2025-2026学年沪科版八年级数学下册期末模拟试卷

沪科版八年级数学下册期末模拟试卷 一、单选题（本大题共10小题.每小题3分.共计30分） 1.实数a在数轴上的位置如图所示，化简a-1+Va-2)}2的结果为（) -101a2→ A.-1 B.2a-3 C.3-2a D.1 2.直线1=mx+n和y2=-nx-m在同一平面直角坐标系中的图象可能是(). D 3.已知甲、乙两队员参加青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（) 甲队员的射击成绩 乙队员的射击成绩 次数不 次数个 6 8 9 10成绩/环0 8 9 10成绩/环 A.统计样本是“射击成绩 B.甲同学射击成绩的中位数是2环 C.乙同学射击成绩的平均分是8环D.甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同 学 4.如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，己知两个小正方形的面积分别为S,=12, S2=8,重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为() 试卷第1页，共3页 S S2 A.46-4 B.4√6-6 C.8V5-42 D.4V5-2V2 5.如图，圆柱形玻璃容器高6cm,底面周长为24cm,在容器内壁距下底1cm的点A处有一 只蚂蚁，在蚂蚊正对面的容器上底边点B处有一滴峰蜜，则蚂蚁要吃到峰蜜所爬行的最短 距离为()cm A.12 B.13 C.65 D.65 6.某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量y(W·h)与骑行里程x(km)之 间的关系如图.当电池剩余能量小于100W·h时，共享电动车将自动报警.根据图象，下列 结论正确的是（) ty/W.h 600 5005 400叶 300 200 100 O51015202530x/km A.电池能量最多可充400W.h B.共享电动车每行驶10km消耗能量300W.h C.共享电动车充满电后，行驶18km将自动报警 D.一次性充满电后，共享电动车最多行驶25km 7.如图，在ABC中，AB=AC=12V3,∠C=75°，P,Q分别是线段AC,AB上的两 个动点，则BP+PQ的最小值为() 试卷第1页，共3页 A.15 B.16 C.17 D.18 8.如图，已知菱形ABCD的顶点A0,25),B-2,0),点C在x轴正半轴上.按以下步骤 作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径国弧，两弧交于点M,N:② 作直线MN,交CD于点E,连接BE,若MN恰好经过点A,则BE的长度为() A.√21 B.2√7 C.4√5 D.7 9.如图，将正方形ABCD沿BE折叠，使点A落在点A处，且点到BC两端点B,C的距 离相等，若AB=2,E为射线AD上一点，则AE的长为() D A.4-25 B.2-5 C.4-25或2-√5 D.4-2V3或4+2月 1O.如图1，在ABC中，动点P从点B出发沿折线BA→AC→CB匀速运动，回到点B 后停止.设点P运动的路程为x,线段BP的长为y,图2是y与x的函数关系的大致图象， 下列判断错误的是() 试卷第1页，共3页 8 42 428√2 图1 图2 A.AB=AC B.∠A=90° C.若AP=5,则对应4个不同的x值 D,当△BCP的面积为4时，x=√2或62 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共计18分） 11.若最简二次根式√2m-9与√m+5可以合并，则√3m+6的值是 12.直线y=2x+5关于y轴对称的直线解析式为 13.已知一组数据的离差平方和为62.9，将数据分成{1.2,3.5,6.1、{9.8,10.4两组，这两组 数据的组间离差平方和为50.7，则这两组数据的组内离差平方和为 14.如图，在矩形ABCD中，AD=12,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E, ED=3BE,则AE的长为 B 15.如图，∠A0B=30°，OC=4,点M为射线OB上的动点，则CM+OM的最小值为 A M 一B 16.如图1，在ABC中，∠A=90°，动点P和Q均从点A出发，沿A→B→C→B的方 向运动，两点出发后相遇时运动停止.已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度 为每秒2个单位长度，任意一个动点到达点C后其速度将变为原速度的3倍.记两点之间 的距离为y个单位长度，运动时间为t秒，y关于t的函数图象如图2所示. 试卷第1页，共3页 2 图1 图2 (1)AB= (2)当两点停止运动时，1= 三、解答题（本大题共8小题.每小题9分.共计72分） 17.先化简，再求值： 其中x=√6+1. 18.荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动.有一天，静静在公园里游玩（如图）， 她发现，静止时秋千位于铅垂线BD上P点处，转轴B到地面的距离BD=3m.静静在荡秋 千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC=2m,点A到地面的距 离AE=2m,将她从A处摆动后的坐标记为. 地面 D 图1 图2 (I)当A'B⊥AB时，求A到BD的距离： (2)当静静秋千位于A处时，她忽然发现一只小狗趴在D点位置，小狗高度0.4m,假设小狗 不动，请问静静荡秋千的过程中，秋千是否会碰到小狗？ 19.喜迎“五一黄金周”及春假美好时光，某天小明全家上午8时自驾小汽车从呈贡出发，到 距离180千米的磨盘山国家森林公园景点游玩.该小汽车离家的距离s(千米)与时间t(时) 的关系可以用图中的曲线表示.根据图象提供的有关信息，解答下列问题： 个s(千米) 180 120- d804i5时) (1)小明全家在旅游景点游玩了多少小时？ 试卷第1页，共3页 (2)若出发时汽车油箱中存油30升，汽车每行驶1千米耗油0.1升，则需在几点前至少加一 次油？为确保能顺利回家，加油总量至少为多少升？（加油所用时间忽略不计） 20.某校组织科技节活动，计划投入4000元购进A、B两种型号展板共80块，其中A型展 板至少40块.已知购进1块A型展板和3块B型展板共需220元，购进3块A型展板和4 块B型展板共需360元.为了满足基本需求，请判断该校计划投入的资金是否够用，并说明 理由， 21.开学已过半，临近年级体育联赛预热阶段，某校体育组在复盘近期篮球队、足球队的训 练情况时，发现当前的训练反馈仅以“任务完成/未完成”的勾选方式记录呈现.为提升训练 质量，体育组对校篮球队、校足球队的成员开展了更详细的训练评分调查，训练评分以分数 呈现.（从低到高为1分、2分、3分、4分、5分，共5档） 数据整理： 校篮球队、校足球队评分分数条形统计图 份数 ☐校篮球队 6 ☐校足球队 5 0 1分2分3分4分5分分数 数据分析： 校篮球队、校足球队评分分数统计表 评分分数平均数 评分分数中位数 评分分数众数 校篮球队 3.5 6 3 校足球队 a 4 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)填空：a=；b= (2)结合统计数据（平均数、中位数、众数等），为篮球队设计1条针对性的训练优化措施， 并说明该措施的设计依据。 22.综合与实践 【问题背景】 试卷第1页，共3页 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会 将其转化为更直观的几何问题解决.例如：已知x,y是正数，且x+y=4,求 V1+x2+V4+y2的最小值.如图1，令线段AB=x+y=4,其中AC=x,CB=y,然后构 造RtADAC和RtAEBC,使DA=1,BE=2,则DC=V1+x2,EC=V4+y2,因此，当点 D、C、E三点共线时，如图，DC+EC的值最小. 4 B 图1 图2 (1)【解决问题】己知x,y是正数，且x+y=4,则V1+x2+V4+y2的最小值为- (2)【实践探究】已知m,n是正数，且m+n=6，,求√2+m2+V√8+n2的最小值；（请画出示 意图并求解) (3)【拓展应用】求Va2+32+12-a)2+22的最小值为-（直接写出答案）. 23.如图，在矩形ABCD中，AB=6,对角线AC、BD相交于点O,AE垂直平分BO于点 E,求∠BAE的度数及AD的长， 24.综合与实践： 项目主题：A4纸的研究 学习小组在研究生活中常用的A4纸的规格，并了解到工业上关于纸张规格的一些知识.书 籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，一矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原 矩形的长与宽的比值相等，如常用的A0、A1、A2、A3、A4的纸张长与宽的比值都相等. A系列中最大的规格为A0,对半裁开得到A1,再对裁得到A2,,以此类推得到A4,如 图1所示. 试卷第1页，共3页 A D A A3 E A0 A A2 B 图1 图2 [初步研究]查阅资料得知纸张的规格如下： 规格 A0 Al 42 43 A4 长(mm) 1189 841 594 420 297 宽(mm) 841 594 420 297 210 长与宽的比值（保留两 1.41 1.41 1.41 1.41 m 位小数) (1)①请计算A4纸的长与宽的比值m(保留两位小数)约为_，通过查阅资料，可知A系列 纸的长宽比值接近一个无理数n,请你猜想这个数是_ ②按照图1的A系列纸生成过程，请求出A0纸的长Q与宽b的比： (②)如图2，在矩形ABCD中， BC=V2,AB=2,点P是边AD上一点，将aBPA沿BP折叠 A 得到△BPE,当BE⊥AC时，求AP的长 试卷第1页，共3页沪科版八年级数学下册期末模拟试卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了数轴、绝对值与二次根式的化简，解题的关键是根据数轴判断与的符号，再利用绝对值和二次根式的性质进行化简． 根据数轴可知，由此判断，，再根据绝对值和的性质化简式子，最后合并同类项． 【详解】解：由数轴可知，， ，． ∴ 故选：． 2．直线和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数经过的象限，判断出的取值范围，再进行判断即可． 【详解】选项A，如图在中，，在中，，即，，前后不矛盾，故A符合题意； 选项B，如图在中，，在中，，即，，前后矛盾，故B不符合题意； 选项C，如图在中，，在中，，即，，前后矛盾，故C不符合题意； 选项D，如图在中，，在中，，即，，前后矛盾，故D不符合题意． 3．已知甲、乙两队员参加“青翼杯小组赛”射击的成绩如图，则下列结论不正确的是（    ） A．统计样本是“射击成绩” B．甲同学射击成绩的中位数是2环 C．乙同学射击成绩的平均分是8环 D．甲乙两位同学中射击成绩更稳定的是乙同学 【答案】B 【分析】根据样本、中位数、平均数的定义以及方差的意义，逐项分析判断即可． 【详解】解：统计样本是“射击成绩”，故A选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的中位数是8环，故B选项结论不正确，符合题意； 乙同学射击成绩的平均分环，故C选项结论正确，不符合题意； 甲同学射击成绩的平均分环， 甲同学射击成绩的方差， 乙同学射击成绩的方差， ∵, ∴， ∴射击成绩更稳定的是乙同学，故D选项结论正确，不符合题意． 4．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为、、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 5．如图，圆柱形玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下底的点A处有一只蚂蚁，在蚂蚁正对面的容器上底边点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为（  ）． A．12 B．13 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到圆柱形玻璃容器的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：圆柱形玻璃容器的展开图如下，，作于； ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．某共享电动车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，共享电动车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（    ） A．电池能量最多可充 B．共享电动车每行驶消耗能量 C．共享电动车充满电后，行驶将自动报警 D．一次性充满电后，共享电动车最多行驶 【答案】D 【分析】根据当时，可判断A；求出每千米消耗的电量，再乘以即可判断B；求出消耗电量时，行驶的路程可判断C；根据当时，可判断D． 【详解】解：∵由函数图象可知，当时，， ∴电池电量最多可充，故A错误，不符合题意； ∵由函数图象可知，一次性充满电后，共享电动车最多行驶，电池能量最多， ∴ ∴， ∴共享电动车每行驶消耗电量，故B错误，不符合题意； ∵， ∴共享电动车充满电后，行驶超过将自动报警，故C错误，不符合题意． ∵由函数图象可知，当时，， ∴一次性充满电后，共享电动车最多行驶，故D正确，符合题意． 7．如图，在中，，，，分别是线段，上的两个动点，则的最小值为（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】D 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等，将沿着直线翻折，点的对应点为点，在线段上取一点，使，过点作的垂线，交于点，得到，，当，，共线时，可以取得最小值，最小值为，点与点重合时，此时有最小值． 【详解】解：如图所示，将沿着直线翻折，点的对应点为点，在线段上取一点，使，过点作的垂线，交于点． ∵， ∴． ∴． 根据图形翻折的性质可知， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中， ，，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴当，，共线时，可以取得最小值，最小值为． ∵， ∴． ∴当点与点重合时，，此时有最小值． ∴的最小值为． 8．如图，已知菱形的顶点，，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，交于点，连接，若恰好经过点，则的长度为（   ） A． B． C． D．7 【答案】B 【分析】先求出，再根据菱形的性质得出，，求出，，根据作图可知垂直平分，根据中点坐标求得，再利用两点坐标距离公式可得答案． 【详解】解： ∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， 由作图得垂直平分， ∴点E是的中点， ∴，即， ∴． 9．如图，将正方形沿折叠，使点A落在点处，且点到两端点B，C的距离相等，若，E为射线上一点，则的长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了图形的翻折，垂直平分线的判定定理以及运用勾股定理求线段长度，综合性比较强，注意分情况讨论点的位置．①当点在正方形内部时，过点作于点G，延长交于点F．先证四边形为矩形，在中，求出的长，再设，，在中，由勾股定理得，，建立关于x的方程，解方程即可求出的长；②当点在正方形外部时，过点作于点F，延长交于点G．同理，设 ，在中，由勾股定理得，，建立关于x的方程，解方程即可求出的长． 【详解】解：①当点在正方形内部时， 如图1，过点作于点G，延长交于点F． ∵正方形，， ∴， ∴四边形为矩形，即， 由折叠的性质可得，，， ∵点到两端点B，C的距离相等， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∵正方形，， ∴， ∴，， 在中， 由勾股定理得． 设，，； 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得， 即； ②当点在正方形外部时， 如图2，过点作于点F，延长交于点G． ∴同理可得，是的垂直平分线，四边形为矩形， ，， 在中， 由勾股定理得． 同理，，，， ∴． 设，则，， 在中， ∵， 即，解得， ∴． ∴综上所述，的长为或． 10．如图1，在中，动点P从点B出发沿折线匀速运动，回到点B后停止．设点P运动的路程为x，线段的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，下列判断错误的是（   ） A． B． C．若，则对应4个不同的x值 D．当的面积为4时，或 【答案】D 【分析】选项A，根据点P在图1中段、段运动时，对应图2中的线段、曲线，即可判断； 选项B，当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N，即知，再根据勾股定理的逆定理，即可判断； 选项C，分点P在图1中、及上三种情况，分别求出时对应的x值，即可判断； 选项D，分点P在图1中、上两种情况，根据的面积为4，分别列方程求解，即可判断． 【详解】解：由两个图形的对应关系可知，点P在图1中段运动时，对应图2中的线段， 即时，， ， 点P在图1中段运动时，对应图2中的曲线，即， 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， ， ， ， 选项A正确，不符合题意； 当点P在图1中到达点C处时，对应图2中的点N， 即， ， ， 选项B正确，不符合题意； 当时， 若，则； 当时， 若，则； 当时，点P在上运动，对应图2中点N右侧的线段， 过点A作于点H， ， ， 当点P在点H的左侧时，， ， 此时； 当点P在点H的右侧时，同理可得， ， 此时； 综上所述，x值有4个， 选项C正确，不符合题意； 当时， 过点P作于点M， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 当时， 过点P作于点N， ，， ， ， ， ， ， 当的面积为4时，， 解得； 综上所述，当的面积为4时，或， 选项D错误，符合题意． 【点睛】此类问题在解答时应着重理解两个图形之间的对应关系，包括对图形中转折点的含义的理解． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．若最简二次根式与可以合并，则的值是______． 【答案】 【分析】由最简二次根式与可以合并，可知二者是同类二次根式，据此建立方程求出的值，再代入化简即可得到结果． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 与是同类二次根式， ∴， 解得：， 将代入得： ． 12．直线关于轴对称的直线解析式为___________． 【答案】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标特征得到原直线上两点的对称点，再用待定系数法即可求解． 【详解】解：在直线上取两点和， ∵关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标变为原数的相反数， ∴两点关于轴的对称点分别为和， 设所求直线的解析式为， 将两点坐标代入得， 解得 ∴直线关于轴对称的直线解析式为． 13．已知一组数据的离差平方和为，将数据分成、两组，这两组数据的组间离差平方和为，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】本题根据离差平方和的分解关系，总离差平方和等于组间离差平方和与组内离差平方和的和，已知总离差平方和与组间离差平方和，通过有理数减法计算即可得到组内离差平方和． 【详解】解：根据离差平方和分解，可得组内离差平方和总离差平方和组间离差平方和 代入数据计算得． 14．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，，则的长为______． 【答案】 【分析】由在矩形中，于E，，易证得是等边三角形，继而可求出的度数，又由，即可求得的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，． ∴， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， 即是等边三角形． ∴． ∴． ∴． 15．如图，，，点为射线上的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】过点作射线，使，且射线在的下方，过点作于点，得出，则，根据垂线段最短可知，当三点共线且时，取得最小值，最小值为点到直线的距离，从而利用“垂线段最短”求出最小值． 【详解】解：如图，过点作射线，使，且射线在的下方，过点作于点， 在中，， ， ， 根据垂线段最短可知，当三点共线且时，取得最小值，最小值为点到直线的距离， ∵， ， 过点作于点， 则的长即为所求最小值 在中，，， ∴ ， ∴， 的最小值为． 16．如图1，在中，，动点P和Q均从点A出发，沿的方向运动，两点出发后相遇时运动停止．已知点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，任意一个动点到达点C后其速度将变为原速度的3倍．记两点之间的距离为y个单位长度，运动时间为t秒，y关于t的函数图象如图2所示． （1）______； （2）当两点停止运动时，______． 【答案】 2 【分析】（1）根据图2可得点Q在时候运动到点，即可解答； （2）根据图2可得点Q在时候运动到点，计算此时的距离，即可解答． 【详解】解：（1）根据图2可得点Q在时候运动到点， ； （2）根据图2可得点Q在时候运动到点， ， 此时， ， 点到达点C后其速度将变为每秒6个单位长度， ∴当两点停止运动时，． 三、解答题(本大题共8小题.每小题9分.共计72分) 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解：原式 ∵ ， ∴原式 18．荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，静静在公园里游玩（如图），她发现，静止时秋千位于铅垂线上P点处，转轴B到地面的距离．静静在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，将她从A处摆动后的坐标记为． (1)当时，求到的距离； (2)当静静秋千位于A'处时，她忽然发现一只小狗趴在D点位置，小狗高度，假设小狗不动，请问静静荡秋千的过程中，秋千是否会碰到小狗？ 【答案】(1)到的距离为1米 (2)不会碰到小狗 【分析】（1）作，垂足为，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据勾股定理可得，结合全等三角形的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图2，作，垂足为， ， ； 在中，； 又， ， ； 在和中， ， ； 且，， ； ， . 即到的距离是． （2）解：由（1）知： ， 作，垂足为． ∵， ， ， ∴， 即到地面的最小距离， ∴不会碰到小狗． 19．喜迎“五一黄金周”及春假美好时光，某天小明全家上午8时自驾小汽车从呈贡出发，到距离180千米的磨盘山国家森林公园景点游玩．该小汽车离家的距离s（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题： (1)小明全家在旅游景点游玩了多少小时？ (2)若出发时汽车油箱中存油30升，汽车每行驶1千米耗油0.1升，则需在几点前至少加一次油？为确保能顺利回家，加油总量至少为多少升？（加油所用时间忽略不计） 【答案】(1)4小时 (2)最晚需在16点前加一次油，加油总量至少为6升 【分析】（1）路程不变的时段为游玩时间，用离开景点时间减去到达景点时间计算即可； （2）先由存油量算出可行驶路程，结合回家速度确定最晚加油时间；再算全程总耗油量，减去初始存油得最少加油量． 【详解】（1）解：由图象可知，小明全家在旅游景点游玩了（小时）； （2）解：用存油可行驶的路程为， ∵， ∴应在回程加油， 回家时的速度为， 用存油可行驶的时间为，回家所用的时间为， 故最晚需在16点前加一次油， 全程耗油总量为， 故加油总量至少为． 20．某校组织科技节活动，计划投入4000元购进两种型号展板共80块，其中型展板至少40块．已知购进1块型展板和3块型展板共需220元，购进3块型展板和4块型展板共需360元．为了满足基本需求，请判断该校计划投入的资金是否够用，并说明理由． 【答案】够用，理由见解析 【分析】设型展板的单价为元，型展板的单价为元，列方程组求出型展板的单价为40元，型展板的单价为60元．设购进型展板块，则购进型展板块，总费用为元，列函数解析式解答 【详解】解：该校计划投入的资金够用，理由如下： 设型展板的单价为元，型展板的单价为元， 由题意得：， 解得：， 即型展板的单价为40元，型展板的单价为60元． 设购进型展板块，则购进型展板块，总费用为元， 由题意得：， 随的增大而减小， 当时，有最大值， 该校计划投入的4000元资金够用． 21．开学已过半，临近年级体育联赛预热阶段，某校体育组在复盘近期篮球队、足球队的训练情况时，发现当前的训练反馈仅以“任务完成/未完成”的勾选方式记录呈现．为提升训练质量，体育组对校篮球队、校足球队的成员开展了更详细的训练评分调查，训练评分以分数呈现．（从低到高为1分、2分、3分、4分、5分，共5档） 数据整理： 数据分析： 校篮球队、校足球队评分分数统计表 评分分数平均数 评分分数中位数 评分分数众数 校篮球队 3.5 3 校足球队 4 4 请认真阅读以上信息，回答下列问题： (1)填空：______；______； (2)结合统计数据（平均数、中位数、众数等），为篮球队设计1条针对性的训练优化措施，并说明该措施的设计依据． 【答案】(1)3.5，3.5； (2)见解析 【分析】（）中位数是一组数从小到大排列中间的数就是中位数（偶数个数则为中间两个数的平均数），平均数是一组数据的和个数即可求得； （）结合中位数众数平均数等情况给出个性化的建议即可． 【详解】（1）解：篮球队的总人数为（人），从小到大排列，中位数为第 10、11 个数的平均数，，，所以第10位的分数为3，第11位的分数为4，所以； 足球队的总人数为， ∴； （2）解：优化措施： 针对评分为3分的成员，增加“训练内容个性化调整”环节．（如根据成员体能/技术短板设计专属训练小任务） 设计依据： 篮球队的众数是3分，说明中等分值成员人数较多，提升他们的评分能直接改善整体训练情况，且大多数人分数在3~5分，说明整体训练框架合理，无需大规模调整，仅需针对“中等评分群体”做个性化优化即可． 22．综合与实践 【问题背景】 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．例如：已知，是正数，且，求的最小值．如图，令线段，其中，，然后构造和，使，，则，，因此，当点、、三点共线时，如图，的值最小． (1)【解决问题】已知，是正数，且，则的最小值为 ； (2)【实践探究】已知，是正数，且，求的最小值；（请画出示意图并求解） (3)【拓展应用】求的最小值为 （直接写出答案）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将和分别转化为两个直角三角形的斜边，再根据两点之间线段最短，当三点共线时，两条线段的和取最小值，通过勾股定理计算出最小值； （2）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值； （3）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值． 【详解】（1）解：根据题意可知，、、三点共线时，的值最小，即为可取到的最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （2）解：如图，构造和，使，，， 过点作，交的延长线于点， 设，， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （3）解：如图，构造和，使，，，过点作，交的延长线于点， 设，则， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． 23．如图，在矩形中，，对角线相交于点O，垂直平分于点，求的度数及的长． 【答案】， 【分析】证明，则是等边三角形，求出，根据直角三角形的性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 垂直平分， 平分， ，   ， ． 24．综合与实践： 项目主题：纸的研究 学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，一矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原矩形的长与宽的比值相等．如常用的、、、、的纸张长与宽的比值都相等． 系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，…，以此类推得到，如图所示． [初步研究]查阅资料得知纸张的规格如下： 规格 长（） 宽（） 长与宽的比值（保留两位小数） (1)①请计算纸的长与宽的比值（保留两位小数）约为 ，通过查阅资料，可知系列纸的长宽比值接近一个无理数，请你猜想这个数是 ； ②按照图的系列纸生成过程，请求出纸的长与宽的比； (2)如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，当时，求的长． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（）①根据表格解答即可；②由题意可得，即得，即可求解； （）延长 交于点，利用矩形和折叠的性质可证，四边形是平行四边形，得到 ，，又由得，即得，得到，利用平行线的性质可得 ，得到，再根据 即可求解； 本题考查了折叠的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：①由表格可得， ，猜想， 故答案为：，； ②由题意得，， ∴， ∴； （2）解：如图，延长交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 $