12.2 复数的运算分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

12.2　复数的运算 A层 基础达标练 1.若z+5-6i=3+4i,则复数z的值为(　　) A.-2+10i B.-1+5i C.-4+10i D.-1+10i 2.(2023全国甲卷理科)若复数(a+i)(1-ai)=2,a∈R,则a=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.已知i是虚数单位,复数(1-2i)2的共轭复数的虚部为(　　) A.4i B.3 C.4 D.-4 4.若复数z=1+i(i是虚数单位),则(　　) A.2z2-2z-1=0 B.2z2-2z+1=0 C.z2-2z-2=0 D.z2-2z+2=0 5.复数z满足z(1+2i)=3-4i(其中i为虚数单位),则z的虚部是(　　) A.2i B.-2i C.2 D.-2 6.(2023新高考Ⅰ)已知z=,则z-=(　　) A.-i B.i C.0 D.1 7.(1)已知复数z1=a+i,z2=1-i,a∈R. ①当a=1时,求z1的值; ②若z1-z2是纯虚数,求a的值. (2)若复数z1满足(z1-2+i)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1z2是实数,求z2. B层 能力提升练 8.下面是关于复数z=的四个结论,其中正确的是(　　) A.z=1+2i B.z2=3-4i C.z-1为纯虚数 D.z的共轭复数为1-2i 9.复数z满足z-2,则的虚部为(　　) A.i B.-i C. D.- 10.二次方程x2-2xi-5=0的根的情况是(　　) A.有两个不相等的实数根 B.有一个实数根,一个虚数根 C.有一对共轭虚数根 D.有两个虚数根 11.(多选题)已知集合M={m|m=in,n∈N*},其中i为虚数单位,则下列元素属于集合M的是(　　) A.(1-i)(1+i) B. C. D.(1-i)2 12.如果z=,那么z100+z50+1=　　　　.  13.i表示虚数单位,则1+i+i2+…+i2 025=　　　　.  14.对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1,其中是ω2的共轭复数,对任意复数z1,z2,z3,有如下四个命题: ①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3); ②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3); ③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3); ④z1*z2=z2*z1. 则真命题的序号是　　　　.  15.关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实数根,则实数a的值是多少? C层 拓展探究练 16.(多选题)“虚数”这个词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的,当时的观念认为这是不存在的数.人们发现即使使用全部的有理数和无理数,也不能解决代数方程的求解问题,像x2+1=0这样最简单的二次方程,在实数范围内没有解.引进虚数概念以后,代数方程的求解问题才得以解决.设t是方程x2+x+1=0的根,则(　　) A.t3=1 B.t+=-1 C.-t是该方程的根 D.t2 024是该方程的根 17.已知a,b∈R,且b≠0,复数z=a+bi(i为虚数单位)满足z+∈R,|z|=. (1)求|z|; (2)若关于x的方程zx2+x+2=0有实根,求z的所有可能值. 参考答案 1.A　因为z+5-6i=3+4i,所以z=3+4i+6i-5=-2+10i.故选A. 2.C　因为(a+i)(1-ai)=a-a2i+i+a=2a+(1-a2)i=2,所以解得a=1.故选C. 3.C　因为(1-2i)2=-3-4i,所以复数(1-2i)2的共轭复数为-3+4i,因此虚部为4.故选C. 4.D　因为z=1+i,所以z2=(1+i)2=2i,2z=2(1+i)=2+2i,所以z2-2z+2=0.故选D. 5.D　因为z(1+2i)=3-4i,所以z==-1-2i,所以复数z的虚部为-2.故选D. 6.A　因为z==-i,所以i,即z-=-i.故选A. 7.解 (1)①当a=1时,z1=(1+i)(1+i)=1+2i+i2=2i. ②由题意可得z1-z2=(a-1)+2i,则a-1=0,即a=1. (2)由已知,设z1=x+yi(x,y∈R),则(z1-2+i)(1+i)=(x+yi-2+i)(1+i)=x-y-3+(x+y-1)i=1-i, 所以解得所以z1=2-2i. 设z2=b+2i,b∈R,则z1z2=2(1-i)(b+2i)=2[b+2+(2-b)i], 因为z1z2是实数,所以2-b=0,即b=2,所以z2=2+2i. 8.C　因为z==1-2i,所以其共轭复数为=1+2i,z2=1-4i+4i2=-3-4i,z-1=-2i,故C正确.故选C. 9.D　根据题意,设z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则=a-bi, 所以z-2=-a+3bi=(1+i)=-2+2i, 所以-a=-2,3b=2,即a=2,b=, 所以=2-i,其虚部为-故选D. 10.D　设方程的根为x=a+bi,(a∈R,b∈R), 则有(a+bi)2-2(a+bi)i-5=0, 即a2-b2+2abi-2ai+2b-5=0, 即解得 所以方程的根为x=2+i或x=-2+i.故选D. 11.BC　根据题意,在M={m|m=in,n∈N*}中,当n=4k(k∈N*)时,in=1;当n=4k+1(k∈N*)时,in=i;当n=4k+2(k∈N*)时,in=-1;当n=4k+3(k∈N*)时,in=-i,所以M={-1,1,i,-i}.选项A中,(1-i)(1+i)=2∉M;选项B中,=-i∈M;选项C中,=i∈M;选项D中,(1-i)2=-2i∉M.故选BC. 12.i　因为z=,故z=(1+i),所以z2=(1+i)2=i,故z100=(z2)50=i50=(i2)25=-1,z50=(z2)25=i25=i24·i=(i2)12·i=i,故z100+z50+1=i.故答案为i. 13.1+i　因为i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0, 所以1+i+i2+…+i2 025=1+i.故答案为1+i. 14.①②　由题意(z1+z2)*z3=(z1+z2)=z1+z2=(z1*z3)+(z2*z3),故①为真命题; z1*(z2+z3)=z1=z1()=z1+z1=(z1*z2)+(z1*z3),故②为真命题; (z1*z2)*z3=(z1)*z3=z1,z1*(z2*z3)=z1*(z2)=z1=z1z3,故③为假命题; z1*z2=z1,z2*z1=z2,故④为假命题.故答案为①②. 15.解 设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i,所以解得故答案为11或- 16.ABD　对于A选项,由于t是方程的根,则t2+t+1=0,而t3-1=(t-1)(t2+t+1)=0,故t3=1,选项A正确; 对于B选项,由题意可知,也是方程x2+x+1=0的根,故t+=-1,选项B正确; 对于C,t≠0且t2-t+1≠0,故-t不是该方程的根,选项C错误; 对于D,t2 024=(t3)674·t2=t2,而t2=,代入方程得,+1==0,所以是该方程的根,即t2 024是该方程的根,选项D正确. 故选ABD. 17.解 (1)z+=a+bi+=a+bi+i, 因为z+R,所以b-=0, 又b≠0,所以a2+b2=2,即|z|= (2)因为zx2+x+2=0,|z|=,所以zx2+x+2=0, 设实根为m,则(a+bi)m2+(a-bi)m+2=0, 所以am2+am+2+(bm2-bm)i=0, 所以 因为b≠0,所以m=0或m=1. 若m=0,则am2+am+2=2=0无实数解,舍去; 若m=1,则am2+am+2=2a+2=0,所以a=-1. 又由(1)知a2+b2=2,所以b=±1, 所以z=-1+i或z=-1-i. 5 学科网（北京）股份有限公司 $