《第10章分式》单元练习题 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

2025-2026学年苏科版八年级数学下册《第10章分式》单元同步练习题（附答案） 一、单选题 1．下列各式，，，，，其中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．不改变分式的值，下列各式中变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．某施工队每天挖掘米隧道，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘米隧道，比原来少用的天数为（  ） A． B． C． D． 4．如果，，那么代数式与之间的关系是（   ） A． B． C． D． 5．解分式方程，去分母得（   ）． A． B． C． D． 6．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（   ） A． B．．且 C． D．且 7．甲、乙两人制作手工艺品，已知甲制作一件手工艺品比乙多花4小时，甲160小时制作手工艺品的数量与乙120小时制作手工艺品的数量相同．若甲制作一件手工艺品需要小时，则根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．若式子有意义，则的取值范围是___________． 9．已知分式的值为，则的值为___________． 10．不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中各项的系数都化为整数． （1）______； （2）______． 11．已知，则______． 12．如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 13．一只不透明的袋子中，装有4个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，通过多次摸球实验后，发现摸到红球的频率约为，估计袋中红球的个数为___________． 14．王老师从家里出发，驾车到离家的风景区度假．已知王老师在出发内按计划的速度匀速行驶，后以原计划速度的倍匀速行驶，并提前到达风景区．第二天以原计划速度的倍返回家中，那么来回行驶的时间相差______________． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．解下列分式方程： (1) (2) 17．先化简，再求值：，其中． 18．阅读与思考： 例如：，求的值． 解：由可知，，即， ∴，∴． 我们把以上这种解题方法叫做倒数法，请你仿照上述方法，解决下面问题： (1)，则___________ ． (2)①若，求的值； ②已知，求的值． 19．甲、乙两人两次同时到一家粮油店去买油，两次的油价有变化，但他们两人的购买方式不一样，其中甲每次总是买斤油．而乙每次只拿出元钱来买油．商店也按价计算卖给乙．设前后两次的油价分别是元/斤和元/斤（、，），请问这两种购买方式哪一种合算？请结合计算说明． 20．为推进乡村振兴，某农业合作社组织村民种植两种经济作物——高粱和玉米，去年共收获，今年村民种植技术提升，高粱产量比去年增加，玉米产量比去年增加，两种作物总产量比去年增加． (1)求去年高粱和玉米的产量各是多少千克？ (2)今年收割时，合作社安排两组村民同时开始工作：甲组负责收割高粱，乙组负责收割玉米，已知甲组每小时收割高粱的效率是乙组收割玉米效率的倍，最终甲组比乙组提前分钟完成任务，问乙组每小时收割玉米多少千克？ 参考答案 1．B 【分析】形如，其中，都是整式，且分母中含有字母，则该式为分式；据此判断即可． 【详解】解：的分母是常数，不含字母，故不是分式， 是常数，是常数，的分母不含字母，故不是分式， 的分母是常数，不含字母，故不是分式， 的分母含有字母，故是分式， 的分母含有字母，故是分式， 综上，分式一共有个． 2．C 【分析】本题考查分式的基本性质及平方差公式的应用，依据分式的分子与分母同时乘以或除以一个不等于0的整式，分式的值不变这一性质，对各选项逐一分析即可． 【详解】解：分式的基本性质为分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变 选项分子、分母同时加1，不符合分式基本性质，变形错误； B选项分子、分母同时平方，不符合分式基本性质，变形错误； C选项中，， 分式有意义时， ，变形正确； D选项中，由平方差公式得， 分式有意义时， ，变形错误． 故选：C． 3．D 【分析】本题考查分式减法运算的实际应用，核心是通过计算不同施工效率下的施工天数，进而求出天数差．先根据原日挖掘量求出改进技术后的日挖掘量，再分别计算两种情况下挖掘米隧道所需的天数，最后用原天数减去改进后的天数得到少用的天数． 【详解】解：原来每天挖掘米，挖掘米隧道需要的天数为； 改进施工技术后，每天挖掘的长度为米，此时挖掘米隧道需要的天数为； 因此比原来少用的天数为． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查异分母分式的加减运算，先利用异分母分式的加减运算法则化简，再对比与的关系即可得出结论. 【详解】解：∵ ∴ 对通分，公分母为 ∴ 又∵ ∴ ， 故选：C. 5．A 【分析】先确定最简公分母为，方程两边同乘最简公分母即可得到结果，注意不要漏乘． 【详解】解：将原方程的右侧分母变形得， 方程两边同时乘以最简公分母，得． 6．D 【分析】本题考查了解分式方程．先解分式方程得到的表达式，再根据解是非负数及分式方程分母不为0（解不为增根）列不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：∵原分式方程为 ∴将方程右边变形为，两边同乘去分母得： 移项合并同类项得： ∴ ∵方程的解是非负数 ∴ 解得：． 又∵分式方程分母不能为0，即 ∴ 解得：． ∴的取值范围是且． 故选：D． 7．C 【分析】本题考查分式方程的实际应用，关键是根据“甲160小时制作的数量与乙120小时制作的数量相同”这一等量关系，结合甲、乙制作每件手工艺品的时间列出方程． 【详解】解：∵甲制作一件手工艺品需要小时，甲制作一件比乙多花4小时， ∴乙制作一件手工艺品需要小时， ∵工作数量总工作时间制作每件的时间，且甲160小时制作的数量与乙120小时制作的数量相同， ∴可列方程为， 故选：C． 8．且且 【分析】本题主要考查了分式和除法算式的有意义，掌握有意义的条件是解题的关键． 根据分式和除法算式有意义的条件：分母不为零，除数不为零即可求解． 【详解】解：式子中，第一个分式的分母，即； 第二个分式的分母，即； 又因为除数，所以分子，即， 综上可得，且且． 故答案为：且且． 9． 【分析】本题考查分式值为的条件，绝对值的运算，因式分解，掌握“分式值为的条件”是解题关键． 分式的值为，则分子为且分母不为，求解分子方程并验证分母是否不为． 【详解】解：由分式的值为，得分子，即，解得或， 当时，分母，分式无意义，故舍去； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了将分式的分子分母各项系数化为整数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）分式的分子、分母分别乘以12即可； （2）分式的分子、分母分别乘以20即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）解：． 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，整体代入求值，解题的关键是掌握分式运算法则． 由已知条件通分得，即，代入所求表达式化简． 【详解】解：由，通分得， 所以． 则． 故答案为：． 12． 或1 【分析】分式方程无解包含两种情况，化简后的整式方程无解，或整式方程的解为原分式方程的增根，先将原分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解． 【详解】解：， 变形得 ， 方程两边同乘最简公分母， 得， 整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解， 令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根， 令，得增根， 将代入， 得，解得． 综上，实数的值为或． 13．6 【分析】本题考查了分式方程的应用，频率估计概率．利用频率估计概率，摸到红球的频率为，即概率约为，设红球个数为r，通过方程求解． 【详解】解：设红球个数为r，则总球数为， ∵ 摸到红球的频率约为， ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴估计袋中红球个数为6， 故答案为：6． 14． 【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划速度为，根据去程行驶情况建立方程，求解得，再计算去程实际时间和返回时间，求时间差即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设原计划速度为 ，则原计划时间为 ， 所以前行驶距离为 ，剩余距离为，以速度行驶，时间为， 则实际总时间为 ， 又因为提前到达，即 ，所以， 化简得， 两边同乘得， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原计划速度 ， ∴实际总时间：， 又返回速度 ，则返回时间， 所以时间差， 故答案为：． 15．(1) (2) 【分析】（1）先进行乘方运算，再进行乘除运算即可解答； （2）先将括号内的分式通分，再进行减法运算，最后进行乘除运算即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ． 16．(1) (2) 无解 【分析】（1）先将分式方程化为整式方程求解，求出结果后需要检验； （2）先将分式方程化为整式方程求解，求出结果后需要检验，所得根使原分式方程分母为0，为增根，原方程无解． 【详解】（1）解：， 整理方程，得， 方程两边同乘得， 解得， 经检验，时原方程分母不为0， 因此是原方程的解． （2）解：， 方程两边同乘，得， 展开，得， 整理，得， 解得， 经检验，当时，原方程分母为0， 因此是原方程的增根． ∴原方程无解． 17．， 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 18．(1)； (2)①；②． 【分析】本题考查了分式的值和完全平方变形求值，理解题干中给出的方法是解题的关键． （1）先用倒数法求出，再计算求值即可； （2）①先用倒数法求出，再求解，最后求解的倒数即可；②先用倒数法求出，再用完全平方变形求解，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵由可知， ∴， 即：， ∴； （2）①由，得， 则， ∴． ②解：由可知， 可得：， 即， ∴， ∴， ∴． 19．乙的购买方式比较合算，理由见解析 【分析】本题考查分式加减运算在实际问题中的应用，根据题意，分别写出甲和乙两次买油的平均单价，然后求差，计算化简，得出差大于，从而得甲和乙的平均单价之间的关系，可得结论．根据题意正确列式及明确分式计算的相关法则是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 甲两次买油的平均单价为：， 乙两次买油的平均单价为：， ∴ ， ∵、，， ∴，， ∴， ∴， ∴乙的购买方式比较合算． 20．(1)去年高粱的产量是千克，去年玉米的产量是千克； (2)乙组每小时收割玉米千克． 【分析】（）设去年高粱的产量是千克，去年玉米的产量是千克，根据题意得，然后解方程组即可； （）设乙组每小时收割玉米千克，则甲组每小时收割高粱千克，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设去年春季高粱的产量是千克，去年玉米的产量是千克， 根据题意得：， 解得：， 答：去年高粱的产量是千克，去年玉米的产量是千克； （2）解：设乙组每小时收割玉米千克，则甲组每小时收割高粱千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 答：乙组每小时收割玉米千克． 学科网（北京）股份有限公司 $