9.3.3 向量平行的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册教师用书word（苏教版）

9.3.3　向量平行的坐标表示[教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解向量平行的坐标表示，会进行共线问题的处理. 2.能利用向量平行的坐标表示解决有关向量平行及三点共线问题. (1)向量平行的坐标表示 一般地，设向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(a≠0)，则a∥b ⇔x1y2-x2y1=0. 特别地，当a∥b且x2y2≠0时，有=，即两个向量的相应坐标成比例. (2)谨防两个易错点 两个向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)平行的条件x1y2-x2y1=0容易写错，该条件的正确记法为“交叉相乘，差为0”. 当两个非零的共线向量的对应坐标同号或同为零时，同向;当两个非零的共线向量的对应坐标异号或同为零时，反向. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线. (　　) (2)向量(2，3)与向量(-4，-6)反向. (　　) (3)如果x1y2-x2y1=0，那么向量a=(x1，y1)与向量b=(x2，y2)共线. (　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 2.已知向量a=(-2，4)，b=(1，-2)，则a与b的关系是 (　　) A.不共线 B.相等 C.方向相同 D.方向相反 解析：选D　∵a=-2b，∴a与b方向相反.故选D. 3.已知a=(-3，2)，b=(6，y)，且a∥b，则y=　　　.  解析：∵a∥b，∴=，解得y=-4. 答案：-4 题型(一)　向量平行的判定 [例1]　已知A，B，C三点的坐标分别为(-1，0)，(3，-1)，(1，2)，且==，求证：∥. 证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2). 由题意知=(2，2)，=(-2，3)，=(4，-1)， ∴====. ∴(x1，y1)-(-1，0)=，(x2，y2)-(3，-1)=.∴(x1，y1)=，(x2，y2)=. ∴=(x2，y2)-(x1，y1)=. ∵4×-(-1)×=0，∴∥. |思|维|建|模| 向量平行的判定方法 (1)利用向量共线定理，由a=λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量平行的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解. 　　[针对训练] 1.(多选)下列各组向量中，可以表示它们所在平面内所有向量基底的是 (　　) A.a=(-1，2)，b=(3，5)　 B.a=(1，2)，b=(2，1) C.a=(2，-1)，b=(3，4) D.a=(-2，1)，b=(4，-2) 解析：选ABC　要满足题意，若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a与b不平行，即x1y2-x2y1≠0.对于A，2×3+1×5≠0，所以A不平行;对于B，2×2-1×1≠0，所以B不平行;对于C，-1×3-2×4≠0，所以C不平行;对于D，1×4-(-2)×(-2)=0，所以D平行.故选ABC. 2.已知点A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量与平行吗?直线AB平行于直线CD吗? 解：因为点A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，所以=(2，4)，=(1，2)，显然有2×2-1×4=0，于是得∥.因为=(2，6)，而=(2，4)，即有2×4-2×6≠0，所以与不平行，即点A，B，C不共线.因此AB与CD不重合，所以直线AB与CD平行. 题型(二)　利用向量平行的坐标表示求参数 [例2]　已知a=(1，0)，b=(2，1). (1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线? (2)若=2a+3b，=a+mb，且A，B，C三点共线，求m的值. 解：(1)因为a=(1，0)，b=(2，1)， 所以ka-b=k(1，0)-(2，1)=(k-2，-1)，a+2b=(1，0)+2(2，1)=(5，2). 因为ka-b与a+2b共线， 所以=，解得k=-. (2)因为a=(1，0)，b=(2，1)， 所以=2a+3b=2(1，0)+3(2，1)=(8，3)， =a+mb=(1，0)+m(2，1)=(1+2m，m). 因为A，B，C三点共线， 所以与共线， 即=，解得m=. |思|维|建|模| 　　根据向量共线条件求参数问题，一般有两种思路.一是利用向量共线定理a=λb(b≠0)，列方程组求解;二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0求解. [针对训练] 3.已知向量=(1，-3)，=(2，-1)，=(k+1，k-2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是 (　　) A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1 解析：选C　因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即∥.又=-=(1，2)，=-=(k，k+1)，所以2k-(k+1)=0，解得k=1. 4.已知向量a=(1，2)，b=(2，-3)，若向量c满足(c+a)∥b，c⊥(a+b)，则c= (　　) A. B. C. D. 解析：选B　设c=(x，y)，则c+a=(x+1，y+2)，a+b=(3，-1).由(c+a)∥b，c⊥(a+b)， 得解得 所以c=. 题型(三)　利用向量平行的坐标表示求点的坐标 [例3]　如图所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC和OB交点P的坐标. 解：设=t=t(4，4)=(4t，4t)， 则=-=(4t，4t)-(4，0)=(4t-4，4t)， =-=(2，6)-(4，0)=(-2，6). 由平行的条件知 (4t-4)×6-4t×(-2)=0，解得t=. 所以=(4t，4t)=(3，3).所以P点坐标为(3，3). |思|维|建|模| 利用向量平行的坐标表示求点M坐标的步骤 (1)寻找共线向量; (2)利用已知点的坐标求出共线向量的坐标; (3)设点M的坐标为(x，y)，用x，y表示以M为起点或终点的向量的坐标; (4)利用共线向量的坐标表示列方程(组); (5)解方程(组)求出点M的坐标. [针对训练] 5.在△AOB中，已知点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，==，AD与BC交于点M，求点M的坐标. 解：∵点O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， ∴=(0，5)，=(4，3). ∵==，∴点C的坐标为. 同理可得点D的坐标为，从而=. 设点M的坐标为(x，y)，则=(x，y-5). ∵A，M，D三点共线，∴与共线， ∴-x=2(y-5)，即7x+4y=20 ①. 易知==. ∵C，M，B三点共线，∴与共线， ∴x=4，即7x-16y=-20 ②. 由①②解得x=，y=2.∴点M的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $