精品解析：陕西镇安中学2026届高三下学期5月阶段检测数学试题

陕西镇安中学2026届高三下学期5月阶段检测数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点M是的重心，若，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 已知等差数列的公差d>0，若，，则公差d等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 已知，且，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 1 6. 规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. 9 B. 18 C. D. 6 8. 如图，将两个相同大小的圆柱垂直放置，两圆柱的底面直径与高相等，且中心重合，它们所围成的几何体称为“牟合方盖”，已知两圆柱的高为2，则该“牟合方盖”内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（ ） 参考数据：若随机变量，则，，. A. B. C. D. 10. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于 11. 已知函数和都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意，都有（m为常数），则（ ） A. B. 在上是增函数 C. D. 函数是周期函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为________. 13. 若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则实数k的一个取值为________________. 14. 若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广.某市教育局为调查本市中学教师使用AI技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用AI技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表. 年龄 是否喜欢使用AI技术 合计 喜欢 不喜欢 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关； （2）现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术教师的条件下，求此人年龄不超过45岁的概率. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 16. 已知数列的前n项和满足，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和. 17. 已知. （1）当时，解方程； （2）若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，满足，M为棱 的中点，平面，且. （1）求证：； （2）求二面角 的余弦值. 19. 已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， （1）求，的方程； （2）若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； （3）设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西镇安中学2026届高三下学期5月阶段检测数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故B正确. 2. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用具体函数的定义域的求法把集合具体化，再根据集合的运算法则可得答案. 【详解】要使有意义，只需，所以， 又因为,所以. 3. 如图，在中，点M是的重心，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】点M是的重心，， ，，，故选项C正确. 4. 已知等差数列的公差d>0，若，，则公差d等于（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】已知等差数列的公差，若，则， 又因为，解得或， 由于公差，因此，则，故B正确. 5. 已知，且，则的值为（ ） A. 7 B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】借助诱导公式与同角三角函数基本关系可得，再利用两角差的正切公式计算即可得解. 【详解】，， 由，可得，即， 则. 6. 规定工厂产生的废气必须过滤后才能排放，已知在过滤过程中，废气中的污染物（单位：毫克/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系式为：（为自然对数的底数，为污染物的初始含量），过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的，要使污染物的含量不超过初始值的，则至少需要过滤（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，求得的值，即可得到的值，，化简整理，取以10为底的对数，计算即可得到所求最小值． 【详解】因为过滤2小时后检测，发现污染物的含量为原来的， 根据题设，得，，可得，所以，， 由，得， 两边取10为底对数，整理得， ，， 因此，至少还需过滤20小时， 故选：B. 7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（ ） A. 9 B. 18 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角形内角和关系，确定是直角三角形，由勾股定理及基本不等式求得面积最大值. 【详解】由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ， 由勾股定理，直角在 ，故 ，  的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 ​ 时取等号，即面积最大值为 . 8. 如图，将两个相同大小的圆柱垂直放置，两圆柱的底面直径与高相等，且中心重合，它们所围成的几何体称为“牟合方盖”，已知两圆柱的高为2，则该“牟合方盖”内切球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将两个互相垂直的圆柱放到棱长为2的正方体内，则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切，故可求得内切球半径，故得答案 【详解】如图，将两个互相垂直的圆柱放到棱长为的正方体内， 则正方体的内切球与这两个圆柱的侧面和底面都相切， 又因为牟合方盖上下两个顶点和侧面的四个曲面刚好与正方体的侧面相切， 故正方体的内切球内切于牟合方盖， 所以正方体内切球即为牟合方盖的内切球，其半径为， 所以该“牟合方盖”内切球的体积为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某市为了解高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，则下列说法正确的是（ ） 参考数据：若随机变量，则，，. A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据学生的体育成绩，求得期望和方差，再结合正态分布曲线的对称性，求得相应的概率，即可求解. 【详解】由题意知，学生的体育成绩， 可得期望，方差， 即，，故A、B正确； 由，， ， 所以，故D正确； 因为， 所以， 即，故C错误. 10. 已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　） A. C的虚轴长为 B. C的离心率为 C. 的最小值为2 D. 直线PF的斜率不等于 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出双曲线的渐近线方程，求出，再逐项判断即得. 【详解】双曲线的渐近线方程为，依题意，，解得， 对于A，的虚轴长，A正确； 对于B，的离心率，B错误； 对于C，点到直线的距离，即的最小值为，C错误； 对于D，直线的斜率为，而点不在上，点在上，则直线PF的斜率不等于，D正确. 故选：AD 11. 已知函数和都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意，都有（m为常数），则（ ） A. B. 在上是增函数 C. D. 函数是周期函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件得到，由于任意，都有，则（为常数），即，结合，则，因为 是定义在上的奇函数，且为单调函数，所以，再依次分析即可 【详解】对于A项，因为函数和都是定义在上的奇函数， 所以， 由于任意，都有（m为常数）， 令，得，即，则，故A正确； 对于B项，因为为单调函数，且对任意，都有（m为常数）， 所以（为常数），即， 因为，所以，则在上是增函数，故B正确； 对于C项，因为 ，且为单调函数 所以， 当时，在上单调递增，则； 当时，在上单调递减，则，故C错误； 对于D项，是常数函数，根据周期函数的定义，任意非零实数均为周期，所以为周期函数，故D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】求出二项式展开式通项，令直接求解即可. 【详解】展开式的通项为， 令，得， 故的系数为. 13. 若圆上恰有三个点到直线的距离为2，则实数k的一个取值为________________. 【答案】（答案不唯一，或） 【解析】 【分析】将圆方程化为标准形式后可得圆的圆心坐标与半径，由圆上点到直线的距离为的点恰有个，即圆心到直线的距离为，再借助点到直线距离公式计算即可得. 【详解】，故圆心为，半径， 由圆上恰有三个点到直线的距离为， 则圆心到直线的距离为， 即有，即，解得或， 故实数k的一个取值为（或0）. 14. 若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“等差数列”．已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为__________. 【答案】1012 【解析】 【分析】根据等差数列结合已知条件得出，结合已知集合及新定义得出数列个数. 【详解】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足， 知，消去，并整理得，所以（舍去），， 于是有.在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数数列， 所以必为2的倍数，且．故这样的数组共1012组. 故答案为：1012. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业革命的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广.某市教育局为调查本市中学教师使用AI技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用AI技术帮助制作课件的情况，并将一周内使用AI技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用AI技术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下列联表. 年龄 是否喜欢使用AI技术 合计 喜欢 不喜欢 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关； （2）现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用AI技术教师的条件下，求此人年龄不超过45岁的概率. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）能 （2） 【解析】 【分析】（1）先确定列联表中的、、、对应数值，代入给定的公式计算统计量，再将结果与对应的临界值比较，根据比较结果作出判断； （2）先确定喜欢使用AI技术的总人数以及其中年龄不超过45岁的人数，再利用条件概率公式计算. 【小问1详解】 零假设：该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄无关， 计算， 依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关. 【小问2详解】 设事件A为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，抽中喜欢使用AI技术的教师， 事件B为从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，此人年龄不超过45岁， 由题意，，，则. 16. 已知数列的前n项和满足，. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 根据和与通项的关系，再根据等比数列定义以及通项公式得结果. (2) 求出的通项公式，利用错位相减法，即可求数列前项和． 【小问1详解】 当时，，解得， 当时，， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得，①， ②， ①-②得：， 是首项为，公比为，项数为的等比数列， 根据等比数列求和公式，代入得：， ， . 17. 已知. （1）当时，解方程； （2）若函数在上有唯一的极值点，求的取值范围，并判断这个极值点是极大值点还是极小值点. 【答案】（1）方程的解集为 （2），极值点为极大值点. 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质即可求出； （2）先对进行求导，令并求导即可求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 令，得，即，，解得, 故方程的解集为. 【小问2详解】 由题意得， 在区间上，，， 令，则， 在上单调递增，且， 若函数在上有唯一的极值点，则在该区间有唯一解， 即有唯一解，故的取值范围为， 设为该极值点， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以极值点为极大值点. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面是等腰梯形，满足，M为棱 的中点，平面，且. （1）求证：； （2）求二面角 的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质定理得到，再证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【小问1详解】 取棱的中点，连接 ， 因为为的中点，所以，， 因为，所以，所以M，N，D，A四点共面. 因为平面，平面平面， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以. 【小问2详解】 连接AC，底面是一个等腰梯形，，，， ，，则，，即， 又平面 ，两两垂直，故建立以A为坐标原点的空间直角坐标系，如图， 则，，，， ，，， 设平面PBC的法向量为，则，即， 令，则，，， 由题知，为平面的一个法向量， ， 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 19. 已知椭圆（）和抛物线（），在，上各取两个点，这四个点的坐标为，，， （1）求，的方程； （2）若直线l过椭圆的左焦点F，与椭圆交于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为C，直线与x轴交于点D，当的面积最大时，求直线l的方程； （3）设M是在第一象限上的点，在点M处的切线与交于P，Q两点，线段的中点为N，过原点O的直线与过点M且垂直于x轴的直线交于点R.证明：点R在定直线上. 【答案】（1） ， （2） 或 （3）设，由 得 ， 所以切线的方程为：， 设，，由得：， 由，得：，代入得：， 所以，所以， 由得： ，所以点R在定直线 上． 【解析】 【分析】（1）先将四个点代入抛物线方程，判断哪些点在上，进而求出得到的方程，将剩余的点代入椭圆方程，结合，求出和得到的方程； （2）先求出椭圆的左焦点的坐标，设出直线的方程联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到坐标的关系，写出的坐标，令得到点 的坐标，根据三角形面积公式表示出面积，求出直线的斜率，进而得到直线的方程； （3）设出点的坐标，通过抛物线切线公式求出切线的方程，联立切线与椭圆的方程，利用韦达定理求出中点的坐标，求出直线的方程，再求出过且垂直于轴的直线方程，联立这两个方程得到点的坐标，通过化简判断其是否在定直线上. 【小问1详解】 抛物线满足与成正比，将四个点代入验证： 点和满足，得，故； 剩余两点、在椭圆上，代入椭圆方程： 将代入得，再代入得， 故； 【小问2详解】 设，，则，由题意可知直线的斜率存在，， 设直线l的方程为：， 由得： ，此时， 所以，， 由直线BC的方程：得：， 令，则， 所以，此时，所以，当最大时， 的面积最大，而，即：，所以当的面积最大时， 直线l的方程为： 或 ． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $