专题08：概率与统计 【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】讲义-2026届高考数学三轮冲刺一卷通（上海专用）

该高中数学高考复习资料聚焦概率与统计专题，涵盖互斥对立事件、古典概型、条件概率、随机变量分布列、二项超几何分布、正态分布、抽样方法、统计图表、回归分析及独立性检验等核心考点，按“基础概念—概率计算—统计应用—综合拓展”逻辑架构，通过题型分类、真题精讲、分层训练环节，帮助学生系统构建知识网络，突破解题难点。 资料以真题为载体，采用“题型靶向突破+核心素养渗透”策略，如在条件概率教学中结合实际情境问题培养数学思维，在统计图表分析中强化数据观念。设置基础提升、压轴特色、综合重点三层练习，配合解题方法归纳，助力学生高效掌握高考高频考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2026上海高考数学三轮冲刺一卷通【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】 专题08 概率与统计 题型01：互斥事件与对立事件、独立事件 1. 掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 2. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A. 与是对立事件 B. 与是互斥事件 C. 与相互独立事件 D. 与是相互独立事件 3. （2025杨浦区高三5月质量检测）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（ ） A. B. C. D. 题型02：古典概型、概率加法公式与乘法公式 4.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） 甲、乙两位学生从6科中选三科，则甲、乙两位学生恰好只有一门相同的概率为 ______． 5. （2025进才中学高三模拟）有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为______. 6.. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则______． 7.若事件、互斥，且，，则_____. 8.（2026届高三崇明区一模）已知事件相互独立,事件发生的概率为,事件发生的概率为,则事件发生的概率为（ ） A. B. C. D.0 9.（2026届高三黄埔区一模）甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4，则该密码被破译的概率为_____. 10．（2026届高三杨浦区一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为 . 11.（2025七宝中学高三三模） 甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为，若甲赢得比赛的概率为，则取得最大值时______ 题型03：条件概率与全概率公式 12. （2025建平中学高三下学期三模）若随机事件满足：，则___________． 13. 已知随机事件满足，，，则__________ 14. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用表示事件“两个点数不同”，表示事件“至少出现一个点”，则________．（结果用最简分数表示） 15. （2025届上海市大同中学高三三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为________ 16. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是__________. 17. （2025上海市徐汇中学高三三模）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h，这些人的近视率约为50%，现从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为____. 题型04：离散型随机变量的分布列、期望与方差 18. （2025上海市徐汇中学高三三模）以下能够成为某个随机变量分布的是（ ） A. B. C. D. 19. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知一个随机变量的分布列为，若是，的等差中项，则__________. 20. （2025上海市进才中学高三5月模拟） 设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时， A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 21．投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分、投掷了3次，设总分为，那么的数学期望为（    ） A． B．4 C． D．5 22．近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率； (2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率； (3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系. 题型06：二项分布、超几何分布 23. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知随机变量服从二项分布，则________． 24. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为_________. 25. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知随机变量服从二项分布，且（），则___________. 26．从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 27.校园科技节举办“无人机操控挑战”活动，共有名学生报名参赛，每位学生需完成“首轮悬停定位”和“次轮障碍穿越”两项任务．已知每位学生首轮悬停定位成功的概率为，且不同学生首轮成功与否相互独立；若某学生首轮悬停定位成功，其次轮障碍穿越成功的概率为；若首轮悬停定位失败，其次轮障碍穿越成功的概率为．两项任务均成功即最终挑战成功． (1)若随机抽取一名参赛学生，求其次轮障碍穿越成功的概率． (2)记为参赛学生中挑战成功的学生人数，求的数学期望与方差． 题型07：正态分布 28. （2025建平中学高三下学期三模）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 29. （2025上海市崇明区高三三模）已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 30. （2025届上海市大同中学高三三模）若随机变量，且，，则的最小值为________ 31. （2025上海宝山区高三三模）随机变量，，若，那么实数的值为__________. 32. （2025上海市格致中学高三三模）假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是________．（精确到0.0001） 33. （2025华东师大三附中高三三模）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，） A. B. C. D. 34.已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 题型08：抽样方法-简单随机抽样和分层抽样 35．下列抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．在某年明信片销售活动中，规定每100万枚为一个开奖组，号码的后四位是2709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．从8台电脑中逐个不放回地随机抽取2台，进行质量检验，假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取 D．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查 36．某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为 . 题型09：统计图表（频率分布直方图、茎叶图） 37．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 38.如图是我国2023年第四季度至2024年第四季度的折叠屏手机出货量、同比（与上一年同期相比）增长率统计图，则关于这5个季度的数据说法错误的是（    ） A．折叠屏手机季度出货量的极差不超过92万台 B．折叠屏手机季度出货量的中位数为250.5万台 C．与2023年第二季度相比，2024年第三季度折叠屏手机的出货量增加13.7% D．2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数 39．某市甲、乙两个监测站在10日内分别对空气中某污染物实施监测，统计数据（单位：g/m3）如图所示，以下说法正确的是（    ） A．这10日内任何一天甲监测站的大气环境质量均好于乙监测站 B．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的中位数小于乙监测站读数的中位数 C．这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值是167 D．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的平均值小于乙监测站读数的平均值 题型10：统计估计（众数、中位数、平均数、极差、方差与标准差、百分位数） 40. （2025华东师大三附中高三三模）已知某个数据的平均数为，方差为，现加入一个数据，此时这个数据的方差为________； 41．在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，则估计该校高三年级学生体重的方差为（    ） A． B． C． D． 42.甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则下列结论正确的是______    (1)甲得分的平均数大于乙得分的平均数 (2)甲得分的极差大于乙得分的极差 (3)甲得分的中位数大于乙得分的中位数 (4)甲得分的方差大于乙得分的方差 43. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：） 56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______ 44. （2025上海市育才中学高三三模）从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m大的概率为，若m为上述数据中的第x百分位数，则x的取值可能为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 45.（2024上海市曹杨第二中学高三三模） 将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ） A. B. C. D. 题型11：变量间的相关关系（散点图、相关关系与相关系数） 46．（2025·上海徐汇·二模）在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为______ 47. （2025上海市金山中学高三三模）下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 48. （2025上海市崇明区高三三模）通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（ ） A. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关 B. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变 C. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 49. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为_____. (附:相关系数 题型12：线性回归方程与回归分析 50. （2025上海宝山区高三三模）成对数据的回归方程为，则它们在处的离差是（ ） A. B. C. D. 51.（2025上海松江高三三模）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的离差为____ 52．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．x与y的样本是负相关 C．当时，y的预估值为2.2 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 53. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）某研究所收集、整理数据后得到如下列表： x 2 3 4 5 6 y 3 7 9 10 11 由两组数据可以得到线性回归方程为，则______． 54. （2025上海市崇明区高三三模）某公司为了了解某商品的月销售量单位：万件与月销售单价单位：元件之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表： 月销售单价元件 月销售量万件 由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元件时，月销售量为______万件. 55. （2025上海市崇明中学高三三模）某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（ ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 56．随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 广告支出x（万元） 2 4 5 6 8 销售额y（万元） 20 30 50 60 70 (1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，） (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，. 题型13：列联表与独立性检验 57. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）运用列联表进行独立性检验时，统计量的意义是（ ）． A. B. C. D. 58. 已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（ ） A. 吸烟者一定会患肺癌 B. 吸烟者患肺癌的概率为99% C. 100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1% 59. （2025届上海市大同中学高三三模）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 60．某景区为测试并推广一款预约游览APP，上线的第1、2两天在APP上预约可获得免费游览资格，第3天开始恢复为原票价，下表是该景区在该APP上前7天的预约情况 第天 1 2 3 4 5 6 7 预约量（万张） 9.03 9 8.58 8.7 8.76 8.74 8.79 经计算得：． (1)求关于的线性回归方程及第5天的离差：（精确到0.001） (2)为了调查该APP在不同年龄的人群中的推广情况，从第7天成人游客中随机抽取200人进行分析，所得的部分数据见下表： 50岁以下 50岁（含50）以上 合计 通过APP预约人数 70 其它方式购票人数 80 合计 100 ①完成以上列联表： ②如果有95%的把握认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 题型11：统计估计与概率综合 62. 2024年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图： （1）求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望. 63．（2025华师大二附中高三三模）某小吃店的服务窗口的为每位顾客现场制作美食，从每份食物开始制作到取到事物的时间进行统计，结果如下： 制作食品所需的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05 假设每个顾客取到食品所需的制作时间互相独立，且都是整数分钟．从第一个顾客等待取食品开始计时． （1）根据表中数据，试估算第一个顾客取到食品所需的平均等待时间； （2）求事件＂恰好4分钟后，第二个顾客取到食品＂的经验概率； （3）若随机变量表示＂至第2分钟末，已取到食品的顾客人数＂，求的分布及数学期望； 题型12：回归分析与概率综合 64．（2025·上海宝山·二模）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系： 项目类别 体验类 演出类 互动类 开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3 平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30 (1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）； (2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率； (3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策. 题型13：独立性检验与概率综合 65．某咖啡店想了解顾客性别与喜欢的咖啡口味是否有关，随机调查了名顾客，得到如下的列联表： 喜欢拿铁 喜欢美式 男性顾客 70 80 女性顾客 90 60 (1)根据的独立性检验，分析顾客性别与喜欢的咖啡口味是否有关； (2)从这名顾客中随机选择名，已知其中至少有名女性顾客，求这名顾客都喜欢拿铁的概率. 附：， 66．近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 25 150 女性 50 75 (1)列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率． 附：． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 67．（2025上海松江高三三模）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)是否有95%的把握认为社区的市民喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； (3)用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差. 题型14：概率综合题 68．从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲队队员投中的概率p； (2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设X为这2名队员中投中的人数，估计X的数学期望； (3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，比较与的大小． 69．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 题型15：概率与函数、数列综合 70．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，甲有的概率不传，有的概率传给乙；乙有的概率传给甲，有的概率传给丙；丙有的概率传给甲，的概率传给乙，每次传球相互独立，则两次传球后球在乙处的概率为 ，次传球后，球在乙处的概率 . 71. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述： ①； ②； ③ ④前天甲午餐总费用的数学期望为. 其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 72．（2022·上海市高桥中学高三阶段练习）奥密克戎BA.5变异毒株的潜伏期又缩短了，但具体到个人，感染后潜伏期的长短还是有个体差异的．潜伏期是指已经感染了奥密克戎变异株，但未出现临床症状的和体征的一段时期，奥密克戎潜伏期做核算检测可能为阴性，建议可以多做几次核算检测，有助于明确诊断．某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计，得到如下表： 潜伏期：（单位：天） 人数 80 210 310 250 130 15 5 (1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均值． (2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300 人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95％的把握认为潜伏期与患者年龄有关． 潜伏期天 潜伏期天 总计 50岁以上（含50） 150 50岁以下 85 总计 300 (3)为了做好防疫工作，各个部门、单位抓紧将各项细节落到实处，对“确诊”、“疑似”、“无法明确排除”和“确诊密接者”等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密接接触”，现医护人员要对这5人进行逐一“单人单管”核酸检测，只要出现一例阳性，则该小区将被划为“封控区”．假设每人被确诊的概率为且相互独立，若当时，至少检测了4人该小区就被划为“封控区”的概率取得最大值，求． 一、填空题 1. （2025行知中学高三6月模拟）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的.这两个人在同一层离开电梯的概率是______. 2．甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为______ 3．从3名男生和4名女生中任选4名同学参加志愿者活动，其中2名同学为负责人，2名同学为组员，则选出的4名学生中至少有1名女生做负责人的概率为 ． 4. （2025上海市进才中学高三5月模拟）甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，，，记中元素的个数为，则的概率为___________. 5．已知，，，则 ． 6. 设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是 . ①；②事件，相互独立； ③；④ 7．某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为______ 8．某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 9．某一离散型随机变量的概率分布如下表，且，则的值为______ 0 1 2 3 0.1 0.1 10．已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则 11.（2025高三上·辽宁沈阳·专题练习）已知随机变量，，且，若，则 ． 12．若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是 ． 13．小明上学途中共有n个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为， 记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，且小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为， 则n= ， E()= . 14.（2025上海市金山中学高三三模） 若随机变量服从正态分布，，则____________. 15. （2025上海市进才中学高三5月模拟）若随机变量，则______． 16. （2025进才中学高三模拟）随机变量，，若，那么实数的值为__________. 16. （2025杨浦区高三5月质量检测）某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于47至53之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技能，使得至多为________.（参考数据：若，则） 17. （2025上海市育才中学高三三模）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为___________ 附：若，则. 18. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为．若该组样本的第百分位数为，第百分位数为，则的最小值为________． 19..某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表，已知，则时，离差为 ． 广告支出费用/万元 1 3 4 6 11 销售量万件 1.9 3.2 4.4 6.3 12.7 20．变量关于变量的经验回归方程为.若时，的实际观测值为8，则此时的离差为______ 21．某品牌的新能源汽车的使用年限（年）与维护费用（千元）之间有如下数据： 使用年限（年） 2 4 5 6 8 维护费用（千元） 2.75 4.25 6.25 7.25 8.75 已知与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为.据此估计，使用年限为9年时，维护费用约为_______ 22．一组数据的线性回归方程为，若，则 ． 23．（2024·上海长宁·二模）收集数据，利用列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中 （填：有关或无关） 24．（2024·上海金山·二模）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 50 未服用 50 合计 80 20 100 取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为 ． (参考公式：；参考值：） 25．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为______ 二、选择题 26．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 28．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（   ）    A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 29．下列关于随机事件的概率说法错误的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，，，则事件与独立 30．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 31．某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 32．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（    ） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数小于图2相关系数 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 33．某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A． B．时，离差为 C．与有正相关关系 D．当新产品投入金额为5万元时，该产品的收益大约为万元 三、 解答题 34．（2024·上海青浦·一模）第七届中国国际进口博览会于 2024 年 11 月 5 日至 10 日在上海举办，某公司生产的 、 三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表: （单位:个） 产品 产品 产品 普通装      180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取 100 个，其中 款产品有30 个. (1)求 的值； (2)用分层抽样的方法在 款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取 2 个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率; (3)对抽取到的 款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2， 精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的 款产品的某种指标的总体方差 （精确到 0.01 ）. 35.（2024·上海奉贤·一模）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率． 36只实验鼠在光照诱导与蛋白干预实验中，出现突变的指标： 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 指标 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 指标 长期试验发现，若实验鼠指标超过，则认定其体征状况严重， (1)从实验鼠中随机选取只，记为体征状况严重的只数，求的分布列和数学期望； (2)若编号的实验鼠为蛋白干预实验组，编号的为非蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？ 附：（其中）. 37．为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关系，调查了某高三年级学生，整理得到如下列联表：                   身高   性别 低于 不低于 合计 男 9 91 100 女 90 10 100 合计 99 101 200 (1)在这200名学生中随机选两名学生身高均不低于的概率是多少？ (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联，解释所得结论的实际含义． 附 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 38.实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）.现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为.求： (1)这场比赛甲获胜的概率； (2)这场比赛乙所胜局数的数学期望. (3)这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率. 39．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 40．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026上海高考数学三轮冲刺一卷通【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】 专题08 概率与统计 题型01：互斥事件与对立事件、独立事件 1. 掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【分析】根据条件，利用互斥事件的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误， 对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确， 对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误， 对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误， 故选：B. 2. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）掷两颗骰子，观察掷得的点数．设事件表示“两个点数都是偶数”，事件表示“两个点数都是奇数”，事件表示“两个点数之和是偶数”，事件表示“两个点数的乘积是偶数”．那么下列结论正确的是（ ） A. 与是对立事件 B. 与是互斥事件 C. 与相互独立事件 D. 与是相互独立事件 【答案】D 【分析】选项A和B，根据条件，利用互斥事件的概念，即可判断出选项A和B的正误；选项C和D，利用相互独立的判断方法，计算各自发生的概率及同时发生的概率，即可判断出正误，从而得出结果. 【详解】对于选项A，因为掷两颗骰子，两个点数可以都是偶数，也可以都是奇数，还可以一奇一偶， 即一次试验，事件和事件可以都不发生，所以选项A错误； 对于选项B，因为即两个点数都是偶数，即与可以同时发生，所以选项B错误， 对于选项C，因为，，又，所以，故选项C错误， 对于选项D，因为，，所以，所以选项D正确， 故选：D. 3. （2025杨浦区高三5月质量检测）如果分别是的对立事件，下列选项中不能判断件与事件相互独立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据相互独立事件的乘法公式和条件概率公式结合相互独立事件的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，所以相互独立，故A正确； 对于B，因为， 所以， 所以相互独立，所以相互独立，故B正确； 对于C，， 所以，所以无法判断相互独立，故C错误； 对于D，， 因为，所以相互独立，故D正确. 故选：C. 题型02：古典概型、概率加法公式与乘法公式 4.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） 甲、乙两位学生从6科中选三科，则甲、乙两位学生恰好只有一门相同的概率为 ______． 【答案】 【分析】根据题意分两步，①先求所有两人各选修门种数，②再求两人所选门恰有门相同的种数，进而由事件间的相互关系，最后利用古典概型的概率公式进行求解即可得到答案． 【详解】甲、乙两位同学随机地从门课程中选修门的情况：种， 两人选修的课程中恰有门相同的情况：种， 故所求的概率为. 故答案为：. 5. （2025进才中学高三模拟）有3名男生与2名女生排成一队照相，则2名女生互不相邻的概率为______. 【答案】##0.6 【分析】利用插空法求出女生互不相邻的排法，进而得到概率. 【详解】先排男生共有种，男生排好后共有4个空隙，再把2个女生排进去共有种排法， 所以符合条件的共有种排法， 故女生互不相邻的排法的概率为. 故答案为：. 6.. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知事件和互斥，它们都不发生的概率为，且，则______． 【答案】 【分析】利用对立事件和互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件和互斥，， 所以， 因为事件和都不发生的概率为， 所以，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 7.若事件、互斥，且，，则_____. 【答案】0.2 【解析】因为、互斥，所以,所以. 8.（2026届高三崇明区一模）已知事件相互独立,事件发生的概率为,事件发生的概率为,则事件发生的概率为（ ） A. B. C. D.0 【答案】B 【解析】因为相互独立，故，故选：B. 9.（2026届高三黄埔区一模）甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为0.3，乙译出密码的概率为0.4，则该密码被破译的概率为_____. 【答案】0.58 【解析】 10．（2026届高三杨浦区一模）已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为 . 【解析】 11.（2025七宝中学高三三模） 甲乙两名选手进行一场羽毛球比赛，采用三局二胜制，先胜两局者赢得比赛，比赛随即结束，已知任一局甲胜的概率为，若甲赢得比赛的概率为，则取得最大值时______ 【答案】 【分析】利用表示出，从而将表示为关于的函数，利用导数求解出当时函数的单调性，从而可确定最大值点. 【详解】甲赢得比赛的概率： ， 令， 则，令，解得：， 因为，当和时，；当时， 即在和上单调递减；在上单调递增 当时，取最大值，即取最大值 本题正确结果： 【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是根据条件将表示为关于变量的函数，同时需要注意函数的定义域. 题型03：条件概率与全概率公式 12. （2025建平中学高三下学期三模）若随机事件满足：，则___________． 【答案】## 【分析】由条件概率乘法公式、全概率公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 可得：， 由， 可得， 所以， 故答案为： 13. 已知随机事件满足，，，则__________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据条件概率公式求出，进而可求出，再根据条件概率公式即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故答案为：. 14. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）抛掷两颗骰子，观察掷得的点数．用表示事件“两个点数不同”，表示事件“至少出现一个点”，则________．（结果用最简分数表示） 【答案】 【分析】根据条件概率的计算公式求解即可. 【详解】没有一个3点的情况有种， 所以至少出现1个3点的情况有种，排除后有10种， 所以，， . 故答案：. 15. （2025届上海市大同中学高三三模）某高中开发了三个不同的“美育”课程和两个不同的“劳动教育”课程，甲同学从五门课程中任选了两门，已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为________ 【答案】 【分析】根据条件概率公式来求解，先分别求出（至少有一门是“美育”课程的概率）和（两门都是“美育”课程的概率），再代入公式计算. 【详解】设事件A：至少有一门是“美育”课程，事件AB：两门都是“美育”课程， 从五门课程中任选两门的选法数为种， “至少有一门是‘美育’课程”的对立事件是“两门都是‘劳动教育’课程”， 两门都是“劳动教育”课程的选法数为种， 所以至少有一门是“美育”课程的选法数为种，则. 从三个不同的“美育”课程中选两门的选法数为种，所以. 则已知有一门是“美育”课程，则另一门也是“美育”课程的概率为. 故答案为：. 16. （2025上海市进才中学高三5月模拟）已知一个盒子里有4个大小形状完全相同的小球，其中2个红球，2个黑球，现从中任取两球，若已知一个是红球，则另一个也是红球的概率是__________. 【答案】## 【分析】设事件A表示：在所取的球中有一个是红球，事件B表示：另一个也是红球，分别求出和，利用条件概率能求出在所取的球中有一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率. 【详解】设事件A表示：在所取的球中至少有一个是红球，事件B表示：两个球都是红球， 则，， 已知一个是红球的情况下，另一个也是红球的概率为： . 故答案为：. 17. （2025上海市徐汇中学高三三模）每年的6月6日是全国爱眼日，某位志愿者跟踪调查电子产品对视力的影响，据调查，某高校大约有45%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天操作电子产品超过1h，这些人的近视率约为50%，现从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为__________. 【答案】 【分析】利用全概率公式列方程求解即可. 【详解】从某高校中任意调查一名学生，记该学生近视为事件A，记该学生每天操作电子产品超过1h为事件B，则从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为. 由题可知，，. 由全概率公式得 即 解得， 即从每天操作电子产品不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率为. 故答案为：. 题型04：离散型随机变量的分布列、期望与方差 18. （2025上海市徐汇中学高三三模）以下能够成为某个随机变量分布的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】分布列中各项概率大于0，且概率之和为1，从而得到正确答案. 【详解】由题意得，分布列中各项概率非负，且概率之和为1， 显然AC选项不满足概率之和为1，D选项不满足各项概率大于0， B选项满足要求. 故选：B 19. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知一个随机变量的分布列为，若是，的等差中项，则__________. 【答案】 【分析】根据分布列的性质及等差中项即可求. 【详解】由题可知，，解得， 故答案为:. 20. （2025上海市进才中学高三5月模拟） 设，随机变量的分布列如图，则当在内增大时， A. 减小 B. 增大 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小 【答案】D 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】， ， ，∴先增后减，因此选D. 【点睛】 21．投掷一枚均匀硬币，掷出正面得1分，掷出反面得2分、投掷了3次，设总分为，那么的数学期望为（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合二项分布的概率公式，求出的分布列，进而计算期望即可. 【详解】根据已知条件有的可能取值为，，，； ，， ，， 所以的分布列为： 所以. 故选：C 22．近年来，中国机器人科技水平在政策支持、技术创新及市场需求的多重驱动下实现了显著提升，尤其在工业机器人、服务机器人及特种机器人领域表现突出.国内某科技公司致力于服务机器人的发展与创新，近期公司生产了甲、乙、丙三款不同的智能送餐机器人，并对这三款机器人的送餐成功率进行了测试，获得数据如下表： 甲款机器人 乙款机器人 丙款机器人 测试次数 50 100 100 成功次数 20 60 80 假设每款机器人的测试结果相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲款机器人单次送餐成功的概率； (2)若让这三款机器人分别执行1次送餐任务，求恰好成功两次的概率； (3)若让这三款机器人分别执行10次送餐任务，设成功的次数分别为，，，直接写出方差，，的大小关系. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先计算甲款机器人单次送餐成功的频率，利用频率估计概率即可求解； （2）利用独立事件乘法概率和互斥事件加法概率公式求解即可； （3）由，利用二项分布的方差公式求解，即可求解. 【详解】（1）设甲款机器人单次送餐成功的概率为，则； （2）设乙款机器人单次送餐成功的概率为，设丙款机器人单次送餐成功的概率为， 所以， 所以恰好成功两次的概率为 ； （3）由题意有， 所以， 所以. 题型06：二项分布、超几何分布 23. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知随机变量服从二项分布，则________． 【答案】 【分析】利用二项分布期望公式求期望即可. 【详解】由二项分布期望公式得. 故答案为： 24. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）已知随机变量服从二项分布，若，，则的值为_________. 【答案】## 【分析】根据题意，由二项分布的期望方差公式，即可得到结果. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则，， 解得. 故答案为： 25. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知随机变量服从二项分布，且（），则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由二项分布的期望和方差公式求出，，再根据期望的性质求出，最后根据方差的性质计算可得； 【详解】解：因为，所以， 又， 即，解得， 所以. 故答案为： 26．从装有个白球，个红球的密闭容器中逐个不放回地摸取小球. 若每取出个红球得分，每取出个白球得分. 按照规则从容器中任意抽取个球，所得分数的期望为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设得分为，根据题意可以取，，. 则，， ， 则分布列为： 4 3 2 所以得分期望为. 故选：. 27.校园科技节举办“无人机操控挑战”活动，共有名学生报名参赛，每位学生需完成“首轮悬停定位”和“次轮障碍穿越”两项任务．已知每位学生首轮悬停定位成功的概率为，且不同学生首轮成功与否相互独立；若某学生首轮悬停定位成功，其次轮障碍穿越成功的概率为；若首轮悬停定位失败，其次轮障碍穿越成功的概率为．两项任务均成功即最终挑战成功． (1)若随机抽取一名参赛学生，求其次轮障碍穿越成功的概率． (2)记为参赛学生中挑战成功的学生人数，求的数学期望与方差． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据题意设事件，结合已知条件利用全概率公式求出次轮障碍穿越成功的概率； （2）先求出挑战成功的概率，利用独立事件的性质得出挑战成功人数符合二项分布，最后利用二项分布的期望、方差公式计算求解． 【详解】（1）设事件为“首轮悬停定位成功”，事件为“次轮障碍穿越成功”， ， 根据全概率公式，次轮障碍穿越成功的概率为： ， 随机抽取一名参赛学生，次轮障碍穿越成功的概率为． （2）挑战成功需要两项任务均成功，即为事件，其概率为： ， 不同学生的首轮成功相互独立，并且次轮成功概率仅依赖于自身首轮结果， 各学生的挑战成功事件相互独立， 记为名学生中挑战成功的人数，则服从二项分布， 数学期望：， 方差：． 题型07：正态分布 28. （2025建平中学高三下学期三模）设，，这两个变量的正态曲线如图所示，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【分析】根据图示和正态分布密度曲线的对称性可比较与， 由图象的“瘦高”与“矮胖”可比较与，由此可得正确选项. 【详解】由题可得的正态分布密度曲线的对称轴为直线，的正态分布密度曲线的对称轴为直线. 由题图可得，由于表示标准差，越小图象越“瘦高”，故，所以D正确. 故选：D. 29. （2025上海市崇明区高三三模）已知随机变量X服从正态分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意，利用正态分布曲线的对称性，结合，即可求解. 【详解】由随机变量X服从正态分布， 因为，可得， 所以. 故选：A. 30. （2025届上海市大同中学高三三模）若随机变量，且，，则的最小值为________ 【答案】 【分析】由正态分布性质知正态分布曲线关于对称，故，使用基本不等式可求的最小值. 【详解】由题意知正态分布曲线关于对称，， 则，又，故， 则 , 当且仅当，即取等号. 故答案：. 31. （2025上海宝山区高三三模）随机变量，，若，那么实数的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由正态分布性质可得，，由此可利用对称性构造方程求得结果. 【详解】，，，， ，，解得：. 故答案为：. 32. （2025上海市格致中学高三三模）假设小明的数学成绩X符合正态分布，查询资料后得知，，，那么小明数学成绩在120至130分之间的概率是________．（精确到0.0001） 【答案】0.4772 【解析】 【分析】正态分布标准化：将原始变量  转换为标准正态变量 ，公式为 ，区间转换：成绩区间  对应  的区间 ，概率计算：利用标准正态累积分布函数 ，区间概率为 . 【详解】小明的数学成绩  服从正态分布 ，即均值 ，标准差 . 需要求成绩在 120 分至 130 分之间的概率 . 由于正态分布的性质，将  标准化为标准正态分布变量 ： 当  时，,当 时，, 因此，，其中  服从标准正态分布. 给定标准正态分布的累积分布函数值：，，,需要计算 . 由于标准正态分布关于均值对称，,代入已知值： 结果精确到 0.0001，因此概率为 0.4772, 故答案为：0.4772. 33. （2025华东师大三附中高三三模）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，将考试成绩从高到低按照、、、的比例分为、、、四个等级.若小明的数学成绩为分，则属于等级（ ）（附：，） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】计算出、的值，结合即可得出结论. 【详解】由题意可得，，则， 所以， ， 因为，故小明属于等级. 故选：B. 34.已知某企业加工某零件，根据长期检测结果，得知该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布．现从该企业生产的零件中随机抽取100件，其质量指标值的样本数据统计情况如图所示． (1)求这100件零件的质量指标值的样本平均数和样本方差．（同一组的数据用该组区间的中点值作代表） (2)用这100件零件的质量指标值的样本平均数作为的估计值，样本标准差作为的估计值．若质量指标值在内的产品为优等品，根据正态分布，求该企业生产的产品为优等品的概率． 附：取， ，，． 【答案】(1)， (2)0.9545 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本平均数及方差的方法，求出样本均值和方差即可； （2）根据正态分布的性质，由方差和均值，判断结果即可. 【详解】（1）． ． （2）由题意知，样本方差，故， 所以该企业生产的零件的质量指标值服从正态分布． ， 所以该企业生产的产品为优等品的概率为0.9545． 题型08：抽样方法-简单随机抽样和分层抽样 35．下列抽样方法是简单随机抽样的是（    ） A．在某年明信片销售活动中，规定每100万枚为一个开奖组，号码的后四位是2709的为三等奖 B．某车间包装一种产品，在自动包装传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格 C．从8台电脑中逐个不放回地随机抽取2台，进行质量检验，假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取 D．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查 【答案】C 【分析】利用简单随机抽样的定义，逐一分析各选项即可得解. 【详解】选项A：在明信片销售活动中规定特定号码为三等奖， 这不是从总体中随机抽取个体，不属于简单随机抽样，故A错误； 选项B：在自动包装传送带上每隔30分钟抽一包产品， 抽样间隔固定，属于系统抽样，不是简单随机抽样，故B错误； 选项C：从8台已编号的电脑中逐个不放回地随机抽取2台， 符合简单随机抽样中总体个数有限、逐个抽取、不放回抽样、等可能抽样的特点， 属于简单随机抽样，故C正确； 选项D：一次性抽取100支火炬，不是逐个抽取， 不符合简单随机抽样的定义，不属于简单随机抽样，故D错误； 故选：C. 36．某校高一､高二､高三学生共1260人，为了解学生新学期适应情况，现用分层抽样的方法进行调查，若分别从三个年级中抽取的人数之比为，则该校高三的学生人数为 . 【答案】 【分析】根据样本各层之比等于总体各层之比即可. 【详解】三个年级中抽取的人数比和三个年级学生的人数比一样， 所以高三的学生人数为. 故答案为： 题型09：统计图表（频率分布直方图、茎叶图） 37．从某小区抽取100户居民用户进行月用电量（单位：）调查，将得到的数据按分为6组，画出的频率分布直方图如图所示，则在被调查的用户中，月用电量落在内的户数为（    ） A．35 B．40 C．42 D．45 【答案】B 【分析】利用频率分布直方图的性质先计算参数，再根据图象计算即可. 【详解】易知，所以， 即， 而月用电量落在内的户数为. 故选：B 38.如图是我国2023年第四季度至2024年第四季度的折叠屏手机出货量、同比（与上一年同期相比）增长率统计图，则关于这5个季度的数据说法错误的是（    ） A．折叠屏手机季度出货量的极差不超过92万台 B．折叠屏手机季度出货量的中位数为250.5万台 C．与2023年第二季度相比，2024年第三季度折叠屏手机的出货量增加13.7% D．2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数 【答案】C 【分析】根据图中条形图和折线图的数据，以及极差和中位数的定义，结合选项判断. 【详解】折叠屏手机季度出货量的极差为千台，即91.4万台，故A正确； 将各季度折叠屏手机出货量（千台）从小到大排列为1857，2233，2505，2571，2771，故中位数为2505千台，即250.5万台，故B正确； 同比是指与上一年同期相比，故折叠屏手机2024年第三季度的出货量比2023年第三季度的出货量增加13.7%，故C错误； 由图可知，2024年前3个季度折叠屏手机的同比增长率均为正数，故D正确. 故选：C． 39．某市甲、乙两个监测站在10日内分别对空气中某污染物实施监测，统计数据（单位：g/m3）如图所示，以下说法正确的是（    ） A．这10日内任何一天甲监测站的大气环境质量均好于乙监测站 B．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的中位数小于乙监测站读数的中位数 C．这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值是167 D．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的平均值小于乙监测站读数的平均值 【答案】C 【分析】根据茎叶图数据逐个判断各个选项即可. 【详解】由茎叶图易知A错误； 甲监测站污染物浓度的中位数是，乙监测站污染物浓度的中位数是167，B错误； 这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值，即众数是167，C正确； 甲监测站该污染物浓度的平均值 ，，D错误; 故选:C． 题型10：统计估计（众数、中位数、平均数、极差、方差与标准差、百分位数） 40. （2025华东师大三附中高三三模）已知某个数据的平均数为，方差为，现加入一个数据，此时这个数据的方差为________； 【答案】 【分析】根据平均数与方程的计算公式直接计算. 【详解】设初始的个数据分别为，，，， 则，， 加入一个数据后，平均数， 方差为， 故答案为：. 41．在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量．已知抽取的男生有人，其体重的平均数和方差分别为，抽取的女生有人，其体重的平均数和方差分别为，则估计该校高三年级学生体重的方差为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式即可算出答案. 【详解】记总样本的平均数为，则， 所以总样本的方差， 所以估计该校高三年级学生体重的方差为． 故选：C． 42.甲、乙两名篮球运动员连续5场比赛的得分如图所示，则下列结论正确的是______    (1)甲得分的平均数大于乙得分的平均数 (2)甲得分的极差大于乙得分的极差 (3)甲得分的中位数大于乙得分的中位数 (4)甲得分的方差大于乙得分的方差 【答案】(1)(3) 【分析】将甲乙得分由低到高排列，再按照平均数、极差、中位数、方差的定义计算即可. 【详解】甲5场比赛得分由低到高分别为15，16，18，21，30， 乙5场比赛得分由低到高分别为4，10，16，22，38， 甲得分的平均数为， 乙得分的平均数为， 则甲得分的平均数大于乙得分的平均数，(1)正确； 甲得分的极差为30-15=15，乙得分的极差为， 故甲得分的极差小于乙得分的极差，故(2)错误； 甲得分的中位数为18，乙得分的中位数为16， 则甲得分的中位数大于乙得分的中位数，故(3)正确； 甲得分的方差为， 乙得分的方差为， 故甲得分的方差小于乙得分的方差，故(4)错误. 43. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下（按从小到大的顺序排列，单位：） 56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______ 【答案】 【分析】根据百分位数的求法求得正确答案. 【详解】， 数据从小到大第个数是， 所以第75百分位数为 故答案为： 44. （2025上海市育才中学高三三模）从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比m大的概率为，若m为上述数据中的第x百分位数，则x的取值可能为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】C 【分析】先求出，再结合百分位数的定义，即可求解． 【详解】从2，3，4，5，6，7，8，9中随机取一个数，这个数比大的概率为，则， 为数据2，3，4，5，6，7，8，9的第6个数， 为上述数据中的第百分位数，，则的取值可能为70． 故选：C． 45.（2024上海市曹杨第二中学高三三模） 将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数，使得甲组的中位数比乙组的中位数小2，则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数，所以甲组的中位数可能为或，进而按题意解出分组方法数即可. 【详解】将1，2，3，…，50这50个正整数分成甲、乙两组，每组各25个数， 使得甲组的中位数比乙组的中位数小2， 则每组个数据，每组中位数均为第个数，比它大的或比它小的数均为个数， 所以甲组的中位数可能为，而此时乙组的中位数一定是， 则一定在乙组数据中；此时不同的分组方法数为：； 甲组的中位数可能为，而乙组的中位数一定为，此时必须在甲组数据中， 此时不同分组方法数为：； 所以不同的分组方法数为：. 故选：B. 题型11：变量间的相关关系（散点图、相关关系与相关系数） 46．（2025·上海徐汇·二模）在研究线性回归模型时，若样本数据所对应的点都在直线上，则两组数据和的线性相关系数为______ 【分析】根据回归模型性质判断即可. 【详解】若样本数据所对应的点都在直线上， 则两组数据和的线性相关系数为. 47. （2025上海市金山中学高三三模）下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据散点图的特征，结合相关系数的定义即可判断. 【详解】由散点图的趋势可知且接近1，，与绝对值较小， 所以最大. 故选：A． 48. （2025上海市崇明区高三三模）通过随机抽样，我们绘制了如图所示的某种商品每千克价格（单位：百元）与该商品消费者年需求量（单位：千克）的散点图.若去掉图中右下方的点后，下列说法正确的是（ ） A. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量由负相关变为正相关 B. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关程度不变 C. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变大 D. “每千克价格”与“年需求量”这两个变量的线性相关系数变小 【答案】D 【分析】根据相关系数的概念逐一判断. 【详解】对于A：去掉图中右下方的点后，根据图象，两个变量还是负相关，A错误； 对于BCD：去掉图中右下方的点后，相对来说数据会集中，相关程度会更高， 但因为是负相关，相关系数会更接近线性相关系数会变小，故D正确，BC错误. 故选：D. 49. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知高中学生的数学成绩，物理成绩，化学成绩两两成正相关关系，随机抽取10名同学，数学成绩和物理成绩的样本线性相关系数为，物理成绩与化学成绩的样本线性相关系数为，求的样本线性相关系数的最大值为_____. (附:相关系数 【答案】 【分析】利用相关系数公式可看成两个维向量的夹角公式，从而把相关系数问题转化为向量夹角问题，即可求解. 【详解】设， 则有， 由相关系数公式得， 设与夹角为与夹角为， 由的样本相关系数为，的样本相关系数为，所以， 由这两个夹角均为锐角且，所以与夹角的可能性是， 则与夹角余弦值的最大值为，此时与样本相关系数最大， 即， 所以的样本线性相关系数的最大值为. 故答案为：. 题型12：线性回归方程与回归分析 50. （2025上海宝山区高三三模）成对数据的回归方程为，则它们在处的离差是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据离差的概念，离差指的是观测值与预测值之间的差值，所以求出预测值，作差即可求出的离差. 【详解】因为回归方程为， 所以它们在处的预测值为，而观测值为， 所以根据离差的基本内涵可知，它们在处的离差为. 故选：A. 51.（2025上海松江高三三模）已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为，且，增加两个样本点和后，得到新样本的经验回归方程为．在新的经验回归方程下，样本的离差为____ 【知识点】离差的计算、计算样本的中心点、根据回归方程进行数据估计 【分析】计算增加样本点后的新的样本中心点，代入经验回归方程可求得；根据经验回归方程可求得，由离差定义可得结果. 【详解】，增加两个样本点后的平均数为； ，，增加两个样本点后的平均数为， ，解得：，新的经验回归方程为：， 则当时，，样本的离差为. 52．为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（   ） x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A． B．x与y的样本是负相关 C．当时，y的预估值为2.2 D．去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 【答案】A 【分析】由表格数据求出样本中心点求解判断A；由的正负判断B；由回归方程计算判断C；由相关系数公式判断D. 【详解】，则样本中心点为， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得与的样本是正相关，B错误； 对于C，当时，的预估值为，C错误； 对于D，由相关系数公式知，去掉样本中心点后，与的样本相关系数不会改变，D错误． 故选：A 53. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）某研究所收集、整理数据后得到如下列表： x 2 3 4 5 6 y 3 7 9 10 11 由两组数据可以得到线性回归方程为，则______． 【答案】0.4 【分析】求出样本中心点，代入回归方程即可求解 【详解】根据题意可得，，， 又，所以 故答案为： 54. （2025上海市崇明区高三三模）某公司为了了解某商品的月销售量单位：万件与月销售单价单位：元件之间的关系，随机统计了个月的销售量与销售单价，并制作了如下对照表： 月销售单价元件 月销售量万件 由表中数据可得回归方程中，试预测当月销售单价为元件时，月销售量为______万件. 【答案】 【分析】根据给定数表求出样本中心点，再代入回归直线求出参数即可求得结果. 【详解】依题意，，， 所以样本中心点坐标，代入回归方程得，， 解得， 所以回归方程为， 当时，， 即当月销售单价为元件时，月销售量约为万件. 故答案为： 55. （2025上海市崇明中学高三三模）某学校数学学习兴趣小组利用信息技术手段探究两个数值变量之间的线性关系，随机抽取8个样本点，由于操作过程的疏忽，在用最小二乘法求经验回归方程时只输入了前6组数据，得到的线性回归方程为，其样本中心为.后来检查发现后，输入8组数据得到的新的线性回归方程为，新的样本中心为，已知，则以下结论中正确的个数是（ ） ①新的样本中心仍为； ②新的样本中心为； ③两个数值变量具有正相关关系； ④. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【分析】由平均数的求法，根据样本中心的定义，利用回归直线方程的斜率，结合样本估计总体及最小乘法原理，逐项检验，可得答案. 【详解】对于①②，由题意可得，，则新的样本中为，故①错误，②正确； 对于③，将代入回归直线，可得，解得，故③正确； 对于④，根据样本估计总体及最小乘法原理，利用组数据所得经验回归程是与样本点“距离”平方和最小的直线方程，故④错误. 故选：C. 56．随机抽取某集团公司旗下五家超市，得到广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 广告支出x（万元） 2 4 5 6 8 销售额y（万元） 20 30 50 60 70 (1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度较高，） (2)求出y关于x的线性回归方程，并预测若广告支出15（万元），则销售额约为多少万元？参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别为，，. 【答案】(1)，可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度 (2)，销售额为136万元. 【分析】（1）根据相关系数公式求出相关系数即可判断. （2）根据公式求出，进而确定线性回归方程，然后将广告支出代入方程中求出销售额即可. 【详解】（1）根据表格里的数据可得： ，. 所以 . . . 所以可以认为广告支出与销售额具有较高的线性相关程度. （2）根据公式可得： ，. 所以关于的线性回归方程为. 当广告支出15万元时，销售额约为万元. 题型13：列联表与独立性检验 57. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）运用列联表进行独立性检验时，统计量的意义是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由卡方的意义即可得解. 【详解】统计量的意义是. 故选：C. 58. 已知一项统计结果表明有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，则（ ） A. 吸烟者一定会患肺癌 B. 吸烟者患肺癌的概率为99% C. 100个吸烟者大约有99个会患肺癌 D. 认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1% 【答案】D 【分析】根据独立性检验思想，即可判断选项. 【详解】根据独立性检验思想可知，有99%的把握认为“吸烟与患肺癌有关”是正确的，也可认为“吸烟与患肺癌有关”犯错的概率不超过1%. 故选：D 59. （2025届上海市大同中学高三三模）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 【答案】48 【分析】设男生人数为，依题意列出列联表，分析出根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则，再代入的公式求出的范围，再根据的实际意义即可求出男生的最少人数. 【详解】设男生人数为，依题意可得列联表为 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则， 由，解得. 由题意知，应为6的整数倍， 所以若根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有48人. 故答案为：48. 60．某景区为测试并推广一款预约游览APP，上线的第1、2两天在APP上预约可获得免费游览资格，第3天开始恢复为原票价，下表是该景区在该APP上前7天的预约情况 第天 1 2 3 4 5 6 7 预约量（万张） 9.03 9 8.58 8.7 8.76 8.74 8.79 经计算得：． (1)求关于的线性回归方程及第5天的离差：（精确到0.001） (2)为了调查该APP在不同年龄的人群中的推广情况，从第7天成人游客中随机抽取200人进行分析，所得的部分数据见下表： 50岁以下 50岁（含50）以上 合计 通过APP预约人数 70 其它方式购票人数 80 合计 100 ①完成以上列联表： ②如果有95%的把握认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式： 【答案】(1)，离差为 (2)①列联表见解析；②需要，理由见解析 【分析】（1）根据表中数据和公式求出的值，进而得到线性回归方程，从而可求出第5天的离差. （2）①根据数据的和差进行填表即可.②作出零假设，根据公式求出卡方值，进而可判断零假设是否成立. 【详解】（1）， 故， ， 故关于的线性回归方程为. 所以第5天的离差为 （2）①列联表如下： 50岁以下 50岁（含50）以上 合计 通过APP预约人数 70 50 120 其它方式购票人数 30 50 80 合计 100 100 200 ②需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传，理由如下： 零假设认定游客通过APP预约游览与其年龄无关， 则， 根据小概率事件原理，可知零假设不成立，故认定游客通过APP预约游览与其年龄有关， 需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传． 题型11：统计估计与概率综合 62. 2024年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图： （1）求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望. 【答案】（1）， （2）分布列答案见解析，数学期望： 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，利用平均数和方差的公式代入计算即可； （2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人，利用古典概型的概率公式代入计算，列出分布列求出数学期望即可． 【小问1详解】 这200位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为 ， . 【小问2详解】 根据分层抽样原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人， 故X可能的取值为0，1，2， ，， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为. 63．（2025华师大二附中高三三模）某小吃店的服务窗口的为每位顾客现场制作美食，从每份食物开始制作到取到事物的时间进行统计，结果如下： 制作食品所需的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.05 0.45 0.35 0.1 0.05 假设每个顾客取到食品所需的制作时间互相独立，且都是整数分钟．从第一个顾客等待取食品开始计时． （1）根据表中数据，试估算第一个顾客取到食品所需的平均等待时间； （2）求事件＂恰好4分钟后，第二个顾客取到食品＂的经验概率； （3）若随机变量表示＂至第2分钟末，已取到食品的顾客人数＂，求的分布及数学期望； 【答案】（1）2.65分钟 （2）0.2375． （3），． 【解析】设表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得的分布如下： （1）所需的平均等待时间为（分钟）． （2）设表示事件＂恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品＂，则事件对应三种情形：①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟； ②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟； ③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟． 所以 ， 即估计＂恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品＂的概率为0.2375． （3）所有可能的取值为． 对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟，所以； 对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟， 所以； 对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟， 所以； 对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟， 所以； 所以的分布为：，． 题型12：回归分析与概率综合 64．（2025·上海宝山·二模）某游乐园的活动项目共有三类，分别是“过山车”等10个体验类项目、“海豚之舞”等4个表演类项目、“智力闯关”等3个互动类项目.因设备维护需要，项目并非每日都全部开放.以下数据是项目开放的数量（个）和游客平均等待时间（分钟/个）的关系： 项目类别 体验类 演出类 互动类 开放数量（个） 4 5 6 7 8 2 4 2 3 平均等待时间（分钟/个） 76 73 67 60 53 30 46 30 (1)体验类项目中，若关于的回归方程为，请计算的值，并依据该模型预测所有体验类项目均开放时的平均等待时间（精确到整数）； (2)小王游玩当日，体验类、演出类、互动类项目分别开放了8个、4个、3个，他计划随机游玩其中的3个项目，已知他选择的项目中至少包含1个互动类项目，求他的等待总时间恰为120分钟的概率； (3)为提高游客的参与度，园方在互动类项目“智力闯关”中设计了两关.通过第一关的游客奖励20个游园币，游客可以选择结束或继续闯关.若继续闯关，则必须完成第二关的所有题目.第二关包含2道相互独立的选择题，每答对1题可再奖励20个游园币，每答错1题则要扣除10个游园币.每个游园币可兑换园区内任意一个项目的1分钟等待时间.小王已通过第一关，假设他在第二关中每道题答对的概率均为，为了获得更多项目等待时间的兑换奖励，小王是否应该继续闯关？请你帮他做出决策. 【答案】(1)，51分钟； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据表中数据分别求出，代入回归方程即可求出，将代入回归方程可求出平均等待时间； （2）利用条件概率公式，结合分步计数乘法原理和分类计数加法原理以及组合数，计算即可求得概率； （3）通过计算得到小王参加第二关获得的游园币数的期望，根据每道题答对的概率的取值分类讨论，做出相关决策. 【详解】（1）， 代入回归方程，得，解得. 当时,，即开放所有体验类项目时的平均等待时间约为51分钟. （2）记事件“等待总时间恰为120分钟”，事件“选择的3个项目中至少包含1个互动类项目”， 因为全部的项目数为15个，其中互动类项目有3个，则事件共包含了种； 在事件的条件下，等待总时间恰为120分钟，此时的可能情况有： ①一个互动类项目，一个体验类项目，一个演出类项目，此时共有种情况； ②两个互动类项目，一个体验类项目，此时共有种情况. 由条件概率公式得. （3）设小王参加第二关获得的游园币数为随机变量，则所有可能取值为， 则 所以. 所以，当时，，不建议小王继续闯关； 当时，，小王可根据自己的情况随机选择； 当时，，建议小王继续闯关. 题型13：独立性检验与概率综合 65．某咖啡店想了解顾客性别与喜欢的咖啡口味是否有关，随机调查了名顾客，得到如下的列联表： 喜欢拿铁 喜欢美式 男性顾客 70 80 女性顾客 90 60 (1)根据的独立性检验，分析顾客性别与喜欢的咖啡口味是否有关； (2)从这名顾客中随机选择名，已知其中至少有名女性顾客，求这名顾客都喜欢拿铁的概率. 附：， 【答案】(1)认为顾客性别与喜欢的咖啡无关 (2) 【分析】（1）计算卡方值并与临界值比较，即可得出结论； （2）根据条件概率的公式计算得解. 【详解】（1）零假设：顾客性别与喜欢的咖啡口味无关. 因为， 故依据的独立性检验，没有足够的证据说明不成立，即认为顾客性别与喜欢的咖啡无关. （2）设事件“所选的2名顾客至少有1名女性顾客”，事件“所选的2名顾客都喜欢拿铁”. 由列联表知； ， 所以. 66．近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 男性 25 150 女性 50 75 (1)列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？ (2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率． 附：． 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，认为关注“湘超”赛事与性别有关 (2) 【分析】（1）由题意可得列联表，再计算，对比临界值表即可得解； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. 【详解】（1）列联表如下： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 零假设为：关注“湘超”赛事与性别无关． 故依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立， 即认为关注“湘超”赛事与性别有关. （2）由分层抽样可知，抽取男性市民2人，女性市民1人， 记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件A，“这2人的性别不同”为事件B， 则， ， 则， 所以在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人的性别不同的概率为. 67．（2025上海松江高三三模）近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活.现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 (1)是否有95%的把握认为社区的市民喜欢网上买菜与年龄有关？ (2)社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选每平台买菜，那么周二选择平合买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； (3)用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)有95%的把握认为喜欢网上买菜与年龄有关 (2) (3)，；， 【分析】（1）卡方检验表明年龄与网上买菜偏好相关； （2）全概率计算得周二选的概率为； （3）二项分布的期望和方差通过参数推导得出. 【详解】（1）有95%的把握认为喜欢网上买菜与年龄有关. ， 查表得临界值3.841，由于，认为喜欢网上买菜与年龄有关； （2） ； （3）喜欢网上买菜的概率，， 则 对于，利用线性变换性质： . 题型14：概率综合题 68．从甲、乙两支篮球队各随机抽取10名队员进行定点投篮测试，甲队有8人投中，乙队有7人投中，假设队员之间投篮相互独立，用频率估计概率． (1)估计甲队队员投中的概率p； (2)从甲、乙两队中各随机抽取1名队员依次定点投篮一次，设X为这2名队员中投中的人数，估计X的数学期望； (3)设甲、乙两队队员掌握了定点投篮技巧的概率分别为，，若甲、乙两队队员掌握了技巧则分别有90%、80%的概率投中，两队中未掌握技巧的队员都有60%的概率投中，比较与的大小． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用频率估计概率求解. （2）求出的可能取值及对应的概率，进而求出其期望. （3）利用全概率公式列式分别求出即可. 【详解】（1）由从甲篮球队随机抽取10名队员进行定点投篮测试，有8人投中，得， 所以甲队队员投中的概率为. （2）记从甲队抽取的队员投中为事件，乙队抽取的队员投中为事件， 则，的可能取值为， ，， ， 所以X的数学期望. （3）记事件为“甲队队员掌握了定点投篮技巧投中”，其概率为， 事件为“乙队队员掌握了定点投篮技巧投中”，其概率为， 由甲队队员掌握了技巧，有90%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得， 由乙队队员掌握了技巧，有80%的概率投中，未掌握技巧的队员有60%的概率投中， 得，解得， 所以. 69．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）用频率估计概率即可求解； （2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望； （3）根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系. 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取， ，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故， 故. 题型15：概率与函数、数列综合 70．甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，甲有的概率不传，有的概率传给乙；乙有的概率传给甲，有的概率传给丙；丙有的概率传给甲，的概率传给乙，每次传球相互独立，则两次传球后球在乙处的概率为 ，次传球后，球在乙处的概率 . 【答案】 【分析】设次传球后，球在甲处的概率为，则球在丙处的概率为，分析第二次传球后球在乙处的可能，结合概率的乘法公式可得出的值；推导出次传球后，球在乙处的两种可能，结合全概率公式可得出关于的递推公式，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得的表达式. 【详解】设次传球后，球在甲处的概率为，则球在丙处的概率为， 由题意可知，， 第二次传球后，球在乙处，只有一种可能，即前一次在甲处，然后传给乙， 所以； 次传球后，球在乙处，有两种可能：前一次在甲处，由甲传给乙或前一次在丙处，由丙传给乙， 所以， 设，即，所以，解得， 故，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，故. 故答案为：；. 71. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为，给出以下论述： ①； ②； ③ ④前天甲午餐总费用的数学期望为. 其中正确的是（ ） A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【分析】先根据题意找到递推式，即可判断②，由递推式可求出，从而判断③，根据期望公式，期望的性质以及，即可判断④． 【详解】若甲在第天选择了米饭套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐， 甲在第天选择了面食套餐，那么在第天有的可能性选择米饭套餐， 所以第天选择米饭套餐的概率，故②正确； 因为，所以甲在第1天选择了米饭套餐，所以，故①正确； 由②得，，所以， 又由题意得，，是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以，故③错误； 前天甲午餐总费用的数学期望为，故④正确. 故选：B. 72．（2022·上海市高桥中学高三阶段练习）奥密克戎BA.5变异毒株的潜伏期又缩短了，但具体到个人，感染后潜伏期的长短还是有个体差异的．潜伏期是指已经感染了奥密克戎变异株，但未出现临床症状的和体征的一段时期，奥密克戎潜伏期做核算检测可能为阴性，建议可以多做几次核算检测，有助于明确诊断．某研究机构对某地1000名患者进行了调查和统计，得到如下表： 潜伏期：（单位：天） 人数 80 210 310 250 130 15 5 (1)求这1000名患者的潜伏期的样本平均值． (2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取300 人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95％的把握认为潜伏期与患者年龄有关． 潜伏期天 潜伏期天 总计 50岁以上（含50） 150 50岁以下 85 总计 300 (3)为了做好防疫工作，各个部门、单位抓紧将各项细节落到实处，对“确诊”、“疑似”、“无法明确排除”和“确诊密接者”等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．若在排查期间，某小区有5人被确认为“确诊患者的密接接触”，现医护人员要对这5人进行逐一“单人单管”核酸检测，只要出现一例阳性，则该小区将被划为“封控区”．假设每人被确诊的概率为且相互独立，若当时，至少检测了4人该小区就被划为“封控区”的概率取得最大值，求． 附：，其中 【答案】(1) (2)没有的把握认为潜伏期与年龄有关 (3) （1） 解：根据统计数据，计算平均数为 （天）； （2） 解：依题意潜伏期不超过天的抽取人， 超过天的抽取人， 所以可得列联表如下： 潜伏期天 潜伏期天 总计 50岁以上（含50） 95 55 150 50岁以下 85 65 150 总计 180 120 300 根据列联表计算， 所以没有的把握认为潜伏期与年龄有关； （3） 解：至少检测4人该小区被测定为“封控区”包含两种情况： ①检测4次被确定，②检测5次被确定． 则至少检测了4人该小区被确定为“封控区”的概率为． 设， ， ，当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以时函数取得极大值即最大值， 当时，最大， ． 一、填空题 1. （2025行知中学高三6月模拟）有2个人在一座7层大楼的底层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的.这两个人在同一层离开电梯的概率是______. 【答案】 【分析】给定条件，求出两人离开电梯的结果总数，再求出在同一层楼离开的结果数即可求出概率. 【详解】依题意，两个人各有6种不同的下法，因此两人离开电梯共有种结果， 两人在同一层下，共有6种结果，所以两个人在同一层离开电梯的概率是. 故答案为： 2．甲、乙、丙、丁4人排成一排，则甲不在排首的概率为______ 【分析】列出4人全排列的种类数，再除去甲在排首的种类数，即可计算出所求概率. 【详解】将4人全排列共有种排列， 若甲在排首，将其余3人全排列共有种，则甲不在排首的排列共有种， 因此甲不在排首的概率为. 3．从3名男生和4名女生中任选4名同学参加志愿者活动，其中2名同学为负责人，2名同学为组员，则选出的4名学生中至少有1名女生做负责人的概率为 ． 【答案】 【分析】分选取4名同学的情况有3名男生1名女生，男女生各2名，1名男生3名女生，4名女生四种情况，应用组合数、古典概型的概率求法及独立事件乘法求概率即可. 【详解】由题意，从7名学生任选4名有种，4人中任选2人做负责人有种， 选取4名同学的情况：3名男生1名女生，男女生各2名，1名男生3名女生，4名女生， 当3名男生1名女生，有种，概率为，其中女生为负责人有种，概率为，此情况的概率为， 当男女生各2名，有种，概率为，其中至少有1名女生为负责人有种，概率为，此情况的概率为， 当1名男生3名女生，有种，概率为，其中必有女生为负责人，此情况的概率为， 当4名女生，有种，概率为，其中女生为负责人，此情况的概率为， 综上，所以选出的4名学生中至少有1名女生做负责人的概率为. 故答案为： 4. （2025上海市进才中学高三5月模拟）甲、乙、丙三人分别从2个不同的数中随机选择若干个数（可以不选），分别构成集合，，，记中元素的个数为，则的概率为___________. 【答案】 【分析】根据已知一个元素被某人选中的概率为且相互独立，应用独立乘法公式及对立事件的概率求法得两个元素均未被三人选中的概率为，最后应用对立事件的概率求法即可得. 【详解】设两个不同数为，一个元素被某人选中概率为且相互独立， 所以一个元素被甲乙丙三人都选中的概率为， 由中元素的个数，表示至少一个元素被三人选中， 而两个元素均未被三人选中的概率为， 所以的概率为. 故答案为： 5．已知，，，则 ． 【答案】/0.8 【分析】由条件求出，再由条件概率公式求解． 【详解】因为，，，所以． 因为，所以． 故答案为：． 6. 设，是随机事件，已知，，，则下列四个结论中，正确的是 . ①；②事件，相互独立； ③；④ 【答案】②③④ 【分析】对于①，利用条件概率公式进行求解；对于②，先得到，进而得到，②正确；对于③，根据概率的性质进行求解；对于④，先得到，从而利用条件概率公式进行求解. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，， 又，故， 事件，相互独立，②正确； 对于③，，③正确； 对于④，，故， 故，④正确. 故答案为：②③④ 7．某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为______ 【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解. 【详解】同时爱好两项的概率为， 记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件， 则， 所以. 8．某校举办科学竞技比赛，有3种题库，题库有5000道题，题库有4000道题，题库有3000道题．小申已完成所有题，已知小申完成题库的正确率是0.92，题库的正确率是0.86，题库的正确率是0.72．现他从所有的题中随机选一题，正确率是 ． 【答案】0.85 【分析】求出各题库所占比，根据全概率公式即可得到答案. 【详解】由题意知，题库的比例为：， 各占比分别为， 则根据全概率公式知所求正确率． 故答案为：0.85． 9．某一离散型随机变量的概率分布如下表，且，则的值为______ 0 1 2 3 0.1 0.1 【详解】由题意得，， 解得， 故. 10．已知随机变量的分布列如表: 1 2 若，则 【答案】 【详解】依题意，解得， 所以， 所以，则. 故答案为： 11.（2025高三上·辽宁沈阳·专题练习）已知随机变量，，且，若，则 ． 【答案】 【分析】先根据二项分布的期望公式写出，再结合期望的线性性质代入构造关于的方程求出，利用正态分布的对称性求解连续型随机变量概率． 【详解】，， ，，即，解得， ， 由对称性可得， 又， ， ． 故答案为：． 12．若随机变量，则当取得最大值时，正整数的值是 ． 【答案】5 【分析】根据二项分布，计算，再根据二项式系数的最大值，即可求解. 【详解】由题可知，所以取得最大值，即最大，此时. 故答案为：5 13．小明上学途中共有n个红绿灯，且小明遇到每个红灯的概率均为， 记某次小明上学途中遇到红灯的次数为，且小明上学途中恰好遇到两个红灯的概率为， 则n= ， E()= . 【答案】 【详解】由题设，遇到次红灯的概率为，又， 所以，则，显然且， 当时，；当时，；当时，； 所以. 又，由二项分布期望的求法可得. 故答案为：，. 14.（2025上海市金山中学高三三模） 若随机变量服从正态分布，，则____________. 【答案】## 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 则 故答案为：. 15. （2025上海市进才中学高三5月模拟）若随机变量，则______． 【答案】 【分析】根据正态曲线性质求解即可. 【详解】由，，得； 所以， 所以，又， 所以，解得. 故答案为： 16. （2025进才中学高三模拟）随机变量，，若，那么实数的值为__________. 【答案】 【分析】由正态分布性质可得，，由此可利用对称性构造方程求得结果. 【详解】，，，， ，，解得：. 故答案为：. 16. （2025杨浦区高三5月质量检测）某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于47至53之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到99.74%，则需调整生产技能，使得至多为________.（参考数据：若，则） 【答案】1 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，，然后列不等式组可解． 【详解】依题可知，，又， 所以，要使合格率达到99.74%，则， 所以，解得：，故σ至多为1． 故答案为：1． 17. （2025上海市育才中学高三三模）某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为_______ 附：若，则. 【分析】依题意，计算数据后乘以总人数即可. 【详解】由，得， 则， 估计优秀的学生人数约为. 18. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为．若该组样本的第百分位数为，第百分位数为，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由题知该样本第个数为，第个为，且为整数，不是整数，进而得到不等式即可分析求解. 【详解】由题意可得为正整数，不是整数，且该样本第个数为，第个数为， 又这是连续正整数（可重复）组成的样本，所以， 所以，解得， 又为整数，不是整数，所以最小44， 当时，第百分位数为第33个数19，与第34个数20的均值19.5， 第百分位数为第36个数22，符合题意. 故答案为：44. 19..某种产品的广告支出费用（单位：万元）与销售量（单位：万件）之间的对应数据如下表，已知，则时，离差为 ． 广告支出费用/万元 1 3 4 6 11 销售量万件 1.9 3.2 4.4 6.3 12.7 【答案】2.02 【知识点】离差的计算、根据样本中心点求参数 【分析】先求出样本点的中心点，然后代入回归方程求出，从而求出当时，解得，从而可求解. 【详解】由题意，， 而样本点的中心点在经验回归直线上， 代入得，解得． 所以，当时，解得， 所以离差为． 故答案为：. 20．变量关于变量的经验回归方程为.若时，的实际观测值为8，则此时的离差为______ 【分析】根据回归方程求出估计值，然后由离差定义即可得解. 【详解】当时，， 又时，的实际观测值为8，所以此时的离差为. 21．某品牌的新能源汽车的使用年限（年）与维护费用（千元）之间有如下数据： 使用年限（年） 2 4 5 6 8 维护费用（千元） 2.75 4.25 6.25 7.25 8.75 已知与之间具有线性相关关系，且关于的经验回归方程为.据此估计，使用年限为9年时，维护费用约为_______ 【分析】先求出，然后根据回归直线过样本的中心点得，将代入得，即可得解. 【详解】由题意可得， 由于回归直线过样本的中心点，所以，解得， 当时，， 所以当该品牌的新能源汽车的使用年限为9年时，维护费用约为10.05千元. 22．一组数据的线性回归方程为，若，则 ． 【答案】78 【分析】根据回归直线恒过样本中心点，求得，即可求得. 【详解】由得. 因为过点，所以，所以. 故答案为：78. 23．（2024·上海长宁·二模）收集数据，利用列联表，分析学习成绩好与上课注意力集中是否有关时，提出的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中 （填：有关或无关） 【答案】无关 【分析】根据题意，由零假设的定义，即可得到结果. 【详解】零假设等价于两个变量相互独立， 所以此题中的零假设为：学习成绩好与上课注意力集中无关. 故答案为：无关 24．（2024·上海金山·二模）为了考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，得到如下图所示列联表： 药物 疾病 合计 未患病 患病 服用 50 未服用 50 合计 80 20 100 取显著性水平，若本次考察结果支持“药物对疾病预防有显著效果”，则()的最小值为 ． (参考公式：；参考值：） 【答案】 【分析】由题意列出不等式，结合近似计算求出m的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意可知， 则， 解得或，而， 故m的最小值为44. 故答案为：44. 25．甲、乙、丙三人玩传球游戏，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，若第一次由甲传出，则经过6次传球后，球恰在乙手中的概率为______ 【分析】由题意可列出球在甲手中的概率递推关系式，构造出等比数列，求出第n次球在甲手中的概率表达式，由于乙、丙地位对称，求出第n次球在甲手中的概率由对立事件即可得到经过次传球后，球恰在乙手中的概率. 【详解】设事件“第次球在甲手中”，“第n次球在乙手中”，“第n次球在丙手中”， 那么由题意可知可知：，又， 所以，可构造等比数列， ， 因为第一次由甲传球，可认为第0次传球在甲，即， 所以是以为首项，公比为的等比数列， 故，所以， 因为第一次由甲传球，之后都是等可能地将球传给另外两个人中的任何一人， 所以乙、丙地位对称，即，所以经过n次传球后， 球恰在乙手中的概率为. 故选：D. 二、选择题 26．某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】分别列出两个事件包含的基本事件，再由充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”. 事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D， 所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 27．对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据事件关系，即可判断选项. 【解答过程】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确； B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确； D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确. 故选：B. 28．已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B如图所示.其中， 则事件A与事件B（   ）    A．是互斥事件，不是独立事件 B．不是互斥事件，是独立事件 C．既是互斥事件，也是独立事件 D．既不是互斥事件，也不是独立事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件和独立事件的定义和概率公式计算即得. 【详解】因， 则， 于是， 因，则事件A与事件B不是互斥事件； 又，则事件A与事件B是独立事件. 故选：B. 29．下列关于随机事件的概率说法错误的是（   ） A．若，则事件发生，事件一定发生 B．若，则事件与互斥 C．若，则事件与独立 D．若，，，则事件与独立 【答案】A 【分析】利用事件的包含关系可判断A选项；利用互斥事件的概率加法公式可判断B选项；利用条件概率公式和事件独立性的定义可判断C选项；利用事件独立性的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，则事件发生，事件不一定发生，A错； 对于B选项，若，则事件与互斥，B对； 对于C选项，若且由条件概率公式可得， 所以，所以，则事件与独立，C对； 对于D选项，若，，则，， 所以，故与独立，即事件与独立，D对. 故选：A. 30．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可. 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 31．某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】观察曲线知，. 故选：D 32．对两组数据进行统计后得到如图所示的散点图，下列结论不正确的是（    ） A．图1、图2两组数据都具有线性相关关系 B．图1数据正相关，图2数据负相关 C．图1相关系数小于图2相关系数 D．图1相关系数和图2相关系数之和小于0 【答案】C 【分析】根据散点图及相关性判断AB，由相关系数性质判断CD. 【详解】对A，因为散点图都呈直线型，所以图1、图2两组数据都具有线性相关关系，A正确； 对B，图1散点从左至右呈上升趋势，所以数据正相关，图2散点从左至右呈下降趋势，所以数据负相关，故B正确； 对C，图1正相关，图2负相关，所以C不正确； 对D，因为图2相关程度更强，所以D正确. 故选：C. 33．某公司研发新产品投入金额（单位：万元）与该产品的收益（单位：万元）的5组统计数据如下表所示．由表中数据用最小二乘法求得投入金额与收益满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（   ） 5 7 8 9 11 16 22 24 27 31 A． B．时，离差为 C．与有正相关关系 D．当新产品投入金额为5万元时，该产品的收益大约为万元 【答案】B 【分析】根据线性回归和最小二乘法知识进行求解即可. 【详解】根据表中数据可求得： ，. 因为经验回归方程经过点，得. 解得，所以A正确； 所以经验回归方程为. 当时，， 所以离差为，所以B错误； 因为经验回归方程为，，所以正相关，所以C正确； 令，则，所以D正确. 故选：B. 三、 解答题 34．（2024·上海青浦·一模）第七届中国国际进口博览会于 2024 年 11 月 5 日至 10 日在上海举办，某公司生产的 、 三款产品在博览会上亮相，每一种产品均有普通装和精品装两种款式，该公司每天产量如下表: （单位:个） 产品 产品 产品 普通装      180 400 精品装 300 420 600 现采用分层抽样的方法在某一天生产的产品中抽取 100 个，其中 款产品有30 个. (1)求 的值； (2)用分层抽样的方法在 款产品中抽取一个容量为5的样本，从样本中任取 2 个产品，求其中至少有一个精品装产品的概率; (3)对抽取到的 款产品样本中某种指标进行统计，普通装产品的平均数为10，方差为2， 精品装产品的平均数为12，方差为1.8，试估计这天生产的 款产品的某种指标的总体方差 （精确到 0.01 ）. 【答案】(1)100； (2)； (3). 【分析】（1）由分层随机抽样的抽样比直接计算即可； （2）由古典概型结合组合数公式即可求解； （3）根据分层抽样总体的方差公式求解即可. 【解析】（1）由题意可知，该工厂一天所生产的产品数为 现采用分层抽样的方法在这一天生产的产品中抽取100个，其中B款产品有30个， 则，解得. （2）设所抽取的样本中有个精品装产品，则，解得 所以容量为5的样本中，有3个精品装产品，2个普通装产品. 因此从样本中任取 2 个产品，至少有1个精品装产品的概率为 （3）由题意，某项指标总体的平均数为， 所以由分层抽样的总体方差公式可得 35.（2024·上海奉贤·一模）某芯片代工厂生产甲、乙两种型号的芯片，为了解芯片的某项指标，从这两种芯片中各抽取100件进行检测，获得该项指标的频率分布直方图，如图所示： 假设数据在组内均匀分布，以样本估计总体，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率． (1)求频率分布直方图中x的值并估计乙型芯片该项指标的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)已知甲型芯片指标在为航天级芯片，乙型芯片指标在为航天为航天级芯片．现分别采用分层抽样的方式，从甲型芯片指标在内取2件，乙型芯片指标在内取4件，再从这6件中任取2件，求至少有一件为航天级芯片的概率． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）由频率和为1求出得值，根据平均数公式求出平均值. （2）根据条件列举样本容量和样本点的方法，列式求解. 【解析】（1）由题意得，解得. 由频率分布直方图得乙型芯片该项指标的平均值： . （2）根据分层抽样得，来自甲型芯片指标在和的各1件，分别记为和， 来自甲型芯片指标在和分别为3件和1件，分别记为，，和， 从中任取2件，样本空间可记为，，，，，， ，，，，，，，，共15个， 记事件：至少有一件为航天级芯片,则，，，，， ，，，共9个， 所以. 36只实验鼠在光照诱导与蛋白干预实验中，出现突变的指标： 实验鼠编号 1 2 3 4 5 6 7 8 指标 实验鼠编号 9 10 11 12 13 14 15 16 指标 长期试验发现，若实验鼠指标超过，则认定其体征状况严重， (1)从实验鼠中随机选取只，记为体征状况严重的只数，求的分布列和数学期望； (2)若编号的实验鼠为蛋白干预实验组，编号的为非蛋白干预对照组，试依据小概率值的独立性检验，分析蛋白干预是否与实验鼠体征状况有关？ 附：（其中）. 【答案】(1)分布列见解析，期望为 (2)无关 【分析】（1）由题意可知服从超几何分布，由超几何分布的概率公式求解即可； （2）根据独立性检验的基本原理求解判断即可. 【详解】（1）（1）由题意得，只实验鼠中，有7只体征状况严重. 的可能取值有0，1，2，3， ， ， ， . 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. （2）由题意得，根据所给数据，得到2×2列联表： 蛋白干预 非蛋白干预 合计 体征状况严重 2 5 7 体征状况不严重 6 3 9 合计 8 8 16 零假设：实验鼠体征状况与蛋白干预没有关系. 利用列联表中的数据得，， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可认为成立，即认为实验鼠体征状况与蛋白干预无关. 37．为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关系，调查了某高三年级学生，整理得到如下列联表：                   身高   性别 低于 不低于 合计 男 9 91 100 女 90 10 100 合计 99 101 200 (1)在这200名学生中随机选两名学生身高均不低于的概率是多少？ (2)根据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联，解释所得结论的实际含义． 附 0.05 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) (2)认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联．实际意义见解析 【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解，即得答案； （2）计算的值，根据独立性检验的原理，即可得结论. 【详解】（1）设两名学生身高均不低于的事件为， 由古典概率计算公式得 （2）零假设为：该中学高三年级学生的性别与身高无关联， 则， 根据的独立性检验，我们推断不成立， 即认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联． 所得结论的实际含义是：在犯错误的概率不超过0.001的前提下， 认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联， 即男生身高不低于170cm的比例远高于女生，女生身高低于170cm的比例远高于男生. 38.实验中学社团举办了一场乒乓球比赛，为了锻炼身体，比赛采取“5局3胜制”（说明：5局3胜制是指比赛最多进行5局，先赢得3局的一方即为获胜方）.现有甲､乙二人，已知每局甲胜的概率为，乙胜的概率为.求： (1)这场比赛甲获胜的概率； (2)这场比赛乙所胜局数的数学期望. (3)这场比赛在甲获得比赛胜利的条件下，乙有一局获胜的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）甲胜的情况可能连赢3局、前3局中甲赢2局，第4局甲赢、前4局甲赢2局，第5局甲赢这三种情况，由此能求出甲获胜的概率； （2）乙获胜的局数为，列出的可取值，分别求出对应可取值的概率即可得到的分布列，然后由期望的公式计算出的期望； （3）设事件“甲获得比赛胜利”，事件“乙获胜一局”，然后求出，，由条件概率的公式求得. 【详解】（1）甲胜的概率为. （2）设乙获胜的局数为，， 可得； ； ； . 的分布列为： 0 1 2 3 （局） （3）设事件“甲获得比赛胜利”，事件“乙获胜一局”. 得到； ； . 39．（2024·北京·高考真题）某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率. (1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率； (2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差. （i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望； （ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值 【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率; （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求. （ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解. 【详解】（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”， 由题设中的统计数据可得. （2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取， 由题设中的统计数据可得， ，， ， 故 故（万元）. （ⅱ）由题设保费的变化为， 故（万元）， 从而. 40．甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． (1)求第2次投篮的人是乙的概率； (2)求第次投篮的人是甲的概率； (3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据全概率公式即可求出； （2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出； （3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出． 【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件， 所以， . （2）设，依题可知，，则 ， 即， 构造等比数列， 设，解得，则， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 即． （3）因为，， 所以当时，， 故． 【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $