10.1.1 两角和与差的余弦课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第10章　三角恒等变换 10.1.1　两角和与差的余弦 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义. 2.能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式,了解它们的内在联系. 要点深化·核心知识提炼 知识点　两角差的余弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角差 的余弦 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β C(α-β) α,β都是任意角 两角和 的余弦 cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β C(α+β) 公式 结构 公式右端的两部分为同名三角函数积,连接符号与左边角的连接符号相反 名师点睛 1.公式可简记为:余余正正、符号反. 2.公式中的α,β都是任意角,既可以是一个角,也可以是几个角的组合. 3.要注意公式的逆用和变形应用,如: cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α, cos(α-β)cos β-sin(α-β)sin β=cos[(α-β)+β]=cos α. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)sin(α+45°)sin α+cos(α+45°)cos α=cos 45°.(　　) (2)对于任意α,都有cos(π+α)=cos α.(　　) (3)存在α,β,使得cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β成立.(　　) (4)cos(α-)=cos α+sin α.(　　) √ × √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】给角求值 例 1 [链接教材例2] 求下列各式的值: (1)sin 105°; (2)cos 17°cos 43°+sin 17°sin 223°. 解 (1)sin 105°=sin(90°+15°)=cos 15°=cos(45°-30°) =cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°= (2)cos 17°cos 43°+sin 17°sin 223° =cos 17°cos 43°+sin 17°·sin(180°+43°) =cos 17°cos 43°+sin 17°(-sin 43°) =cos 17°·cos 43°-sin 17°sin 43°=cos(17°+43°)=cos 60°= 规律方法　两角和与差的余弦公式常见题型及解法 公式C(α±β)是三角恒等式,既可正用,也可逆用,一定要注意公式的结构特征,灵活变换角或名称.在利用两角和与差的余弦公式求某些角的三角函数值时,关键在于把待求的角转化成已知角或特殊角(如30°,45°,60°,90°,120°,150°,…)之间和与差的关系,然后利用公式化简求值. 跟踪训练1 (1)sin的值为　　　　;  (2)计算:cos 15°+sin 15°=　　　　.  解析 (1)sin=cos=cos=cos =coscos+sinsin (2)cos 15°+sin 15°=cos 60°cos 15°+sin 60°·sin 15° =cos(60°-15°)=cos 45°= 【题型二】给值求值 例 2 [链接教材例3]已知cos(α+β)=,sin(β-)=,α,β∈(0,),求cos(α+)的值. 解 因为(α+β)- (β-)=α+,所以cos(α+)=cos[(α+β)- (β-)] =cos(α+β)cos(β-)+sin(α+β)sin(β-). 因为α,β∈(0,),所以0<α+β<π,-<β-, 所以sin(α+β)=,cos(β-)=, 所以cos(α+)= 规律方法　给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有: ①α=(α-β)+β;②α=;③2α=(α+β)+(α-β);④2β=(α+β)-(α-β). 跟踪训练2 已知cos,0<θ<,则cos θ=　　 　　.  解析 ,∴θ+,∴sin ∴cos θ=cos =coscos+sinsin 故答案为 【题型三】给值求角 例 3 已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,求β的值. 解 ∵cos α=,0<α<, ∴sin α= 由0<β<α<,得0<α-β<又∵cos(α-β)=, ∴sin(α-β)= 规律方法　解决三角函数给值求角问题的方法步骤 (1)根据条件确定所求角的范围; (2)求所求角的某种三角函数值,为防止增解,最好选取在上述范围内单调的三角函数; (3)结合三角函数值及角的范围求角. ∵β=α-(α-β),∴cos β=cos [α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) = ∵0<β<,∴β= 跟踪训练3 已知α,β∈(0,π),且cos α=,cos β=,则α+β=　　　　.  解析 因为α,β∈(0,π),cos α=,cos β=, 所以sin α=,同理,sin β=, 所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β==- 因为cos α>0,cos β>0,所以α,β∈(0,), 所以α+β∈(0,π),所以α+β=故答案为 $