精品解析：黑龙江哈尔滨市呼兰区多校2025-2026学年度下学期八年级期中考试题 数学试卷

2025－2026学年度下学期八年级期中考试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使（如图）．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，．则的长为（ ） A. B. 10 C. 8 D. 14 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（ ） A. B. 9 C. D. 18 8. 如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（ ） A. 向左移动变小 B. 向右移动变小 C. 始终不变 D. 无法确定 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 10. 如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是( ) A. B. C. 四边形是平行四边形 D. 第Ⅱ卷 非选择题（共9分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 七边形的内角和是________度． 13. 在中，，D为斜边的中点．若，，则 的长为___________． 14. 菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____． 15. 如果三角形的三边长分别为，4，，则此三角形的面积是______． 16. 如图，已知在四边形中，，点，分别是，的中点，连接，若，，则线段的长是______． 17. 定义新运算：，则的运算结果是______． 18. 矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为2和3两部分，则该矩形的面积为______． 19. 如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为______m． 20. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，于点N，过点作的平行线交正方形的外角的平分线于点，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若，，点为直线上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 三、解答题：（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，按下列要求画图． （1）在方格纸中画出矩形，点C，D都在格点上； （2）请用无刻度的直尺取的中点E（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的面积． 23. 计算： （1）； （2）已知，，求的值． 24. 如图1，点E、F分别在菱形的边、上，且． （1）求证： （2）如图2，若，连接，M是中点，连接，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形． 25. 在物理课上，老师带领同学们进行物理实验，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面上的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到滑块B的水平距离，绳子的总长度为（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）． （1）求物体C到滑轮A的垂直距离的长； （2）如图2，若物体C升高了，求滑块B向左滑动了多少? 26. 如图1，在四边形中，与互补，，连接，． （1）求证：； （2）如图2，的角平分线交延长线于点，延长至点，连接，若，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，延长和交于点，若，，求线段的长． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． （1）求点的坐标； （2）如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． （3）在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度下学期八年级期中考试题 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，计30分，每题只有一个正确的答案） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意 B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选D 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘方、加减、除法、乘法运算法则，依次计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A．， A错误； B．， B错误； C．， C错误； D．，计算结果正确， D正确． 3. 龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样．如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出该正六边形的一个外角的度数，即可求解． 【详解】解：该正六边形的一个外角的度数为， ∴它的一个内角的度数为． 4. 小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为，在数轴上找到表示数3的点，然后过点作，使（如图）．以为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】勾股定理求出的长即可得出结果． 【详解】解：由题意，，，，， ∴， ∴点P所表示的数是． 5. 如图，在平行四边形中，、相交于点，，若，．则的长为（ ） A. B. 10 C. 8 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求出的长，再在中利用勾股定理求出的长，最后根据即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，   ，．  ，  ．  ， 即． 在中，由勾股定理得：  ．  ． 6. 如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】判定平行四边形主要有五种方法：两组对边分别平行或相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分． 【详解】解：A、，， ， ∴ ， ， 即： ， ∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项符合题意． 7. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，，则矩形的面积为（ ） A. B. 9 C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，可得，，可证明是等边三角形，可得，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形的面积为． 8. 如图，直线，点P是直线上一个动点，当点P的位置发生变化时，的面积（ ） A. 向左移动变小 B. 向右移动变小 C. 始终不变 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线间的距离处处相等可得点P到的距离不变，因此三角形的面积不变． 【详解】解：∵直线，点P是直线上一个动点， ∴无论点P怎么移动，点P到的距离不变， ∴的底不变，高不变，面积也不变， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线间的距离，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键． 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交，于点，，分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图可知，结合平行四边形的性质可得， ，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 作图可知：， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， 在中，， ∴ 解得：． 10. 如图，在中，分别是边的中点，是对角线上的两点，且，连接．则以下结论错误的是( ) A. B. C. 四边形是平行四边形 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是的中点，是上的动点，可知与不一定垂直，可判断A错误；由平行四边形的性质及，分别是，的中点，推导出，，而，即可根据“”证明，得，可判断B正确；由等角的补角相等推导出，则，因为，所以四边形是平行四边形，可判断C正确，证明四边形是平行四边形得出，根据即可判断D正确． 【详解】解：是的中点，是上的动点， 与不一定垂直，故A错误； 四边形是平行四边形，，分别是，的中点， ，，且，， ，， 在和中， ， ， ，故B正确； ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故C正确； ∵ ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形 ∴ 又∵ ∴，故D正确． 第Ⅱ卷 非选择题（共9分） 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到不等式，求解不等式即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：， 故答案为：． 12. 七边形的内角和是________度． 【答案】900 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 13. 在中，，D为斜边的中点．若，，则 的长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这个性质，熟练掌握它们是解此题的关键．根据在中，，，求出的长，再根据D为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出的长． 【详解】解：在中，，， ． D为斜边的中点， ． 故答案为5． 14. 菱形的两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可． 【详解】解：如图，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3， ∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD． ∴△AOB是直角三角形． ∴． ∴此菱形的周长为：5×4=20 故答案为：20． 15. 如果三角形的三边长分别为，4，，则此三角形的面积是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵ ，， ∴． ∴该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和． ∴三角形的面积为：． 16. 如图，已知在四边形中，，点，分别是，的中点，连接，若，，则线段的长是______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，在中利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线定理即可求出的长． 【详解】解：连接， ，，，  ， 点，分别是，的中点， ． 17. 定义新运算：，则的运算结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】对于，由定义可得，，，，代入计算即可． 【详解】解： ． 18. 矩形的一个内角平分线把矩形的一条边分成长为2和3两部分，则该矩形的面积为______． 【答案】10或15 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到对边平行且相等，结合角平分线的定义可推出等角，进而得到，分两种情况进行讨论，分别计算矩形的面积即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∴， ①当，时， ，， 矩形的面积 ； ②当，时， ，， 矩形的面积 ； 综上所述：该矩形的面积为10或15． 19. 如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛D到鞋底A处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为______m． 【答案】1 【解析】 【分析】由， ，得，根据镜面的反射性质，得，由，得，得，进而利用勾股定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 即淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 20. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，于点N，过点作的平行线交正方形的外角的平分线于点，连接，．有如下结论：①；②；③四边形是平行四边形；④若，，点为直线上的一个动点，则的最小值是．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质和垂直定义证明   即可判断①；根据勾股定理和线段关系分析  与  的数量关系判断②；在上取点，使，证明可得 ，结合  判断③；根据将军饮马模型，利用轴对称性质找到点  关于直线  的对称点，结合勾股定理计算最小值判断④. 【详解】 四边形  是正方形 ，  ，  ，  ， ，   ，  ， 在  和  中      ，  故结论①正确 若 ，则  在   和  中          ，即  为  中点 题目未限定  为  中点，故  不一定等于  ， 故结论②错误， 在上取点，使，连接，如图2， ∵，过点  作  交  的延长线于点 ，   四边形  是正方形 ， ，， ∴，， ∴，  平分     ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，  ∵，  四边形  是平行四边形 故结论③正确 ，   ，   在上取点，使， 如图3，连接、，   平分 ， ∴点 、是 关于直线  的对称点，连接， ∴， ∴  ，当、、三点在一条直线上时，等号成立，此时最小值为  的长， ∵， ∴，    的最小值是  故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①③④ ． 三、解答题：（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．解题的关键是掌握分式的混合运算法则和因式分解．先将括号内的式子通分化简，然后将除法转化为乘法，约分后代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， ， ， 当时，原式， ， ． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，线段的两个端点均在格点上，按下列要求画图． （1）在方格纸中画出矩形，点C，D都在格点上； （2）请用无刻度的直尺取的中点E（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的面积． 【答案】（1）矩形即为所求： （2）如图所示； 5 ， 【解析】 【分析】本题考查矩形的定义，矩形的性质，勾股定理，能够利用方格画图和计算是解题的关键． （1）根据矩形的定义，可以构造出直角，从而画出矩形； （2）利用矩形的性质：对角线互相平分即可得到中点，再利用勾股定理即可计算面积． 【小问1详解】 取格点，，根据网格性质可得，， 则四边形为矩形； 【小问2详解】 解：如图，通过格点构造了矩形，连接与的交点即为，连接； 根据勾股定理得，，， 是的中点， ， ． 23. 计算： （1）； （2）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用二次根式乘法法则计算乘法，化简各二次根式，再合并同类二次根式即可． （2）本题考查代数式求值，先对所求代数式变形，再根据已知条件计算和的值，代入变形后的式子计算即可，简化运算过程． 【小问1详解】 解：       ． 【小问2详解】 解：   ， ∴ = 24. 如图1，点E、F分别在菱形的边、上，且． （1）求证： （2）如图2，若，连接，M是中点，连接，在不添加字母和任何辅助线的情况下，直接写出图中的所有直角三角形． 【答案】（1） 证明：四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ； （2），，， 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可证明，再由全等三角形的性质可得出结论； （2）根据等腰三角形三线合一的性质得，则和是直角三角形；因为以及（1）中全等三角形的性质和菱形的性质可得，同理可得，从而找出图中所有直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， 是等腰三角形， M是中点， ， ， 和是直角三角形． 四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ， 和是直角三角形， 故不添加任何辅助线的情况下，图中所有的直角三角形有，，，． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握相关的性质定理是解题的关键． 25. 在物理课上，老师带领同学们进行物理实验，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面上的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，实验初始状态如图1所示，物体C到滑块B的水平距离，绳子的总长度为（定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计）． （1）求物体C到滑轮A的垂直距离的长； （2）如图2，若物体C升高了，求滑块B向左滑动了多少? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，能够根据实际信息正确列式是解题的关键． （1）根据题意可设，，从而根据勾股定理列式求解即可； （2）根据题意可得，结合（1）中数据，根据勾股定理列式求解，即可计算答案． 【小问1详解】 解：设，则， 在中，， 解得， 即； 【小问2详解】 解：由题可知，物体C升高了，即 如图，由（1）可知，，， ∴，， 在中，， 即， 则． 26. 如图1，在四边形中，与互补，，连接，． （1）求证：； （2）如图2，的角平分线交延长线于点，延长至点，连接，若，求证：； （3）在（2）的条件下，如图3，延长和交于点，若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵在四边形中，与互补，即 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2） 证明：如图，连接， 由（1）可得，的角平分线交延长线于点， ∴垂直平分， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知可得，进而可得，结合得出，根据等角对等边即可得证； （2）连接，则且平分，证明，得出，则，结合已知可得，即可证明，进而等量代换，即可得证； （3）设，则，推导得出则是等边三角形，进而证明得出，进而证明四边形是平行四边形，得出，进而求得，过点作于点，勾股定理求得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，则 由（1）可得，，则 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中， ∵ ∴是等边三角形， ∴ 在上截取 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 设，则， ∵，， ∴ 解得：，则， ∴， 过点作于点， ∵ ∴ ∴ ∴ 在中， 在中， ∴． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，点为x轴上一点，以为边作平行四边形，交轴于点，，． （1）求点的坐标； （2）如图2，点在线段上，连接，若线段的长为，的面积为，用含m的式子表示s． （3）在（2）的条件下，如图3，若时，交y轴于点F，点E在的延长线上，连接AE，若，求点E的横坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形性质及勾股定理，求得，得  ，进而得  ． （2）利用同高三角形面积比等于底边比，得出． （3）由  得  ，推出  为等腰三角形．利用平行线性质转化角，结合题设角关系，推导出  为  的角平分线．再利用角平分线性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）及三角形的面积比得出  ，求得  ，从而算出  的横坐标． 【小问1详解】 解：由得， 又∵，故． ∵四边形为平行四边形， ∴且． ∴ 又∵， ∴， ∴，， ∴ 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵， ∴的面积为 【小问3详解】 解：当时，即，解得，即， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴， ∴， 即是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 即点E的横坐标为． 【点睛】这道题是一道典型的初中几何综合压轴题，融合了坐标系、平行四边形性质、勾股定理以及角平分线性质． 1．数形结合：第（1）、（2） 问充分利用了坐标系的特点，将几何长度转化为坐标运算，体现了“以数解形”的思想． 2．转化思想：第 （3） 问中，面对复杂的角关系式，通过平行线性质和等腰三角形性质，将其转化为“角平分线”这一几何模型，是解题的关键突破点． 3．面积法：利用“等高三角形面积比等于底边比”建立面积关系，进而求出线段比，是处理此类几何难题的常用高级技巧． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $