红球，则N的值是（   ） A．8 B．6 C．5 D．2 6．花江峡谷大桥是贵州交通的重要枢纽，全长约2890米．甲、乙两支施工队分别从大桥两端同时相向施工，甲队的施工效率是乙队的2倍，两队合作100天可完成大桥主体工程．设乙队每天施工米，下列分式方程中能正确表示题意的是（   ） A． B． C． D． 7．《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．”某同学对该问题改编如下：每头牛比每只羊贵1两，用20两买牛，15两买羊，买得的牛、羊数量相等，则每头牛的价格为多少两？若设每头牛的价格为x两，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．解分式方程时，去分母后可得到_____ ． 9．已知关于的方程的解为0，则的值为______． 10．已知点和点关于原点对称，则的值为_____． 11．若关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是________． 12．若关于x的分式方程有正整数解，则整数m为________． 13．某水果店计划购进两种热销的水果．下面是该店店员小李与小文的对话： 小李：水果的进价比水果的进价每件贵元． 小文：花费元购进水果的数量比花费元购进水果数量少． 若设水果的进价为元，则所列方程为_______________． 14．某校组织八年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为_____． 三、解答题 15．解方程： (1)； (2)． 16．对于两个不为0的数m，n，我们规定“*”运算：．请解方程：． 17．已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若该方程无解，求实数的值． 18．“给垃圾一个分类的归宿，还我们一个清洁的世界”，柘城县某小区积极响应号召，准备购买两种类型的分类垃圾桶，在市场上了解到种类型的垃圾桶比种类型的垃圾桶贵元，用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同．求购买一个种类型的垃圾桶和购买一个种类型的垃圾桶各需要多少元？ 19．“人间烟火味，最抚凡人心”，玉溪城区、夜市、景区的个体商户是市民就业增收的重要渠道某商户购进了玉溪花腰傣文创玩具和澄江化石文创玩具两种特色文创产品，已知用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的倍．求两种文创玩具的单价各是多少元？ 根据以上信息，解答下列问题： (1)甲同学：设澄江化石文创玩具的单价为元，可列方程为______________； 乙同学：设花腰傣文创玩具的数量为个，可列方程为______________． (2)请帮助甲同学完成剩下的解题过程． 20．某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为am，其中． (1)去年实践基地收获500kg蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为am的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜300kg，B类蔬菜200kg．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加16m，宽增加am，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数a的值． 参考答案 1．A 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义是分母中含有未知数的方程，据此逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解： ∵方程① 的分母含有未知数， ∴ ①是分式方程； ∵ 方程② 的分母是常数， ∴ ②不是分式方程； ∵ 方程③ 的分母 都是常数， ∴ ③不是分式方程； ∵ 方程④ 的分母含有未知数， ∴ ④是分式方程． ∴ 是分式方程的是①④， 故选：A． 2．A 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据题意可得方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：∵分式与分式的和为1， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 检验，当，， ∴是原方程的解，且符合题意， 故选：A． 3．B 【分析】此题考查了分式方程的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 分式方程去分母化为整式方程，表示出方程的解，列方程即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 即可得， 解得 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，同时考虑解的非负性和分母不为零的限制条件是解题的关键． 解分式方程，得到，根据解为非负数和分母不为零的条件，得到且． 【详解】解：解方程， 去分母，得， 整理得， ∴(其中)， ∵方程的解为非负数， ∴，即， ∴，解得， ∵分母， ∴，即，解得， ∴且． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了频率估计概率及分式方程的求解，通过频率估计概率，摸到红球的频率为，因此概率约为0.8，据此列方程求解． 【详解】解：∵共摸了2000次球，有1600次摸到红球， ∴摸到红球的频率为， ∵袋子中有2个黑球和N个红球， ∴摸到红球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是方程的解， 故选：A． 6．C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到相应的等量关系是解决问题的关键，注意工作时间=工作总量÷工作效率． 乙队每天施工米，甲队每天施工米，两队合作每天施工米，合作100天完成2890米，由此列方程即可． 【详解】解：设乙队每天施工米，则甲队每天施工米． 依题意得：． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查分式方程的应用，正确理解题意，利用价格关系表示数量是解题关键； 根据买得的牛和羊数量相等这一等量关系列方程即可． 【详解】解：设每头牛的价格为x两，则每只羊的价格为两， 用20两买牛，牛的数量为头， 用15两买羊，羊的数量为只， 则， 故选A． 8． 【分析】本题考查了解分式方程，去分母时，方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程转化为整式方程，即可作答． 【详解】解：∵方程， ∴最简公分母为， 则两边同时乘以，得， 故答案为：． 9． 【分析】本题考查了分式方程的解，熟知分式方程的解即为能使分式方程成立的未知数的值是解本题的关键． 将方程的解代入原方程，得到关于的分式方程，通过解分式方程得到的值，并验证分母不为零． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 故是原方程的解． 故答案为：． 10．3 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解分式方程，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标分别互为相反数．由于点和点的纵坐标已满足互为相反数，因此只需处理横坐标的关系． 【详解】解：设点A的横坐标为 ，点B的横坐标为 ． 由关于原点对称，得 ． 化简得 ． 注意到 ， ． 代入方程得 ． 设 ，则 ． 移项得 ，即 ， 解得 ． ， 得 ， 即 ， 解得． 经检验，当 时，分母 且 ， 故 成立． 故答案为：． 11． 且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求值．再解答时注意分母不能为0的条件．将分式方程化为整式方程，解得，根据解为非正数且分母不为零的条件，确定的取值范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得， 由于解为非正数，即， 所以， 即， 又因为分母且，即且， 当时，，解得，但此时，不符合非正数条件； 当时，，解得，但此时分母，分式无意义， 因此需排除， 故的取值范围是且． 故答案为：且． 12．1或0 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 将分式方程化为整式方程，求解得到x的表达式，根据x为正整数且m为整数，确定m的可能值，并检验分母不为零即可． 【详解】解：原方程可化为， 两边同乘，得：， 整理得：， 解得：． ∵分式方程有正整数解，且m为整数， ∴是2的正因数，即或，解得或． 当时，，代入原方程，分母，，符合题意； 当时，，代入原方程，分母，，符合题意． 故整数m为0或1． 故答案为：0或1． 13． 【分析】本题考查了列分式方程解实际问题的应用，解答时根据条件建立方程是关键．设A水果的进价为x元，则B水果的进价为元．根据购进金额和进价，可求得A和B水果的数量。再根据A水果数量比B水果数量少的关系，列出方程． 【详解】设A水果的进价为x元，则B水果的进价为元． 花费元购进A水果的数量为件，花费元购进B水果的数量为件． 由题意，A水果数量比B水果数量少，即A水果数量是B水果数量的，因此有：． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是理解题意；根据题意，大巴车和小车行驶距离相同，但小车速度更快且晚出发，利用时间关系列方程即可． 【详解】解：设大巴车的平均速度为千米/时，则小车的平均速度为千米/时．大巴车行驶时间为小时，小车行驶时间为小时．老师晚出发10分钟，即小时，由于同时到达，因此大巴车行驶时间等于小车行驶时间加上晚出发时间，即． 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】（1）等号两边同时乘以进行去分母运算，移项、合并同类项，检验是否为增根，即可获得答案； （2）等号两边同时乘以进行去分母运算，移项、合并同类项，检验是否为增根，即可获得答案． 【详解】（1）解：， 等号两边同时乘以，得 ， 移项、合并同类项，得 经检验，是该分式方程的解， ∴该分式方程的解为； （2）解：， 等号两边同时乘以，得， 移项、合并同类项，得 经检验，是该分式方程的解， ∴该分式方程的解为． 16． 【分析】根据定义将方程变形为分式方程，求解并验根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程即为， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并，得， 解得：， 经检验，时，，是方程的解， ∴方程的解是． 17．(1)； (2)或． 【分析】（）先把原方程去分母并整理得，解得，然后把代入即可求解； （）根据方程无解可得，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：原方程去分母并整理得：， 整理得，，即， ∴当时，， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解是； （2）解：由（）知，所以要使原方程无解， 只需满足即可，解得或． 18．购买一个种类型的垃圾桶需要元，购买一个种类型的垃圾桶需要元 【分析】设购买一个种类型的垃圾桶需要元，则购买一个种类型的垃圾桶需要元，根据“总价单价数量”，利用元购买种类型的垃圾桶数量和用元购买种类型的垃圾桶数量相同，建立分式方程求解即可． 【详解】解：设购买一个种类型的垃圾桶需要元，则购买一个种类型的垃圾桶需要元， ， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， ， 答：购买一个种类型的垃圾桶需要元，购买一个种类型的垃圾桶需要元． 【点睛】解分式方程后必须检验，既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际意义． 19．(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据“用600元购进花腰傣文创玩具的数量比用300元购进澄江化石文创玩具的数量多10个，且花腰傣文创玩具单价是澄江化石文创玩具单价的倍．”列方程即可； （2）解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：甲同学：设澄江化石文创玩具的单价为元，可列方程为， 乙同学：设花腰傣文创玩具的数量为个，可列方程为； （2）解：， 解得，， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：澄江化石文创玩具单价为10元，花腰傣文创玩具单价为15元． 20．(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $