专题04：解三角形与三角函数【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】讲义-2026届高考数学三轮冲刺一卷通（上海专用）

2026上海高考数学三轮冲刺一卷通【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】 专题04 解三角形与三角函数 三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度． 重点考察：长度、面积与周长的最值与范围问题、三角函数的性质、取值与范围问题以及应用三角知识解决实际问题。 考情分析 2023年 2024年 2025年 上海卷T11，5分 上海卷T15，5分 上海卷T14，4分 上海卷T5，4分 上海卷T11，5分 题型01：常用三角公式与三角变换 1. （2025上海市金山中学高三三模）已知，则_______ 2. （2025上海市徐汇中学高三三模）已知，且，则______. 3.（2026届高三松江区一模）设,若,则的值为_____. 4. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）设，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 5. 在 中，内角 和 所对的边分别为 和 ，则 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.若，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 题型02：解三角形的最值与范围 7. （2024青浦区高三三次学业监测）在中，若，则______. 8（2026届高三静安一模）在中,将角所对边的边长分别记作.设.若，则的面积为_____. 9. （2024学年宜川中学高三模拟）已知中，，且，，则的最大值为______. 10.（2023建平中学学校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为 ．   11. （2025届上海市大同中学高三三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 题型03：三角函数的图像 12.（2025上海市进才中学高三5月模拟） 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则__________. 13. （2025复旦大学附属中学高三期末）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 14. （2025行知中学高三6月模拟）已知函数，则的值域是15.（2025七宝中学高三三模）如图是函数的图象，则的值为__________. 题型04：三角函数性质综合 16. 函数的最小正周期为________． 17. （2024学年宜川中学高三模拟）下列函数中是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 18. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）若函数对任意实数x都有，则______ 19. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知，函数的图像与函数的图像交于点P，点P在x轴上的垂足为，直线交于点，则___________. 20.（2026届嘉定区高三一模）函数是 （ ） A.,最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 21.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） ， 恒成立，则 ______． 题型05：三角函数的范围问题 22. ，在有且仅有一条对称轴，则范围为 23.（2025年华东师范大学第一附属中学高三三模） 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 24.（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，在上恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25. 已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________． 26. 函数在上没有零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 题型06：三角函数零点与方程的根 27. （2025上海市育才中学高三三模）函数，的零点是______． 28. （2024学年宜川中学高三模拟）函数的零点个数为______ 29．函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________ 30. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 题型07：三角函数双变量问题 31. （2025上海市育才中学高三三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为______． 32．（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 33.（2024青浦区高三三次学业监测） 已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是______． 34. （2025华东师大三附中高三三模）已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ） A B. 1 C. D. 2 题型08：解三角形的实际应用 35. （2025进才中学高三模拟）如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到） 36. （2024青浦区高三三次学业监测）如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为______平方米．（结果保留整数） 37. 一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽． （1）设，试将表示为的函数； （2）求的最小值，并说明此最小值的实际意义． 题型09：三角函数与向量、数列交汇问题 38.已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（ ） A. 9 B. 17 C. 26 D. 34 39.（2024上海市曹杨第二中学高三三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是________． 40.（2026届高三松江区一模）已知函数的周期为,在时取到最大值记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和. 题型10：解三角形综合题 41. （2024青浦区高三三次学业监测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 42. （2025上海市进才中学高三5月模拟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求； （2）若，，求. 43．在中，，. (1)若，求的值，以及的面积; (2)若，求. 44．在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 45．在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 题型10：三角函数综合题 46.（2025复旦大学附属中学高三6月检测）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处. （1）根据条件具体写出关于的函数表达式； （2）在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？ 47.（2025上海市金山中学高三三模）已知，函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，且面积为，求． 48. （2025进才中学高三模拟）已知函数，. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，若，求. 49.（2025上海市徐汇中学高三三模）已知向量，.设. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长. 50．（2017·上海市实验学校高一期中）已知函数，任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记. （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）当时，求函数的解析式； （3）设函数，，其中为参数，且满足关于的不等式有解，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 一、填空题 1.（2026届高三静安一模）设是第四象限角，，则_____. 2．在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ． 3．若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为 .（结果保留） 4. （2025杨浦区高三5月质量检测）函数的最小正周期为______． 5. （2023·上海静安·统考二模）已知中，，且，则面积的最大值为 . 6. （2022长宁区二模）已知函数满足：． 若函数在区间上单调，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. （2022杨浦区二模）若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是___________. 8.．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 9.（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是__________． 10. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______ 11. （2025上海市育才中学高三三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，过上的点向作切线，则切线长的最大值为___________. 12.（2024杨浦区二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________. 二、选择题 13.（2025杨浦区高三5月质量检测） “”是“”的（    ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 14. （2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知的三个内角分别为A，B，C，则下列判断正确的是（    ） 命题p：对任何锐角A，都存在，使得； 命题q：对任何锐角A，都存在，使得． A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p是假命题，q是假命题 15. （2023黄浦区二模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、 解答题 16．在三角形中，内角A，B，C所对边分别为、、，已知． (1)求角A的大小； (2)若且，三角形的面积为，求三角形的周长． 17．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，，求a； (2)若，求的面积的最大值． 18.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点． （1）求函数的解析式； （2）若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 19. （2025上海市育才中学高三三模）已知. （1）求方程的解集； （2）求函数在上的单调增区间. 20. （2024学年宜川中学高三模拟）设函数，其中向量，，，. （1）求函数的最大值及相应的值； （2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 21．已知函数，满足关系. （1）设，求的解析式； （2）当时，存在、，对任意，恒成立，求的最小值. 22．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴． （1）求函数的解析式； （2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围； （3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026上海高考数学三轮冲刺一卷通【基础提升练+压轴与特色+综合重点练】 专题04 解三角形与三角函数 三角函数与解三角形是每年高考常考内容，在选择、填空题中考查较多，有时会出现在选择题、填空题的压轴小题位置，综合考查以解答题为主，中等难度． 