专题09：圆锥曲线【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】讲义-2026届高考数学三轮冲刺一卷通（上海专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦圆锥曲线专题，覆盖直线方程、圆的性质、圆锥曲线定义与标准方程、离心率、轨迹方程等核心考点，按“基础提升-综合重点-压轴特色”逻辑架构梳理知识内在联系。通过考点精析、方法归纳、真题演练的教学流程，帮助学生构建从几何直观到代数运算的解题框架，突破轨迹方程、定点定值等难点。 资料以分层练习设计为特色，基础题夯实定义性质应用，压轴题强化复杂情境分析，融入数学思维与数学眼光培养。如焦点三角形问题中，引导学生用椭圆定义结合余弦定理推导面积公式，发展推理能力；离心率求解通过几何关系转化与代数方程构建，提升数学表达能力。真题训练配合即时方法总结，确保学生高效突破高频考点，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

2026上海高考数学三轮冲刺一卷通【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】 专题09 圆锥曲线 考点01：坐标平面上的直线 1. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为______． 【答案】 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角. 【详解】因为是直线的一个法向量，故直线的斜率为，则该直线的倾斜角为． 故答案为：. 2.（2026届高三奉贤区一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为_____. 【答案】 【解析】由题意可知：是直线的法向量，所以 3. （2025上海市格致中学高三三模）直线，直线，若，则________． 【答案】1 【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证. 【详解】由题设及，有，则， 所以或， 当，则，重合，不符合； 当，则，，符合. 所以. 故答案为：1 4. （2025上海市崇明区高三三模）直线与直线的夹角大小为_______． 【答案】## 【分析】先由斜率的定义求出两直线的倾斜角，然后再利用两角差的正切展开式计算出夹角的正切值，最后求出结果. 【详解】设直线与直线倾斜角分别为， 则，且， 所以， 因为， 所以，即两条直线的夹角为， 故答案为：. 5.（2026届高三奉贤区一模）已知两个非负实数满足，则的最小值是_____. 【答案】10 【解析】的最小值是表示直线上的点到距离的平方 所以此时垂足为不符为非负实数； 所以的最小值是到的距离的平方为 考点02：圆 6. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）以为圆心且过点的圆的标准方程是________． 【答案】 【分析】由圆心和圆上的点求出圆的半径，代入圆的标准方程即可. 【详解】圆心为，圆过点，则圆的半径， 所以圆的标准方程是. 故答案为：. 6. （2025复旦大学附属中学高三期末）圆上的点到直线的距离最大值为_____. 【答案】4 【分析】首先确定圆的圆心坐标和圆的半径，然后确定直线与圆的位置关系，进而可求出圆上的点到直线的距离的最大值. 【详解】因为， 所以圆心坐标为，半径. 所以圆上的点到的距离最大值为圆心到直线的距离加圆的半径，即的长度. 所以. 故答案为：4. 7. （2025上海市进才中学高三5月模拟）直线被圆截得的弦长为__________. 【答案】4 【分析】求出直线与圆的交点坐标，即可求出弦长. 【详解】当，代入圆方程可得， 解得或， 即直线与圆的两交点坐标为， 所以弦长为4， 故答案为：4 8. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解． 【详解】化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k， 则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为， 圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1． 要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点， 则|C1C2|或|C1C2|， 即5或5， 解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11． ∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）． 故选：D． 【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题． 9. （2025杨浦区高三5月质量检测）已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线PA，切点为A，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】结合图像得到，问题转换成求最小值即可求解； 【详解】解：根据题意，圆其圆心为半径 过点P作圆的切线PA， 则 则 设圆心C到直线l距离为d， 则 故 所以的最大值为 故选：A 10. （2025华东师大三附中高三三模）过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________． 【答案】4 【分析】由题意可确定当最小时，最小，则最小，继而设，表示出，结合二次函数性质求最小值，即可求得答案. 【详解】由题意知的圆心为，半径为2， 如图，，则， 而，当最小时，最小，则最小； 由于P在抛物线上，设， 则， 当时，取最小值8，即取到最小值， 则取最小值2，故的最小值为4， 故答案为：4 11．（2022·上海·统考模拟预测）设直线系，对于下列四个命题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号） 【答案】②③ 【分析】令，消去，即可得到直线系表示圆的切线的集合，即可判断①②③，再利用特殊值判断④； 【解析】解：由直线系， 可令，消去可得， 故直线系表示圆的切线的集合，故①不正确； 因为对任意，存在定点不在直线系中的任意一条上，故②正确； 由于圆的外切正边形，所有的边都在直线系中，故③正确； 中的直线所能围成的正三角形的边长不一定相等，故它们的面积不一定相等，如图中等边三角形和面积不相等，故④不正确． 综上，正确的命题是②③． 故答案为：②③． 考点03：圆锥曲线的定义与标准方程 12．（2022·全国·高三专题练习（理））过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________. 【答案】 【解析】因为所求椭圆与椭圆的焦点相同， 所以其焦点在轴上，且. 设它的标准方程为， 因为，且，故①， 又点在所求椭圆上， 所以② 由①②得，， 所以所求椭圆的标准方程为. 13．（2022·全国·高三专题练习）－＝4表示的曲线方程为（    ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 【答案】C 【解析】根据两点间距离的定义，表示动点到与的距离之差等于4（且两个定点的距离大于4）的集合. 根据双曲线定义可知， 所以   由焦点在y轴上，所以 ，且到点 的距离比较大 所以 即曲线方程为 故选：C. 14. （25-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________ . 【答案】 【分析】设出抛物线的标准方程后，根据准线方程可解得结果. 【详解】依题意可设抛物线的标准方程为：， 由，解得， 所以该抛物线的标准方程为：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了根据准线方程求抛物线的标准方程，属于基础题. 考点04：圆锥曲线的性质 15.（2026届高三静安一模）已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于_____. 【答案】10 16.（2026届高三松江区一模）抛物线的焦点到其准线的距离为_____. 【答案】4 【解析】焦点到其准线的距离为， 17. （2025行知中学高三6月模拟）双曲线的焦点坐标为___________． 【答案】，. 【分析】结合双曲线性质，计算双曲线的半实轴长及半虚轴长即可得其半焦距，即可得其焦点坐标. 【详解】由双曲线的渐近线为轴与轴，对称轴为，且其焦点在上， 联立方程，解得或， 即其两顶点坐标分别为，，可知其实半轴长为， 且双曲线渐近线相互垂直，可知双曲线为等轴双曲线， 故其虚半轴长为，可知其半焦距为， 故其焦点坐标分别为，. 故答案为：，. 18. （2025建平中学高三下学期三模）已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则__________. 【答案】4 【分析】利用抛物线的定义可以判断为等边三角形,利用平面几何知识求解即可. 【详解】因为抛物线C：的焦点为F，所以， 由题意可得, 所以, 又由抛物线定义得：，所以为等边三角形， 设准线与轴交于点， 在直角中，， 所以. 故答案为：4. 19. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是__________． 【答案】 【分析】根据对称性求出倾斜角，由点斜式可得方程. 【详解】由对称性可知，直线与轴的夹角相等， 又，所以直线倾斜角为，故斜率为， 由点斜式得方程为，即. 故答案为： 20. （2025上海市崇明区高三三模）已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为______. 【答案】2 【分析】求出直线的方程，可得点的坐标，利用向量的坐标运算可求出点的坐标，代入双曲线方程，结合，可得，的值，从而可得实轴长． 【详解】由抛物线方程知，， 又直线的法向量， 所以直线的方程为， 令，得，所以，设， 由，得,,， 所以，， 设双曲线方程，将代入得， 因为抛物线的焦点是双曲线的右焦点， 所以，解得，， 所以双曲线的实轴长． 故答案为：2． 考点05：圆锥曲线上线段及线段和差最值问题 21．已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】椭圆的右顶点为，设点，则，即，且， 于是得， 因，则当时，， 所以的最大值为. 故答案为： 22.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为_______ 【解析】由，所以有， 设圆的圆心为，半径为， 设该双曲线另一个焦点为，所以， 求的最小值转化为求的最小值， 因此当点依次共线时，有最小值， 即， 23.（2025年华东师范大学第一附属中学高三三模） 已知椭圆，圆，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先判断点为椭圆的左焦点，设点为椭圆的右焦点，利用椭圆的定义得，由圆的几何性质得，结合图形判断当且仅当三点共线且点在点的上方时，取得最小值. 【详解】由配方得：，即圆心，半径， 如图所示，由可得，则，即点为椭圆的左焦点， 设点为椭圆右焦点，易知点在圆上. 由椭圆的定义可得，由圆的几何性质可得， 则， 当且仅当三点共线且点在点的上方时，等号成立， 此时取得最小值． 故答案为： . 24．（2022·重庆·高三阶段练习（文））点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为____________ 【答案】 【解析】记椭圆的左焦点为， 由椭圆的定义可得，，所以， 由得， 即圆的圆心为，半径为， 作出图形如下： 由圆的性质可得，， （当且仅当四点共线时，等号成立.） 故答案为：. 25.（2026届高三徐汇区一模）设为椭圆上一动点，分别为圆和圆上的动点，则不可能为( ). A. B. C. D. 【解析】由题意知椭圆的两个焦点分别是两圆的圆心,且,从而的最大值为,最小值为 故选：D. 26. （2025上海市格致中学高三三模）抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为________． 【答案】 【分析】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P，设､，把MN用a、b表示，在中用余弦定理把AB表示出来，就可以表示出并求最值. 【详解】过A作AQ⊥于Q，过B作BP⊥于P， 设､，如图所示，根据抛物线的定义， 可知、， 梯形中，有， 在中，， 又∵，∴， ∴， 故 的最小值是. 故答案为：. 考点06：焦点三角形 27.已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为_______ 【解析】因为， 所以， 又 记，则， ②2-①整理得：，所以 28.已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______． 【答案】10 【解析】椭圆的方程为，∴，，， 连接，，则由椭圆的中心对称性可得 的周长， 当AB位于短轴的端点时，取最小值，最小值为， ． 故答案为：10 29. （2024青浦区高三三次学业监测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则______． 【答案】 【分析】首先求出、，设，根据数量积的坐标表示及，求出点坐标，从而求出的方程，再联立直线与椭圆方程，求出点坐标，最后由数量积的坐标表示计算可得. 【详解】椭圆，则、， 设，因为，即， 即，又，解得，不妨取， 则的方程为，由，解得或， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 30. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，是上的点.若，则的值为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义写出与，然后代入求解，即可求出. 【详解】由题意可知，，由椭圆的定义知，，则，所以. 故答案为：. 31.设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】双曲线的右焦点为 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 代入双曲线方程，消去y 得 设 由韦达定理得 根据双曲线的第二定义得： 当直线的斜率不存在时， 根据双曲线的第一定义得： 综上：的最小值为 故答案为： 32. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】设，由离心率得到，再由垂直关系利用勾股定理求出，再由求出，即可得解. 【详解】设，， 因为椭圆的离心率，则， 由，则， 即，解得，则，， 又，则， 即， 解得，所以. 故选：C. 33.已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为_________. 【答案】 【解析】由已知条件得，，，则（－1，0），（1，0）. 设点P的坐标为（，），则， ，即①， ∵第一象限点P在C上， ∴则，即②， 联立解得 由椭圆的定义得 设的内切圆半径为r，则 又∵， ∴，即. 故答案为： 考点07：双曲线的渐近线 34. （2025七宝中学高三三模）若双曲线的渐近线为__________. 【答案】 【分析】化方程为双曲线的标准方程，即可得出渐近线方程. 详解】由可得， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为： 35.（2026虹口区高三一模）已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，则点到的一条渐近线的距离为_____. 【答案】 【解析】由题意可知，设， 故，所以， 则点到的一条渐近线的距离为. 36. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则_________. 【答案】 【分析】首先表示出双曲线的渐近线方程，即可得到方程，解得即可. 【详解】双曲线的渐近线为， 依题意，解得. 故答案为： 37. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为_________． 【答案】 【分析】由待定系数法求得，进一步得的渐近线方程为. 【详解】设所求方程为，由题意，， ，所以， 故所求双曲线的方程为，则的渐近线方程为. 故答案为：. 38. （25-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则_________． 【答案】 【分析】以为圆心的圆与l相切于点P，，所以由点到直线的距离求出，由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可求出的值． 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为， 因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线离心率为，所以，则， 在中，， 在，， 解得：， 由余弦定理可得：， 所以， 故答案为：． 39. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 __． 【答案】. 【分析】取P2的对称点P3（x2，﹣y2），结合，可得，然后可得渐近线夹角∠MON≤90°，代入渐近线斜率计算即可求得． 【详解】设P2关于轴的对称点P3（x2，﹣y2）仍在双曲线右支， 由，得，即恒成立， ∴∠P1OP3恒为锐角，即∠MON≤90°， ∴其中一条渐近线的斜率， ∴a≥1， 所以实数a的取值范围为． 故答案为：[1，+∞）． 40．（2026届高三杨浦区一模）已知双曲线，点，点分别在双曲线的左、右两支上，则向量的夹角（ ） A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 【解析】如图所示： 因为点在渐近线上 所以当三点共线时,存在最大值，不存在最小值 故选：A． 考点08：圆锥曲线的离心率问题 41. （2025行知中学高三6月模拟）若椭圆 的焦距是2，则其离心率为___________. 【答案】或 【分析】分焦点在轴、轴两种情况讨论，分别求出其离心率. 【详解】若椭圆的焦点在轴，则，解得，即，所以离心率； 若椭圆的焦点在轴，则，解得，所以离心率； 综上可得其离心率为或. 故答案为：或 42. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断. 【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于， 根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故， 根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故， 综上， 故选：C. 43.已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF1，则4e＋e的最小值是(　　) A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D． 答案　C　秒杀　由已知＝，又由＋＝1，得＋＝2，4e＋e＝(4e＋e)(＋)＝＋≥ (当且仅当e＝2e时取等号)，故选C． 44. （2025进才中学高三模拟）已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为________． 【答案】## 【分析】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，设，表示出，，再由三角形的中位线定理得，然后在中利用勾股定理列方程求得，再在中列方程化简可求出离心率. 【详解】设椭圆的右焦点为，的中点为，连接，则，， 因为，所以为的中点， 因为为的中点，所以‖，， 所以， 设，则，， 因为，所以， 所以， 在中，由，得， 化简整理得，解得或， 当时，，不合题意，舍去， 所以， 所以， 在中，由，得， 则，得， 即的离心率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的定义的应用，解题的关键是取的中点为，由已知条件结合圆的知识得为的中点，再应用三角形中位线定理和勾股定理求解，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 45. （2025届上海市大同中学高三三模）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 【答案】## 【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解. 方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解； 【详解】方法一： 依题意，设，则， 在中，，则，故或（舍去）， 所以，，则， 故， 所以在中，，整理得， 故. 方法二: 依题意，得，令， 因为，所以，则， 又，所以，则， 又点在上，则，整理得，则， 所以，即， 整理得，则，解得或， 又，所以或（舍去），故. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解. 46.（2025上海市金山中学高三三模） 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为______． 【答案】## 【分析】设，根据条件求各边的长及，再在中用余弦定理求得与的关系，即可得解． 【详解】设，因为，所以，， 由对称性可得，又，所以， 所以，， 又，所以，，又， 所以由余弦定理， 所以，的离心率， 故答案为：． 47．设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，，因为，， 所以，， 由题意知当时，取得最大值，所以，可得，即，则． 故选：B． 48．【上海市嘉定区第二中学2023届高三三模】已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则双曲线离心率的范围是___________ 【详解】设，因为，所以， 则， 所以当时取得最小值为， 依题意恒成立，所以， 即，化简整理得，， 即，又，所以，解得. 考点09：轨迹与方程 49.（2026届高三奉贤区一模）曲线的方程为(、不同时为0)，则下列说法正确的是（ ） A.曲线不可能是直线 B.当时,曲线是椭圆 C.若曲线是双曲线,则双曲线的渐近线与无关 D.曲线是抛物线 【答案】C 【解析】当或为时，曲线是直线，错误； 当时,曲线可能是圆，错误； 若曲线是双曲线,则双曲线的渐近线与无关，正确；故选C. 50．（2023上海中学模拟）关于曲线下列说法：①关于点对称；②关于直线轴对称；③关于直线对称；④曲线是封闭图形，面积小于；⑤曲线是封闭图形，面积大于；⑥曲线不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（    ） A．①②⑥ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑥ 【答案】B 【分析】将、和代入曲线方程可确定①②③的正误；根据的范围，结合当时，可确定曲线围成封闭图形的面积大于圆的面积，知④⑤⑥正误. 【详解】对于①，将代入曲线方程得：， 曲线关于点对称，①正确； 对于②，将代入曲线方程得：， 曲线关于直线轴对称，②正确； 对于③，将代入曲线方程得：，与曲线方程不同， 曲线不关于直线对称，③错误； 对于④⑤⑥，由知：，，则曲线为封闭图形； 在曲线上取一点， 当时，，，即点在圆外， 曲线围成封闭图形的面积大于圆的面积，⑤正确，④⑥错误. 故选：B. 51．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论： ①曲线有四条对称轴； ②曲线上的点到原点的最大距离为； ③在第一象限内，过曲线上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为； ④四叶草面积小于. 其中，所有正确结论的序号是___________. 14．①③④ 【解析】①；以代，不变代入方程中得，， 所以图形关于纵轴对称； 以代，不变代入方程中得，，所以图形关于横轴对称； 以代，以代代入方程中得：，所以图象关于直线对称； 以代，以代代入方程中得： ，所以图象关于直线对称，因此图象有四个对称轴，故结论正确； ②：由对称轴性不妨设四叶草曲线与直线在第一象限的交点为， ， 所以曲线上的点到原点的最大距离为，故本结论不正确； ③：在第一象限内，设曲线上一点， 因为，所以（当且仅当时，取等号），所以本结论正确； ④：通过②可知：四叶草曲线在以原点为圆心半径为的圆内及圆上，所以四叶草的面积小于圆的面积，故本结论正确， 故答案为：①③④ 52.双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段长度为，动点满足，那么的轨迹称为双纽线.已知曲线为双纽线，下列选项判断不正确的是（ ） A．曲线过点 B．曲线上的点的纵坐标的取值范围是 C．曲线关于轴对称 D．为曲线上的动点，的坐标为和，则面积的最大值为 【解析】对于A，将代入曲线方程，知方程成立，曲线过点，A正确； 对于B，（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号），即，，解得：，即曲线上的点的纵坐标的取值范围是，B正确； 对于C，设曲线上任一点为，则其关于轴对称的点为， ， 即点也在曲线上，曲线关于轴对称，C正确； 对于D，设，则， 为曲线上的点，，， 则当，即时，， 当时，设，则，解得：， 即曲线上存在点，使得，，D错误. 故选：D. 考点10：命题结论辨析 53. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）设x，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别作出与的区域，即可判断. 【详解】分别作出与图象如图， 表示圆及内部，表示正方形及内部，显然 ，，则是的必要不充分条件. 故选B． 【点睛】本题主要考查充要条件的判断，利用“小范围大范围，大范围小范围”，考查逻辑推理与数形结合思想，属于基础题. 54.（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于命题①，通过考虑以原点为圆心的圆与椭圆上直线的位置关系来判断； 对于命题②，通过取双曲线顶点，分析以原点为圆心的圆与双曲线相关直线的位置关系来判断. 【详解】判断命题①： 已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接. 根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件. 当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切.所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确.      判断命题②： 当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，. 由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的.这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确.    故选：A. 55.（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】设，通过求导可得椭圆在点处的切线的斜率为，由法线和切线垂直可得，即可判断①；由已知结合椭圆的定义可得，即可判断②. 【详解】设，因为，所以， 当时，， 所以在点处的切线的斜率为， 同理可得当时，在点处的切线的斜率为， 所以椭圆在点处的切线的斜率为， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以，故①是真命题； 因为发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点， 所以两次反射后，第一次回到所经过的路程为， 所以，所以，故②是真命题. 故选：. 56. 设、、、、是某圆锥曲线上的五个两两不同的点，、、、、依次是线段、、、、的中点且、、、、在圆锥曲线上．有下列两个命题：①、有可能均为双曲线；②、不可能均为抛物线．则（ ） A. ①真；②真 B. ①真；②假 C. ①假；②真 D. ①假；②假 【答案】B 【分析】结合对称性，在双曲线（抛物线）上寻找五点，使得中点在双曲线（抛物线）上即可. 【详解】命题①：结合对称性，在双曲线上分别取如下五点： ， 则线段、、、、的中点依次为 ， 结合点的对称性，不妨设双曲线的方程为， 双曲线中心为，， 由点的对称性，只需代入点解方程组， 则有； 解得， 此时，， 故存在双曲线过此五点，故①真； 命题②：结合对称性，在抛物线分别取如下五点：， 其中，则， 则线段、、、、的中点依次为 ， 抛物线，设，， 验证：， 即在抛物线（）上； ，即在抛物线（）上； ，即在抛物线（）上； 所以，、可能均为抛物线，故②假； 故选：B． 考点11：圆锥曲线与向量、数列交汇 57.已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，将，，依次顺时针排列，求=________ 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出，的表达式，根据等比数列求和公式以及数列极限的求解方法得到结果.． 【详解】因为，且顺时针排列，所以， 由题意得，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标不变. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标减小. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标减小. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标不变. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标减少，纵坐标增加. ，，，，，，都是在上一个点的基础上横坐标增加，纵坐标增加. 所以，因为，， 所以 ，， 所以. 所以 ，， 所以 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：需要分别找到横纵坐标的增减规律，然后结合等比数列和数列求极限从而求解. 58．（2022·上海徐汇·统考三模）已知一簇双曲线：，设双曲线的左､右焦点分别为､，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则___________. 【答案】 【分析】分析得到为右顶点，从而，利用等差数列求和公式进行计算. 【解析】如图，由双曲线定义可知：， 而根据切线长定理得：，，， 所以， 即，解得：，即为右顶点， ，故， 所以 故答案为： 考点12：定点定值定直线问题 59. （2025届上海市大同中学高三三模）已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）是， 【解析】 【分析】（1）利用已知点坐标代入抛物线方程求参数. （2）通过导数求切线方程确定点G，结合抛物线的几何性质或代数计算比较距离平方与乘积. （3）参数化过焦点的直线，利用抛物线的对称性或代数运算判断直线是否过定点. 【小问1详解】 （1）已知点在上， 所以，即，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 抛物线方程可化为，则，当时，切线斜率， 由点斜式可得过点的切线方程为，即， 令，可得，所以. 由，可得，所以. 如图（1），设直线的方程为， 联立得得， 所以. 因为， 所以， 所以. 【小问3详解】 易知.由题意知直线的斜率必存在，故设直线， 联立得消去得，所以. 直线的方程为，将代入，得， 由，所以， 同理可得. 所以直线的斜率， 由直线的点斜式方程可得直线， 将代入， 得， 所以直线过定点. 60.（2026届高三崇明区一模）已知椭圆分别是的左右焦点.点均在上,且点是第一象限点.直线经过点，直线均经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证:为定值. 【解析】(1)由椭圆，可得，则， 所以，所以椭圆的离心率为. (2)由（1）知，椭圆的左焦点，设，其中，则， 则向量，可得， 将代入得，解得，则，即， 可得，又由过点，所以的方程为， 即. (3)证明：设直线的斜率为，则方程为， 联立方程组，整理得， 设，可得， 由直线过，设其直线方程为，联立方程组，整理得，设，可得， 因为在直线上，可得，化简得，则， 同理可得：设，可得，则，又因为， 又由， 即，所以. 61.（2026届高三宝山区一模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切,求的最小值; （3）如图，、是双曲线上两点，直线、与轴分别交于点、，点在直线上.若关于原点对称，且，证明:存在点，使得为定值. 【解析】（1）由得, 化简得 点在双曲线上,则 计算得 所以双曲线的标准方程为. （2）由题意可知 设,则,所以 当时,取得最小值2. （3）设点、 易知直线的斜率存在,设直线的方程为 联立得 由韦达定理:, 且 直线的方程为,令可得 同理可得 因为关于原点对称,所以 所以 整理得 代入韦达定理得 化简得 即 当时,直线的方程为此时直线过点, 不合题意，舍； 当时,直线的方程为,此时直线过定点 则为定值 又, 所以当为中点时,也为定值,此时. 62.（2026届高三奉贤区一模）椭圆是第一象限内椭圆上的点，,,椭圆的离心率是且. （1）求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； （2）如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若,求点的坐标; （3）设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由. 【解析】（1） 所以，椭圆方程为 所以 （2）设 直线 因为 所以 由题知： 因为是第一象限内椭圆上的点 解得： 所以 （3）如图所示： 设，其中 所以 设，其中 所以 因为 所以 为定值 所以为定值 考点13：最值与范围问题 63. （2025上海市崇明区高三三模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设点，然后代入椭圆方程，即可求出，再根据椭圆定义求； （2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解； （3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 因为，所以设点， 则，所以，即， 所以； ； 【小问2详解】 设，则，， 则， 所以，， 要时取最小值，则必有， 所以； 【小问3详解】 设过点且法向量为的直线的方程为，， 联立，消去得， 则， 则， ， 又， 又点在椭圆上，则， 所以， 即， 所以， 所以， 所以， 即的最大值为. 64.（2026届高三松江区一模）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.的最大值是的最小值是,满足. (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上,求直线的斜率; (3)设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为的面积为,求的取值范围. 【解析】(1)设， 则根据椭圆性质得： 而 所以有 即 因此椭圆的离心率为. (2)由(1)可知 椭圆的方程为 所以 圆的方程为： 设 所以 所以 解得： 所以 所以 (3)由(1)可知 椭圆的方程为 根据条件直线的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为 设则 由 所以 所以 因为,所以 由与相似,所以 令,则,从而 即的取值范围是. 考点14：存在性问题 65.（2026届高三黄埔区一模）已知双曲线的中心位于坐标原点,焦点分别在轴的正、负半轴上,,直线是的一条渐近线,直线与有且只有一个公共点. （1）求的方程； （2）若点在轴上，且为直角，求点的坐标； （3）设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 【解析】（1）设的方程为，的焦距为，则，即， 由是的一条渐近线，可知，即，故，可得，， 所以的方程为. ……………4分 （2）由消去得， 由且，可得， 此时点的坐标为. ……………7分 设，由为直角向量， 可得，即，解得或， 故点的坐标为或. ……………10分 法二：同上，得点的坐标为 . ………………7分 为直角等价于点在以为直径的圆上，此圆的圆心坐标为，半径为. 该圆与轴的两个交点的纵坐标分别为.故点的坐标为或. …10分 法三: 由为直角得出点的轨迹方程，然后再求此轨迹与轴的交点. （3）方法一：的斜率为，故可设的方程为. ………11分 由在直线上，故可设，代入，可得， 故， …………13分 将的方程代入的方程，可得， 设点的横坐标分别为，则 故 ， …………………………17分 故当时，， 所以存在常数λ，使得总成立. ………………………18分 方法二：由（2）得：，直线 所以 因为动直线平行于 所以设直线 设 若，则 66. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． （1）求E的方程； （2）过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和P，Q两点，其中点A，P在第一象限． （ⅰ）记△AOB和△POQ的面积为，，求的最小值； （ⅱ）过F点作x轴的垂线，分别交AP，BQ于C，D两点，请判断是否存在以CD为直径的圆与y轴相切，并说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据焦半径得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）（ⅰ）设，，联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出，同理可得，表达出，由基本不等式求出最小值； （ⅱ）不妨设，表达出直线的方程，又，故可得，同理可得，，所以CD的中点恒为F，以CD为直径的圆与y轴相切等价于，若，化简得到，根据，推出，联立求出．代入可得，，方程无解，故不存在以CD为直径的圆与y轴相切. 【小问1详解】 依题意得，点M在抛物线上，且， 所以，所以可得， 所以E的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）抛物线方程为，焦点坐标为， 当的直线斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求， 当的斜率不存在时，的斜率为0，此时与抛物线只有1个交点，不合要求， 故设，，则， ，，，， 由，消去x得， ，，， 所以， 同理， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． （ⅱ）不妨设，由题意可知， 又，，所以AP的直线方程可化为：， 又，故可得， 同理可得直线的方程为， 又，故， 又，所以可得， 可得，所以可得CD的中点恒为F， 以CD为直径的圆与y轴相切等价于， 若，则，所以， 又，所以，故， 整理可得， 即， 因为，故，所以． 又，故可得． 代入方程可得，， ， 故不存在以CD为直径的圆与y轴相切 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026上海高考数学三轮冲刺一卷通【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】 专题09 圆锥曲线 考点01：坐标平面上的直线 1. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）若是直线的一个法向量，则直线的倾斜角大小为______． 2.（2026届高三奉贤区一模）已知向量，则经过点且与垂直的直线方程为_____. 3. （2025上海市格致中学高三三模）直线，直线，若，则________． 4. （2025上海市崇明区高三三模）直线与直线的夹角大小为_______． 5.（2026届高三奉贤区一模）已知两个非负实数满足，则的最小值是_____. 考点02：圆 6. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）以为圆心且过点的圆的标准方程是________． 6. （2025复旦大学附属中学高三期末）圆上的点到直线的距离最大值为_____. 7. （2025上海市进才中学高三5月模拟）直线被圆截得的弦长为__________. 8. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. （2025杨浦区高三5月质量检测）已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线PA，切点为A，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. （2025华东师大三附中高三三模）过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为__________． 11．（2022·上海·统考模拟预测）设直线系，对于下列四个命题： ①M中所有直线均经过一个定点； ②存在定点P不在M中的任一条直线上； ③对于任意整数，存在正n边形，使其所有边均在M中的直线上； ④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等． 其中真命题的序号是_________（写出所有真命题的序号） 考点03：圆锥曲线的定义与标准方程 12．过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为________. 13．（2022·全国·高三专题练习）－＝4表示的曲线方程为（    ） A．－＝1(x≤－2) B．－＝1(x≥2) C．－＝1(y≤－2) D．－＝1(y≥2) 14. 已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________ . 考点04：圆锥曲线的性质 15.（2026届高三静安一模）已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于_____. 16.（2026届高三松江区一模）抛物线的焦点到其准线的距离为_____. 17. （2025行知中学高三6月模拟）双曲线的焦点坐标为___________． 18. （2025建平中学高三下学期三模）已知抛物线C：的焦点为F，点P在C上且位于第一象限，过点P作直线垂直于C的准线，垂足为A，若直线AF的倾斜角为，则__________. 19. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是__________． 20. （2025上海市崇明区高三三模）已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为______. 考点05：圆锥曲线上线段及线段和差最值问题 21．已知椭圆的右顶点为，为上一点，则的最大值为______. 22.已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为_______ 23.（2025年华东师范大学第一附属中学高三三模） 已知椭圆，圆，分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为______． 24．（2022·重庆·高三阶段练习（文））点在椭圆上，的右焦点为，点在圆上，则的最小值为____________ 25.（2026届高三徐汇区一模）设为椭圆上一动点，分别为圆和圆上的动点，则不可能为( ). A. B. C. D. 26. （2025上海市格致中学高三三模）抛物线的焦点F，准线l，点A、B是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点M在l上的投影是N，则的最小值为________． 考点06：焦点三角形 27.已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为_______ 28.已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______． 29. （2024青浦区高三三次学业监测）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点．若，则______． 30. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知椭圆的左、右焦点分别是，，是上的点.若，则的值为______. 31.设双曲线，是它的左焦点，直线l通过它的右焦点，且与双曲线的右支交于A，B两点，则的最小值为________. 32. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，过的直线交于两点.若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 33.已知椭圆C:的焦点为，，第一象限点P在C上，且，则的内切圆半径为_________. 考点07：双曲线的渐近线 34. （2025七宝中学高三三模）若双曲线的渐近线为__________. 35.（2026虹口区高三一模）已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，则点到的一条渐近线的距离为_____. 36. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则_________. 37. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知双曲线的上、下焦点分别为，双曲线以为焦点，且过点，则的渐近线方程为_________． 38. （25-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则_________． 39. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点均在双曲线Γ：（a＞0）的右支上，若恒成立，则实数a的取值范围为 __． 40．（2026届高三杨浦区一模）已知双曲线，点，点分别在双曲线的左、右两支上，则向量的夹角（ ） A．有最大值，但无最小值 B．无最大值，但有最小值 C．既有最大值，又有最小值 D．既无最大值，又无最小值 考点08：圆锥曲线的离心率问题 41. （2025行知中学高三6月模拟）若椭圆 的焦距是2，则其离心率为___________. 42. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ） A. B. C. D. 43.已知椭圆C1：＋＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：－＝1(其中m＞0，n＞0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF1，则4e＋e的最小值是(　　) A．　　　　　　　　　B．　　　　　　　　　C．　　　　　　　　　D． 44. （2025进才中学高三模拟）已知是椭圆的左焦点，过点的直线与圆交于，两点，与在轴右侧交于点，且，则的离心率为________． 45. （2025届上海市大同中学高三三模）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为________． 46.（2025上海市金山中学高三三模） 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，过的直线与C相交于点A，D，与y轴交于点B，，，则C的离心率为______． 47．设是椭圆的上顶点，是上的一个动点．当运动到下顶点时，取得最大值，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．已知双曲线的离心率为，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则双曲线离心率的范围是___________ 考点09：轨迹与方程 49.（2026届高三奉贤区一模）曲线的方程为(、不同时为0)，则下列说法正确的是（ ） A.曲线不可能是直线 B.当时,曲线是椭圆 C.若曲线是双曲线,则双曲线的渐近线与无关 D.曲线是抛物线 50．（2023上海中学模拟）关于曲线下列说法：①关于点对称；②关于直线轴对称；③关于直线对称；④曲线是封闭图形，面积小于；⑤曲线是封闭图形，面积大于；⑥曲线不是封闭图形无法计算面积.其中正确的序号（    ） A．①②⑥ B．①②⑤ C．①②④ D．②③⑥ 51．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论： ①曲线有四条对称轴； ②曲线上的点到原点的最大距离为； ③在第一象限内，过曲线上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为； ④四叶草面积小于. 其中，所有正确结论的序号是___________. 52.双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段长度为，动点满足，那么的轨迹称为双纽线.已知曲线为双纽线，下列选项判断不正确的是（ ） A．曲线过点 B．曲线上的点的纵坐标的取值范围是 C．曲线关于轴对称 D．为曲线上的动点，的坐标为和，则面积的最大值为 考点10：命题结论辨析 53. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）设x，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 54.（2025·上海浦东新·二模）已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题： ①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”． 下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题 55.（2025·上海长宁·二模）椭圆具有如下光学性质：如图，分别是椭圆的左、右焦点，从点发出的光线在到达椭圆上的点P后，经过到达点的切线反射后经过点，有以下两个命题： ①若P是椭圆上除长轴端点外的一点，设法线与x轴的交点为，则 ②若从发出的光线，经椭圆两次反射后，第一次回到所经过的路程为，则该椭圆的离心率为； 则以下说法正确的是（   ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 56. 设、、、、是某圆锥曲线上的五个两两不同的点，、、、、依次是线段、、、、的中点且、、、、在圆锥曲线上．有下列两个命题：①、有可能均为双曲线；②、不可能均为抛物线．则（ ） A. ①真；②真 B. ①真；②假 C. ①假；②真 D. ①假；②假 考点11：圆锥曲线与向量、数列交汇 57.已知平面上有个点，，，，，，，，且，记的坐标为，将，，依次顺时针排列，求=________ 58．（2022·上海徐汇·统考三模）已知一簇双曲线：，设双曲线的左､右焦点分别为､，是双曲线右支上一动点，的内切圆与轴切于点，则___________. 考点12：定点定值定直线问题 59. （2025届上海市大同中学高三三模）已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点. （1）求的方程； （2）比较与的大小，并说明理由； （3）过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由. 60.（2026届高三崇明区一模）已知椭圆分别是的左右焦点.点均在上,且点是第一象限点.直线经过点，直线均经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)若，直线的方程； (3)求证:为定值. 61.（2026届高三宝山区一模）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程； （2）设点是双曲线上的动点，是圆上的动点，且直线与圆相切,求的最小值; （3）如图，、是双曲线上两点，直线、与轴分别交于点、，点在直线上.若关于原点对称，且，证明:存在点，使得为定值. 62.（2026届高三奉贤区一模）椭圆是第一象限内椭圆上的点，,,椭圆的离心率是且. （1）求椭圆的方程并在下图1中作出椭圆的左焦点，写出作图依据； （2）如图2，设，三角形的面积记为，三角形的面积记为，若,求点的坐标; （3）设，连结与椭圆交于点，连结与椭圆交于点，判断是否为定值？请说明理由. 考点13：最值与范围问题 63. （2025上海市崇明区高三三模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. （1）若椭圆上点满足，求的值； （2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围； （3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值. 64.（2026届高三松江区一模）已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点.的最大值是的最小值是,满足. (1)求该椭圆的离心率； (2)若，点在椭圆上，且在轴上方，线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上,求直线的斜率; (3)设线段的中点为，的垂直平分线与轴和轴分别交于两点，是坐标原点.记的面积为的面积为,求的取值范围. 考点14：存在性问题 65.（2026届高三黄埔区一模）已知双曲线的中心位于坐标原点,焦点分别在轴的正、负半轴上,,直线是的一条渐近线,直线与有且只有一个公共点. （1）求的方程； （2）若点在轴上，且为直角，求点的坐标； （3）设动直线平行于，与交于点，，与交于点，是否存在常数，使得总成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 66. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． （1）求E的方程； （2）过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线C分别交于A，B和P，Q两点，其中点A，P在第一象限． （ⅰ）记△AOB和△POQ的面积为，，求的最小值； （ⅱ）过F点作x轴的垂线，分别交AP，BQ于C，D两点，请判断是否存在以CD为直径的圆与y轴相切，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $