10.1.2 第2课时 两角和与差的正、余弦公式的应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

第2课时　两角和与差的正、余弦公式的应用 1 典例研析 01 课时作业 02 目录 2 01 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜证明恒等式 【例1】　（链接教科书第60页例4）证明： ＝tan （α＋β）. 证明： ＝ ＝ ＝ ＝tan（α＋β），所以原式得证. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解决有关的证明问题的策略 　　对于三角函数中的证明问题，首先需要看等号两边式子的结构特征 （等式两边的角和三角函数名称之间的关系），确定证明的方向，遵循从 繁到简原则，然后利用公式证明. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知3 sin β＝ sin （2α＋β），求证tan（α＋β）＝2tan α. 证明：由已知得3 sin [（α＋β）－α]＝ sin [（α＋β）＋α]， 即3[ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α]＝ sin （α＋β） cos α＋ cos （α＋β） sin α， 即2 sin （α＋β） cos α＝4 cos （α＋β） sin α， 所以tan（α＋β）＝2tan α. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜灵活拆角求值 【例2】　（链接教科书第60页例5）求 的值. 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 拆角求值问题的思路 （1）在利用两角和与差的余弦、正弦公式时，不能机械地去套公式， 而要变通地从本质上使用公式.要注意观察式中出现的多个角之间是否 存在一定的关系，在解题过程中可以利用角之间的关系进行拆角来减 少角的个数； （2）要把非特殊角拆分成某两个角（已知的两个角或者可以从已知的角 简单变形就能得到的两个角）的和或差，并且这两个角的正、余弦函数值 是已知的或可求的，再代入公式即可求解. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　求值： . 解：原式＝ ＝ ＝ ＝ sin 30°＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜两角和与差的正弦、余弦公式的综合应用 【例3】　（1）（链接教科书第60页例6）若 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ，求tan αtan β的值； 解： 由已知条件得 所以 所以tan αtan β＝ ＝（－ ）÷ ＝－ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）化简： sin （α＋β） cos α－ [ sin （2α＋β）－ sin β]. 解： 原式＝ sin （α＋β） cos α－ { sin [（α＋β）＋α]－ sin [（α＋β）－α]} ＝ sin （α＋β） cos α－ ·2 cos （α＋β） sin α ＝ sin （α＋β） cos α－ cos （α＋β） sin α ＝ sin [（α＋β）－α] ＝ sin β. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 化简三角函数式的方法技巧 （1）正确逆用两角和与差的正、余弦公式，是化简三角函数式的基本 途径； （2）化简三角函数式要从分析角之间的关系入手，这是化简三角函数式 的一个切入点. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知 sin α＋ cos β＝1， cos α＋ sin β＝0，则 sin （α＋β）＝ ⁠ ⁠. 解析：∵ sin α＋ cos β＝1， cos α＋ sin β＝0，∴ sin 2α＋ cos 2β＋2 sin α cos β＝1①， cos 2α＋ sin 2β＋2 cos α sin β＝0②，①②两式相加 可得 sin 2α＋ cos 2α＋ sin 2β＋ cos 2β＋2（ sin α cos β＋ cos α sin β）＝1，∴ sin （α＋β）＝－ . － 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. ＝（　　） A. －1 B. － C. 1 D. 解析： 因为2 cos 10°＝2 sin 80°＝2 sin （60°＋20°）＝2（ sin 60° cos 20°＋ cos 60° sin 20°）＝ cos 20°＋ sin 20°，所以 ＝ ＝－ .故选B. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合， 它的终边过点P ，将角α的终边逆时针旋转 得到角β，则下 列结论中正确的是（　　） A. tan α＝ B. cos β＝－ C. sin （α－β）＝－1 D. sin ＝－ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，由题意，得tan α＝ ＝ ，故A正确；对于B，由题 意，得β＝α＋ ，所以 cos β＝ cos ＝－ sin α＝－ ＝ ，故B 错误；对于C， sin β＝ sin ＝ cos α＝－ ，所以 sin （α－β）＝ － × － × ＝－1，故C正确；对于D， sin ＝－ × ＋ × ＝ ，故D错误.故选A、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知 sin α＝ ， sin （α－β）＝－ ，α，β均为锐角，则β ＝ ⁠. 解析：∵α，β均为锐角，∴－ ＜α－β＜ ，∴ cos （α－β）＝ ， cos α＝ ，∴ sin β＝ sin [α－（α－β）]＝ sin α cos （α－ β）－ cos α sin （α－β）＝ .又0＜β＜ ，∴β＝ . 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 已知0＜α＜ ，0＜β＜ ，且 sin （α－β）＝－ ， sin β＝ ，则 sin α＝（　　） A. B. C. D. － 解析： 　由0＜α＜ ，0＜β＜ ，得－ ＜α－β＜ ，所以 cos （α －β）＝ ＝ ， cos β＝ ＝ ，所以 sin α ＝ sin [（α－β）＋β]＝ sin （α－β） cos β＋ cos （α－β） sin β ＝－ × ＋ × ＝ .故选C. √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知 cos （α＋β）＝ ， cos （α－β）＝－ ，则 cos α cos β＝ （　　） A. 0 B. C. 0或 D. 0或± 解析： 　 cos （α＋β）＝ cos α cos β－ sin α sin β＝ ， cos （α－ β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝－ ，两式相加可得2 cos α cos β＝ 0，即 cos α cos β＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知 ＜β＜α＜ ， cos （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝－ ， 则 sin 2α＝（　　） A. － B. C. － D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵ ＜β＜α＜ ，∴0＜α－β＜ ，π＜α＋β＜ . 又∵ cos （α－β）＝ ， sin （α＋β）＝－ ，∴ sin （α－β）＝ ， cos （α＋β）＝－ .∴ sin 2α＝ sin [（α＋β）＋（α－β）]＝ sin （α＋β） cos （α－β）＋ cos （α＋β） sin （α－β）＝－ .故 选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知 cos （α＋ ）－ sin α＝ ，则 sin （α＋ ）＝（　　） A. － B. － C. D. 解析： 　∵ cos （α＋ ）－ sin α＝ ，∴ cos α－ sin α＝ ， ∴ cos α－ sin α＝ ，∴ sin （α＋ ）＝ sin α cos ＋ cos α sin ＝ sin α－ cos α＝－ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. （2025·徐州质检）已知 sin （α＋β）＝ ， sin （α－β）＝ ，则 ＝（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 √ 解析： 　由 得 故 ＝ ＝2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知 cos α＝ ， cos （α＋β）＝－ ，且α，β∈（0， ），则（　　） A. cos β＝ B. sin β＝ C. cos （α－β）＝ D. sin （α－β）＝－ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 对于A，因为α∈（0， ）， cos α＝ ，所以 sin α＝ ＝ ＝ .又α，β∈（0， ），所以α＋β∈ （0，π），所以 sin （α＋β）＝ ＝ ＝ ，所以 cos β＝ cos [（α＋β）－α]＝ cos （α＋β） cos α＋ sin （α＋β） sin α＝－ ＋ ＝ ，故A正确；对于B，因为β∈（0， ）， 所以 sin β＝ ＝ ＝ ，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 对于C， cos （α－β）＝ cos α cos β＋ sin α sin β＝ × ＋ × ＝ ，故C正确；对于D， sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β＝ × － × ＝ ，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. ＝ 　 　. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：原式＝ ＝ ＝ ＝tan 60°＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知 sin ＝－ ，则 cos x＋ cos ＝ ⁠. 解析：因为 sin ＝－ ，所以 cos x＋ cos （x－ ）＝ cos x＋ sin x＝ （ cos x＋ sin x）＝ sin ＝－1. －1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. （2025·南京质检）已知α，β∈（0， ）， sin （α＋β）＝ ，tan α＝2tan β，则 sin （α－β）＝ ⁠. 解析：由tan α＝2tan β，得 ＝ ，则 sin α cos β＝2 cos α sin β　 ①，由 sin （α＋β）＝ ，得 sin α cos β＋ cos α sin β＝ 　②，联立 ①②解得 ∴ sin （α－β）＝ sin α cos β－ cos α sin β ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 求证： ＝tan（α＋β）. 证明：因为左边＝ ＝ ＝tan（α＋β）＝右边，所以等式成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知0＜α＜ ， sin ＝ ，则 ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为 sin ＝ ，所以 （ cos α－ sin α）＝ ，所以 cos α－ sin α＝ ，所以1－2 sin α cos α＝ ，得 sin α cos α＝ .因为0 ＜α＜ ，所以 cos α＋ sin α＝ ＝ ，所以 ＝ ＝ ＝ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕已知在△ABC中， sin A＋ cos A＝m，则下列说法中正确的 是（　　） A. m的取值范围是[－ ， ] B. 若0＜m＜1，则△ABC为钝角三角形 C. 若m＝ ，则tan A＝－ D. 若m＝1，则△ABC为直角三角形 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　m＝ sin A＋ cos A＝ sin .对于A，因为A为三角形 的内角，所以A∈（0，π），所以A＋ ∈ ，所以 sin ∈ （－ ，1］，则m∈（－1， ]，故A不正确；对于B，若0＜m＜1， 则0＜ sin ＜1，0＜ sin ＜ .由A可知， ＜A＋ ＜π， 所以 ＜A＜ ，故A为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 对于C，若m＝ ，则 sin A＋ cos A＝ ①，（ sin A＋ cos A）2＝ ，所以 2 sin A cos A＝－ ，所以A为钝角，且 sin A－ cos A＞0，（ sin A－ cos A） 2＝1－2 sin A cos A＝ ，所以 sin A－ cos A＝ ②.由①②解得 sin A＝ ， cos A＝－ ，所以tan A＝ ＝－ ，故C正确；对于D，当m＝1时， sin A＋ cos A＝1，所以（ sin A＋ cos A）2＝1＋2 sin A cos A＝1，所以 sin A cos A＝0.在△ABC中， sin A≠0，所以 cos A＝0，A＝90°，即△ABC为直角 三角形，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. （2025·连云港质检）已知 cos α－ cos β＝ ， sin α－ sin β＝－ ， 则 cos （α－β）＝ ⁠. 解析：由 cos α－ cos β＝ 两边平方，得（ cos α－ cos β）2＝ cos 2α ＋ cos 2β－2 cos α cos β＝ 　①，由 sin α－ sin β＝－ 两边平方，得 （ sin α－ sin β）2＝ sin 2α＋ sin 2β－2 sin α sin β＝ 　②，由①＋ ②，得2－2（ cos α cos β＋ sin α sin β）＝ ，∴ cos α cos β＋ sin α sin β＝ ，即 cos （α－β）＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 若 sin （ ＋α）＝ ， cos （ －β）＝ ，且0＜α＜ ＜β＜ ， 求 cos （α＋β）的值. 解：∵0＜α＜ ＜β＜ ，∴ ＜ ＋α＜π，－ ＜ －β＜0. 又 sin （ ＋α）＝ ， cos （ －β）＝ ，∴ cos （ ＋α）＝－ ， sin （ －β）＝－ .∴ cos （α＋β）＝ sin ［ ＋（α＋β）］＝ sin ［（ ＋α）－（ －β）］＝ sin （ ＋α） cos （ －β）－ cos （ ＋α）· sin （ －β）＝ × －（－ ）×（－ ）＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知 ＜β＜α＜ ，且 sin 2α sin － cos 2α sin ＝ ， sin 2β cos ＋ cos 2β sin ＝ ，求 sin （2α－2β）的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：由题意，得 sin 2α sin － cos 2α sin ＝ sin 2α cos ＋ cos 2α sin ＝ sin ＝ ， sin 2β cos ＋ cos 2β sin ＝ sin ＝ . 因为 ＜β＜α＜ ， 所以 ＜2β＋ ＜2α＋ ＜ ， 则 cos ＝－ ， cos ＝－ ， 所以 sin （2α－2β）＝ sin ［ － ］＝ sin cos － cos sin （2β＋ ）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $