9.3.3 向量平行的坐标表示课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第9章　平面向量 9.3.3　向量平行的坐标表示 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.理解用坐标表示平面向量共线的条件. 2.掌握三点共线的判定方法. 要点深化·核心知识提炼 知识点　向量平行的坐标表示 1.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0. 2.若=λ(λ≠0,且λ≠-1),则P,P1,P2三点共线. (1)当λ∈(0,+∞)时,P位于线段P1P2的内部,特别地,当λ=1时,P为线段P1P2的中点. (2)当λ∈(-∞,-1)时,P在线段P1P2的延长线上. (3)当λ∈(-1,0)时,P在线段P1P2的反向延长线上. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a∥b,则存在唯一实数λ使得a=λb.(　　) (2)已知两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且反向.(　　) (3)若a=(1,-2),b=(3,6),则a,b可作为平面向量的一组基底.(　　) (4)已知非零向量满足=2,则A,B,C,D四点构成一个梯形.(　　) × √ √ × 题型分析·能力素养提升 【题型一】向量平行的坐标表示 例1 已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3),判断是否平行?如果平行,它们的方向相同还是相反? 解 ∵A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3), =(0,4)-(2,1)=(-2,3), =(5,-3)-(1,3)=(4,-6). ∵(-2)×(-6)-3×4=0,且(-2)×4=-8<0, 平行且方向相反. 题后反思　此类题目应充分利用向量共线定理或向量共线坐标的条件进行判断. 跟踪训练1 已知点A(3,-4)与B(-1,2),点P在直线AB上,且||=2||,则点P的坐标为　　 　　.  (,0)或(-5,8) 解析 ∵点P在直线AB上,且||=2||,=2=-2 当=2时,设P的坐标为(m,n),则=(m-3,n+4),=(-1-m,2-n), 解得P(,0). 当=-2时,同理可得出P的坐标为(-5,8). 综上所述,点P的坐标为(,0)或(-5,8). 【题型二】利用向量共线求参数的值 例 2 [链接教材例1]已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向? 解 ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2), a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), ∵ka+b与a-3b平行,∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0, 解得k=- 此时ka+b==-(a-3b), ∴当k=-时,ka+b与a-3b平行,并且反向. 题后反思　利用向量平行的条件求参数值的思路 (1)利用共线向量定理b=λa(a≠0)列方程组求解. (2)利用向量平行的坐标表示式直接求解. 跟踪训练2 已知a=(1,m-1),b=(m,2),则“m=2”是“a∥b”的(　　) A.充分不必要条件 B.充分必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析 向量a=(1,m-1),b=(m,2), 若a∥b,则2=m(m-1),即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1,所以m=2是a∥b的充分不必要条件.故选A. A 【题型三】向量共线的应用 角度1三点共线问题 例3 [链接教材练习,T5]已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,3). (1)若A,B,C三点共线,求x的值; (2)若△ABC为直角三角形,且∠B为直角,求x的值. 解 (1)因为=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,3), 所以=(3,1),=(-1-x,6), 因为A,B,C三点共线,所以共线, 所以3×6=-1-x,解得x=-19. (2)因为△ABC为直角三角形,且∠B为直角,所以, 所以=3(-1-x)+6=0,解得x=1. 规律方法　三点共线的实质与证明步骤 (1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反,两个向量共线与两个向量平行是一致的. (2)证明步骤:利用向量平行证明三点共线需分两步完成. ①证明向量平行;②证明两个向量有公共点. 角度2在平面几何中的运用 例4 [链接教材习题9.3(4),T10]如图所示,在△AOB中,点A(0,5),O(0,0), B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标. 解 因为(0,5)=, 所以C 因为(4,3)=,所以D 设M(x,y),则=(x,y-5), 因为,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20.　① 又, 所以x-4=0,即7x-16y=-20.　② 联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为 规律方法　应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 跟踪训练3 如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标. 解 方法一:设=t=t(4,4)=(4t,4t), 则=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), =(2,6)-(4,0)=(-2,6). 由共线,得(4t-4)·6=4t·(-2), 解得t=,=(4t,4t)=(3,3). ∴点P的坐标为(3,3). 方法二:设P(x,y),则=(x,y),=(4,4). 共线,∴4x-4y=0.　① 又=(x-2,y-6),=(2,-6),且向量共线, ∴-6(x-2)=2(y-6).　② 解①②组成的方程组,得x=3,y=3,∴点P的坐标为(3,3). $