重点考察：长度、面积与周长的最值与范围问题、三角函数的性质、取值与范围问题以及应用三角知识解决实际问题。 考情分析 2023年 2024年 2025年 上海卷T11，5分 上海卷T15，5分 上海卷T14，4分 上海卷T5，4分 上海卷T11，5分 题型01：常用三角公式与三角变换 1. （2025上海市金山中学高三三模）已知，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】由题意有：， 故答案为：. 2. （2025上海市徐汇中学高三三模）已知，且，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系和诱导公式进行求解. 【详解】由，， 则， 故. 故答案为： 3.（2026届高三松江区一模）设,若,则的值为_____. 【答案】2 【解析】 4. （2024-25长宁区高三监测练习试卷）设，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦二倍角公式由可得的值，结合充分必要条件判断即可. 【详解】因为，则，所以或， 则“”是“”的必要非充分条件. 故选：B. 5. 在 中，内角 和 所对的边分别为 和 ，则 是 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】在中，由正弦定理可得，则，即 又，则，即， 所以是的充要条件，故选C． 6.若，则下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，利用辅助角公式，得到，取，即可判断出选项A的正误； 选项B，利用余弦的和差角公式，得到，再根据条件即可得出选项B的正误； 选项C和D，通过取特殊角即可判断出选项C和D的正误. 【详解】对于选项A，因为，又，所以当时， ，故选项A错误； 对于选项B，因为， 又，所以，得到， 即，故选项B正确； 对于选项C，当时，，，故选项C错误； 对于选项D，当时，，故选项D错误， 故选：B. 题型02：解三角形的最值与范围 7. （2024青浦区高三三次学业监测）在中，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理求解即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，所以. 故答案为： 8（2026届高三静安一模）在中,将角所对边的边长分别记作.设.若，则的面积为_____. 【答案】 【解析】因为，故， 由余弦定理得， 整理得，解得， 因为，则， 因此的面积为. 9. （2024学年宜川中学高三模拟）已知中，，且，，则的最大值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出三角形外接圆半径，确定点的轨迹，借助圆的性质求出最大值. 【详解】以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 由，，得， 外接圆半径，令圆心为，则， ，点在以为圆心，为半径所含圆周角为的圆弧（不含端点）上， 显然，当且仅当点在线段上时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 10.（2023建平中学学校考阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B的平分线交AC于点D，且，则周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】因为的平分线交于，， 所以，即， 因为，所以由二倍角公式可得， 即，所以， 由余弦定理有， 所以， 整理得， 所以， 整理得，所以， 当且仅当时等号成立， 所以三角形周长的最小值为. 故答案为：    11. （2025届上海市大同中学高三三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得，然后将化简为关于的表达式，利用基本不等式可得. 【详解】因为，，成等差数列， 所以，由正弦定理得， 即， 因为，则，所以， 又， 所以， 即，得， 又在中，最多有一个是钝角，所以， 因为 ， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换和三角形内角和定理，将已知和所求转化为的表达式，即可利用基本不等式求解. 题型03：三角函数的图像 12.（2025上海市进才中学高三5月模拟） 把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案. 【详解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得， 即 故答案为： 13. （2025复旦大学附属中学高三期末）将函数的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由平移求出曲线的解析式，再结合对称性得，即可求出的最小值. 【详解】由题意知：曲线为，又关于轴对称，则， 解得，又，故当时，的最小值为. 故选：C. 14. （2025行知中学高三6月模拟）已知函数，则的值域是________． 【答案】 【解析】 详解】当时，； 当时，； 考查一个周期内三角函数的性质： 当时，； 当时，， 绘制函数在内的图象如图(实线)所示， 观察可得，函数的值域为. 15.（2025七宝中学高三三模）如图是函数的图象，则的值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由函数的图象可求得最小正周期为，进而可求得. 【详解】因为的图象过点，所以，所以， 所以，解得. 故答案为：. 题型04：三角函数性质综合 16. 函数的最小正周期为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，利用三角函数的周期公式，即可求出结果. 【详解】，所以函数周期， 故答案为：. 17. （2024学年宜川中学高三模拟）下列函数中是奇函数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是； 对于D，函数的定义域为，而， 函数是奇函数，D是. 故选：D 18. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）若函数对任意实数x都有，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到是函数的一条对称轴，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由题意，函数对任意实数x都有， 可得是函数的一条对称轴， 根据三角函数的图象与性质，可得. 故答案为：. 19. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知，函数的图像与函数的图像交于点P，点P在x轴上的垂足为，直线交于点，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据图象可得，即为的值，根据题意，化简计算，即可得答案. 【详解】作出图象，如图所示： 则即为的值， 因为，即， 所以，解得或（舍）， 所以. 故答案为： 20.（2026届嘉定区高三一模）函数是 （ ） A.,最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数 C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】因为 所以的最小正周期 的定义域为 因为 所以为奇函数，故是最小正周期为的奇函数 故选C. 21.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） ， 恒成立，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再根据函数的性质求，最后代入求的值. 【详解】，令，得，， 由 恒成立，可知，，， 则. 故答案为： 题型05：三角函数的范围问题 22. ，在有且仅有一条对称轴，则范围为 【答案】 【分析】由题意结合三角函数的性质可得，，整理后按照、、、分类讨论即可得解. 【详解】函数的图像在区间上有且仅有一条对称轴，， 函数的周期，， 令，则， ，整理得，， 且， 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，无解； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 23.（2025年华东师范大学第一附属中学高三三模） 设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解. 【详解】由题意，当时，不能满足在上极值点比零点多， 当时，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点， 由的部分图象如下图所示： 则，解得，即， 故答案为：. 24.（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，在上恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据诱导公式和二倍角公式，化简函数，再根据其在上恰有4个零点，可列式求的取值范围. 【详解】因为.由. 因为，且在上恰有4个零点. 所以，.故选：A 25. 已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】． 由题可知，，所以， 当时，， 因为函数在上有最大值，无最小值， 所以存在，使得 整理得，（）. 因为，所以，解得. 故答案为：. 26. 函数在上没有零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 因为在上没有零点，所以，解出的范围，再结合题意得出或，代入即可求出答案. 【详解】 因为函数，在上没有零点，所以 ，所以， 即， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以，因为，所以或， 当时，； 当时，， 又因为，所以的取值范围是：. 故选：C. 题型06：三角函数零点与方程的根 27. （2025上海市育才中学高三三模）函数，的零点是______． 【答案】， 【解析】 【分析】令即可求出函数的零点. 【详解】令，则，， 当时，；当时，. 函数，的零点是，. 故答案为： 28. （2024学年宜川中学高三模拟）函数的零点个数为______ 【答案】3 【解析】 【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案. 【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数， 时，函数取最大值， 时函数的值为， 又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 故答案为：. 29．函数的图像与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_________ 【答案】 【分析】先去掉绝对值符号，得出函数的解析式，再做出的图像，由图像可得两个图像要有两个不同的交点时的范围. 【详解】由已知得，在坐标系中做出图像如下：由图像可知最高点值为，最低点值为，要使在部分的图像与有两个不同的交点，则需要， 故答案为：. . 【点睛】本题主要考查分段函数的概念，正弦函数图象，先去掉绝对值化简函数解析式，再由解析式画出函数的图象，结合图象确定参数的取值范围是解决此类题目的关键，属于中档题. 30. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集个数可得集合元素个数，再由正弦函数性质即可确定n的取值. 【详解】由题意易知，，均是集合中的元素， 又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素， 有，则结合诱导公式易知， 可取的值是4或5. 故选：B 题型07：三角函数双变量问题 31. （2025上海市育才中学高三三模）已知函数．若存在，使得，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将函数的解析式利用辅助角公式进行化简，根据题意可得是函数取得最大值的的值或取得最小值的的值，再分情况讨论即可. 【详解】因为， 则由题意可得或， 则①令，，解得，， 又，要求的最大值，只需令，则，令，则， 所以的最大值为． ②令，，解得，， 又，要求的最大值，只需令，则，令，， 所以的最大值为， 综上， 的最大值为． 故答案为：. 32．（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由的最大值和可知，的最小值即为的最小值周期，然后可得. 【解析】由题知，， 因为，所以， 因为的最大值为1，所以， 所以的最小值即的最小值周期， 所以. 33.（2024青浦区高三三次学业监测） 已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的值域得到，则成立的必要条件是，当时必然成立，讨论时是否满足条件即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以，所以， 即，，所以， 当且仅当时，成立， 所以， 必要条件：，解得； 若，即时，必然成立； 若，因为，，不妨设， 则，，且， 所以，， 所以①，②， ①②两式联立得，即， 所以，又，所以，， 当时，，不符合条件； 当时，，则，此时； 当时，，则或，此时或， 因为，所以； 综上，或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据的值域得到，将问题转化为；关键点之二在于讨论时是否满足条件. 34. （2025华东师大三附中高三三模）已知函数，任取，定义集合：，点，满足.设分别表示集合中元素的最大值和最小值，记.则函数的最小值是（ ） A B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】作出函数的图象， 根据的位于不同的位置，即可分情况求解. 【详解】如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为 ， 点, 当点在点时，点在曲线上， ， 当点在曲线上从接近时，减小，所以逐渐增大； 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，减小，逐渐减小， 当点在点时， 当点在曲线上从接近时，增大, 逐渐增大， 当点点时， 当点在曲线上从接近时，增大,逐渐见减小， 当点在点时，, 综上可得的最小值是1 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据点的位置变化，分别求解的值. 题型08：解三角形的实际应用 35. （2025进才中学高三模拟）如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设，则.，在，，中，分别用正弦定理，得，，再相乘化简即可求解. 【详解】由题可得， 设，则. 由题意，在中，， 在中，， 在中，， 将上述三式相乘，得， 从而有， 得， 所以. 故答案为： 36. （2024青浦区高三三次学业监测）如图，某小区内有一块矩形区域，其中米，米，点、分别为、的中点，左右两个扇形区域为花坛（两个扇形的圆心分别为、，半径均为20米），其余区域为草坪．现规划在草坪上修建一个三角形的儿童游乐区，且三角形的一个顶点在线段上，另外两个顶点在线段上，则该游乐区面积的最大值为______平方米．（结果保留整数） 【答案】137 【解析】 【分析】根据已知条件知，当三角形的两边分别与圆弧相切时，三角形的面积最大，设切点为，，由三角形全等得到，将三角形面积的表达式用表示，从而转化为三角函数，利用换元法转化为基本不等式求最值即可求解. 【详解】设游乐区所在的三角形为，在线段上，在线段上，如图所示， 当分别于圆弧相切时，取得最大值， 由对称性，只讨论， 设与圆弧相切于点，连接， 设，因≌，≌， 则，， 因为，所以，， ，， 所以 ， 因为，所以， 令，则， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以平方米， 即该游乐区面积的最大值为137平方米． 故答案为：137. 37. 一根长为的铁棒欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽． （1）设，试将表示为的函数； （2）求的最小值，并说明此最小值的实际意义． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【详解】试题分析：（1）写出，，化简即可；（2）设，换元，此时，判断单调性并求最值. 试题解析： （1），．　　　　 ，． （2）设，，则， 所以，，此时． 任取、，且，， 因为、，且，所以，， 故，即在时是减函数，所以 最小值的实际意义是：在拐弯时，铁棒的长度不能超过 ，否则，铁棒无法通过．也就说，能够通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为 ． 点睛：单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论. 题型09：三角函数与向量、数列交汇问题 38.已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（ ） A. 9 B. 17 C. 26 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，分析函数的图象性质得图象关于点对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性可求得结果. 【详解】依题意，， 由，得， 当时，，即函数的图象关于点对称，， 由等差中项的性质得， 则， 所以数列的前13项和为：. 故选：D 39.（2024上海市曹杨第二中学高三三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得有非零解，利用数列的收敛性得即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，代入得： 整理得： 由于是无穷等比数列，所以 因时左边无界，时右边有界，均矛盾， 所以，此时，则： ， 设，则，即， 因为对成立且，为使方程有非零解， 则即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 40.（2026届高三松江区一模）已知函数的周期为,在时取到最大值记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，，记，求数列的前项和. 【解析】(1)由题意：周期为，所以 时取得最大值所以 又,所以 (2), 数列为等差数列 . 则 所以数列是以为首项,为公比的等比数列, 所以. 题型10：解三角形综合题 41. （2024青浦区高三三次学业监测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角B的大小； （2）若的面积为，请判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是等边三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化化简得出正切，结合范围求角； （2）应用面积公式计算得出，再结合余弦定理得出边长即可判断. 【小问1详解】 由正弦定理可得, 因为，所以，,所以. 【小问2详解】 , 所以, 由余弦定理，得, 即，解得, 所以是等边三角形. 42. （2025上海市进才中学高三5月模拟）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据正弦定理和余弦定理计算即可求解； （2）由（1），由题意可得，，在和中，利用余弦定理建立方程，求得，进而，再次利用余弦定理计算即可求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 得，所以， 由，得. 【小问2详解】 如图，因为，，所以，， 在中，由余弦定理得， 即； 在中，由余弦定理得， 即，① 所以，得， 由解得，代入①得，由解得. 在中，由余弦定理得. 43．在中，，. (1)若，求的值，以及的面积; (2)若，求. 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）根据余弦定理，因为，，， 代入公式计算得：； 根据面积公式：. （2）； 根据边角互化的原则得：； 化简得：； 根据射影定理：，所以，所以； 根据三角函数的定义得：； 由正弦定理：，将，，代入得：. 44．在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1)或；当时，；当时， (2) 【解析】（1）由，得，则， 又，所以或. 当时，； 当时，. （2）若为锐角三角形，则， 有，解得. 由正弦定理，得，则， 所以 ， 其中，又，所以， 则，故当时，取到最大值1， 所以的最大值为. 45．在中，角、、的对边分别为、、，已知. (1)求角的大小； (2)若的面积为，求的最小值，并判断此时的形状. 【答案】(1) (2)4，为等边三角形 【解析】（1）由正弦定理得， 又由余弦定理得， 因为是三角形内角，所以； （2）由三角形面积公式得： ， 解得， 因为，当且仅当时取等号， 所以的最小值为，此时为等边三角形. 题型11：三角函数综合题 46.（2025复旦大学附属中学高三6月检测）如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，已知摩天轮的半径为50m，其中心点距地面60m，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处. （1）根据条件具体写出关于的函数表达式； （2）在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过85m？ 【答案】（1）； （2）10分钟． 【解析】 【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式； （2）解不等式后可得． 【小问1详解】 中心点距地面60m，则，摩天轮的半径为50m，即，，， 最低点到地面距离为10 m， 所以，，又，则， 所以所求表达式为； 【小问2详解】 ，， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过85m． 47.（2025上海市金山中学高三三模）已知，函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）在中，若，且面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，进而利用正弦函数的单调性求解； （2）由可求角，进而由可求的值，从而利用余弦定理求出的值. 【小问1详解】 由题意，， ∴ . 由，可得， 所以单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得， 因为，所以，所以，即. 因为，所以，得. 又，所以， 即， 所以 即． 48. （2025进才中学高三模拟）已知函数，. （1）求函数在区间上的最大值和最小值； （2）设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且，，若，求. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简可得，利用正弦函数的单调性得到在递增，在递减，进而求出最值； （2）根据题意得到，然后利用正弦定理得到，再结合余弦定理和三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ， 由，，得 的单调递减区间为，， 故在递增，在递减， 故，. 【小问2详解】 ，则， ，，所以， 所以，， 因为，所以由正弦定理得，① 由余弦定理得，即，② 由①②解得：，. 故. 49.（2025上海市徐汇中学高三三模）已知向量，.设. （1）求函数的最小正周期； （2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为，求边的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标公式及二倍角公式、辅助角公式化简函数，利用最小正周期公式求解即可； （2）根据求出角A，结合条件及三角形面积公式求出c，利用余弦定理即可求解a. 【小问1详解】 由题意， ， 因此函数的最小正周期为； 【小问2详解】 由得， 因为，所以，解得， 因为，所以, 由余弦定理解得, 所以. 50．（2017·上海市实验学校高一期中）已知函数，任取，若函数在区间上的最大值为，最小值为，记. （1）求函数的最小正周期及对称轴方程； （2）当时，求函数的解析式； （3）设函数，，其中为参数，且满足关于的不等式有解，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），()； （2）. （3）. 【分析】(1)根据正弦型函数的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程；(2)分类讨论、、时，求出对应函数的解析式；(3)根据的最小正周期求出函数的最小正周期，研究函数在一个周期内的性质，求出的解析式，画出的部分函数图像，求出值域，利用不等式求出k的取值范围，再把“若对任意，存在，使得成立”转化为“在上的值域是在上的值域的子集”，从而求出k的取值范围. 【详解】 (1)函数的最小正周期为， 令，解得对称轴为； (2)①当时，在区间上，， ，所以 ②当时，在区间上，， ，所以， ③当时，在区间上，， ，所以， 所以当时，； (3)因为函数的最小正周期为4，所以，所以 即函数的周期为4， 由(2)可得，画出函数的部分图像如图所示，函数的值域为， 已知有解，即，则， 若对任意，存在，使得成立， 则在上的值域是在上的值域的子集， ，当时，在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以，即. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，涉及周期性、对称性与单调性，考查不等式恒成立问题，分段函数的单调性与值域，属于难题. 一、填空题 1.（2026届高三静安一模）设是第四象限角，，则_____. 【答案】 【解析】因为，所以 故. 2．在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由正弦定理可知，，即， 若有两解，则，且，所以， 所以. 故答案为： 3．若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为 .（结果保留） 【答案】 【解析】不妨设，，，由余弦定理可得， 所以，角为锐角，故， 设的外接圆半径为，则，所以，， 因此，的外接圆的面积为. 故答案为：. 4. （2025杨浦区高三5月质量检测）函数的最小正周期为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用求出最小正周期. 【详解】的最小正周期为. 故答案为： 5. （2023·上海静安·统考二模）已知中，，且，则面积的最大值为 . 【答案】3 【详解】因为，且，由正弦定理得：， 所， 故答案为：3. 6. （2022长宁区二模）已知函数满足：． 若函数在区间上单调，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，结合已知可求解析式，然后由可知等于函数图象对称中心横坐标，求出函数对称中心可得. 【详解】， 因为，所以当时，取得最大值，即 所以，即 因为，所以的中点是函数的对称中心， 由，得 所以， 所以 易知，当时取得最小值. 故选：C 7. （2022杨浦区二模）若函数在区间内既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由可得出，分析可知，其中，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】当且时，， 因为函数在区间内既没有最大值，也没有最小值， 则，其中， 所以，，解得，由，可得， 因为且，当时，；当时，；当时，. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 8.．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先求出函数在，依题意时的值域包含，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【解析】当时， 因为对于任意，都存在，使得， 所以当时的值域包含， 又， 所以，则的最小值为. 故答案为： 故选：D 9.（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知，若在上恰有两个不相等的实数、满足，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由可得出，分析可知函数在上恰有两个最大值点，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，所以， 因为在上恰有两个不相等的实数、满足，且， 所以，函数在上恰有两个最大值点， 所以，，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 10. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用的图像与性质，直接求出函数的零点，再利用题设条件建立不等关系且，从而求出结果. 【详解】因为，由，得到， 所以或， 所以或， 又因为存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，所以 且，即且，解得. 故答案为： 11. （2025上海市育才中学高三三模）舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具，如图，是滑槽的中点，短杆可绕转动，长杆通过处的铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动.当点在滑槽内作往复移动时，带动点绕转动，点也随之而运动.记点的运动轨迹为，点的运动轨迹为.若，，过上的点向作切线，则切线长的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，分别求出曲线和的方程，进而可求得结果. 【详解】以滑槽所在的直线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示. 因为，所以点的运动轨迹是以为圆心，半径为1的圆，其方程为. 设点的坐标为，由于，易得， 由可得，设， 则，解得， 所以点的运动轨迹是椭圆，其方程为. 设上的点，则， 则切线长为，即切线长的最大值为. 故答案为：. 12.（2024杨浦区二模）已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据给定条件，结合三角恒等变换化简得，由正切函数性质可得随增大而增大，再由的临界值点得，代入利用二倍角的余弦求解即得. 【详解】设等差数列的公差为，，依题意，， 于是，整理得， 即，因此， 即有，则随增大而增大，而 当，时，到达时是临界值点，此时， 代入得，即，整理得， 而，解得，则，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换化简所列式子，借助函数单调性分析的临界值点是解决本问题的关键. 二、选择题 13.（2025杨浦区高三5月质量检测） “”是“”的（    ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，以及正切函数的性质，判断充分性和必要性，求得结果. 【详解】当时，，不能得出，不具备充分性， 当时，正切值不存在，所以不能得出，也不具备必要性. 故选：D. 14. （2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考阶段练习）已知的三个内角分别为A，B，C，则下列判断正确的是（    ） 命题p：对任何锐角A，都存在，使得； 命题q：对任何锐角A，都存在，使得． A．p是真命题，q是真命题 B．p是真命题，q是假命题 C．p是假命题，q是真命题 D．p是假命题，q是假命题 【答案】A 【分析】利用和差角的余弦公式变形推理判断p，利用和角的正切结合已知推理判断q作答. 【详解】命题p，， 在中， ，则， 令，则有，即， 于是，又，因此，而正弦函数在上递增， 则，即，亦即， 所以对任何锐角A，都存在，使得，p是真命题； 命题q，， 在斜中，， 于是，将代入得：，即有，则对任何锐角A，都存在，q是真命题， 所以选项A正确，BCD错误. 故选：A 【点睛】思路点睛：三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换.角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证. 15. （2023黄浦区二模）已知，且函数恰有两个极大值点在，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用整体思想法，求得的范围，再运用正弦函数图象分析即可. 【详解】∵，， ∴， 又∵在恰有2个极大值点， ∴由正弦函数图象可知，，解得：. 故选：B. 三、 解答题 16．在三角形中，内角A，B，C所对边分别为、、，已知． (1)求角A的大小； (2)若且，三角形的面积为，求三角形的周长． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由正弦定理得， 所以由得， 所以，整理得， 因为，所以，因此，所以， 所以. （2）由的面积为，得，所以， 又，则，，所以， 由余弦定理得，解得， 所以的周长为. 17．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中，由正弦定理得，又， 所以，故， 又，， 由余弦定理，得，即， 解得， 所以. （2）因为，， 所以， 由余弦定理，得，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 18.（2025杨浦区高三5月质量检测） 已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点． （1）求函数的解析式； （2）若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【小问1详解】 因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． 【小问2详解】 因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 19. （2025上海市育才中学高三三模）已知. （1）求方程的解集； （2）求函数在上的单调增区间. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）化简得到，取，解得答案. （2）取，解不等式，取和得到单调增区间. 【小问1详解】 ， 取，则，解得. 故方程的解集为. 【小问2详解】 取，解得， 当时，满足条件；当时，满足条件； 综上所述：单调增区间是和 20. （2024学年宜川中学高三模拟）设函数，其中向量，，，. （1）求函数的最大值及相应的值； （2）将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 【答案】（1）最大值为，，； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数式得，根据正弦型函数的性质求最大值及其对应自变量； （2）设，根据图象平移得，由余弦函数的奇偶性列方程求得，（），，再由向量模长的最小值，即可得结果. 【小问1详解】 ， 故函数的最大值为，相应的值为，； 【小问2详解】 设，则平移后的函数为， 为奇函数，故，，得，， 于是，当时，最小，此时. 21．已知函数，满足关系. （1）设，求的解析式； （2）当时，存在、，对任意，恒成立，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角余弦公式可得出函数的解析式； （2）根据，当时，代入并分象限化简函数的解析式，求出函数的最大值和最小值，即可得出的最小值. 【详解】 由. （1）当，可得 . 因此，函数的解析式为； （2）时，可得 ，. 存在、，对任意，恒成立， 当或时，可得； 当时，可得. 那么：， 或者：， 因此，的最小值为. 【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，同时也考查了三角函数的基本性质以及分段函数最值的讨论，考查分类讨论思想的应用，属于难题. 22．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高三月考）已知函数的最小正周期为，且直线是其图象的一条对称轴． （1）求函数的解析式； （2）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，若角满足，求的取值范围； （3）将函数的图象向右平移个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数记作，已知常数，，且函数在内恰有个零点，求常数与的值． 【答案】（1）；（2）；（3），. 【分析】 （1）由函数的周期公式可求出的值，求出函数的对称轴方程，结合直线为一条对称轴结合的范围可得出的值，于此得出函数的解析式； （2）由得出，再由结合锐角三角函数得出，利用正弦定理以及内角和定理得出，由条件得出，于此可计算出的取值范围； （3）令，得，换元得出，得出方程，设该方程的两根为、，由韦达定理得出，分（ii）、；（ii），；（iii），三种情况讨论，计算出关于的方程在一个周期区间上的实根个数，结合已知条件得出与的值. 【详解】 （1）由三角函数的周期公式可得，， 令，得， 由于直线为函数的一条对称轴，所以，， 得，由于，，则， 因此，； （2），由三角形的内角和定理得，. ，且，，. ， 由，得，由锐角三角函数的定义得，， 由正弦定理得，， ， ，且，，，. ，因此，的取值范围是； （3）将函数的图象向右平移个单位， 得到函数， 再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍后所得到的图象对应的函数为， ， 令，可得， 令，得，， 则关于的二次方程必有两不等实根、，则，则、异号， （i）当且时，则方程和在区间均有偶数个根， 从而方程在也有偶数个根，不合乎题意； （ii）当，则，当时，只有一根，有两根， 所以，关于的方程在上有三个根， 由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上只有一个根，在区间上无实解，方程在区间上无实数解，在区间上有两个根，因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，不合乎题意； （iii）当时，则，当时，只有一根，有两根， 所以，关于的方程在上有三个根， 由于，则方程在上有个根，由于方程在区间上无实数根，在区间上只有一个实数根， 方程在区间上有两个实数解，在区间上无实数解， 因此，关于的方程在区间上有个根，在区间上有个根，此时，，得. 综上所述：，. 【点睛】本题考查利用三角函数的性质求三角函数的解析式，以及三角形中的取值范围问题，以及三角函数零点个数问题，同时也涉及了复合函数方程解的个数问题，考查分类讨论思想的应用，综合性较强，属于难题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $