专题10：导数 【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】讲义-2026届高考数学三轮冲刺一卷通（上海专用）

2026上海高考数学三轮冲刺一卷通【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】 专题10 导数 考点01：平均变化率与瞬时变化率 1.（23-24高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 ． 2. （2025上海市育才中学高三三模）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为______ 3.（24-25高三·上海·随堂练习）一质点的运动方程是，s为位移，t为时间，则在时质点瞬时速度为 ． 4. （2025进才中学高三模拟）已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是 A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 考点02：导数的概念与运算 5.（24-25高二上·河南安阳·期末）若，则 . 6.（23-24高二下·上海·期中）若则 7.（23-24高二下·上海·期中）已知，则 ． 8．（22-23高二下·上海宝山·期中）函数的导数 ． 9．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 . 10.（22-23高二下·上海长宁·期末）下列求导计算正确的是（    ） A． B． C． D． 11.（24-25高三·上海·随堂练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)，n为常数． 12.求下列函数的导数： (1)；(2)；(3)；(4)． 考点03：导数的几何意义 13. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知，则曲线在点处的切线方程是__________． 14.（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则 . 15.（25-26高三上·上海·单元测试）若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为 ． 16.（24-25高二下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 17.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考点04：与导数有关的函数性质辨析 18.（闵行2023一模15）已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题： ①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； ②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. 则说法正确选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 19. （2025上海市格致中学高三三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 20. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知函数在上可导，其导函数为，设对任意实数，与均成立；对任意正数，都有对任意实数恒成立，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又不非必要条件 21.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； 则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 22. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 23.（浦东新区2023二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数；②若为周期函数，则也为周期函数. 那么（ ）. A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题 考点05：唯一解、有解、整数解问题 24. （2025上海市崇明区高三三模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______. 25. （2025届上海市大同中学高三三模）已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 26. （2025杨浦区高三5月质量检测）若有唯一解，则的范围是______________ 27. （2025行知中学高三6月模拟）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 28．（2024高三·全国·专题练习）关于的不等式在有解，则的取值范围为 ． 29. 已知函数（）. (1)求函数的极值； (2)若集合有且只有一个元素，求的值. 考点06：求参数和积的取值范围 30. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）函数的表达式为，如果且，则abc的取值范围为__________． 31．（2023·上海青浦·统考一模）已知三个互不相同的实数、、满足，，则的取值范围为 ． 考点07：用导数研究函数的单调性 32. （2025进才中学高三模拟）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ____． 33.（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是 . 34.（23-24高三下·上海·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ． 35.（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 36.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在定义域内的区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37.（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 38.（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 39.已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 40.（23-24高三下·上海·开学考试）已知函数的表达式为． (1)当时，证明； (2)当时，讨论函数的单调性； 考点08：用导数研究函数的极值与最值 41. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_____. 42.（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 43. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 44.若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 45．已知函数，其中为自然对数的底数，为常数． (1)若，求函数的极值点； (2)若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围． 考点09：函数不等式恒成立问题 46.（23-24高二下·上海·期中），均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 47.（24-25高三上·上海·期中）已知为常数，若关于的不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为 . 48．（24-25高三上·上海·期中）若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 49.（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 50.（23-24高二下·四川雅安）已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为_______ 51..（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 52.（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 53.已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 考点10：利用导数研究函数的零点（方程的根） 54.（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)讨论的零点个数． 55.（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)证明函数只有一个零点． 56.已知函数在时取得极值. (1)求函数的单调区间和极值点； (2)求函数在点处的切线方程； (3)若有两个零点，求的值. 考点11：导数的新定义问题 57.定义：如果存在点使得函数和在该点处的函数值相等，则称函数与具有“关于的”关系． (1)判断函数与是否具有“关于的”关系； (2)若函数与不具有“关于的”关系，求实数的取值范围； (3)若函数与在区间上具有“关于的”关系，求实数的取值范围． 58.（2026届高三崇明区一模）已知函数,其导函数是.对于任意,记曲线在点处的切线方程为.定义集合. (1)若，求集合； (2)若定义域且函数是偶函数，证明:若则； (3)设，若集合，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026上海高考数学三轮冲刺一卷通【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】 专题10 导数 考点01：平均变化率与瞬时变化率 1.（23-24高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 ． 【答案】 【详解】根据题意，， 在区间上，有，， 则其平均变化率. 故答案为：. 2. （2025上海市育才中学高三三模）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位：）的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为______ 【分析】设，求出导数，即可求出，从而得解； 【详解】解：设，所以，所以． 3.（24-25高三·上海·随堂练习）一质点的运动方程是，s为位移，t为时间，则在时质点瞬时速度为 ． 【答案】 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】根据瞬时速度的定义计算求解即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以当时的瞬时速度是：. 故答案为：. 4. （2025进才中学高三模拟）已知函数和在区间上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在a到b之间的平均变化率大于在a到b之间的平均变化率 B. 在a到b之间的平均变化率小于在a到b之间的平均变化率 C. 对于任意，函数在处的瞬时变化率总大于函数在处的瞬时变化率 D. 存在，使得函数在处的瞬时变化率小于函数在处的瞬时变化率 【答案】D 【分析】由平均变化率和瞬时变化率的概念即可判断. 【详解】解：∵在a到b之间的平均变化率是， 在a到b之间的平均变化率是， 又，， ∴， ∴A、B错误； 易知函数在处的瞬时变化率是函数在处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 同理可得：函数在处的瞬时变化率是函数在该点处的导数， 即函数在该点处的切线的斜率， 由题中图象可知： 时，函数在处切线的斜率有可能大于在处切线的斜率，也有可能小于在处切线的斜率，故C错误，D正确． 故选：D． 考点02：导数的概念与运算 5.（24-25高二上·河南安阳·期末）若，则 . 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导数的定义求值. 【详解】由题意：， 所以. 故答案为： 6.（23-24高二下·上海·期中）若则 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】根据导函数的定义可得答案. 【详解】令， 因为 . 所以. 故答案为：. 7.（23-24高二下·上海·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】由导数四则运算法则即可求解. 【详解】. 故答案为：. 8．（22-23高二下·上海宝山·期中）函数的导数 ． 【答案】 【分析】根据导数计算公式直接计算即可. 【详解】函数的导数为， 函数的导数为， 根据导数加法运算公式，函数的导数. 故答案为：. 9．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，则 . 【答案】/ 【分析】在等式两边求导，再令，即可得出的值. 【详解】因为，则， 所以，，故. 故答案为：. 10.（22-23高二下·上海长宁·期末）下列求导计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的运算法则及复合函数的求导公式依次分析选项，综合可得答案． 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D错误． 故选：B． 11.（24-25高三·上海·随堂练习）求下列函数的导函数． (1)； (2)，n为常数． 【答案】(1) (2) 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】（1）根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算求解即可； （2）根据基本初等函数的导数公式、导数的四则运算求解即可． 【详解】（1）因为， ； （2） ． 12.求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）设，， 则． （2）设，，， 则． （3）设，，， 则． （4）设，，则 考点03：导数的几何意义 13. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知，则曲线在点处的切线方程是__________． 【答案】 【分析】根据函数的解析式得到切点坐标和导函数，根据导函数在切点的函数值等于切线的斜率求解切线斜率，进而得到切线方程. 【详解】， ∴曲线在点处的切线斜率为， ∴曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 14.（24-25高三上·上海·期中）设，函数在处的切线方程为，则 . 【答案】/2.75 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】求解导函数，计算处的导数值，再由切线方程得切线的斜率，由导数的几何意义列式求解出的值，再根据函数解析式求解切点坐标，并代入切线方程即可求解出的值，从而计算出的值. 【详解】由得， 因为函数在处的切线方程为， 所以， 所以， 所以， 当时，，即切点为， 将代入得， 所以. 故答案为： 15.（25-26高三上·上海·单元测试）若曲线的切线为，则一组满足条件的的取值为 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、简单复合函数的导数 【分析】设切点为，则由题意得，解方程组可求得的值. 【详解】设切点为，由，得， 则由题意得， 所以，， 所以，所以. 故答案为： 16.（24-25高二下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与方程的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】设切点为，利用，列出方程，从而将问题转化成函数有3个不同零点，借助于求导判断单调性，求出极值，作出图象得到不等式，求解即得. 【详解】设切点为，其中由求导得， 则 ，依题意，方程有三个不同的解. 设，则该函数有三个不同零点. 因，由，则或， 令，则或，令，则， 则函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 当时，，当时，， 则函数在时取得极大值，在时取得极小值，如图所示： 由图知，函数有三个不同零点等价于， 解得. 故选：A． 17.（24-25高二下·山东济南·阶段练习）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，可得出，令，分析可知直线与函数的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】设切点为，因为，则， 切线斜率为， 所以，曲线在点处的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程得， 整理可得， 令，则， 由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值为，极小值为，如下图所示： 由题意可知，直线与函数的图象有三个交点，则， 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 考点04：与导数有关的函数性质辨析 18.（闵行2023一模15）已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题： ①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； ②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. 则说法正确选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 【答案】B 【解析】对于命题①：充分性：为奇函数 为奇函数， 对两边求导可得： ，即， 又的定义域为R，它关于原点对称，所以函数是R上的偶函数，所以充分性成立； 必要性不成立，反例：是R上的偶函数，其原函数为，若，则是非奇非偶函数. 所以命题①为真命题； 对于命题②：充分性不成立，反例：函数是R上严格的增函数， 而其导函数是常数函数，在R上不是严格的增函数； 必要性不成立，反例：函数，是R上严格的增函数， 而原函数为二次函数，在R上不是严格的增函数. 所以命题②为假命题； 综上，选B. ． 19. （2025上海市格致中学高三三模）设函数的定义域为是的极大值点，则（ ） A. 是的极小值点 B. 是的极大值点 C. 是的极小值点 D. 是的极大值点 【答案】C 【分析】A选项，的图象和的图象关于轴对称，是的极大值点；BD选项，可举出反例；C选项，的图象和的图象关于原点对称，故是的极小值点. 【详解】A选项，的图象和的图象关于轴对称， 因为是的极大值点，故是的极大值点，A错误； BD选项，取，则是的极大值点， ，故不是的极大值点，B错误； ，其为偶函数，在上单调递减， 不是的极大值点，D错误. C选项，的图象和的图象关于原点对称， 因为是的极大值点，故是的极小值点，C正确. 故选：C 20. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）已知函数在上可导，其导函数为，设对任意实数，与均成立；对任意正数，都有对任意实数恒成立，则是的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又不非必要条件 【答案】A 【分析】利用函数的导数性、不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若与均成立，则对任意正整数， 都有，即，充分性成立； 当时，，，， ； 所以恒成立； 但是并不满足恒成立， 所以由不能推出，必要性不成立， 因此，是的充分非必要条件， 故选：A. 21.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知函数与它的导函数的定义域均为，现有下述两个命题： ①“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件. ②“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； 则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 【答案】C 【分析】可举例说明①中“为严格增函数”和“为严格增函数”之间的逻辑关系，即可判断其真假；结合复合函数的求导以及为奇函数可判断“为奇函数”和“为偶函数”之间的逻辑关系，即可判断②的真假，即得答案. 【详解】对于①，不妨取为R上严格增函数，其导函数在R上不是单调函数， 即“为严格增函数”推不出“为严格增函数”‘ 取，其导函数为R上严格增函数，但不是单调函数， 故“为严格增函数”推不出“为严格增函数”， 因此“为严格增函数”是“为严格增函数”的既不充分也不必要条件， 故①为假命题； 对于②，为奇函数，则， 故，即，即为偶函数； 当为偶函数时，不妨取，其导函数为偶函数， 但不是奇函数， 故“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件，②为真命题， 故选：C 22. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知函数与它的导函数的定义域均为，则“在上严格增”是“在上严格增”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】D 【分析】通过特例可得两个条件之间的推出关系，从而可得正确的选项. 【详解】取，则，而为上严格增函数， 而不是上严格增函数， 故“在上严格增”推不出“在上严格增”. 取，，则是上严格增函数， 而不是上严格增函数， 故“在上严格增”推不出“在上严格增”. 故“在上严格增”是“在上严格增”的非充分非必要条件， 故选：D. 23.（浦东新区2023二模）已知函数，其导函数为，有以下两个命题： ①若为偶函数，则为奇函数； ②若为周期函数，则也为周期函数. 那么（ ）. A.①是真命题，②是假命题 B.①是假命题，②是真命题 C.①、②都是真命题 D.①、②都是假命题 答案：D 考点05：唯一解、有解、整数解问题 24. （2025上海市崇明区高三三模）已知，若关于的不等式的解集中有且仅有一个负整数，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】原式可化为，然后研究函数的图象，只需当时，直线在曲线上方时，只有一个负整数即可，构造不等式组求解． 【详解】原不等式可化为：， 令，，显然时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以，且时，，, 同一坐标系中，作出与（过定点的图象： 据图可知，满足题意的整数解为，此时应满足， 解得． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式解问题，关键是将不等式适当变形，转化为两个函数交点问题. 25. （2025届上海市大同中学高三三模）已知函数满足：①，；②，．若是方程的实根，则___________． 【答案】2 【分析】先根据②将方程变形为，由①知为增函数，从而，变形构造函数可得，代入可得结果. 【详解】由②及题设条件，得. 由①，知为增函数，得，即 即 令，则. 又为增函数，所以，即，所以， 故. 故答案为：2. 26. （2025杨浦区高三5月质量检测）若有唯一解，则的范围是______________ 【答案】1 【分析】根据有唯一解等价于的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方，画出图象结合导数的几何意义求解即可. 【详解】因为有唯一解， 所以的图象上只有一个点在直线上或者在直线下方， 直线过定点， 画出的图象上与直线的图象如图， 由图可知，当直线与曲线相交时，曲线上有无数个点在直线下方，不等式有无数个解； 当直线与曲线相离时，曲线上没有点在直线上或直线下方，不等式解集为空集； 当直线与曲线相切时，曲线上只有一点在直线上，不等式有唯一解， 设切点坐标为，因为， 所以， 故答案为：1. 27. （2025行知中学高三6月模拟）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则__________. 【答案】或 【分析】根据导函数与斜率的关系求出切线方程，联立曲线和切线方程，根据方程只有一个解求解即可. 【详解】因为，所以， 所以当时，，即切线的斜率为2， 所以由点斜式得即， 联立整理得， 因为切线与曲线只有一个公共点， 所以方程只有一个根， 当时，方程为只有一个根，满足题意； 当时，，即，解得， 综上或， 故答案为: 或. 28．（2024高三·全国·专题练习）关于的不等式在有解，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】根据对数的运算性质，分离参数，将问题转化成在有解问题，然后求不等式右边的最小值即可. 【详解】先证明，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故，即，当且仅当时等号成立； 当，两边取对数可得，，当且仅当时等号成立. 由题设有，又由题设可得在有解， 故在有解， 而，，当且仅当时等号成立， 故，当且仅当时等号成立， 故函数的最小值为，故，故. 故答案为： 29. 已知函数（）. (1)求函数的极值； (2)若集合有且只有一个元素，求的值. 【解析】（1）由， 因为，所以的定义域为，则， 因为时，；时，. 所以的单调递增区间为；单调递减区间为， 所以是的极大值点，的极大值是，无极小值. （2）由（1）可得， 要使得集合有且只有一个元素，则只需要 设，则， 因为时，；时，， 所以的单调递减区间为；单调递增区间为. 所以，所以关于的方程有解时， 只能是，所以集合有且只有一个元素时. 考点06：求参数和积的取值范围 30. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）函数的表达式为，如果且，则abc的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调区间及极值，作出函数的大致图象，令，可得的范围，则的三个根为，从而可得，右边去括号即可得解. 【详解】， 当或时，，当时，， 所以函数的增区间为，减区间为， 则函数的极大值为，极小值为， 作出函数的大致图象，若且， 令，则， 即的三个根为， 即， 又， 所以. 故答案为：. 31．（2023·上海青浦·统考一模）已知三个互不相同的实数、、满足，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题中实数、、所满足等量关系，将用c表示，求出c范围，利用导数求出其单调性，进而得到范围. 【详解】由题，， 得， 得， 所以， 则， 又， 所以由韦达定理得a和b为关于x的方程的两不等根， 所以， 得， 再由，所以， 构造函数， 则， 得或， 所以在，上，单调递增， 在上，单调递减， ，， ， 所以在上范围为， 所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题利用，之间关系，将变为一个变量，利用二次函数的性质、韦达定理，利用导数研究函数单调性，属于中档题. 考点07：用导数研究函数的单调性 32. （2025进才中学高三模拟）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 ____． 【答案】 【分析】由函数图象的单调性可得其导数的正负，即可解出该不等式. 【详解】由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，当x∈时，， 因为，所以或， 即或或，解得或， 所以原不等式的解集为． 故答案为：. 33.（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数转化为在上恒成立，利用参变分离转化为求函数最值问题. 【详解】由于函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立，即恒成立， 由在上单调递增，则， . 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 34.（23-24高三下·上海·阶段练习）若函数在上为减函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】； 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用函数在某区间上为减函数等价于导函数在该区间上恒不大于0,再利用分离参变量来研究不等式恒成立，就可解得结果. 【详解】由可得：， 由在上为减函数，可得在上恒有， 即，整理得：， 因为，所以，则. 故答案为：. 35.（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则a的取值范围为 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】问题等价于在有解,再应用参变分离法解之，构造函数，只需即可. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数单调递增，所以，即． 故答案为：． 36.（24-25高二下·江苏无锡·阶段练习）若函数在定义域内的区间上不是单调函数，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】先确定函数的定义域，求出导数，判断出函数的单调性；再根据题目信息列出不等式组求解即可. 【详解】由函数可知函数定义域为，且. 令，可得；令，可得， 即函数在区间上单调递减；在区间上单调递增. 因为函数在定义域内的区间上不是单调函数， 所以，解得：. 故选：B 37.（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处切线的斜率； (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减. 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率； （2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性. 【详解】（1）由题意， 在中，， 中， 当时， ，， 中，， ∴曲线在点处切线的斜率为 （2）由题意及（1）得， 在中，， 当时， ， ∴即，此时， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递减. 38.（24-25高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试判断函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性． 【详解】（1）当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 39.已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)函数的极小值为，无极大值 (2)见解析 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先利用导数求时的解，利用极值的概念进行判断及计算； （2）求出，对分类讨论，解不等式即可得到的单调性与极值点． 【详解】（1）当时，，定义域为 ， 令，即， （舍去）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，函数取到极小值为,无极大值. （2）的定义域为， ． ①当时， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． ②当时，令，得或． （i）当时，． 当时，，当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减． （ii）当时，对恒成立， 所以在上单调递增． （iii）当时，， 当时，；当时，． 所以在和上单调递增，在上单调递减， 综上：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，所以在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． 【点睛】解题的关键点是掌握导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减． 40.（23-24高三下·上海·开学考试）已知函数的表达式为． (1)当时，证明； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】 （1）易知，由导函数求出函数的最值即可得出证明； （2）对函数求导并化简，结合二次函数性质对参数进行分类讨论，即可得出函数的单调性； 【详解】（1）易知函数的定义域为； 当时，，则； 显然当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 因此函数在处取得极大值，也是最大值； 所以， 即当时，； （2）由可得， 令， 当时，为开口向上的二次函数，对称轴为； 易知，， 当时，，此时在上恒成立，在上单调递增； 当时，， 令，可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 综上可得当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增；在上单调递减； 考点08：用导数研究函数的极值与最值 41. （2025复旦大学附属中学高三期末）已知函数在区间上存在最大值，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】， 当时，在上严格单调递增，不符合题意; 当时，令；. 所以在上严格单调递增，在上严格单调递减， 所以处取得极大值. 因为函数在区间上存在最大值， 所以. 故答案为：. 42.（2024·上海·三模）若函数在上存在最小值，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数 【分析】根据题意，函数的极小值点在内，再结合即可求出实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 令得，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，有极小值， 因为函数在上存在最小值， 又， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 43. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）设，若函数存在两个不同的极值点，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】函数存在两个不同的极值点等价于在内有两个异号零点，进而转化为在内有两个不等根即可求解. 【详解】解：易知函数的定义域为， ， 因为函数存在两个不同的极值点， 所以在内有两个不等根， 设，， 则只需，即， 所以，则的取值范围为. 故答案为： 44.若函数在上不存在最值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】求导，然后分类讨论和两种情况即可确定实数的取值范围. 【详解】由题可得， 当时，，函数在上单调递减，不存在最值； 当时，令，可得， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 若函数在上不存在最值，则，即， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为：. 45．已知函数，其中为自然对数的底数，为常数． (1)若，求函数的极值点； (2)若函数在区间上有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值点为，极大值点为 (2) 【解析】 【分析】 （1）首先求函数的导数，再利用导数与函数极值点的关系，即可求解； （2）根据，得，换元后转化为与，且有两个交点，利用数形结合，即可求得实数的取值范围. (1) 由题可知，令，得 (1)当时，上式为：，解得：， 当，解得：或，当，解得： 的单调递增区间为；单调递减区间为 极小值点为，极大值点为. (2) ∵函数在上存在两极值点 在有两不等实解，即 由分离参数可得： 令，则 设，且 易知在上单调递减，在上单调递增 ，，， 结合图象可知， 与在有两交点，则 ，故实数的取值范围为 考点09：函数不等式恒成立问题 46.（23-24高二下·上海·期中），均有成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】不妨设，则不等式等价于，令，， 则在区间上单调递减，从而得到对于恒成立，参变分离可得对于恒成立，求出即可得解. 【详解】不妨设， 则， 由可得， 所以，即， 所以， 令，， 则， 因为， 所以在区间上单调递减， 所以对于恒成立， 所以对于恒成立，可得对于恒成立， 所以，因为在区间上单调递减， 所以， 所以，即的取值范围为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为，即在区间上单调递减，从而得到对于恒成立. 47.（24-25高三上·上海·期中）已知为常数，若关于的不等式对任意的都成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】分析可知，整理可得，换元令，构建，利用导数求其最值，并结合恒成立问题分析求解. 【详解】显然， 若，当趋近于，趋近于，不合题意， 可知，因为，可得， 由，可得，令，可得， 原题意等价于对任意的都成立， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 48．（24-25高三上·上海·期中）若存在，使得对任意的恒成立，则的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将问题转化为直线恒在上方来求解，即可得，进而构造函数，求得的最小值. 【详解】存在，使得对任意的恒成立， 即存在，使得对任意的恒成立， 令，可得， 当，所以，在上单调递增， 当，所以，在上单调递减， 令，所以， 当，，在单调递减， 当，，在单调递增， 所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛，重点在于通过通过转化将转化为只含的表达式，求得最小值，需要较强的分析问题解决问题的能力，难度较大 49.（25-26高三上·上海·期末）若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】令，，首先利用导数说明的单调性，即可得到，再对分类讨论，当时显然成立，当时，利用导数说明函数的单调性即可得. 【详解】令， 设，则对任意的恒成立， 所以在上单调递增，从而. ①若，则当时，恒成立，符合题意. ②若，，易知在上单调递增， 因为，所以，所以，即， 所以. 因为，，所以，，所以. 因为在上单调递增，其图象是一条连续的曲线， 且，所以存在唯一的，使得， 当时，，所以函数在上单调递减，，不符合题意，舍去. 综上，实数a的取值范围为. 故答案为：. 50.（23-24高二下·四川雅安）已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的最大值为______ 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】分别求出两个函数在对应区间上的最大值，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因为，，，， 所以当时，， 因为，所以在区间上单调递减， 所以当时，， 因为对任意，总存在，使得成立，所以，即， 所以实数的最大值为3， 51..（24-25高二下·河南郑州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值点； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)是函数的极小值点； (2). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、求已知函数的极值点 【分析】（1）利用导数求出函数的极值点. （2）分离参数并构造，再利用导数求出最大值即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得，当时，；当时，， 所以是函数的极小值点. （2）当时，不等式， 设，依题意，，， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， 所以实数的取值范围是. 52.（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增； (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导，即可根据导函数的正负求解， （2）将问题转化为存在，成立，构造函数，求导得函数的最值即可求解． 【详解】（1）， 解得， 因为，所以， 当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增； （2）， 当时，由可得不成立， 当时，， 令恒成立， 故在单调递减， 所以， 所以的取值范围为. 53.已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减，在单调递增 (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）依题意即存在使成立，令，求出函数的导函数，分、、三种情况讨论，求出函数在的最小值，只需最小值小于即可. 【详解】（1）函数的定义域为，且， ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，令得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在单调递增. 综上可得：当时在上单调递增， 当时在上单调递减，在单调递增. （2）的定义域为，由，整理得， 即存在使成立， 令，， 则 因为，所以，令，则. 因为， 所以，若，即时，在上恒成立，所以在上单调递增， 只需，解得. 若，即时，在上恒成立，所以在上单调递减， 只需，不成立. 若，即时， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上的极小值为， 只需，即， 而当时，，，所以不成立. 综上可得的取值范围为. 考点10：利用导数研究函数的零点（方程的根） 54.（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数． (1)若曲线在点处的切线的斜率为，求a的值； (2)讨论的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，通过求导并代入已知条件可求出的值. （2）先根据零点概念计算得到或．再构造函数， 对进行分类讨论，借助导数研究函数单调性和最值，分析函数的零点情况即可. 【详解】（1）由题意可得，则，解得． （2）令，解得或． 设函数． 当时，恒成立，没有零点，则有唯一的零点． 当时，易证是R上的增函数， 因为，，所以有唯一的零点，则有两个零点． 当时，． 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 当时，，所以没有零点，则有唯一的零点； 当时，，所以有一个零点，则有两个零点； 当时，， 因为，， 所以有两个小于0的零点，则有三个零点． 综上，当时，有唯一的零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点． 55.（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数． (1)求函数在区间上的最小值； (2)证明函数只有一个零点． 【答案】(1) (2)见详解 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】()由，得到，当时，通过，得出在上单调性，再根据零点存在定理得出的正负，进而得出在的单调性，从而求出在上的最小值； ()分别讨论在，，三个区间上的正负，再结合零点存在定理，可知在上存在唯一的零点，即函数在只有一个零点. 【详解】（1）函数的定义域为，， 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 且，， 由零点存在定理可知，在上存在唯一的零点，使， 又当时，， 当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又因为， ， 所以函数在区间上的最小值为. （2）因为，， 若，，所以在上单调递增， 又，， 由零点存在定理可知，在上存在唯一的零点； 若，则，，则， 即在上没有零点； 若，因为，，所以， 即在上没有零点； 综上，函数在只有一个零点. 56.已知函数在时取得极值. (1)求函数的单调区间和极值点； (2)求函数在点处的切线方程； (3)若有两个零点，求的值. 【答案】(1)递增区间是，递减区间是，极大值点，极小值点 (2) (3)或. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据极值点求参数 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间和极值点即可； （2）利用导数求切线斜率即可得切线方程； （3）函数零点问题可分离参变量，构造数形结合即可求解参数取值. 【详解】（1）由题得，且定义域为. 由函数在时取得极值，得，解得， 检验：此时， 显然是的变号零点，即是极值点， 因此，令得或 所以当或时，，当时，， 所以函数的递增区间是，递减区间是. 即函数的极大值点是，极小值点是； （2）由（1）知，函数， 则有， 所以在点处得切线是， 即整理得为所求切线； （3）因为 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减， 所以有极小值为，极大值为 端点值为，作出函数的图象： 由有两个零点得， 直线与函数的图像有两个交点， 即：或. 考点11：导数的新定义问题 57.定义：如果存在点使得函数和在该点处的函数值相等，则称函数与具有“关于的”关系． (1)判断函数与是否具有“关于的”关系； (2)若函数与不具有“关于的”关系，求实数的取值范围； (3)若函数与在区间上具有“关于的”关系，求实数的取值范围． 【答案】(1)存在，理由见解析 (2) (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义、零点存在性定理的应用 【分析】（1）令，利用零点存在定理可得出结论； （2）由题意可知，对任意的，可得，令，其中，则直线与函数的图象没有公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （3）分析可知，则存在，使得，构造函数，其中，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数与的定义域均为， 若函数与具有“关于的”关系， 则存在，使得，即，即， 令，其中，则该函数在连续， 因为，，所以， 由零点存在定理可知存在，使得，即， 所以函数与具有“关于的”关系. （2）因为函数的定义域为，函数与不具有“关于的”关系， 则对任意的，，可得， 令，其中，则， 令可得，当x变化时变化情况如下表所示： 增 极大值 减 所以函数的最大值为，如下图所示：    要使得直线与函数的图象没有公共点，则，解得， 因此，实数的取值范围是. （3）若函数与在区间上具有“关于的”关系， 则存在，使得，即，即， 令，其中，则， 令，其中， ①当时，对任意的，恒成立， 此时，函数在上为减函数，则，不合乎题意； ②当时，则， （i）若时，即当时， 对任意的，恒成立，此时，函数在上单调递增， 此时，，则函数在上单调递增， 当时，，不合乎题意； （ii）若时，即当时， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故当时，，即函数在上单调递减， 所以， 当时，，所以存在，使得， 故当时，函数与在区间上具有“关于的”关系. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 58.（2026届高三崇明区一模）已知函数,其导函数是.对于任意,记曲线在点处的切线方程为.定义集合. (1)若，求集合； (2)若定义域且函数是偶函数，证明:若则； (3)设，若集合，求实数的取值范围. 【解析】(1)由函数，可得，则且可得， 所以曲线在处的切线方程为，即， 又由，可得，解， 解得或，所以或. (2)解：因为函数是偶函数，所以，且， 则在点处的切线方程为，即， 在点处的切线方程为，即， 又因为且，所以， 因为，则，即， 要证明，即证明， 因为， 所以，即. (3)解：由函数，可得， 当时，可得，所以切线方程为，即，因为集合，所以的解集为， 即的解集为， 令，则的解集为，且， 又由， 若，当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，满足的解集为； 若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，不满足的解集为， 综上可得，实数的取值范围为. 一、填空题 1.（22-23高二下·上海杨浦·期中）已知，则 ． 【答案】 【分析】根据简单复合函数的求导法则计算可得. 【详解】因为，则. 故答案为： 2.【静安2023一模5】已知函数，则函数的导数____________． 【答案】 3．（2025·上海金山·二模）若直线是曲线在处的切线，则的斜率为 . 【答案】/ 【分析】求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出斜率. 【详解】函数，求导得，则， 所以的斜率为. 故答案为： 4.【虹口2023一模7】设曲线的斜率为3的切线为l，则l的方程为_________. 【答案】 【提示】 5.【闵行2023一模8】若曲线和直线的某一条平行线相切，则切点的横坐标是______． 【答案】1 【提示】，令，解得 6．（2023·上海普陀·统考一模）设函数，若对任意，皆有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义转化为对任意恒成立，再代入，利用分离参数法即可得到答案. 【详解】，即， 即，即对任意恒成立， ，即对任意恒成立， 对任意恒成立，则， 设，则，令，解得， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 则，则， 故答案为：. 7．（2025·上海崇明·二模）已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析分段函数的单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组，求得实数a的取值范围. 【详解】∵二次函数开口向下，是极大值， 一次函数，当时，函数时单调函数，没有极值点， 要想函数有两个极值点，则这两个极值点为和， 又∵函数在上单调递减，∴在上递增. ∴，∴. 故答案为： 8.已知函数f(x)＝x3－3x＋a，g(x)＝.若对任意x1∈[－2，2]，总存在x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)成立，则实数a的最大值为______ 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【详解】 因为f(x)＝x3－3x＋a，所以f′(x)＝3x2－3，所以当x∈(－2，－1)，(1，2)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．因为f(－2)＝－2＋a，f(－1)＝2＋a，f(1)＝－2＋a，f(2)＝2＋a，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝2＋a.因为g(x)＝＝2＋，所以g(x)在区间[2，3]上单调递减，所以当x∈[2，3]时，g(x)max＝g(2)＝5.因为对任意x1∈[－2，2]，总存在x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)成立，所以2＋a≤5，即a≤3，所以实数a的最大值为3.. 二、选择题 9．（2023上·上海松江·高三统考期末）函数的图象如图所示，为函数的导函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的符号，由此求得不等式的解集. 【详解】由图象可知，在区间上， 在区间上， 所以不等式的解集为. 故选：C 10.（2025行知中学高三6月模拟） 若是定义域在上的函数，则为奇函数的一个充要条件为（ ） A. B. 对，都成立 C. ，使得 D. 对，都成立 【答案】D 【分析】根据奇函数的定义可得正确的选项. 【详解】取，有，且， 但，不是奇函数，故AC错误. 取，它是奇函数，但，故B错误. R上奇函数的定义为：对，有，即， 故选：D 11．（2023·上海闵行·统考一模）已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（    ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件． A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】C 【分析】对于①，构造函数，结合题设，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假. 【详解】对于①： 设，，则， 因为在R上为严格增函数，故， 即，则在R上单调递增， 由于，故，即。 即； 当成立时，即， 由于在R上单调递增，故， 故“”是“”的充要条件，①为真命题； 对于②，当在R上为严格增函数时，由对任意，则都有成立； 当对任意都有时，假设在R上不为严格增函数， 即不恒大于等于0，即，使得， 由于在R上为严格增函数，故时，， 此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线， 故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大， 这与对任意都有矛盾， 则假设不成立，即“在R上为严格增函数”成立， 即“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说明充分性成立. 12．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的导函数，然后逐个选项验证是否成立即可得出结果.根据指数的运算法则计算可判断选项A；根据二倍角正弦公式和三角函数的有界性可判断选项B；解出方程的根可判断选项C；根据题意令，整理得 ，分正负分析，并结合放缩法可知此方程无解，从而否定D. 【详解】对于选项A：因为函数的导函数为，所以，故选项A错误； 对于选项B：因为函数的导函数为， 所以， 而， 所以，，故选项B错误； 对于选项C：因为函数的导函数为， 所以. 令，解得：，， 即存在实数，使得成立， 所以函数具有性质，故选项C正确； 对于选项D：因为函数的导函数为， 所以. 令，显然，化简得：. 下面证明方程（*）无解. 当时，，方程（*）无解 当时，，而： 令，， 则，所以单调递减. 又因为，所以，即，所以. 综上，方程(*)无解. 所以不存在实数，使得成立，故选项D错误. 故选：C. 三、 解答题 13.【徐汇2023一模18】已知. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间. 【答案】（1）； （2）当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为； 当时，函数单调增区间为． 【分析】（1）由导数的几何意义求解；（2）由导数与单调性的关系求解. 【解析】（1）当时，， 所以，，所以函数在点处的切线方程为； （2）因为，定义域为， 所以． ①当时，与在上的变化情况如下： ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以函数在及内严格增，在内严格减； ②当时，令，解得，所以函数在时有唯一的驻点. 但是，由于永远成立，驻点两侧导数值的正负没有发生变化，因此该驻点不是单调区间的分界点，所以此函数的单调增区间为． 综上，当时，函数的单调增区间为及，单调减区间为； 当时，函数单调增区间为． 13.已知函数（其中）． (1)当时，求的单调区间； (2)对任意，都有成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析； (2). 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）应用导数研究函数的单调区间即可； （2）问题化为在上恒成立，应用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）将代入函数中，，由，所以， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，，所以函数在上单调递减； 所以的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）任意都有成立， 即，即， 令，则， 令，， 在上恒成立，即在上单调递增． 又，，故在内有零点，设零点为， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 且，则，所以， 设，，，所以在单调递增， 所以，，，即，所以， 所以最小值，所以，即实数a的取值范围是 14.已知函数，其中. （1）若是函数f(x)的驻点，求实数的值； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若存在（为自然对数的底），使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）. 【分析】（1）根据是函数的驻点得到，然后列方程求即可； （2）求导，分、和三种情况讨论单调性即可； （3）将存在，使得不等式成立转化为，然后利用单调性求最值即可. 【解析】（1）若是函数的驻点，则，可得，即得； （2）函数的定义域为， ， 当时，令，可得或， ①当，即时，对任意的，，此时，函数的单调增区间为； ②当，即时，令，得或；令，得； 此时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； ③当，即时，令，得或；令，得； 此时，函数的单调增区间为和，单调减区间为； （3）由，可得，即，其中， 令，，若存在，使得不等式成立，则， ，令，得， 当时，；当时，； ∴函数在上严格增，在上严格减， ∴函数在端点或处取得最小值． ∵，，∴， ∴，∴，即实数的取值范围是. 【点睛】对于存在问题，常用到以下两个结论： （1）存在；（2）存在. 15.已知函数，其中. （1）求函数在点的切线方程； （2）函数是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； （3）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2），不存在极值点；，存在一个极小值点，无极大值点；（3）. 【分析】（1）对求导，求出切点斜率，再根据切点求出切线方程即可； （2）令，对进行求导，再讨论及时导函数的正负及极值点即可； （3）将代入，先讨论时的取值范围，再全分离，构造新函数，求导求单调性求最值，即可得出的取值范围. 【解析】（1）因为 1分 1分 所以在点的切线方程为，即； 2分 （2）设，定义域为， 1分 则， 1分 ①当时，恒成立， 所以在严格增，所以不存在极值点； 2分 ②当时，令，则， 当时，；当时，； 所以在上严格减，在上严格增， 2分 所以函数存在一个极小值点，无极大值点； 1分 （3）原不等式，当时，恒成立； 1分 当时，， 2分 由（2）知在有最小值，故，所以 ， 2分 . 3分 16.（2026届高三长宁区一模）已知. (1)求函数的驻点； (2)设，若关于的方程在区间内有解，求的取值范围; (3)定义,设,若存在实数,使得,求实数的最小值. 【解析】（1）， 令，得，所以函数的驻点为 （2）设，则， ， . 由，得， 因为，所以， 得， （3） 设， 因为，当时，，当时， 当时，， 所以函数在上严格减，在上严格增 函数在上严格增. ①当，即时， 在上严格增，在严格增， 进而在上严格增，，不满足题意. ②当，即时， 在及上严格增，在严格减， 有极大值，极小值. 当时，，满足题意. 因为，所以. 设，则， 当时，，当时， 所以在严格减，在严格增，得 因为，所以当时，取得最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $