第4章 因式分解 测试卷-【典创·单元学情诊断卷】2025-2026学年八年级下册数学（北师大版·新教材）

交于点C(n,2),∴.把C(n,2)代入y=2x-4,得2=2n- 4,解得：n=3,把C(3,2)代入y=mx+4,得2=3m+4, 解得：m=-子直线4B:y=一子+4，当y=0时，则0 2 =-子+4，解得=6A(6,0): 3x+4< (2)直线AB:y=-3x+4,A(6,0),.当y=-2 0时，x的取值范围是x>6; (3)0<mr+4≤2x-4,即0<-子+4≤2x-4,根据图象 此时的不等式0<-号x+4≤2x-4的解集为3≤x<6. 第四章测试卷 一、选择题 1.B2.A3.B4.A5.A6.C7.D8.B9.A 10.A 二、填空题 11.2312.7013.x<y<z14.①③15.22或24 三、解答题 16.解：(1)原式=3(x2-4xy+4y2)=3(x-2y)2; (2)原式=(x2+4)2-(4x)2=(x2+4+4x)(x2+4-4x) =(x+2)2(x-2)2 17.解：设另一个因式为a+k,则a2+4a+b=(a+3)(a +k),展开右边：(a+3)(a+k)=a2+(k+3)a+3,比 较系数得：k+3=4,b=3k,解得k=1,b=3,∴.另一个因 式为a+1,b=3. 18.证明：(2n+1)2-(2n-1)2=[(2n+1)+(2n- 1)]×[(2n+1)-(2n-1)]=4n×2=8n,n是整数， .8n是8的倍数，故两个连续奇数的平方差是8的倍数 19.解：S=πR2-4πr2=T(R2-4r2）=π(R+2r）(R 2r)≈3×(8.6+2×0.7)×(8.6-2×0.7)=216(cm2). 答：剩余钢板的面积为216cm2. 20.解：(1)①； (2)(3x+y)2-(x+3y)2=(3x+y+x+3y)(3x+y-x- 3y)=(4x+4y)(2x-2y)=8(x+y)(x-y). 21.解：(1)a-b=3,.50÷5=5-6=53=125; (2)2”-2=227+n-204+m=23.224,2”-22024.2”= (23-1)×224×2”=7×224×2”=7×2×220四×2=14 ×22023+",n为正整数，.14×2203+m一定能被14整除， .2-2能被14整除. 22.解：(1)x2+2y2-2xy+4y+4=0,.x2-2xy+y2+ +4+4=0(x+g+2=0,20,解 得∫x=-2 =-2 (2).a2+b2=10a+8b-41,.a2-10a+25+b2-8b+ fa-5=0 16=0,(a-5)2+(6-4)2=0,6-4=0解得 ∫a=5 6=4c是最长边的长，…5<c<9. .85 23.解：(1)原式=(m-7)2-52=(m-7+5)(m-7-5) =(m-2)(m-12): (2)原式=-(m2-12m+36-36)-18=-(m-6)2+ 18,因为无论m取何值，-(m-6)2都小于或等于0，所 以-(m-6)2+18≤18，则-m2+12m-18有最大值， 为18. 第五章测试卷 一、选择题 1.C2.C3.A4.B5.A6.A7.A8.A9.B 10.B 二、填空题 1.412,13.-3或4143<x≤6且x≠4 x+y 15.-6 三、解答题 16.解：(1)原方程两边同时乘x(x+3)得5x=2(x+3), 去括号得5x=2x+6,解得：x=2,检验：当x=2时，最简 公分母x(x+3)≠0，∴.分式方程的解为x=2; (2)原方程两边同时乘(x-1)(x+2),得3+(x-1)(x +2)=x(x+2),去括号得3+x2+2x-x-2=x2+2x,解 得：x=1,检验：当x=1时，最简公分母(x-1)(x+2)= 0,.x=1是分式方程的增根，.分式方程无解。 7解：（号为己4f+5+25+ 2 3=0,∴.-x2+5x=3,∴.原式=3+2=5. 18.解：原式=2x3》.1.（x+3)x-22。 (x-2)7x+3 3-x 名2因为式子的值为正数，所以-2<0.即<2.又 因为式子中，x需满足x≠2，x≠±3，所以当x<2,且x≠ -3时，式子2红-6(x+3).+6的值为正数 x2-4x+4 3-x 9解：依题意(2-24d l七+2）(x-2)-x(x-1).（x-2）2]·x2 x(x-2) = r =-2.x2=x(x-2)=x2-2x, ∴.输出D的化简结果为x2-2x. 20.解：(1)C; (2)m+3=m+1+2=m+1,2 m+1-m+1m+1m+1< m+1 21.解：(1)二；三； （2)原武=(2克号-2+2 x-3 x-2x-2 =2x-5-x+2.(x-2)(x+22 x-2 x-3 =-3.（x-2)x+21=x+2, x-2 x-3 -1=3+(-2),解得x=子检验：当=时5(x x+2≠0，x-2≠0，x-3≠0，∴.x≠-2,2,3，.x可取 4,5,当x=5时，原式=7.（或当x=4时，原式=6） ,·x三)是原分式方程 22.解：(1)x+7_x+6=11 x+8x+7x+7x+8 ):2+2+-2产两边同乘(x-1)(:+2) (2)x 3 (2)x+n+1x+n 1 1 得：x(x-1)+3=x(x+2),解得x=1,检验：当x=1时， x+n+2x+n+1x+n+1x+n+29 (x+2)(x-1)=0,∴.x=1是原分式方程的增根，.原分 (3)证明：第①个等式等号左边=+n+! x+n 式方程无解. x+n+2x+n+1 17.解：(1)原式=1-(x2-2xy+y2)=1-(x-y)2=(1 （x+n+1)2 (x+n)(x+n+2) (x+n+1)(x+n+2)(x+n+1)(x+n+2) +x-y)(1-x+y); =x+n)2+2(x+m)+1(x+n)2+2(x+n) (2)原式=(x2-9)2=[(x+3)(x-3)]2=(x+3)2(x-3)2. 18.解：.4a2+9b2+11ab=(4a2+9b+12ab)-ab=(2a (x+n+1)(x+n+2)(x+n+1)(x+n+2) +3b)2-ab,.4块A型地砖，9块B型地砖，11块C型 1 =(x+n+1)(x+n+2) 地砖，要拼成一个大正方形，还缺1块C型地砖， 第0个等式等号右边= 19.解：该同学的解答过程不正确，分式乘除混合运算的 1 1 x+n+2 顺序为从左到右.正确的解答过程如下：x÷(x-1)· x+n+1x+n+2=(x+n+1)(x+n+2) 1 11 x+n+1 1 x-1=x‘x-1'x-=(x-1)2 (x+n+1)(x+n+2)=(x+n+1)(x+n+2)' 20.解：(1)原式=(ab+b)+(a+1)=b(a+1)+(a+ 所以第D个等式等号左边=等号右边，故第⑩个等式 1)=(a+1)(b+1); 成立 (2)证明：.a2-b2+c2-2ac=(a2-2ac+c2)-b2=(a 23.解：(1)设《甘石星经》单价为x元，则《开元占经》单 -c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b),a,b,c是△ABC的 价为子元 三边，∴.a-c+b>0,a-c-b<0,.(a-c+b)(a-c- b)<0,即a2-b2+c2-2ac<0. 山题意可得学四=4，解得x:罗，经检验 200 200 3 2L条安试D片中： 4x 文3*3女5+57+…+02a+32nt521 11 1 3 是原方程的解，4x=50(元). 1 1 答：开元占经》单价为50元，《甘石星经单价为元： 1 1 (2)设购买《开元占经》m本，则购买《甘石星经》(100- m)本，100-m≥3m,解得m≤75，设总费用为0元，w= 1 1 12n+4_n+2.n+2_9 2m+5)=2×2n+5-2n+5心2n+519, 50×0.75m +200x0.75×(100-m)=-12.5m+5000, 解得n=7; 3 1 1 因为-12.5<0，所以w随m的增大而减小，所以当m= (2)1 +1+(x+1)(x+2)+(x+2)(x+3)+…+ 75时，0最小，此时100-m=25(本). 1 170 答：购买《开元占经》75本，购买《甘石星经》25本时费用 (x+99)(x+100)=(x+1)(x+100) 最少 左边=1+11 中+中2*中2中3+…+十g 11 第二次月考测试卷 x+99 一、选择题 1111 x+199 1.C2.B3.D4.B5.A6.D7.A8.A9.A x+100=x+1+x+1x+100=(x+1)(x+100), 10.B x+199 170 二、填空题 六(x+1)(x+10)=x+1)(x+100x+19=170, 11.812.-213.a<2且a≠114.>15.x+1)2 1 解得：=-29，”原式中存在(x+28)(x+29)和 三、解答题 (x+29)(x+30)两项.当x=-29时，这两项无意义， 1 )之5x210+写，两边同乘5(x-2)得：5(x 16.解：(1)x-1=3 即原方程无意义，故原方程无解. ·86·第四章测试卷 题号 二 三 总分 得分 时间：120分钟 满分：120分 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的) 1.下列由左边到右边的变形中，不属于因式分解的是 ( A.3a+3b=3(a+b) B.a2-a+1=a(a-1)+1 C.a2+4a+4=(a+2)2 D.a2-9=(a+3)(a-3) 2.因式分解多项式8m2n-2mn应提取的公因式是 A.2mn B.2m C.2m'n D.mn 3.下列式子能用平方差公式进行因式分解的是 A.x2+y2 B.x2-y2 C.-x2-y2 D.x2+2x 4.因式分解：x2-ax+4=（bx+2)2,其中a,b是常数，则a+b= A.±3 B.-3 C.3 D.4 5.已知实数a比b大1，则a2-2ab+b2的值为 A.1 B.0 C.-1 D.a 6.已知M=ax+bx,N=x2+ab,如果a<x<b,则M、N的值的大小关系为 A.M<N B.M=N C.M>N D.不能确定 .41. 7.若x2-(k-3)x+4可以用完全平方公式来分解因式，则常数k的值为 A.5 B.1或5 C.1 D.7或-1 8.如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积.通过分析图形， 将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是 A.(m+2n)2 D B.(m+2n)(m+n) C.(2m+n)(m+n) D.（m+2n)(m-n) (第8题图) 9.若非零实数a,b满足4n+6=4d,则哈 A.2 B.-2 C.4 D.-4 10.若整数x,y,z满足xy+y%+x=1,则(1+x2)(1+y2)(1+z2)可能取到的值为 A.16900 B.17900 C.18900 D.以上结论都不对 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11.已知x2-y2=69,x+y=3,则x-y= 12.已知ab=10,a+b=7,那么代数式a2b+ab2的值为 13.若a>b>c>d,x=(a+b)(c+d),y=(a+c)(b+d),z=(a+d)(b+c),则x,y,8的大小关系 是 ·(用“<”号连接) 14.下列多项式：①16a4-1;②(a+1)2-4a(a+1)+4a2;③-4a2-1+4a.分解因式后结果含有相 同因式的是 ·(填序号) ·42· 15.已知三角形的三条边为a,b,c,满足a2-10a+b2-16b+89=0,c为最长边且为奇数，则这个三 角形的周长为 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(本小题8分) 分解因式. (1)3x2-12y+12y2; (2)(x2+4)2-16x2. 17.(本小题8分) 二次三项式a2+4a+b可分解为两个因式的积，且其中一个因式为(a+3),求另一个因式及b 的值. .43· 18.(本小题8分) 求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数. 19.(本小题8分) 如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔.若R=8.6cm,r=0.7cm,请你利 用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积.（π取3） ○ (第19题图) ·44· 20.（本小题8分) 对于题目“因式分解：(3x+y)2-(x+3y)2”,佳佳的解答过程如下，请认真阅读并完成相应的 任务. 佳佳的解答： (3x+y)2-(x+3y)2 =(3x+y+x+3y)(3x+y-x+3y)① =(4x+4y)(2x+4y)② =8(x+y)(x+2y).③ 任务： (1)佳佳的解答是从第 步开始出错的；（填序号） (2)请你写出正确的解答过程， .45· 21.（本小题10分) 已知a=n+2027,b=n+2024,n为正整数. (1)求5÷5的值； (2)利用因式分解说明：2“-2能被14整除. ·46· 22.（本小题12分) 仔细阅读下面的内容： 若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求m和n的值. 解：，m2+2mn+2n2-6n+9=0,.m2+2mn+n2+n2-6n+9=0, .(m+n)2+(n-3)2=0, rm+n=0 rm=-3 ,解得 ln-3=0 n=3 根据上述方法解答下列问题： (1)若x2+2y2-2xy+4y+4=0,求x,y的值； (2)已知a,b,c是△ABC的三边长(a≠b≠c),且满足a2+b2=10a+8b-41 长，求c的取值范围. .47· 23.(本小题13分) 在一次数学课上，老师提出问题：如何将代数式x2-8x+7进行因式分解呢？ 小季同学经过思考后作如下解答：x2-8x+7=x2-8x+16-16+7=(x2-8x+16)-9=（x- 4)2-32=(x-4+3)(x-4-3)=(x-1)(x-7). 小戴同学仔细研读上述解答过程后，获得如下结论：x2-8x+7=（x-4)2-9,在代数式(x-4)2 -9中，无论x取何值，(x-4)2都大于或等于0，即(x-4)2≥0，所以(x-4)2-9≥-9，则x2- 8x+7有最小值，为-9. (1)请仿照小季的解答过程，将代数式m2-14m+24分解因式； (2)求代数式-m2+12m-18的最大值. 若c是最长边的 ·48·