10.1.3两角和与差的正切（教学课件，含交互动画）高一数学苏教版必修第二册

10.1 两角和与差的三角函数 第十章 三角恒等变换 10.1.3两角和与差的正切 学 习 目 标 1 2 3 掌握两角和与差的正切公式的推导过程，熟记公式形式并理解公式成立的条件. 能熟练运用公式进行正切的求值、化简与证明，能结合一元二次方程、三角形内角和等知识解决综合问题. 在公式应用的探究过程中，经历 “分析条件 — 选择公式 — 规范求解” 的步骤，提升逻辑推理和数学运算能力. 新课导入 在前面的课程中我们学习了两角和与差的正弦、余弦公式，你还记得两角差的余弦公式余弦公式？ 我们知道商数关为 既然能通过正、余弦表示正切，那能否结合两角和与差的正弦、余弦推导出和的计算公式呢？ 这就是我们本节课要学习的主题——两角和与差的正切 ① ② 新知探究 探究一：两角和的正切公式 根据商数关系，可以转化为怎样的正余弦形式？ 根据商数关系： 将正、余弦和角公式代入后，如何将式子转化为仅含和的形式？需要注意什么前提？ 分子分母同除（，） 得 两角和的正切公式 即时训练 1.已知条件求两角和的正切值. （1）已知，，求的值. （2）已知，，求的值. 【分析】直接提取已知、值，代入两角和/差正切公式按四则运算计算。 （1）解： （2）解： 新知探究 探究二：两角差的正切公式 我们已经推导出了和角公式，那差角公式能不能用类比的方法推导呢？ 结合，得 公式成立条件： 把转化成形式： 这就是两角差的正切公式 即时训练 2.（1） 已知，求的值. （2）已知，求的值. 【分析】确定特殊角正切值，与已知角正切值一同代入和差公式分步计算。 解：（1） （2）. ①分子为正切的和 / 差 新知探究 探究三：正切公式的结构特征 观察两角和与差的正切公式的形式，你能总结其结构特征和记忆规律吗？ ③和差相反，加减相反 结构特征： ②分母为 1 减 / 加正切的积 知识小结 两角差与和的正切公式 ①两角和正切公式： ②两角差的正切公式： ③公式成立条件： ④核心特征：分子为正切的和 / 差，分母为 1 减 / 加正切的积，和差相反，加减相反 典例分析 例1 已知 是方程 的两根，求 的值. 【分析】本题既可以根据方程解出 的值，再代入公式计算，也可以不解方程，通过计算 , 的值来求 的值. 解法1：解方程得 或 代入两角和的正切公式，得 典例分析 【分析】一般地，若 是一元二次方程 的两个根，则有 . 解法2 因为 是方程 的两根，所以 因此， 典例分析 例2 证明：． 【分析】由（也可写成），利用两角差的正切公式，可以求出的值 证法1 因为 所以 典例分析 【分析】或由，等式左边的结构与相似，考虑运用两角和的正切公式． 【分析】或者由，，考虑运用两角和的正切公式． 证法2 证法 3 因为 所以 典例分析 例3 如图，有三个相同的正方形相接，求证：. 【分析】先求两角正切，用和角正切公式得，再结合角的范围锁定 证明：由图可知 从而得 因为 ，所以 ． 在区间 内，正切值为 的角只有 个，即 ．故 典例分析 例4 在斜三角形 中，求证： 【分析】将要证的等式与两角和（差）的正切公式比较，它们都含有正切的和与积，因此可考虑运用两角和的正切公式． 证明:在斜三角形 中，有 ，即 ，且 都不等于 ，所以 即 即 从而 典例分析 例5 如图，两座建筑物AB，CD的高度分别是9 m和15 m，从建筑物AB的顶部A处看建筑物CD的张角∠CAD = 45°，求建筑物AB和CD的底部之间的距离BD. 【分析】作AE⊥CD于点E，有BD = AE. 设AE为，只需建立关于的方程即可. 解:如图，作于点E. 因为， 所以. 设. 因为 所以 在和中，有 典例分析 答：两座建筑物底部之间的距离 等于 。 在和中，有 因为 ，所以 化简，得 解得 ，（舍去） 巩固提升 题型1 化简求值 1.化简求值： (1) ； (2) ； 【分析】当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”，“”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换. 【详解】(1) 原式 ． (2) 原式 ． 巩固提升 题型2 两角和与差的正切公式在证明中的应用 【分析】在三角形中，，再利用两角和的正切公式展开即可得到 2.在斜三角形ABC中， 求证： 证明： 巩固提升 题型3 给值求角 3.已知 , , 且 , 求: 角 的值. 【分析】先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小 . 【详解】 又 , 巩固提升 题型4 两角和与差的正切公式在求值中的应用 4.如图，在为垂足，在的外部，且，求 。 解：∵ 且 ，， 【分析】通过在直角三角形中求角的正切，再利用正切差角公式计算 tan∠BAC。 课堂总结 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 感谢聆听! 课堂小结 两角和与差的正切公式 Su Jiao Ban · Compulsory 2 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 TEACHER'S NOTE 点击右侧蓝色色块可查看被隐藏的关键内容。 核心公式与定义 Review of Core Formulas and Definitions 公式 T(α+β) 两角和的正切公式 tan(α + β) = tanα + tanβ 1 - tanαtanβ 记忆口诀：分子同号加，分母异号减。注意分母中是 1 减去 两角正切之积。 公式 T(α-β) 两角差的正切公式 tan(α - β) = tanα - tanβ 1 + tanαtanβ 重要变形公式 1 tanα + tanβ = tan(α + β)(1 - tanαtanβ) 2 1 - tanαtanβ = tanα + tanβ tan(α + β) 易错点警示 Common Mistakes and Pitfalls ⚠️ 定义域陷阱 公式成立的前提是 α, β, α+β 都不等于 kπ + π/2 (k∈Z)。 典型错误： 在求 tan(π/2 + α) 时直接套用公式，导致分母为0无意义。此时应使用诱导公式转化为 -cotα。 ⚡ 符号问题 在使用变形公式时，容易忽略移项后的符号变化。特别是当 tan(α+β) 为负值时，容易在计算中出错。 解题技巧与模型 Problem Solving Skills 💡 “1”的代换技巧 遇到 1 + tanα 或 1 - tanα 形式时，常将 1 视为 tan(π/4)。 1 + tanα 1 - tanα = tan(π/4 + α) 🧩 整体角思想 注意观察角之间的关系，常见的变换有： α = (α + β) - β α + β = 2α - (α - β) π/4 + α = π/4 - (-α) $