10.1.3 两角和与差的正切课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第10章　三角恒等变换 10.1.3　两角和与差的正切 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.能推导出两角和与差的正切公式,了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的内在联系. 2.能运用两角和与差的正切公式进行简单的化简、求值. 要点深化·核心知识提炼 知识点　两角和与差的正切公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的正切 tan(α+β)= T(α+β) α,β,α+β≠kπ+(k∈Z) 两角差 的正切 tan(α-β)= T(α-β) α,β,α-β≠kπ+(k∈Z) 名师点睛 1.公式T(α±β)的结构特征 公式T(α±β)的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和. 2. 符号变化规律可简记为“分子同,分母反”. (3)两角和与差的正切公式的变形 变形公式:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β); tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan αtan β); tan αtan β=1-; tan α+tan β+tan αtan βtan(α+β)=tan(α+β);等等. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)tan()能用公式tan(α+β)展开.(　　) (2)存在α,β∈R,使得tan(α+β)=tan α+tan β成立.(　　) (3)对于任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立.(　　) × √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】给角求值 例 1 [链接教材例2]求值:(1)tan 105°;(2); (3)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°. 解 (1)tan 105°=tan(45°+60°)==-2- (2)原式==tan(60°-15°)=tan 45°=1. (3)因为tan 60°=, 所以tan 23°+tan 37°=tan 23°tan 37°, 所以tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°= 题后反思　利用公式T(α±β)化简求值的两点说明 (1)分析式子结构,正确选用公式形式: T(α±β)是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一,因此在应用时先从所化简(求值)式子的结构出发,确定是正用、逆用还是变形用,并注意整体代换. (2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用: 当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”“”时,要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换,如“1=tan”“=tan”,这样可以构造出利用公式的条件,从而可以进行化简和求值. 跟踪训练1 求值:=(　　) A.- B. C.- D. A 解析 原式==-=-=-故选A. 【题型二】给值求值 例 2 (1)[链接教材例1]若tan(α-β)=,tan(α+β)=,则tan 2β=(　　) A. B. C.- D.- C 解析 tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)]==-故选C. (2)已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,则tan(α+β)=　　　　.  解析 由一元二次方程根与系数的关系得tan α+tan β=-3,tan α·tan β=4, ∴tan(α+β)= 题后反思　给值求值的解题策略主要是利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解. 跟踪训练2 (1)已知tan,tan=-,则tan=　　　　.  解析 tan=tan 故答案为 (2)若tan α,tan β是方程x2-3x-3=0的两根,则=　　　　　.  - 解析 ∵tan α,tan β是方程x2-3x-3=0的两根, ∴tan α+tan β=3,tan α·tan β=-3, =- 【题型三】给值求角 例3 [链接教材例3]已知A,B都是锐角,且tan A=,sin B=,则A+B=　　　　.  解析 因为B为锐角,sin B=, 所以cos B=,所以tan B=, 所以tan(A+B)==1. 因为0<A+B<π,所以A+B= 规律方法　给值求角问题的求解步骤 (1)求角的范围; (2)求出此角的一种适当的三角函数值; (3)得出角的数值. 跟踪训练3 已知α为锐角,且tan(α+β)=3,tan(α-β)=2,则角α=(　　) A. B. C. D. C 解析 ∵tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]==-1, ∴2α=-+kπ(k∈Z),∴α=-kπ(k∈Z). 又∵α为锐角,∴α=故选C. 【题型四】关于两角和与差的公式的证明问题 例 4 [链接教材例4]当α-β=时,证明tan α-tan αtan β-tan β=1. 证明 因为α-β=, 所以tan(α-β)=, 所以(tan α-tan β)=1+tan αtan β, 故tan α-tan αtan β-tan β=1. 规律方法　1.观察等式两边的角和结构(是否有tan α±tan β,tan(α±β)或特殊角). 2.拆分或组合角,确定使用“和”还是“差”的正切公式. 3.用公式变形转化式子(如“和差”转“乘积”或反之). 跟踪训练4 如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边BC,CD上的点(不含端点),且满足∠PAQ=,设PB=x,DQ=y. 求证:x+y=1-xy. 证明 由∠PAQ=,∠DAB=,得∠BAP+∠DAQ=, 又因为tan∠BAP=x,tan∠DAQ=y, 所以tan(∠BAP+∠DAQ)==tan=1, 即x+y=1-xy. $