10.1.2 两角和与差的正弦课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第10章　三角恒等变换 10.1.2　两角和与差的正弦 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式,了解它们的内在联系. 2.能运用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的化简、求值. 要点深化·核心知识提炼 知识点　两角和与差的正弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的正弦 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β S(α+β) α,β为 任意角 两角差 的正弦 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β S(α-β) 【拓展】辅助角公式 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)两角和与差的正弦公式中的角α,β是任意的.(　　) (2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sin α-sin β成立.(　　) (3)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立.(　　) √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】给角求值 例 1 (1)求值:. (2)化简:cos(x+27°)sin(x-18°)-sin(x+27°)cos(x-18°). 解 (1)原式= = = (2)原式=sin[(x-18°)-(x+27°)]=sin(-45°)=- 规律方法　解决给角求值问题的方法 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题,一定要本着先整体后局部的基本原则,如果整体符合三角公式的形式,则整体变形,否则进行各局部的变形. (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式,化为正负相消的项并消项求值,化分子、分母形式进行约分,解题时要逆用或变用公式. 跟踪训练1 (1)计算:=(　　) A.-1 B.-2 C.- D.- D 解析 = ==- 故选D. (2)化简. 解 sin 22°=sin(45°-23°)=sin 45°cos 23°-cos 45°sin 23°, cos 22°=cos(45°-23°)=cos 45°cos 23°+sin 45°sin 23°, 则 = ==1. 【题型二】给值求值 例 2 [链接教材例2]已知cos(α-β)=,sin β=-,且α∈(0,),β∈(-,0),求sin α的值. 解 因为α∈(0,),β∈(-,0), 所以0<α-β<π,所以sin(α-β)=,cos β=, 所以sin α=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β=(-)= 规律方法　给值求值的解题策略 在解决此类题目时,一定要注意已知角与所求角之间的关系,恰当地运用拆角、凑角技巧,同时分析角与角之间的关系,利用角的代换化异角为同角.具体做法如下: (1)当“已知角”有两个时,一般把“所求角”表示为“已知角”的和或差的形式; (2)当“已知角”为一个时,可利用诱导公式把“所求角”转化为“已知角”. 跟踪训练2 若α∈,且cos,则sin α的值为　　 　　.  解析 因为,所以α+,又因为cos, 所以sin, 所以sin α=sin=sin(α+)cos-cos(α+)sin 故答案为 【题型三】给值求角 例 3 已知sin α=,cos β=,且0<α<,-<β<0,求α+β的值. 解 ∵sin α=,cos β=,且0<α<,-<β<0, ∴cos α=,sin β=-=-, ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==-, 又0<α<,-<β<0,∴α+, 故α+β=- 规律方法　已知三角函数值求角的方法 已知三角函数值求角,在选三角函数时,可按以下原则: (1)一般地,已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数; (2)若角的范围为,选正弦函数和余弦函数都可; (3)若角的范围是,选正弦函数比余弦函数好; (4)若角的范围是(0,π),选余弦函数比正弦函数好. 跟踪训练3 本例中,若条件改为“sin α=-,cos β=,且α∈,β∈”,再求α+β的值. 解∵,,且sin α=-,cos β=, ∴cos α=,sin β=, ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=-, 又,, ∴α+,故α+β= 【题型四】辅助角公式 例 4 [链接教材例3](1)cos α+sin α可化为(　　) A.sin(-α) B.sin(-α) C.sin(+α) D.sin(+α) C 解析 原式=sincos α+cossin α=sin(+α).故选C. (2)sin 15°+cos 15°=(　　) A. B. C. D. D 解析 sin 15°+cos 15°=sin 15°+cos 15°)= sin(15°+45°)=sin 60°=故选D. 规律方法　辅助角公式及其应用 (1)公式形式:公式asin α+bcos α=sin(α+φ)(其中tan α=)或asin α+bcos α=cos(α-φ)(其中tan α=). 将形如asin α+bcos α(a,b不同时为零)的三角函数式化简为同一个角的一种三角函数式. (2)形式选择:化为正弦还是余弦,要看具体条件而定,一般要求变形后角α的系数为正,这样更有利于研究函数的性质. 跟踪训练4 已知f(x)=sin 2x+cos 2x+1. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)求函数f(x)在[0,]上的最大值和最小值. 解 f(x)=sin 2x+cos 2x+1=sin(2x+)+1. (1)∴T==π. (2)∵x∈[0,],∴2x+[]. ∴当2x+,即x=时,f(x)max=f()=+1; ∴当2x+,即x=时,f(x)min=f()=0. $