专题07： 数列【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】讲义-2026届高考数学三轮冲刺一卷通（上海专用）

2026上海高考数学三轮冲刺一卷通【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】 专题07 数列 题型01：等差数列的基础计算 【例1】（2024上海市曹杨第二中学高三三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则________． 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式列出关于首项与公差的方程组，求解出与的值，再利用通项公式求出. 【详解】根据等差数列的前项和公式 已知，，代入可得： 由等差数列的通项公式 将代入： 则. 故答案为：10. 【例2】（2025七宝中学高三三模）已知等差数列满足，，则_______ 【分析】根据等差数列的通项公式以及性质求得答案即可. 【详解】设等差数列的公差为. 由，得，即①； 由，得，②； 由①②得， 则. 【跟踪训练】 1.（2026届高三静安一模）设等差数列的前项和为(为正整数),首项,则_____. 【答案】42 【解析】由题意可知，故；所以， 故. 2. （24-25复兴高级中学高三阶段练习）已知等差数列满足，则________． 【答案】 【分析】由等差数列性质结合题意可得答案. 【详解】，则. 故答案为：4 3.（24-25高三上·上海松江期末）已知等差数列的前项和为，且，，若，则 . 【答案】9 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 故，由，得. 故答案为：9 4．（2025上海高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________． 【答案】 【解析】由题设成等差数列，所以，则， 所以.故答案为： 5.（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______. 【答案】/ 【分析】利用等差数列的性质和求和公式，把转化为求解. 【详解】因为，为等差数列，所以， 因为，所以. 故答案为：. 6.（2026届高三金山区一模）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】由题意可知，故，当且仅当时等号成立. 题型02：等比数列的基础计算 【例3】（24-25华师大二附中高三阶段练习）已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 【答案】2或 【分析】根据等比数列的性质及通项公式计算得解. 【详解】因为， 所以，故， 即，化简得， 解得或， 故答案为：2或 【例4】 （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列的性质求出数列的首项和公比，利用前项和公式即可求解. 【详解】由已知得，因为各项均为正数，所以， 又因为，所以，， 所以等比数列的首项，公比的等比数列， 所以. 故答案为：. 【跟踪训练】 1. 已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 【答案】 【分析】根据等比数列的基本性质，求出公比，求出数列的项 【详解】设等比数列公比为，则，所以，所以. 故答案为：. 2. 已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则___________. 【答案】 【分析】由题意及根与系数的关系可判断符号，再由等比数列的性质求，判断其符号即可得解. 【详解】分别是函数的两个零点， 则，所以， 又， 由知，， 所以， 故答案为： 3. （24-25复兴高级中学高三阶段练习）等比数列的前项和为，则___. 【答案】 【分析】根据等比数列得前项和公式可得，即可求出结果. 【详解】因为等比数列得前项和为，又因为，所以，即， 故答案为：. 4. （24-25上海师大附中高三阶段练习）在等比数列中，，，则_____ 【答案】8或 【解析】 【分析】先求等比数列的第三项和公比，再根据无穷等比数列的求和公式计算即得. 【详解】设等比数列公比为， 由题意，. 所以或. 又. 当时，； 当时，. 故答案为：8或 5．计算：= ． 【答案】1 题型03：递推数列 【例5】（2025上海市崇明区高三三模） 在数列中，，且，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】利用递推公式累加即可求解. 【详解】由题意可得， 所以，，……，， 累加得， 所以， 故答案为：4 【跟踪训练】 1.（2026届嘉定区高三一模）已知数列满足，且，则_____. 【答案】 【解析】由题可得 所以是以为首项，为公差的等差数列； 所以 所以 所以 2. （24-25建平中学学高三阶段练习）已知数列满足，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】推导出数列为常数列，可得出，即得出的值. 【详解】因为数列满足，且， 则，所以， 所以数列为常数列，故， 因此，. 故答案为：. 3. （24-25上海师大附中高三阶段练习）若数列满足，则最多有_____项 【答案】102 【解析】 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，结合求解即可. 【详解】，，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，又， 所以， 当时，，即， 所以最多有102项. 故答案为：102. 4. （24-25上海师大附中高三阶段练习）若数列满足，则_____ 【答案】 【解析】 【分析】根据并项求和,结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】由可得， ， ，解得， 故答案为： 题型04：数列性质综合 【例6】（24-25建平中学学高三阶段练习） 已知等比数列的首项为，公比为，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】取，可判断充分性；由是递增数列，结合等比数列通项公式可得，，或，，从而得成立，即可判断必要性. 【详解】在等比数列中，，取，， 此时，为摆动数列，故充分性不成立； 若等比数列的公比为，且是递增数列， 又，则，，或，， 当，时，成立， 当，时，成立， 所以，数列为递增数列时，有成立，故必要性成立. 所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【例7】（24-25闵行六校联考高三阶段练习）设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 或为的最大值 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，求出公差和首项之间的等量关系，分别判断各选项正误. 【详解】由可得，即，故B正确； 因，所以，即A正确； 因为，，故，即C错误； 因为，，知是递减数列，又，所以为最大值，即D正确. 故选：C. 【跟踪训练】 1. （24-25闵行六校联考高三阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ） A. 项 B. 项 C. k项 D. 1项 【答案】B 【分析】根据数学归纳法的知识即可判断出增加的项数. 【详解】当时，不等式左边为， 当时，不等式左边为， 故增加的项数为：. 故选：B. 2. （24-25南洋模范中学高三阶段练习）已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列通项公式得到的变形式，转化成关于公比的不等式，解得的取值范围，进而判定二者的关系. 【详解】由，即，即， ，可得，即. 所以不能推出，而可以推出， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 3. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若，且， 则，，， 所以，由， 当或时，，， 所以； 当时，，总有； 当时，，，即. 综上，恒成立，故充分性成立； 若“，总有”，则且， 故必要性成立. 故选：C 4.（2025华东师大三附中高三三模）已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的定义、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出合适的选项. 【详解】若对任意的、，都有，不妨取，则， 所以，，此时，是等差数列， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”； 若是等差数列，不妨取，则， ， 即“对任意的、，都有”“是等差数列”. 综上所述，“对任意的、，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 5.数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为_______ 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为单调递增，所以，解得， 即实数的取值范围为. 题型05：求数列项、和、参数的最值与范围问题 【例8】（24-25上海交大附属中学高三阶段练习）等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，确定数列单调性即可求解. 【详解】令等差数列公差为，由，得， 则，解得，， 显然数列是递减数列，由，得，即数列前6项都为正，从第7项起为负， 所以最大时，的值是6. 故答案为：6 【例9】 已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为__________ 【答案】 【解析】 【分析】题目等价于要求满足使得数列从第项开始为固定的常数的最小正整数，依题，可考虑从，，时，分别求得关于数列的项的等式，分析讨论是否满足题意，进行取舍即可. 【详解】由已知，， ①若，则， 因为对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列， 所以或， 若，则与矛盾；若，则，均不符合题意，故； ②若，则，与①同理，可得或， 由①分析知，故考虑，同理或， 由于2024不能被5整除且不能被7整除，故均不符合题意，即； ③若，则，与①同理，可得或， 由②知，，故考虑，同理，或， 若，则或，因2024不能被7和13整除，故不成立； 若，同理，或， 由2024能被11整除不能被17整除，故且符合题意. 故，此时数列为2024，1288，552，184，184，. 故答案为：4. 【跟踪训练】 1.已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第 项． 【答案】10 【详解】由题意得：，∴， ，∴，， ∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数， 因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增， 由于，∴{||}最小的项是第10项， 故答案为：10 2. （24-25上海交大附属中学高三阶段练习）设无穷等比数列所有奇数项之和为，则等比数列所有项的和的取值范围是___． 【答案】． 【解析】 【分析】根据给定条件，利用无穷等比数列所有项和公式，结合公比的范围分类求解. 【详解】设无穷等比数列的公比为，则， 由无穷等比数列所有奇数项之和为，得， 则该无穷等比数列所有项和为， 当时，，当时，， 所以所求范围. 故答案为：. 3.记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为，又，所以， 由，所以，所以，所以，即①， 又因为，所以②， 由①②解得， 所以，所以， 由有，即，解得， 所以使成立的的最大值是，故选：C. 4.已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】由题可设等比数列的公比为， 因为，，所以或， 所以，， 所以为单调递增数列，为单调递减数列， 所以单调递增，故， 故若恒成立，则的最小值为.故选：D 5.已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 即，所以当时， ，所以，也满足，所以，， 所以恒成立，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以实数t的取值范围是，故选：A 6.（2026届高三徐汇区一模）已知数列满足:,对任意的正整数均有,若存在正整数,使得所有数列均满足,则的最大值为_____。 【解析】由题知： 所以： 当，易知，符合； 当时，取 此时： ，符合； 当时，取 此时： ，不符； 经检验：当时不符； 综上：的最大值为 7.（2026届高三崇明区一模）设.数列满足下列条件:,且对任意的,都存在使得,其中互不相等,则数列的前20项和的最大值是_____. 【答案】72 【解析】数列满足下列条件：，则数列为非递减数列， 设数列中分别有个， 对任意的，都存在使得，其中互不相等， 对于数列中，由于，所以，对于数列中，同理可得， 对于数列中，由于， 所以，对于数列中，由于， 所以， 对于数列中，由于， 所以， 若数列的前20项和要最大，则， 所以数列的前20项和为.故答案为： 题型06：数列结论辨析 【例10】（2026届嘉定区高三一模）数列的前项和为,且对任意正整数,总存在正整数,使得.则下列命题中正确的是（ ）. A.对任意正整数，总存在正整数，使得 B.数列一定是等差数列 G存在公比为正整数的等比数列满足条件 D.对任意正整数,总存在正整数,使得 【答案】D 【解析】取时，A不满足，B不满足； 若是等比数列，则. 下面记,则 即. 若,则,则,显然不成立; 若，则 当趋于无穷大时，矛盾,其他范围同理.所以错. 对于,注意到,对任意 而 ,故D对. 故选D; 【跟踪训练】 1.（2026届高三奉贤区一模）已知等差数列的公差不为零,为其前项和,存在正整数满足,有两个命题： 命题①：设数列公差，则. 命题②：均是小于的正整数,则. A.命题①②都是真命题 B.命题①是真命题，命题②是假命题 C.命题①②都是假命题 D.命题①是假命题，命题②是真命题 以上判断正确的是（ ） 【答案】D 【解析】命题①,不妨设，则，此时，所以命题①错误； 命题②，设 所以 所以 所以，所以命题②正确；故选：D. 2.（2026届高三黄埔区一模）若数列同时满足如下条件:(i)是无穷数列；(ii)是严格增数列；(iii)存在正数，使得对任意的，都有的前项的和，则称具有性质.关于如下结论:①存在等差数列具有性质；②存在等比数列具有性质.其中正确的说法是( ). A.①和②均正确 B.①和②均错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确 【答案】D 【解析】对①；是无穷数列，是严格增数列； 若为等差数列，不妨设，,当不符；故①错误； 对①；是无穷数列，是严格增数列； 若等比数列，不妨设，, 当,；故②错误； 故选：D. 3.（2024青浦区高三三次学业监测） 已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（ ） A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，当时，，然后作差证明数列单调性；对于②，当时，容易发现无论为何值，最终恒为常数. 【详解】对于①，时，，， 时，；时，，也有，故①为真命题. 对于②，时，，， 当时，，，不严格递减； 当时，，，不严格递减； 当时，， 若，则， 同理当时，， 则存在，使得， 则，，不严格递减. 综上所述，时，不可能是严格递减数列.故②为假命题. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题对①的分析得关键是对分类讨论，分和研究即可. 4.（2026届高三普陀一模）设,数列和满足,且,现有如下两个命题: ①若数列是等比数列,则数列是常数列; ②设是数列的前项和，若取得最大值时，则能被7整除. 则下列结论中正确的是（ ） A.①为真②为真 B.①为真②为假 C.①为假②为真 D.①为假②为假 【答案】A 【解析】①若数列是等比数列 当时，，为常数列； 当时，，无解；不符； 所以数列是常数列;所以①为真； 要使取得最大值，则依题意 故 因为,所以, 当为奇数时,, 当为偶数时,,即的奇数项,偶数项分别成等比数列. 故当为偶数时, 当为奇数时,. 综上所述, 所以 所以能被7整除，正确；②为真B 故选：A. 题型07：数列新定义问题 【例11】已知数列的前项和为，且对任意的，总存在，使得，则称为“回归数列”.以下结论中不正确的是（    ） A．若，则为“回归数列” B．若为等比数列，则为“回归数列” C．设为等差数列，当，公差时，若为“回归数列”，则 D．对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得 【答案】B 【分析】利用等差数列和等比数列的公式及求和公式进行计算并判断即可. 【详解】对于A，由，可得，所以必存在，使得，故为“回归数列”，所以A正确；对于B，由等比数列通项公式得，当时，，显然对任意的，，故不是“回归数列”，所以B错误；对于C，当时，，假设总存在，则， 由于对任意的上式恒成立，不妨取，可得，存在，再取，可得，因为，而，所以，当时，对任意的，由可得总存在满足成立，所以C正确；对于D，设等差数列，总存在两个回归数列，显然和是等差数列，使得，证明如下：， 因为，所以数列{}前n项和，可得 ，时，由为正整数，当时，，所以存在正整数，使得，所以是“回归数列”，因为所以数列前n项和，由于，则存在正整数，使得，所以是“回归数列”，所以D正确.故选：B . 【例12】对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（   ） A．若，则数列不具有性质 B．若，则数列具有性质 C．存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质 D．若数列和均具有性质，则具有性质 【答案】D 【分析】A利用是个不同的正整数，可得不可能相等；B求为偶数时数列的通项公式，取为个不同的偶数；C取，利用性质的定义证明；D取，，再利用性质的定义证明. 【详解】因，则，由于是个不同的正整数，因此不可能相等，故数列不具有性质，故A正确；B，，故当为偶数时，，此时，故取为个不同的偶数，此时，则数列具有性质，故B正确；取，由A选项可知，数列不具有性质；取，则，由于是个不同的正整数，因此不可能相等，故数列不具有性质；，则， 故任取为个不同的正整数，有，则数列具有性质，故C正确；取，，则当为奇数时，，故取为个不同的奇数，此时，故数列具有性质；当为偶数时，，故取为个不同的偶数，此时，故数列具有性质；，则，由于为个不同的正整数，则，，，不可能相等，此时数列不具有性质，故D错误.故选：D 【跟踪训练】 1. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题: （1）数列是某个数列的“衍生数列”； （2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）. A. （1）（2）均为真命题 B. （1）（2）均为假命题 C. （1）为真命题，（2）为假命题 D. （1）为假命题，（2）为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】通过“衍生数列”的定义判断（1）；通过举反例判断（2）. 【详解】对于（1）：由题意，若存在无穷数列满足要求，则数列包含三项， 不妨令，符合题意，但若只取出， 这两项不是数列的连续两项，不合题意， 故数列不是某个数列的“衍生数列”，（1）为假命题； 对于（2）：定义，， 当数列按照集合的元素特征进行排序， 例如时， 满足各项均为0或1，任意n个0和1的组合均为集合的元素，即在数列中均有对应， 可知是自身的“衍生数列”，但是数列从某一项起不是常数列，（2）为假命题. 综上，（1）（2）均为假命题. 故选：B 2.（2026虹口区高三一模）若每一项均为正数的数列的前项和为,若对于任意的正整数,均存在正整数,使得，则称具有“P性质”.对于以下两个命题，说法正确的是（ ）. ①存在等比数列，使得具有“P性质”; ②若具有“P性质”,记且为等差数列,则. A.①和②都为真命题 B.①和②都为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 【答案】A 【解析】每一项均为正数的数列，故， ，则且，即 ① 当时，，则，，故①正确； ② ，则，，则 故，则 若，当时，，即，与矛盾， 故，则， 若时，（舍），故，即，故 若时，即，与矛盾， 故，则，即， 则，故，当或时，符合题意，故②正确 题型08：探究数列个数问题 【例13】（2026届高三金山区一模）已知正整数,满足,且,则有序数对有（ ）个. A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】B 【解析】因为是柯西不等式成立条件， 即.故是等比数列且为整数满足时， 有四种情况. 【例14】（2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为______． 【答案】55 【解析】 【分析】首末项相差9，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得. 【详解】依题意，首项和末项相差9，而任意相邻两项之间满足， 设成立的项数共有项，设成立的项数共有项， 可知：， 当时，即后一项与前一项的差均为1，数列的个数为1； 当时，即后一项与前一项的差出现1个2，7个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现2个2，5个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现3个2，3个1，数列的个数为； 当时，即后一项与前一项的差出现4个2，1个1，数列的个数为； 所以符合上述要求的不同数列的个数为. 故答案为：55. 【跟踪训练】 1. （24-25控江中学高三阶段练习）已知数列满足，且对任意正整数，恒有，则所有可能值的个数为_____. 【答案】4951 【解析】 【分析】由题意，每个步骤有两种选择：0或，所以的最小为1，最大时，利用累加可求得最大值为14851，又，所以，而在区间中被3整除余1的有4951个即可求解. 【详解】由题意，每个步骤有两种选择：0或，所以的最小为1， 最大时，则， 累加得，即最大值为14851， 又， 我们用数学归纳法证明：在集合中，所有子集的和可以取到的所有整数（空集的元素和设为零，）. 证明：当时， ，此时有 四个子集，空集、， 它们的元素和为，故所有子集的和可以取到的所有整数， 设当时，在集合中，所有子集的和可以取到的所有整数， 则当时，集合， 此时中的每个整数为与某子集的元素的和的和， 又时，， 故所有子集的元素和为 由数学归纳法可知原命题成立. 由已证命题可得集合的所有子集的和可以取到的所有整数， 所以，而在区间中被3整除余1有4951个， 故答案为：4951. 2. （24-25控江中学高三阶段练习）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（ ）. A 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的性质可得，逐项分别判断即可. 【详解】，又， 所以， 对于A，若且，则即可，故A是可能，不符合题意， 对于B，若，则可知，则，故B不可能，符合题意， 对于C，若且，则即可，故C是可能的，不符合题意， 对于D，若且，则即可，故D是可能的，不符合题意. 故选：B. 3. 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为_________． 【答案】 【解析】 【分析】按照已知等式可确定偶数项，由依次分析奇数项可能的取值，进而确定满足条件的数列. 【详解】，，，，； 当时，，，即，成等差数列， 又，，或，； 当时，或， 当时，（舍）或；当时，（舍）或（舍）， ，，，； 当时，或或， 或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，，则；当时，，则； ，，，，，或，，，，，； 当时，， 当时，或或或或； 当时，或或或或； 当时，，， 当时，（舍）；当时，（舍）； 当时，（舍）；当时，，则； 当，时，，则；当，时，（舍）； 时，或；时，； 综上所述：满足条件的数列有、、，共个. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查根据数列递推关系求解数列中的各项，解题关键是能够根据能成立的等式，分析出各项所有可能的取值，并剔除不合题意的取值，考查了学生的分析和逻辑推理能力. 题型09：数列与其他学科知识的交汇 【例15】（2024上海市曹杨第二中学高三三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意得有非零解，利用数列的收敛性得即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，代入得： 整理得： 由于是无穷等比数列，所以 因时左边无界，时右边有界，均矛盾， 所以，此时，则： ， 设，则，即， 因为对成立且，为使方程有非零解， 则即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【例16】（2026届高三浦东新区一模）已知若等差数列为无穷数列,且均满足递推关系，则该数列首项的取值范围为_____. 【解析】的图像如图所示： 当时，，此时符合； 此时 当时， 所以 此时：（舍） 若，则 解得： 综上： 【跟踪训练】 1. （2025建平中学高三下学期三模）已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】对恒成立的不等式分离常数，利用构造函数法，分析得出函数图象对应的图象是双曲线的一部分，结合双曲线的渐近线求得的取值范围，进而求得的最小值. 【详解】依题意，函数，正数数列满足且， 所以，，即， 所以， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 由得， 令，则， 则恒成立. 令 所以函数表示双曲线在第一象限的一部分， 双曲线的渐近线为，所以对应图象上任意两点的连线的斜率的取值范围是， 即的取值范围是， 所以的最小值为. 故答案为： 2. （24-25南洋模范中学高三阶段练习）如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成： ，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的定义，推导知的向量坐标，然后求出an，bn的表达式，然后进行计算即可． 【详解】由题意可知， （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标发生变化，纵坐标不变. （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标增加. （k 0）都是在上一个点的基础上横坐标减小，纵坐标也减小.又，所以 =4- = = =3- =+ = 所以选A. 【点睛】本题是新定义题目，首先读懂新定义的实质，转化成我们已有的知识并解决．本题实质考查向量的坐标运算，几何运算，难度较大． 题型10：数列通项公式与求和 【例17】（2025届上海市大同中学高三三模）已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. 【小问2详解】 ， ， 数列的前项和为. 【例18】（24-25华师大二附中高三阶段练习）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； 【小问2详解】 因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 【跟踪训练】 1. （24-25复兴高级中学高三阶段练习）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式； (Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值. 【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 即，解得，所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知, 所以； 当或者时，取到最小值. 【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用. 2. （24-25闵行六校联考高三阶段练习）已知数列的前项和为，且，数列满足. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和； 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用变形推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，则， 即，因此是以为首项，公差为1的等差数列， 则，. 【小问2详解】 由（1）得， ， 则， 则， 所以； 3.已知数列满足，，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1），得， 因为，即，解得， 由，得， 又， 故，所以，即， 所以， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 则，故， 所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上所述，. 题型11：数列存在性、恒成立 【例19】已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，是否存在正整数，（），使得成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，， 【详解】（1）当时，，                       当时，， 整理得，，                       是以为首项，为公比的等比数列. . （2）由题意得，， 若成等比数列，则，           即，可得， 所以，解得，      又，且，所以，此时．    故存在，，使得成等比数列． 【例20】已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列； （2）由（1）可得，即， 所以， 则， 所以， 所以． （3）由题可得，整理得恒成立， 令，则， 则当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 所以，即． 【跟踪训练】 1.数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）令 又① ② 由①②得到 即：， 经检验，也成立，故数列的通项公式 （2） 因为是单调递增数列，且 若恒成立，则，解得或， 实数的取值范围为或． 题型12：数列综合题 【例21】（24-25上海交大附属中学高三阶段练习）无穷数列．定义集合存在正整数，使得且，集合存在正整数，使得且． （1）已知，请直接写出集合、； （2）已知，，若，求的取值范围； （3）已知为无限集，求证：“是增数列”的充要条件是“且”． 【答案】（1），． （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由数列通项公式结合指数函数单调性，根据题意，可得答案； （2）由题意确定数列最大项，再根据集合的包含关系以及三角函数性质，建立不等式，可得答案； （3）根据充要条件的充分性和必要性，分别进行证明，利用假设法以及集合的定义，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得下表： 由函数在上单调递增，则单调递减，单调递增， 所以，． 【小问2详解】 由于，故，从而为数列最大项． 反之，为数列最大项．任取，则存在，必然不是数列最大项， 故必有，从而，即． 所以的充要条件是为数列最大项． 由周期性，只需考虑的情况，利用单位圆可知， 故的取值范围． 【小问3详解】 （必要性）是增数列，任取且，下证，． 由单调性，一切，有，，故． 假设，则一切，有，由增数列，，从而． 此时，为有限集，矛盾． 故，从而． （充分性）任取且，则或，从而必不是数列最大项． 同理可知，，，…，均不是数列最大项，记这前项中最大项为， 因为不是数列最大项，故存在，使得，从而． 因为是任取的，从而，而，从而． 所以对任意，，所以，从而是增数列． 【跟踪训练】 1. （24-25上海师大附中高三阶段练习）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； （2）设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； （3）设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）3个 （3） 【解析】 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； （2）由新定义可得，求得的范围，即可得到所求个数； （3）运用等差数列的通项公式可得，讨论公差，，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． 【小问1详解】 （1）是， 理由：是首项为1，公比为的等比数列， 可得，， 则， 可得数列与接近. 【小问2详解】 （2）与 “接近”，， ， 由于,其中, 互不相等，有3个元素. 【小问3详解】 与“接近”， ， 是公差为的等差数列，， ①当时，则，此时中无正数； ②当时，存在， 满足：，即与“接近”， 满足：， 即这100个都为正数； 综上，的取值范围是. 一、填空题 1. （24-25控江中学高三阶段练习）（24-25控江中学高三阶段练习）已知等差数列的公差为1，前10项和为5，则_______. 【答案】 【分析】根据等差数列前项和公式求解. 【详解】由题意，解得， 故答案为： 2. （宝山）若数列为等差数列，且，则该数列的前项和为 答案： 3. （24-25南洋模范中学高三阶段练习）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 4．已知等差数列的前项和为，若，，则等于_______ 【解析】由等差数列的前项和性质，得：，，也成等差数列， 即，又因，，则解得，因此.故 5.（2025嘉定区校级模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列的性质以及等差数列的前项和公式，将转化为，求解即可. 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且， 所以． 故答案为：. 6．（2023•上海高考）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝　　． 【分析】直接利用等比数列的前n项和公式求解． 【解析】解：∵等比数列的首项为3，公比为2， ∴S6＝＝189． 故答案为：189． 【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式，属于基础题． 7．（2022·全国·高三专题练习）记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为______ 【解析】设公比为，则，得，解得（舍去）， ∴. 8.（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列的通项公式及前n项和的概念计算即可得解. 【详解】因为， 所以，故. 故答案为：4 9. （2025上海宝山区高三三模）首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为_____. 【答案】6 【解析】 【分析】先由等比数列的求和公式，得到前项和，对前项和求极限，即可得出结果. 【详解】因为无穷等比数列首项为，公比为， 因此其前项和为， 所以的各项的和为. 10.（2024·上海虹口·二模）已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则 . 【答案】3 【分析】利用等差数列的定义和等比数列的求和公式即可. 【详解】因为成等差数列， 故，即， 解得：或. 因为等比数列是严格减数列，故. 所以. 故答案为：3 11. （2025上海市格致中学高三三模）记为数列的前项和，若，则_____________． 【答案】 【分析】首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值. 【详解】根据，可得， 两式相减得，即， 当时，，解得， 所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列， 所以，故答案是. 12.（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且，则__________. 【答案】 【分析】当时，由可得，两式作差可得出，当时，求出的值，可得出，分析可知数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得的值. 【详解】当时，由可得， 两式相减得，即， 即. 当时，，即， 所以，，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列. 则. 故答案为：. 13.（24-25高三上·上海徐汇期末）记为数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【分析】将已知关系式化为，然后再写出第项的关系式，两式作差何解可得，进而可以求解． 【详解】解：因为，则① 所以② ②①可得，所以， 即，所以， 所以，故答案为：． 14.（2024•上海高考）数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为 　　． 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质的应用，属于基础题． 【解析】解：等差数列由an＝n+c，知数列{an}为等差数列S7＝＝7a4＜0， 即7（4+c）＜0， 解得c＜﹣4． 故c的取值范围为（﹣∞，﹣4）． 故答案为：（﹣∞，﹣4）． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题． 15．（2023青浦二模）已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是___________． 答案：. 16. 数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______ 【详解】由题意令，所以，对比，可得， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以， 对于任意的恒成立，即对于任意的恒成立， 即对于任意的恒成立， 显然当增大时，减小，此时增大，所以. 17.将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的的最小值为 ． 【答案】170 【详解】由题意，与的公共项为1，13，25，37，…， 故，所以，解得， 所以的最小值为170． 故答案为：170 18.已知无穷数列的前项和为，不等式对任意不等于2的正整数恒成立，且，那么这样的数列有 个. 【答案】4 【详解】当时，，得或， 当时，由，得， 两式相减得：， 整理得，所以或， 当时，若，可得， 因为不等式对任意不等于2的正整数恒成立， 所以对任意不等于2的正整数恒成立， 则当时，，即，，，，成立； 若，时，，即，，，，成立； 当时，若，可得，，不合题意，舍去； 当时，若，可得， 由题意可得对任意不等于2的正整数恒成立， 则当时，，即，，，，成立； 若，时，，即，，，，成立； 当时，若，可得，，不合题意，舍去． 所以满足题意的数列有4个． 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是用与的关系求得或，但由于或两个值，就会有四种组合，分类意义验证恒成立即可. 19.已知数列共有10项，且，若，则符合条件的不同数列有 个． 【答案】66 【详解】若的值只有1种可能，则符合条件的不同数列有3个， 若的值有2种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有个， 若的值有3种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有个， 故共有66个符合条件的不同数列． 故答案为：66 20.已知单调递增的整数列共有项，，，且对任意的整数，都存在整数使得（可以相等），则数列至少有______项. 【详解】当时，数列满足； 若有项，依题意，， 所以，，，，，， 而，所以，，，此时， 所以无法取整数； 显然当都不成立. 【点睛】本题主要考查数列的新定义，还考查了分析推理求解的能力，属于难题. 21.已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为________ 【详解】依题意，， 由，得， 当时，，即函数的图象关于点对称，， 由等差中项的性质得， 则， 所以数列的前13项和为：. 故选：D 二、选择题 22. （24-25复兴高级中学高三阶段练习）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合等比数列的性质判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即可判断出答案. 【详解】由题意知数列是等比数列，设其公比为q， 则，， 当时，显然成立； 当时，不妨取，此时，满足， 但不成立， 故“”是“”的充分非必要条件， 故选：A 23.已知数列各项为正数，满足，，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】C 【分析】分析可知数列的每一项都是正数，由已知条件可得出，结合等差中项法判断可得出结论. 【详解】因为数列各项为正数，满足，， 故对任意的，，则， 所以，数列的每一项都是正数， 所以，，可得， 由等差中项法可知，数列是等差数列， 故选：C. 24.已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 【答案】D 【详解】对于A中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以A不正确； 对于B中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以B不正确； 对于C中，如果数列，公比为，可得，数列是递增数列，但是，所以C不正确； 对于D中，数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以D正确； 故选：D． 25.如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（    ）    A．， B．记为的前n项和，则为 C．记为数列的前n项和，则 D．数列的前n项和为 【详解】A.由题意可知为等边三角形，如图，，则， 因为点在曲线上，可得，解得或（舍）， 又由题意可知为边长为的等边三角形，则， 则，可得，解得或（舍），故A正确； B.由为边长为的等边三角形，可得，故B正确； C.由点在曲线上，则，整理得， 由，可知，故C错误； D.当时，可得，所以， 可化为， 因为，则，所以， 又因为，符合上式，故， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以数列的通项公式为，所以，故D错误. 故选：B 26.已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论错误的是（    ） A．若，则数列具有性质 B．若数列的前项和，则数列具有性质 C．若数列具有性质，则常数 D．若数列具有性质，则为等差数列 【答案】B 【详解】对于C，若具有性质，则①， 交换i，j的位置②，①+②，，C正确． 对于A，若，，对两两不等的正整数i，j，k 符合条件，具有性质，A正确． 对于B，，取，，，， 不具有性质，B错． 对于D，令，，记为数列的前n项和，具有性质， ， ①， 时，②， ①-②， （且），而时，上式也成立 对恒成立，为等差数列，D正确.故选：B． 27.若数列的各项均为正数，且，都有，则称数列具有“性质”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列具有“性质” B．若，则数列具有“性质” C．具有“性质”的数列的前项和为 D．具有“性质”的数列的前项和为 【答案】C 【详解】当时，，所以， 因为，解得，当时， 则，因为， 所以，当时，， 所以，猜想，假设当时成立， 此时， 现证明， 当时，左边为，右边为， 成立，当时，左边为，右边为， 也成立，进一步假设当时成立， 即，则当时， 左边变为， 展开整理可得， 与右边一致，故等式对任意成立， 所以时满足条件，当时， 由递推关系代入和得， 即，因为， 所以，所以， 前项和为，且立方和为， 满足，所以C正确； 取，计算时， ，立方和为，故A错误； ，当时，， 立方和为，故B错误； 选项D前项和为， 当时和为，与矛盾，故D错误. 故选：C. 三、 解答题 28. 记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项的性质及等差数列的通项公式可得结果； （2）由等差数列的前项和公式及裂项相消法求前项和可得结果. 【小问1详解】 由已知，，即， 解得（舍）或， . 【小问2详解】 由（1）得，， ， 29.（2025行知中学高三6月模拟） 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，从而得到为首项为，公比为的等比数列； （2）由（1）求得，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，数列满足，即， 则， 又由，可得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知，得到， 所以数列的前项和. 30. （24-25控江中学高三阶段练习）某果园有两种水果种植方案.方案一：第1年种植苹果，预计收获量为6吨，以后每年收获量比上一年增加0.6吨；方案二：第1年种植梨，预计收获量为8吨，以后每年的收获量在上一年的基础上增加4%.果农小张在第1年初分别采用两种方案开始种植苹果和梨，设第（为正整数）年苹果的收获量为，梨的收获量为（单位：吨），可知，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列最大项的值（精确到0.1）以及相应项的序数，并说明其实际意义. 【答案】（1）； （2）；；答案见解析. 【解析】 【分析】（1）应用等差数列等比数列通项公式计算求解； （2）根据已知通项公式作差得出最大值是即可求解. 【小问1详解】 因为为以6为首项，以为公差的等差数列，所以； 因为为以8为首项，以为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 ， 当，即时，； 当，即时，； 所以当时，取得最大值，所以数列最大项的值为， 相应项的序数是，实际意义是第18年苹果的收获量比梨的收获量多的最大； 31.已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则， 解得：，， 于是有， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，， 因此，. 假设存在正整数m，n，使得成等差数列， 则， 即，整理得， 显然是50的正约数，又，则或25，50. 当时，即时，与矛盾， 当时，即时，，符合题意， 当时，即时，无解 所以存在正整数使得成等差数列，此时. 32.若各项均为正数的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若正项等比数列，满足，求； (3)对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）由，可得，且， 又，所以， 即， 因为，所以，所以，        所以是公差为的等差数列. 又，得，所以. （2）设的公比为，因为，所以， 即，解得舍或， 因为，所以，， 所以， ， 两式相减得:. 所以； （3）由（2）得不等式，可变为 当为奇数时，， 记，所以， ， 令，得，所以. 所以时，，即，即， 时，，即，即且取奇数时，单调递增， 此时，即； 当为偶数时，，所以， 时，，即， 时，，即，且取偶数时，单调递增. 此时，所以，即. 综上所述，实数的取值范围为. 33. 已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或 （1）已知，数列，写出的所有“相邻数列”； （2）已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； （3）已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值． 【答案】（1）；；；. （2）11个 （3）37 【分析】（1）根据相邻数列的概念直接求解即可； （2）任取的一个“相邻数列”，根据相邻数列的概念可得且，对于的取值分情况讨论，利用为递增数列可得是公差为1的等差数列，列不等式组求解即可； （3）令可得对任意，设，证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合，进而根据定义求解即可. 【小问1详解】 根据“相邻数列”的概念可知，， 或，或， 所以的所有“相邻数列”有；；；. 【小问2详解】 任取的一个“相邻数列”， 因为或， 或， 所以有且， 对于的取值分以下4种情形： （a）， （b）， （c）， （d） 由数列是递增的整数数列，前3种情形显然都能得到，所以只需考虑第4种情形， 递增，，即， 由是递增的整数数列得，从而是公差为1的等差数列， 于是，则，即满足数列的有11个. 【小问3详解】 令，所以对任意， 设，则且， 先证明与要么是空集，要么是连续自然数构成的集合， 若，令，则，由得， 所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合． 若，令，则，由得， 所以，即，即是空集，或是连续自然数构成的集合， 因此，的分布只可能是如下三种情况： （i），此时，对任意的，由得， 所以对任意的，注意到，所以， 等号当且仅当时取到； （ii）存在整数，使得 对任意的，对任意的，所以 （iii）．此时，对任意的，与情形1类似， 对任意的，注意到， 所以， 综上，的最小值为． 【点睛】思路点睛：根据“相邻数列”的定义，按照或分类讨论不同情形，结合数列的定义求解即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026上海高考数学三轮冲刺一卷通【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】 专题07 数列 题型01：等差数列的基础计算 【例1】（2024上海市曹杨第二中学高三三模）设是等差数列，其前项和为．若，，则________． 【例2】（2025七宝中学高三三模）已知等差数列满足，，则____ 【跟踪训练】 1.（2026届高三静安一模）设等差数列的前项和为(为正整数),首项,则_____. 2. （24-25复兴高级中学高三阶段练习）已知等差数列满足，则________． 3.（24-25高三上·上海松江期末）已知等差数列的前项和为，且，，若，则 . 4．（2025上海高三阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则___________． 5.（2023·全国·高三专题练习）若两个等差数列，的前n项和分别是，，已知，则______. 6.（2026届高三金山区一模）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为_____. 题型02：等比数列的基础计算 【例3】（24-25华师大二附中高三阶段练习）已知等比数列中，，则等比数列的公比______． 【例4】 （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）若各项均为正数的等比数列中，，，则______. 【跟踪训练】 1. 已知，，，，是各项均为实数的等比数列，则__________ 2. 已知是等比数列，若分别是函数的两个零点，则___________. 3. （24-25复兴高级中学高三阶段练习）等比数列的前项和为，则___. 4. （24-25上海师大附中高三阶段练习）在等比数列中，，，则_____ 5．计算：= ． 题型03：递推数列 【例5】（2025上海市崇明区高三三模） 在数列中，，且，则__________. 【跟踪训练】 1.（2026届嘉定区高三一模）已知数列满足，且，则_____. 2. （24-25建平中学学高三阶段练习）已知数列满足，且，则________. 3. （24-25上海师大附中高三阶段练习）若数列满足，则最多有_____项 4. （24-25上海师大附中高三阶段练习）若数列满足，则_____ 题型04：数列性质综合 【例6】（24-25建平中学学高三阶段练习） 已知等比数列的首项为，公比为，则“”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【例7】（24-25闵行六校联考高三阶段练习）设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 或为的最大值 【跟踪训练】 1. （24-25闵行六校联考高三阶段练习）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，左边增加了（ ） A. 项 B. 项 C. k项 D. 1项 2. （24-25南洋模范中学高三阶段练习）已知为等比数列，，公比为，则“”是“对任意的正整数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. （2025复旦大学附属中学高三6月检测）已知数列为无穷项等比数列，为其前项的和，“，且”是“，总有”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不必要又不充分条件 4.（2025华东师大三附中高三三模）已知是无穷数列，，则“对任意的、，都有”是“是等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.数列满足，若数列单调递增，则实数的取值范围为_______ 题型05：求数列项、和、参数的最值与范围问题 【例8】（24-25上海交大附属中学高三阶段练习）等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是______． 【例9】 已知各项均为正整数的数列中，，，且对任意正整数，两个3项数列、、与、、中恰有一个为等差数列．若对一切正整数成立，则的最小值为__________ 【跟踪训练】 1.已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第 项． 2. （24-25上海交大附属中学高三阶段练习）设无穷等比数列所有奇数项之和为，则等比数列所有项的和的取值范围是___． 3.记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则使成立的的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.已知递减的等比数列前项和为，且满足，，若恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 5.已知数列满足，，若对，，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.（2026届高三徐汇区一模）已知数列满足:,对任意的正整数均有,若存在正整数,使得所有数列均满足,则的最大值为_____。 7.（2026届高三崇明区一模）设.数列满足下列条件:,且对任意的,都存在使得,其中互不相等,则数列的前20项和的最大值是_____. 题型06：数列结论辨析 【例10】（2026届嘉定区高三一模）数列的前项和为,且对任意正整数,总存在正整数,使得.则下列命题中正确的是（ ）. A.对任意正整数，总存在正整数，使得 B.数列一定是等差数列 G存在公比为正整数的等比数列满足条件 D.对任意正整数,总存在正整数,使得 【跟踪训练】 1.（2026届高三奉贤区一模）已知等差数列的公差不为零,为其前项和,存在正整数满足,有两个命题： 命题①：设数列公差，则. 命题②：均是小于的正整数,则. A.命题①②都是真命题 B.命题①是真命题，命题②是假命题 C.命题①②都是假命题 D.命题①是假命题，命题②是真命题 以上判断正确的是（ ） 2.（2026届高三黄埔区一模）若数列同时满足如下条件:(i)是无穷数列；(ii)是严格增数列；(iii)存在正数，使得对任意的，都有的前项的和，则称具有性质.关于如下结论:①存在等差数列具有性质；②存在等比数列具有性质.其中正确的说法是( ). A.①和②均正确 B.①和②均错误 C.①正确，②错误 D.①错误，②正确 3.（2024青浦区高三三次学业监测） 已知数列满足，其中为常数．对于下述两个命题： ①对于任意的，任意的，都有是严格增数列； ②对于任意的，存在，使得是严格减数列． 以下说法正确的为（ ） A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 4.（2026届高三普陀一模）设,数列和满足,且,现有如下两个命题: ①若数列是等比数列,则数列是常数列; ②设是数列的前项和，若取得最大值时，则能被7整除. 则下列结论中正确的是（ ） A.①为真②为真 B.①为真②为假 C.①为假②为真 D.①为假②为假 题型07：数列新定义问题 【例11】已知数列的前项和为，且对任意的，总存在，使得，则称为“回归数列”.以下结论中不正确的是（    ） A．若，则为“回归数列” B．若为等比数列，则为“回归数列” C．设为等差数列，当，公差时，若为“回归数列”，则 D．对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得 例12】对于无穷数列和正整数，若存在满足且，则称数列具有性质．下列选项中错误的是（   ） A．若，则数列不具有性质 B．若，则数列具有性质 C．存在数列和，使得和均不具有性质，且具有性质 D．若数列和均具有性质，则具有性质 【跟踪训练】 1. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）若从无穷数列中任取若干项（其中）都依次为数列中的连续项，则称是的“衍生数列".给出以下两个命题: （1）数列是某个数列的“衍生数列”； （2）若各项均为0或1，且是自身的“衍生数列”，则从某一项起为常数列.下列判断正确的是（ ）. A. （1）（2）均为真命题 B. （1）（2）均为假命题 C. （1）为真命题，（2）为假命题 D. （1）为假命题，（2）为真命题 2.（2026虹口区高三一模）若每一项均为正数的数列的前项和为,若对于任意的正整数,均存在正整数,使得，则称具有“P性质”.对于以下两个命题，说法正确的是（ ）. ①存在等比数列，使得具有“P性质”; ②若具有“P性质”,记且为等差数列,则. A.①和②都为真命题 B.①和②都为假命题 C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题 题型08：探究数列个数问题 【例13】（2026届高三金山区一模）已知正整数,满足,且,则有序数对有（ ）个. A.5 B.4 C.3 D.2 【例14】（2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为______． 【跟踪训练】 1. （24-25控江中学高三阶段练习）已知数列满足，且对任意正整数，恒有，则所有可能值的个数为_____. 2. （24-25控江中学高三阶段练习）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（ ）. A 且 B. 且 C. 且 D. 且 3. 已知各项均为正整数的数列满足：对任意正整数，均存在，使得．若，则满足条件的数列的个数为_________． 题型09：数列与其他学科知识的交汇 【例15】（2024上海市曹杨第二中学高三三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是________． 【例16】（2026届高三浦东新区一模）已知若等差数列为无穷数列,且均满足递推关系，则该数列首项的取值范围为_____. 【跟踪训练】 1. （2025建平中学高三下学期三模）已知函数，正数数列满足且，若不等式恒成立，则实数的最小值为___________. 2. （24-25南洋模范中学高三阶段练习）如图所示，已知，对任何，点按照如下方式生成： ，且按逆时针排列，记点的坐标为，则为 A. B. C. D. 题型10：数列通项公式与求和 【例17】（2025届上海市大同中学高三三模）已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【例18】（24-25华师大二附中高三阶段练习）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【跟踪训练】 1. （24-25复兴高级中学高三阶段练习）设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值． 2. （24-25闵行六校联考高三阶段练习）已知数列的前项和为，且，数列满足. （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和； 3.已知数列满足，，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前项和． 题型11：数列存在性、恒成立 【例19】已知数列的前项和为，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，是否存在正整数，（），使得成等比数列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，请说明理由． 【例20】已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【跟踪训练】 1.数列满足：． (1)求数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 题型12：数列综合题 【例21】（24-25上海交大附属中学高三阶段练习）无穷数列．定义集合存在正整数，使得且，集合存在正整数，使得且． （1）已知，请直接写出集合、； （2）已知，，若，求的取值范围； （3）已知为无限集，求证：“是增数列”的充要条件是“且”． 【跟踪训练】 1. （24-25上海师大附中高三阶段练习）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； （2）设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； （3）设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 一、填空题 1. （24-25控江中学高三阶段练习）（24-25控江中学高三阶段练习）已知等差数列的公差为1，前10项和为5，则_______. 2. （宝山）若数列为等差数列，且，则该数列的前项和为 3. （24-25南洋模范中学高三阶段练习）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 4．已知等差数列的前项和为，若，，则等于_______ 5.（2025嘉定区校级模拟预测）设等差数列，的前项和分别为，，，则 ． 6．（2023•上海高考）已知首项为3，公比为2的等比数列，设等比数列的前n项和为Sn，则S6＝　　． 7．（2022·全国·高三专题练习）记为正项等比数列的前项和，若，，则的值为______ 8.（2024·上海金山·二模）设公比为2的等比数列的前项和为，若，则 ． 9. （2025上海宝山区高三三模）首项为 2，公比为 的无穷等比数列的各项和为_____. 10.（2024·上海虹口·二模）已知等比数列是严格减数列，其前项和为，若成等差数列，则 . 11. （2025上海市格致中学高三三模）记为数列的前项和，若，则_____________． 12.（2023·全国·高三专题练习）记数列的前项和为，若，且，则__________. 13.（24-25高三上·上海徐汇期末）记为数列的前n项和．若，，则数列的通项公式为______． 14.（2024•上海高考）数列{an}，an＝n+c，S7＜0，c的取值范围为 　　． 15．（2023青浦二模）已知数列满足，若满足且对任意，都有，则实数的取值范围是___________． 16.数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______ 17.将数列与数列的公共项从小到大排列得到数列，则使得成立的的最小值为 ． 18.已知无穷数列的前项和为，不等式对任意不等于2的正整数恒成立，且，那么这样的数列有 个. 19.已知数列共有10项，且，若，则符合条件的不同数列有 个． 20.已知单调递增的整数列共有项，，，且对任意的整数，都存在整数使得（可以相等），则数列至少有_______项. 21.已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为________ 二、选择题 22. （24-25复兴高级中学高三阶段练习）已知数列是等比数列，、、为正整数，则“”是“”的（ ）. A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 23.已知数列各项为正数，满足，，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 24.已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 25.如图，曲线下有一系列正三角形，设第n个正三角形（为坐标原点）的边长为，则（    ）    A．， B．记为的前n项和，则为 C．记为数列的前n项和，则 D．数列的前n项和为 26.已知数列，设，若数列满足：存在常数，使得对于任意两两不相等的正整数，，，都有，则称数列具有性质，下列结论错误的是（    ） A．若，则数列具有性质 B．若数列的前项和，则数列具有性质 C．若数列具有性质，则常数 D．若数列具有性质，则为等差数列 27.若数列的各项均为正数，且，都有，则称数列具有“性质”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则数列具有“性质” B．若，则数列具有“性质” C．具有“性质”的数列的前项和为 D．具有“性质”的数列的前项和为 三、 解答题 28. 记公差大于零的等差数列的前项和为，已知是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 29.（2025行知中学高三6月模拟） 已知数列的首项为，且满足. （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前项和. 30. （24-25控江中学高三阶段练习）某果园有两种水果种植方案.方案一：第1年种植苹果，预计收获量为6吨，以后每年收获量比上一年增加0.6吨；方案二：第1年种植梨，预计收获量为8吨，以后每年的收获量在上一年的基础上增加4%.果农小张在第1年初分别采用两种方案开始种植苹果和梨，设第（为正整数）年苹果的收获量为，梨的收获量为（单位：吨），可知，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列最大项的值（精确到0.1）以及相应项的序数，并说明其实际意义. 31.已知数列是公差大于0的等差数列，其前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，其前项和为，则是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 32.若各项均为正数的数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若正项等比数列，满足，求； (3)对于中的，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 33. 已知整数，数列是递增的整数数列，即且定义数列的“相邻数列”为，其中或 （1）已知，数列，写出的所有“相邻数列”； （2）已知，数列是递增的整数数列，，且的所有“相邻数列”均为递增数列，求这样的数列的个数； （3）已知，数列是递增的整数数列，，且存在的一个“相邻数列”，对任意的，求的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $