12.3 复数的几何意义分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

12.3　复数的几何意义 A层 基础达标练 1.复数6+5i与-3+4i分别表示向量,则表示向量的复数为(　　) A.3+9i B.-9-i C.9+i D.-18+20i 2.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为(　　) A.3 B.2 C.1 D.-1 3.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-2,1),则zi的虚部为(　　) A.2i B.2 C.-2i D.-2 4.(多选题)设复数z满足z=-1-2i,i为虚数单位,则下列命题正确的是(　　) A.|z|= B.复数z在复平面内对应的点在第四象限 C.z的共轭复数为-1+2i D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上 5.在复平面内,点A,B对应的复数分别为-3+5i,3+2i.若C为靠近点B的线段AB的三等分点,则点C对应的复数是(　　) A.1+3i B.-1+3i C.5+i D.1+4i 6.若复数z=m2(1+i)-m(4+i)-6i在复平面内对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是　　　　　.  7.已知复数z1,z2是方程z2-z+1=0的解,复平面内表示z1的点A在第四象限,O是原点. (1)点A关于虚轴的对称点为点B,求向量对应的复数; (2)将复数z2对应的向量绕原点逆时针旋转得到向量对应的复数为z3,求的值. B层 能力提升练 8.当复数z满足|z+3-4i|=1时,则|z+2|的最小值是(　　) A.-1 B.-1 C.-1 D.-1 9.若复数z满足1<|z|≤2,则在复平面内,z所对应的点组成图形的面积为(　　) A.π B.2π C.3π D.4π 10.设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为(　　) A.0 B.1 C. D. 11.(多选题)欧拉公式eix=cos x+isin x(i为虚数单位,x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数之间的关系,它被誉为“数学中的天桥”,根据此公式可知,下面结论中正确的是(　　) A.eπi+1=0 B.|eix|=1 C.cos x= D.e12i在复平面内对应的点位于第二象限 12.(多选题)设z为复数,在复平面内z,对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列命题中正确的有(　　) A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线 B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形 C.对任意复数z, D.当z为实数时, 13.已知复数z满足z(1+2i)=|4-3i|(其中i为虚数单位),则复数z在复平面内对应点的坐标为　　　　　.  14.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=+i,则|z1-z2|=　　　　.  15.已知复数z满足z2=3+4i,且z在复平面内对应的点位于第三象限. (1)求复数z; (2)设a∈R,且=2,求实数a的值. C层 拓展探究练 16.已知方程x2+x+4=0的两个根在复平面上对应的点分别为A,B,则△AOB的面积为(　　) A. B. C.2 D.4 17.对任意的复数z=x+yi(x,y∈R),定义运算P(z)=x2[cos(yπ)+isin(yπ)].则直线l:x-y-9=0上是否存在整点(x,y)(x,y均为整数的点),使得复数z=x+yi(x,y∈R)经运算P后,P(z)对应的点也在直线l上?若存在,求出所有的点;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.C　复数6+5i与-3+4i分别表示向量,因为,所以表示向量的复数为(6+5i)-(-3+4i)=9+i.故选C. 2.D　z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,解得a=-1.故选D. 3.D　因为在复平面内复数z对应的点的坐标是(-2,1),所以z=-2+i,所以zi=(-2+i)i=-2i+i2=-1-2i,故zi的虚部为-2.故选D. 4.AC　|z|=,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,B不正确;z的共轭复数为-1+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线y=-2x上,D不正确.故选AC. 5.A　设C(x,y),∵点A,B对应的复数分别为-3+5i,3+2i,∴A(-3,5),B(3,2),则=(x+3,y-5),=(6,-3). 又∵C为靠近点B的线段AB的三等分点, ,即(x+3,y-5)=(6,-3)=(4,-2), 解得 ∴C(1,3),对应复数为1+3i.故选A. 6.(3,4)　z=m2(1+i)-m(4+i)-6i=(m2-4m)+(m2-m-6)i,因为复数z在复平面内对应的点在第二象限, 所以解得3<m<4. 故答案为(3,4). 7.解 (1)对于方程z2-z+1=0,Δ=1-4<0, 所以方程z2-z+1=0有两个不等的虚根. 因为复数z1,z2是方程z2-z+1=0的解,且复平面内表示z1的点A在第四象限, 所以z1=i,z2=i,所以A 因为点A关于虚轴的对称点为点B,所以B, 所以对应的复数为-i. (2)由(1)知z2=i,则z3=-i, 因为=-i, i, 故=-i+i=0. 8.B　设z=a+bi,z在复平面内对应的点为(a,b), ∵|z+3-4i|=|a+3+(b-4)i|==1,∴(a+3)2+(b-4)2=1, ∴点(a,b)可看作以(-3,4)为圆心,1为半径的圆上的点, ∴求|z+2|的最小值等价于求圆上点到点(-2,0)距离的最小值, 故|z+2|的最小值为-1=-1.故选B. 9.C　利用复数模的几何意义,复数z对应的点的轨迹是如图所示的圆环区域,小圆的半径r=1,大圆的半径R=2,所以圆环的面积S=π(R2-r2)=3π.故选C. 10.C　由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离,即为故选C. 11.AB　eπi+1=cos π+isin π+1=0,A正确;|eix|=|cos x+isin x|==1,B正确;e-ix=cos(-x)+isin(-x)=cos x-isin x,所以cos x=,C错误;依题可知eix表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos x,sin x),故e12i表示的复数在复平面内对应的点的坐标为(cos 12,sin 12),<12<4π,显然该点位于第四象限,D错误.故选AB. 12.ABD　设z=a+bi(a,b∈R且b≠0),则=a-bi, 当z为纯虚数时,z=bi(b≠0),=-bi对应的点分别为P(0,b),Q(0,-b),则O,P,Q均在y轴上,所以P,O,Q三点共线,故A正确;当z=1+i时,=1-i,所以P(1,1),Q(1,-1),所以|OP|=|OQ|=,而|PQ|=2,所以|OP|2+|OQ|2=|PQ|2,所以△POQ为等腰直角三角形,故B正确;=(a,b),=(a,-b),当b=0时,,故C错误;当z为实数时,z==a,此时=(a,0),故D正确.故选ABD. 13.(1,-2)　∵|4-3i|==5, ∴z==1-2i,即复数z在复平面内对应点的坐标为(1,-2).故答案为(1,-2). 14.2　在复平面内,用向量方法求解, 原问题即等价于平面向量a,b满足|a|=|b|=2,a+b=(,1),求|a-b|, 由(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,可得4+(a-b)2=16,故|a-b|==2 故答案为2 15.解 (1)设z=c+di(c<0,d<0), 则z2=(c+di)2=c2-d2+2cdi=3+4i, 解得(舍去). ∴z=-2-i. (2)=-2+i,=i, =i2 027==i506×4+3=-i, ∴|a-i|==2,∴a=± 16.B　方程x2+x+4=0的根为x=,即x1=-i,x2=-i, 所以A,B, 即=(-),=(-,-), 所以||==2, ||==2, 所以cos∠AOB==-, 所以sin∠AOB=, 所以S△AOB=|||sin∠AOB=2×2故选B. 17.解 存在.P(z)对应点坐标为(x2cos(yπ),x2sin(yπ)), 由题意 得x2sin(xπ-9π)=x2cos(xπ-9π)-9, 即x2sin(xπ-π)=x2cos(xπ-π)-9, ∴-x2sin(π-xπ)=x2cos(π-xπ)-9, ∴-x2sin xπ=-x2cos(xπ)-9, ∴x2sin(xπ)=x2cos(xπ)+9.∵x∈Z, ∴①当x=2k,k∈Z时,得x2+9=0不成立; ②当x=2k+1,k∈Z时,得-x2+9=0,即x2=9,∴x=±3成立. 此时 故存在满足条件的整点(3,-6),(-3,-12). 8 学科网（北京）股份有限公司 $