第8章 整式乘法与因式分解 单元综合能力提升卷 2025-2026学年沪科版七年级数学下册

第8章 整式乘法与因式分解 单元综合能力提升卷 （时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列运算结果等于的是（　　） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形是分解因式的是（　　） A． B． C． D． 3．如图1，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（　　） A．9 B． C． D． 4．如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（　　） A． B． C． D． 5．数学课上，4个小朋友在黑板上各完成了一道因式分解，请选出答案正确的同学（　　） 董天宇：秘锦航： 夏渤骅：武帅： A．董天宇 B．秘锦航 C．夏渤骅 D．武帅 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．计算， 结果是（　　） A． B． C． D． 8．若，则a，b的值分别为（　　） A．a=3，b=9 B．a=-3，b=-9 C．a=3，b=-9 D．a=-3，b=9 9．若（和不相等），那么式子的值为（　　） A．2022 B． C．2023 D． 10．已知，且，则的值为（　　） A． B．2024 C． D．4048 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．已知，那么　 　． 12．因式分解： 　 　. 13．（﹣0.125）100×8100=　 　． 14．已知（a+b）2=10，（a﹣b）2=6，则ab=　 　． 15．分解因式 　 　. 16．已知，，为正整数，且若，，是三个连续正整数的平方，则的最小值为　 　． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．因式分解： （1）； （2）． 18． 计算下列各式，并用幂的形式表示结果. （1） （2） 19．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 20．小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式 ……………………第一步； ……………………第二步； ……………………第三步． （1）小刚的解答过程是从第______步开始出错的； （2）请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值． 21．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边 长分别为m+2，m+4．(其中m为正整数) （1）图①中长方形的面积 =　 　 图②中长方形的面积 =　 　 比较： 　 　 (填“＜”、“＝”或“＞”) （2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则 ①求正方形的边长(用含m的代数式表示)； ②试探究：该正方形面积 与图①中长方形面积 的差(即 - )是一个常数，求出这个常数． （3）在(1)的条件下，若某个图形的面积介于 、 之间(不包括 、 )并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值． 22．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到： （1）由图2可以得到：　 　 （2）利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，求的值； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 23． 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差， 那么称这个自然数为 “智慧数”．例： 就是一个 “智慧数”． 小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索： 小明的方法是一个一个找出来： 小王认为小明的方法太麻烦， 他想到 ： 设 是自然数， 由于 ． 所以， 自然数中所有奇数都是 “智慧数”． 问题： （1）根据上述小明的方法， 自然数中第 10 个 “智慧数”是　 　 （2）他们发现除奇数外， 还有 也是 “智慧数”， 由此猜测 （ 为正整数）都是 “智慧数”． 请你参考小王的办法证明 （ 为正整数）都是“智慧数”． 答案 一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列运算结果等于的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故A选项不符合题意； B、根据积的乘方等于各因式乘方的积，可得：，故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：，故D选项符合题意． 故选： D． 【分析】根据同底数幂的乘法，积的乘法运算法则逐项进行判断即可求出答案. 2．下列从左到右的变形是分解因式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A. ，这是整式乘法，不是因式分解，故不能选； B. ，右边不是整式的积的形式，故不能选； C. ，左边不是多项式，故不能选； D. ，符合因式分解的定义，故符合题意. 故答案为：D 【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式求解即可。 3．如图1，从边长为的大正方形纸片中剪去一个边长为的小正方形，剩余部分（如图2）沿虚线剪开，按图3方式拼接成一个长方形（无缝隙不重合）则该长方形的面积为（　　） A．9 B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意，长方形的面积为： [（a＋5）＋（a＋2）][（a＋5）−（a＋2）] ＝3（2a＋7） ＝6a＋21， 故答案为：D． 【分析】由图形可知长方形的长为两正方形的边长和，宽为两正方形的边长差，根据长方形的面积公式求解即可. 4．如图，给出了正方形ABCD的面积的四个表达式，其中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：A、 ，不是正方形的面积，故此选项符合题意； B、 ，是正方形的面积，故此选项不符合题意； C、 ，是正方形的面积，故此选项不符合题意； D、 ，是正方形的面积，故此选项不符合题意； 故答案为：A. 【分析】根据正方形的面积和等于四个部分的面积之和可判断B；根据图形可得正方形ABCD的边长为(x+a)，结合正方形的面积公式可判断C；对D中的式子变形可得(x+a)(x+a)，据此判断D. 5．数学课上，4个小朋友在黑板上各完成了一道因式分解，请选出答案正确的同学（　　） 董天宇：秘锦航： 夏渤骅：武帅： A．董天宇 B．秘锦航 C．夏渤骅 D．武帅 【答案】C 【解析】【解答】解：A：董天宇的结果是整式的乘法运算，故A选项错误； B：秘锦航的结果不是几个整式的积的形式，故B选项错误； C：夏渤骅的结果是几个整式的积的形式，故C选项正确； D：武帅的结果不是几个整式的积的形式，故D选项错误。 故答案为：C. 【分析】根据因式分解的定义逐项进行判断即可得出答案。 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】A. ，故错误； B. 不能计算，故错误； C. ，正确； D. ，故错误； 故答案为：C. 【分析】①同底数幂相乘：底数不变，指数相加；②单项式×单项式：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式；③幂的乘方：积的乘方：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘。 7．计算， 结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：∵（-2n）3=（-2）3·n3=-8n3， 故正确答案选：C. 【分析】根据积的乘方的法则：把积的每个因式分别乘方，再把所得的积相乘。计算出结果即可. 8．若，则a，b的值分别为（　　） A．a=3，b=9 B．a=-3，b=-9 C．a=3，b=-9 D．a=-3，b=9 【答案】D 【解析】【解答】解： ∴ ∴ ​​​​​​​故答案为：D. 【分析】根据完全平方差公式计算即可. 9．若（和不相等），那么式子的值为（　　） A．2022 B． C．2023 D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵m2= n+2022，n2= m+2022， 可得m2-n2= n+2022-m-2022=n-m， ∴ (m+n)(m-n)=n-m， ∵m≠n， ∴ m+n=-1， ∵ m2=n+2022，n2= m + 2022， ∴ m2-n =2022，n2-m = 2022， ∴ m3-2mn+n3 =m3 -mn-mn+n3 =m(m2-n)+n(n2-m) = 2022m +2022n = 2022(m +n) =2020 x(-1) =-2022. 故答案为：B. 【分析】由已知条件求得m+n= -1，m2-n=2022，n2-m=2022，再将原式化成m(m2-n)+n(n2-m)，连接两次代值计算便可得出答案. 10．已知，且，则的值为（　　） A． B．2024 C． D．4048 【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴， 整理，得， 则， 即， ∵， ∴， 即， 由，得， ∴， ∴． 故选：A． 【分析】根据因式分解对所给等式进行整理变形，再结合题中条件作答即可. 二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分) 11．已知，那么　 　． 【答案】32 【解析】【解答】解：， ，即， ． 故答案为：． 【分析】根据完全平方公式计算即可求出答案. 12．因式分解： 　 　. 【答案】x（x-5） 【解析】【解答】解： ， 故答案为： . 【分析】观察已知多项式两项都含有公因式x，因此提取公因式即可。 13．（﹣0.125）100×8100=　 　． 【答案】1 【解析】【解答】解：原式=（﹣0.125×8）100=1． 故答案为：1． 【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形求出答案． 14．已知（a+b）2=10，（a﹣b）2=6，则ab=　 　． 【答案】1 【解析】【解答】解：∵（a+b）2=a2+2ab+b2=10，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=6， 两式相减可得4ab=4， ∴ab=1． 故答案为：1． 【分析】根据完全平方公式得到（a+b）2=a2+2ab+b2=10，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=6，再把它们相减可得4ab=4，即可求出ab的值． 15．分解因式 　 　. 【答案】 【解析】【解答】解： . 故答案为： . 【分析】本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解. 16．已知，，为正整数，且若，，是三个连续正整数的平方，则的最小值为　 　． 【答案】1297 【解析】【解答】解：设b+c=(n-1)2，则a+c=n2，a+b=(n+1)2，n为正整数，且n＞1. ∴2（a+b+c）=(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+2， ∴n为偶数，且a+b+c=， ∴a=，b=，c=， ∴n≥6，当n增大时，a2+b2+c2的值也增大， 而n=6时，a=30，b=19，c=6符合题意， ∴a2+b2+c2的最小值为：302+192+62=1297. 故答案为：1297. 【分析】根据题意“b+c、a+c、a+b是三个连续正整数的平方”可设b+c=(n-1)2，则a+c=n2，a+b=(n+1)2，n为正整数，且n＞1；把这三个等式相加可判断n为偶数，于是可将a、b、c用含n的代数式表示出来，且n≥6，当n增大时，a2+b2+c2的值也增大，于是取n=6分别计算可求出a、b、c的值，再求a2+b2+c2即可求解. 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）解：原式= （2）解：原式= 【解析】【分析】（1）直接提取作为公因式进行因式分解即可； （2）先提取，接着将变成完全平方公式的形式即可． （1）解： （2） ． 18． 计算下列各式，并用幂的形式表示结果. （1） （2） 【答案】（1）解：（-3）2×（-33）4=32×（-312）=-32＋12=314. （2）解：-（x3）4+3×(x2)·x4=-x12+3x6. 【解析】【分析】（1）根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”和同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可求解； （2）根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”和同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”计算即可求解. 19．（1）已知，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）解：由已知得， （2）解：． ． 【解析】【分析】（1）将展开可得x-y=3，再将提公因式后利用完全平方公式进行因式分解可得6（x-y）2，进而代入求值即可； （2）由可得，将中2a分开整理后即可求解. 20．小刚在化简代数式时出现了错误，他的解答步骤如下： 解：原式 ……………………第一步； ……………………第二步； ……………………第三步． （1）小刚的解答过程是从第______步开始出错的； （2）请写出正确的解答过程，再求出当时代数式的值． 【答案】（1）二 （2）解： ， 当时，原式。 【解析】【解答】（1）解：由解题过程可知，小刚的解答过程是从第二步开始出错的， 故答案为：二。 【分析】（1）小刚在第二步去括号时，将错误地变为，忽略了括号前的负号应使变为，因此从第二步开始出错； （2）正确化简时，先运用完全平方公式、单项式乘多项式和平方差公式展开，再去括号、合并同类项得到，代入后计算得。 （1）解：由解题过程可知，小刚的解答过程是从第二步开始出错的， 故答案为：二 （2）解： ， 当时，原式 21．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边 长分别为m+2，m+4．(其中m为正整数) （1）图①中长方形的面积 =　 　 图②中长方形的面积 =　 　 比较： 　 　 (填“＜”、“＝”或“＞”) （2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则 ①求正方形的边长(用含m的代数式表示)； ②试探究：该正方形面积 与图①中长方形面积 的差(即 - )是一个常数，求出这个常数． （3）在(1)的条件下，若某个图形的面积介于 、 之间(不包括 、 )并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值． 【答案】（1）m2+8m+7；m2+6m+8；> （2）解：①2（m+1+m+7）÷4=m+4； ②S-S1=（m+4）2-（m2+8m+7）=（m2+8m+16）-（m2+8m+7）=16-7=9. （3）解：由（1）S1-S2=2m-1， 当10<2m-1<11时， <m≤6. 因为m为正整数， 所以m=6. 【解析】【解答】(1)S1=（m+1）（m+8）=m2+8m+7， S2=（m+2）（m+4）=m2+6m+8， S1-S2=m2+8m+7-（m2+6m+8）=2m-1， 因为m是正整数，最小为1， 所以S1-S2=2m-1≥1， 则S1>S2 【分析】(1)运用长方形面积=长×宽计算面积； （2）运用多项式乘多项式的运算法则化简； （3）因为1≤S1-S2，所以10<S1-S2<11，S1与S2之间恰好有10个整数，即10<2m-1<11. 22．对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． 例如，由图1可以得到： （1）由图2可以得到：　 　 （2）利用图2所得的等式解答下列问题： ①若实数a，b，c满足，，求的值； ②若实数x，y，z满足，，求的值． 【答案】（1） （2）解：①由图2得， ∵，， ∴； ②∵，∴，∴，∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】【解答】（1）由图2知，大正方形的面积等于，也可表示成 ∴ 故答案为：． 【分析】（1）通过大正方形面积等于六个小正方形面积之和建立等式，即可解题． （2）①根据完全平方公式变形进行计算即可求解； ②先将用幂的形式表示出来，再结合①的方法即可求解． 23． 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差， 那么称这个自然数为 “智慧数”．例： 就是一个 “智慧数”． 小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索： 小明的方法是一个一个找出来： 小王认为小明的方法太麻烦， 他想到 ： 设 是自然数， 由于 ． 所以， 自然数中所有奇数都是 “智慧数”． 问题： （1）根据上述小明的方法， 自然数中第 10 个 “智慧数”是　 　 （2）他们发现除奇数外， 还有 也是 “智慧数”， 由此猜测 （ 为正整数）都是 “智慧数”． 请你参考小王的办法证明 （ 为正整数）都是“智慧数”． 【答案】（1）12 （2）解：设k是自然数， 由于 ． 因为k是自然数， 所以k+1是正整数， ∴4a(a为正整数) 都是“智慧数”． 【解析】【解答】解：（1）根据小明的方法，自然数中第10个“智慧数”是：. 故答案为：12； 【分析】（1） 仿照小明的办法，继续下去，即可得出结； （2）模仿小王的做法，将（k+2）2-k2用平方差公式展开即可得出结论. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $