第4章因式分解同步单元练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册
2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》同步单元练习题（附答案）
一、单选题
1．下列各式由左边到右边的变形中，是多项式因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．多项式
的公因式是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．多项式
因式分解的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
，则
的值为（ ）
A．1 B．
C．0 D．2
5．若将多项式
因式分解得
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
，则代数式
的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
7．已知a，b满足等式，
，
，则x，y的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如
，
，
，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（ ）
A．28是“豫数” B．32是“豫数”
C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2
二、填空题
9．计算：
（__________）
．
10．多项式
可因式分解为
，则A为___________．
11．因式分解：
______．
12．若多项式
分解因式的结果中有因式
和
，则
_____．
13．分解因式：
____________．
14．已知
，则
的值为________．
15．已知
，则
的值是________．
16．如图所示，大长方形是由若干个长、宽分别为a，b的小长方形，边长为a的正方形，边长为b的正方形拼成的，由此可进行因式分解：
_______．
三、解答题
17．因式分解：
(1)
； (2)
；
(3)
； (4)
．
18．运用简便方法计算：
(1)
．
(2)
．
(3)
19．阅读材料：
因式分解：
．
解：将“
”看成整体，令
，则原式
．再将“A”还原，可以得到：原式
．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．
问题解决：
(1)因式分解：
；
(2)因式分解：
；
20．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：
．
(1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：
；
(2)深入研究，已知a、b、c分别是
的三边，且
，试判断的形状，并说明理由．
21．现有图1中的A，B，C三种卡片若干，用这些卡片可以拼成各式各样的图形，根据这些图形的面积的不同表示可以将一些多项式因式分解．
例：用1张A卡片，2张B卡片，1张C卡片拼成如图2的图形，用两种方法表示该图形的面积，可以得到等式
．
(1)请把表示图3面积的多项式因式分解（直接写出等式即可）_____________；
(2)请利用图1的卡片，若想得到面积为
的图形，需要卡片A____张，卡片B____张，卡片C____张．
22．在对多项式进行因式分解时，如果多项式既无公因式可提，又不能直接利用公式，怎么办呢？
有许多数学学者都对此加以研究．如：利用面积或体积的等积变换数形结合因式分解，十字相乘法因式分解，求根分解法因式分解等等，还有许多有趣的方法等待同学们解锁．请同学们阅读以下材料，尝试解决问题：
材料1：整体设元法
利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，分解因式
；
解：将“
”看成一个整体，令
；
原式
；
材料2：姬曼定理
请看这个问题：把
分解因式；19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项，而且属于平方和
的形式，要使用公式就必须添一项
，随即将此项减去，即可得
；
人们为了纪念苏菲·姬曼给出这一解法，就把它叫做“姬曼定理”．
根据材料，请你尝试对以下多项式进行因式分解：
(1)因式分解：
；