精品解析：甘肃陇南市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025-2026学年武都市陇南第一中学高一下学期 期中考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为，所以，即． 故选：A． 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合斜二测画法的原几何图形，进而求得其对角线长，得到答案. 【详解】由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形， 如图所示，其中，， 所以. 故选：C． 3. 正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量(　　) A. 都相等 B. 都共线 C. 都不共线 D. 模都相等 【答案】D 【解析】 【详解】正n边形n条边相等,故这n个向量的模相等. 故选：D. 4. 某智能物流车的“实际配送向量D”“规划路线向量R”“交通拥堵修正向量J”满足关系式：D=3R+2J.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量J与向量 垂直， 配送效率等级通过“规划路线向量 R 的模(单位：km)”判定，标准如下表(一般情况下，认定“停滞”属于无效配送)： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（ ） A. 超高效 B. 高效 C. 常规 D. 低效 【答案】B 【解析】 【分析】设向量，根据题意，列出方程组，求得或，分类讨论，分别求得的值，结合附表中的数据，进而得到答案. 【详解】设向量，因为向量与垂直，且， 可得，解得或，所以或， 当时，， 所以，因为，所以属于高效； 当时，， 所以，因为，所以属于停滞， 因为“停滞”属于无效配送，排除此种情况， 所以此时配送的效率等级为高效. 故选：B. 5. 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 【答案】A 【解析】 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8， 然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 6. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量公式得到方程，求出，进而由向量夹角余弦公式求出，得到夹角. 【详解】因为在上的投影向量为，即，所以， 又， ， 所以， 且，则． 故选：B． 7. 已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的坐标得出直线方程，再根据点在内部列出关于的不等式组，结合，得出所有可能的点坐标，由平面向量数量积的坐标运算即可求解． 【详解】因为点为坐标原点，，， 所以直线的截距式方程为，即， 因为点在内部， 所以满足不等式组， 由，且，， 当时，由得，，点可以是； 当时，由得，，点是； 当时，此时不存在满足题意的正整数， 综上所述，满足条件得点共有三个：，； 因为， 所以，， ， 所以 ， 当点为时，， 当点为时，， 当点为时，， 所以最小值为． 8. 如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由平面向量数量积的坐标表示求得数量积，再结合二次函数知识得取值范围． 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， ，， 设，则（其中）， ， ， 所以，当时，取得最小值11. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则为钝角三角形 D. 在中， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用正弦定理边角转化可判断AB的正误，利用余弦定理可判断C的正误，利用正弦定理结合比例的性质可判断D的正误. 【详解】对于AB，因为中，等价于，即等价于， 即等价于，故AB正确； 对于C，因为，故为内角中的最大角， 而，故为锐角， 故为锐角三角形，故C错误； 对于D，由正弦定理有， 由比例的性质有，故D成立， 故选：ABD. 10. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体的体积为 B. BE，DF是异面直线 C. D. 点A到平面BDE的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，注意到几何体的体积，据此可判断选项正误；对于B，注意到BE，DF所在平面互相平行，又BE，DF不平行，据此可判断选项正误；对于C，由题设可得，据此可判断选项正误；对于D，由A分析结合等体积法可判断选项正误. 【详解】对于A，几何体的体积，故A正确； 对于B，因，平面，平面，则平面， 又平面ABCD，则，又平面，平面， 则平面，因，平面， 则平面平面，又平面，平面，，DF不平行，从而BE，DF是异面直线，故B正确； 对于C，易知，所以，故C错误； 对于D， ， 又由A分析可得，则点A到平面BDE的距离为，故D正确.故选ABD. 11. 已知复数，（，，，2，i为虚数单位），，的共轭复数分别为，，定义运算，记任意复数z的实部为，虚部为，则下列说法正确的有（ ）． A. 若，则 B. 若，在复平面内所对应的向量所成的夹角为锐角，则 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数、运算新定义求参数判断A；由复数的向量表示，及向量数量积的坐标运算判断B；将不等式作等价转化有，应用换元法并化简判断C；结合复数的乘法运算判断D. 【详解】若，则，，解得，故A正确； 设对应的向量为，对应的向量为，，的夹角为， 若， 则，其所成角为钝角，故B错误； ，原选项等价于， 令，，则原式等价于，整理得，所以原式恒成立，故C正确； ，当且仅当时，等号成立， 由，两边平方，整理得，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用表示不超过实数的最大整数，如，.则的值为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】首先求得在的范围内的值，再根据三角函数的周期性，求得所求表达式的值. 【详解】根据正弦函数的周期为，在一个周期内有，，， 当时，，当时，， 所以， 根据三角函数的周期性可知 ． 13. 在中，已知，O是的外心，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义及运算律可得，求出夹角余弦后利用余弦定理得解. 【详解】因为O是的外心，所以O在AB的中垂线上， 故． 由题意可得， 对等式两边同时乘，则， 则，解得， 故． 由余弦定理可得，解得． 故答案为： 14. 在中，，，锐角C满足，则____. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，且C为锐角，所以， 由余弦定理， 可得，得， 由正弦定理可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式对进行化简，根据正弦函数性质列不等式计算即可求出答案； （2）利用换元法令，根据的范围求出的范围，结合正弦函数图象求出的范围，即可求出在上的值域，即可求出答案； （3）求出变换后的函数解析式，将函数的零点转化为方程的解，求出的值，再结合，即可求出在上的零点，求和即可得到答案. 【小问1详解】 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为； 【小问2详解】 令，因为，所以， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为，，所以， 所以当时，取得最大值， 即，则， 则在区间上的最大值为，最小值为. 【小问3详解】 函数的图象向左平移个单位得， 纵坐标伸长为原来的2倍得， 所以， 令，即， 所以或， 即或， 又，所以只能取，所以或或或， 即函数在上的零点为， 所以函数在上所有零点之和为. 16. 已知函数，（）． （1）当时，求函数的对称中心； （2）若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）结合正弦函数的性质求出； （2）先求出的解析式，再利用辅助角公式化简，再将问题转化为求的最值即可； （3）先求出的解析式，求出值域，再将问题转化为对任意的，都有，令，得出对任意的恒成立，再利用参变分离求出即可. 【小问1详解】 当时，， 令，得， 故函数的对称中心为； 【小问2详解】 因为为偶函数，所以， 因为，所以，则， 则 ， 若，则，则， 因为不等式在上恒成立， 所以，， 得， 故实数m的取值范围为； 【小问3详解】 因为过点，所以， 因为，所以，则，得， 即， 因为，所以，则， 因为对任意的，，都有， 所以， 则对任意的，都有， 则， 令，则对任意的恒成立， 若，则恒成立； 若，则， 因为在上单调递减， 所以，则，即； 若，则， 因为在上单调递减， 所以，则， 即； 综上，实数a的取值范围是. 17. 已知向量，，满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直的关系，结合数量积的运算即可求解， （2）根据模长公式以及夹角公式即可代入求解. 【小问1详解】 ， 由得 ， 展开得， 将，，代入得，则； 【小问2详解】 ， . 18. 在中， ，，.求: （1）求的值; （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理代入求解； （2）由余弦定理得到的方程求解可得. 【小问1详解】 由正弦定理，得， 所以， 即， 解得. 【小问2详解】 由余弦定理得， 所以， 即， 解得或. 当时，，即， 又，所以. 而， 故 (舍去)， 经检验满足题意， 所以. 19. 平面四边形中，，，，． （1）求； （2）求四边形周长的取值范围； （3）若为边上一点，且满足，，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先求出，再由余弦定理计算可得； （2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可求出的范围，即可求出四边形周长的取值范围； （3）依题意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 在中由余弦定理 ； 【小问2详解】 在中， 即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 又， 则，即，所以， 所以， 即四边形周长的取值范围为； 【小问3详解】 因为，所以，又， 所以，，又，所以， 在中由余弦定理， 即 在中由余弦定理， 即， 又，所以， 所以， 又，所以， 即，所以， 所以，所以， 所以. . 【点睛】关键点点睛：本题第3小问的解决关键是利用余弦定理得到，从而结合第2小问中的结论即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年武都市陇南第一中学高一下学期 期中考试（数学）试卷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合. 1. 已知，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 3. 正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,an,则这n个向量(　　) A. 都相等 B. 都共线 C. 都不共线 D. 模都相等 4. 某智能物流车的“实际配送向量D”“规划路线向量R”“交通拥堵修正向量J”满足关系式：D=3R+2J.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量J与向量 垂直， 配送效率等级通过“规划路线向量 R 的模(单位：km)”判定，标准如下表(一般情况下，认定“停滞”属于无效配送)： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（ ） A. 超高效 B. 高效 C. 常规 D. 低效 5. 已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. ，或 C. D. ，或 6. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 7. 已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在梯形中，，，，若是线段上的动点，且，则的最小值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，，则为钝角三角形 D. 在中， 10. 如图，四边形ABCD是正方形，平面ABCD，平面ABCD，，则下列说法正确的是（ ） A. 几何体的体积为 B. BE，DF是异面直线 C. D. 点A到平面BDE的距离为 11. 已知复数，（，，，2，i为虚数单位），，的共轭复数分别为，，定义运算，记任意复数z的实部为，虚部为，则下列说法正确的有（ ）． A. 若，则 B. 若，在复平面内所对应的向量所成的夹角为锐角，则 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 用表示不超过实数的最大整数，如，.则的值为_______________ 13. 在中，已知，O是的外心，且，则______． 14. 在中，，，锐角C满足，则____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值； （3）将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和． 16. 已知函数，（）． （1）当时，求函数的对称中心； （2）若为偶函数，不等式在上恒成立，求实数m的取值范围； （3）若过点，设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 17. 已知向量，，满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与夹角的余弦值． 18. 在中， ，，.求: （1）求的值; （2）求的值. 19. 平面四边形中，，，，． （1）求； （2）求四边形周长的取值范围； （3）若为边上一点，且满足，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $