10.1.3 两角和与差的正切-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

10.1.3　两角和与差的正切[教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用. 　　两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切公式 T(α+β) tan(α+β)= α，β，α+β≠kπ+(k∈Z) 且tan α·tan β≠1 两角差的正切公式 T(α-β) tan(α-β)= α，β，α-β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠-1 |微|点|助|解| (1)结构特征:公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和. (2)符号规律:分子同，分母反. (3)T(α±β)可变形为如下形式: ①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β)或②1∓tan αtan β=.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形①，遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两角和与差的正切公式对tan是适用的. (　　) (2)tan α+tan β=tan(α+β)(1+tan αtan β). (　　) (3)1+tan αtan β=. (　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)× 2.若tan α=3，tan β=，则tan(α-β)等于 (　　) A. B.- C.3 D.-3 解析:选A　原式===. 3.已知tan α=2，则tan=　　　　.  解析:tan===-3. 答案:-3 4.=　　　　.  解析:原式=tan(75°-15°)=tan 60°=. 答案: 题型(一)　两角和与差正切公式的简单应用 [例1]　(1)若tan=，则tan α=　　 　.  (2)已知α，β均为锐角，tan α=，tan β=，则α+β=　　　　.  解析:(1)法一　∵tan===， ∴6tan α-6=1+tan α(tan α≠-1)， ∴tan α=. 法二　tan α=tan ===. (2)∵tan α=，tan β=， ∴tan(α+β)===1. ∵α，β均为锐角，∴α+β∈(0，π).∴α+β=. 答案:(1)　(2) |思|维|建|模| 利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略 (1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解. (2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小. 　　[针对训练] 1.(2024·全国甲卷)已知=，则tan= (　　) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 解析:选B　根据题意有=， 即1-tan α=，所以tan α=1-， 所以tan===2-1， 故选B. 2.已知tan α=2，tan β=-，其中0<α<<β<π.求α+β的值. 解:把tan α=2，tan β=-代入， 得tan(α+β)===1. 因为0<α<<β<π. 所以<α+β<.所以α+β=. 题型(二)　两角和与差正切公式的逆用 [例2]　计算:= (　　) A.- B. C.- D. 解析:选A　原式= ===- =-=-.故选A. |思|维|建|模| 　　一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换.如tan=1，tan=，tan=等.要特别注意tan=，tan=. 　　[针对训练] 3.化简求值:. 解:原式==tan(45°-15°) =tan 30°=. 题型(三)　两角和与差正切公式的变形用 [例3]　(1)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是　　　　.  (2)=　　　　.  解析:(1)∵tan 60°==， ∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°. ∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=. (2)∵tan 18°+tan 42°+tan 120° =tan 60°(1-tan 18°tan 42°)+tan 120°=-tan 60°·tan 18°tan 42°，∴原式=-1. 答案:(1)　(2)-1 |思|维|建|模| 　　当化简的式子中出现“tan α±tan β ”与“tan αtan β ”形式时，要把它们看成两个整体，这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关，通过公式能相互转换，二是这两个整体还与根与系数的关系相似，在应用时要注意隐含的条件，能缩小角的范围. 　　[针对训练] 4.tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°= (　　) A. B.- C. D.- 解析:选A　tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°=tan 87°tan 33°-tan(87°+33°)(1-tan 87°tan 33°)=tan 87°tan 33°+(1-tan 87°tan 33°)=.故选A. 5.若1+tan α+tan β-tan αtan β=0，且α，β∈，则α+β=　　　　.  解析:因为1+tan α+tan β-tan αtan β=0，所以tan α+tan β=-(1-tan αtan β)，所以tan(α+β)==-1.又α，β∈，所以π<α+β<2π，故α+β=. 答案: 学科网（北京）股份有限公司 $