9.3.2 向量坐标表示与运算&9.3.3 向量平行的坐标表示（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高一数学必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦平面向量的坐标表示与运算，涵盖向量坐标定义、线性运算、数量积、平行条件及中点、重心等几何应用，通过复习平面向量基本定理导入，构建从概念到运算再到几何应用的学习支架。 其亮点在于知识辨析澄清易混点，例题与典例结合，如直角梯形建系求数量积最小值，培养数学思维（推理、运算）和数学语言（坐标公式表达）。助力学生提升运算能力与应用意识，为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

向量的坐标表示 必备知识 清单破 知识点 1 9.3.2　向量坐标表示与运算    9.3.3　向量平行的坐标表示 在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内 的向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对有序实数(x,y),使得a=xi+yj. 我们把有序实数对(x,y)称为向量a的(直角)坐标,记作a=(x,y). 作 =a,即有 =xi+yj,则 的坐标(x,y)就是终点A的坐标;反过来,点A的坐标(x,y)就是向量  的坐标. 第9章　平面向量 高中同步 向量线性运算的坐标表示 知识点 2 1.已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),实数λ,那么a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1). 2.向量的坐标:一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2), 则 =(x2-x1,y2-y1). 第9章　平面向量 高中同步 　　若两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),两向量的夹角为θ,则 (1)数量积:a·b=x1x2+y1y2. (2)模的计算公式:|a|= . (3)夹角公式:cos θ= = (a,b均为非零向量). (4)两向量垂直的坐标表示:a⊥b⇔x1x2+y1y2=0(a,b均为非零向量). (5)向量平行的坐标表示:a∥b⇔x1y2-x2y1=0(a≠0),特别地,当a∥b且x2y2≠0时,有 = ,即两个 向量的横、纵坐标对应成比例. (6)两点间的距离公式:若A(x3,y3),B(x4,y4),则| |= . 向量数量积的坐标表示 知识点 3 第9章　平面向量 高中同步 向量的坐标表示的重要结论 知识点 4 1.中点的向量坐标表示 　　若A(x1,y1),B(x2,y2),P为AB的中点,则 = = (O为坐标原点). 2.三角形重心的向量坐标表示 　　在△ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),△ABC的重心为G,则 = =  (O为坐标原点). 第9章　平面向量 高中同步 3.线段定比分点的坐标公式 　　直线l上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),在l上取不同于P1,P2的任意一点P,存在一个实数λ,使 = λ ,O为坐标原点,则有 =  +  ,点P的坐标为 , .特别地,当λ=1 时,点P为P1P2的中点,此时点P的坐标为 . 第9章　平面向量 高中同步 知识辨析 1.已知O为坐标原点,若 =(x,y),则A(x,y),这两个(x,y)表示的意思相同吗? 2.向量的坐标就是向量的终点的坐标吗? 3.两个向量的终点不同,则这两个向量的坐标一定不同吗? 4.“设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔ =  ”,这种表述正确吗? 5.对任意的向量a,b,向量夹角的坐标公式及垂直的坐标公式都成立吗? 6.在直角三角形ABC中,由 =(1,1), =(-4,m),可以得到m=4的结论吗? 7.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积是(x1x2,y1y2)吗? 第9章　平面向量 高中同步 一语破的 1.不相同.A(x,y)表示点A在平面直角坐标系中的位置, =(x,y)既表示向量的大小为 , 也表示向量的方向是由O指向A的方向. 2.不一定.当表示向量的有向线段的起点为原点时,向量的坐标才与终点的坐标相同. 3.不一定.向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标,只要终点与起点的坐标的差相 等,这两个向量的坐标就相等. 4.不正确.当b的横、纵坐标中有一个为0(或a,b的纵坐标中有一个为0)时,不能用该式子表示. 5.不一定成立.这两个公式对于a=0或b=0的情况均不成立. 6.不可以.在直角三角形ABC中,当且仅当∠B为直角时,才能得到m=4. 7.不是.两个向量的数量积是数量,即x1x2+y1y2,不能写成坐标的形式. 第9章　平面向量 高中同步 关键能力 定点破 定点 1 利用平面向量线性运算的坐标表示解题 　　若已知向量对应有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,再根据线性运算法则 进行坐标运算,利用坐标运算求参数时,主要根据相等向量的坐标相同这一原则,列方程(组) 进行求解. 第9章　平面向量 高中同步 典例 平面内给定三个向量a=(2,5),b=(-1,2),c=(4,1). (1)求3a+b-2c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n的值. 解析    (1)由题意得3a+b-2c=3(2,5)+(-1,2)-2(4,1)=(-3,15). (2)由题意得(2,5)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n), ∴ 解得  第9章　平面向量 高中同步 定点 2 利用平面向量数量积的坐标运算解题 1.进行向量数量积的坐标运算时,通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,然后直接进 行数量积的坐标运算;二是直接依据已知条件计算. 2.以平面图形为背景的向量数量积的运算,若已知一些长度和角度,通常可以建立坐标系,以 角度和长度为依据写出相关点的坐标,进而求出相关向量的坐标,即可求解. 3.与向量有关的最值问题常转化为函数的最值问题来解决,可借助向量数量积的坐标运算构 造函数(一般是二次函数与三角函数),再利用函数的性质求出最值. 第9章　平面向量 高中同步 典例 在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,对角线AC交BD于点O, 点M在边AB上,且满足OM⊥BD. (1)求 · 的值; (2)若N为线段AC上任意一点,求 · 的最小值.   第9章　平面向量 高中同步 解析    (1)以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐 标系.   则A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2), ∴ =(2,2), =(-4,2). 易得△DOC∽△BOA,∴ = = , 第9章　平面向量 高中同步 ∴ =  = ,故O . 设M(λ,0),0≤λ≤4,则 = . ∵OM⊥BD,∴ · = ×(-4)+ ×2=-4λ+ =0,解得λ= .∴ = , ∴ · = ×(-4)+0×2=- . (2)由题意可设N(a,a),0≤a≤2, 则 · =(a,a)· =2a2- a=2 - , 所以当a= 时, · 有最小值- . 第9章　平面向量 高中同步 方法技巧 用向量方法(坐标未知)解决几何问题的关键是建立恰当的直角坐标系,建系时要使尽可能多 的点落在坐标轴上,使更多的线与坐标轴平行,这样便于求相关点的坐标. 第9章　平面向量 高中同步 定点 3 向量平行的坐标表示的应用 1.判断向量是否共线 向量共线的判定方法主要有以下三种: (1)利用向量共线定理,由b=λa(a≠0)推出a∥b. (2)利用向量平行的坐标表示,即“若a=(x1,y1),b=(x2,y2)(a≠0),则a∥b⇔x1y2-x2y1=0”直接求解. (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),当x2y2≠0时,可用 = 进行判断. 第9章　平面向量 高中同步 2.利用向量平行的坐标表示求点的坐标的步骤   此类问题还可以利用向量共线定理求解. 第9章　平面向量 高中同步 3.利用向量平行的坐标表示求参数 　　在已知两向量平行求参数的问题中,参数一般设置在两个位置:一是向量的坐标含有参 数;二是相关向量用已知的两个向量的含参关系式表示.解题时应根据题目特点合理选择向 量共线的表示形式,建立方程(组)求解. 第9章　平面向量 高中同步 典例 在△AOB中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3), =  , =  ,AD与BC交于点M,求点M 的坐标. 解析    由题意得 =(0,5), =(4,3). ∵ =  = ,∴C . 同理可得D ,从而 = . 设点M的坐标为(x,y),则 =(x,y-5). ∵A,M,D三点共线,∴ 与 共线, ∴- x=2(y-5),即7x+4y=20.① 易知 = , = . 第9章　平面向量 高中同步 ∵C,M,B三点共线,∴ 与 共线, ∴ x=4 ,即7x-16y=-20.② 由①②解得x= ,y=2. ∴点M的坐标为 . 第9章　平面向量 高中同步 $