精品解析：黑龙江哈尔滨市第一二四中学校2025-2026学年度（下）学期学科素养监测八年级数学学科试卷

哈124中学2025-2026学年度（下）学期 学科素养监测八年级数学学科试卷 温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷即将见证你这段时间来的辛勤努力，希望你自信、沉着、冷静、勇敢的接受考验．认真审题，动脑思考，规范书写，一定赢得智慧与进步！讲诚信百倍努力一丝不苟，写答卷千般缜密十分用心！祝你成功！ *提示：请将答案作答在答题卡上，否则无效 一．选择题（每小题3分．共30分） 1. 下列二次根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，的值可以是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线过平行四边形对角线的交点，分别交、于、，那么阴影部分的面积是平行四边形面积的(　 　) A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 邻边相等 D. 对边平行 7. 如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. 2 D. 8. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 10. 如图，在正方形中，、分别在、上，且，，连接．则为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 分解因式：x2－25=_________________. 13. 化为最简二次根式：______． 14. 如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 15. 一个正多边形的内角和与外角和相等，这个多边形的每个内角的度数为______． 16. 如图，点，分别是，的中点，点，距离为，则点，距离为______． 17. 已知菱形的两条对角线长分别是4和8，则菱形的面积为________． 18. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 19. 如图，将一个边长分别为，的矩形纸片折叠，使与重合，则的长为_______． 20. 如图，在菱形中，，与交于点O，点为延长线上的一点，与，分别交于点，，且，连接和，，则以下4个结论：①；②平分；③；④，正确的序号是_______． 三、解答题（21题8分，22题7分，23题7分，24题8分，25题10分，26题10分，27题10分） 21. 计算 （1）； （2）． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中有线段和，点，，，均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为边菱形，点和均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为； （2）在方格纸中画出以为直角边的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上； （3）在（）（）条件下，连接，请直接写出的长． 23. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动，感受数学与生活的联系．如图，当张角为时，顶部边缘D到桌面的距离为，此时底部边缘A与之间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘到桌面的距离为，则底部边缘与之间的距离长多少厘米？ 24. 如图，在四边形中，为的中点，延长交的延长线上于点． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，连接，请直接写出图中和线段相等的所有线段． 25. 某商店欲购进，两种商品，若购进种商品件和种商品件需元；购进种商品件和种商品件需元． （1）求，两种商品每件的进价分别为多少元； （2）若该商品店每销售件种商品可获利元，每销售件种商品可获利元，该商品店准备购进，两种商品共件，且这两种商品全部售出后利润不少于元，则至少购进多少件种商品？ 26. 如图，菱形，连接对角线，过点作于点，交于点，连接，若． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，过点作的垂线，分别交延长线于点，延长线于点，过点作，垂足为，若，，求的长． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，且四边形为矩形，． （1）求点A的坐标； （2）点是上动点，连接，以为斜边在矩形内部作等腰直角，过点D作，延长交于点，设，，用含的式子表示； （3）在（2）的条件下，点是上一点，连接，连接交于点，且，当，时，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈124中学2025-2026学年度（下）学期 学科素养监测八年级数学学科试卷 温馨提示：亲爱的同学们，这份试卷即将见证你这段时间来的辛勤努力，希望你自信、沉着、冷静、勇敢的接受考验．认真审题，动脑思考，规范书写，一定赢得智慧与进步！讲诚信百倍努力一丝不苟，写答卷千般缜密十分用心！祝你成功！ *提示：请将答案作答在答题卡上，否则无效 一．选择题（每小题3分．共30分） 1. 下列二次根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、=2，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、=2，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； C、，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、是最简二次根式，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 在平行四边形中，的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质；根据平行四边形对角相等的性质可知满足即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 的值可以是， 故选：． 3. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为和，则第三边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为和， ∴第三边长为． 4. 如图，直线过平行四边形对角线的交点，分别交、于、，那么阴影部分的面积是平行四边形面积的(　 　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，AB∥DC，证出△AOE和△COF全等，△AOB和△COD全等，得到面积相等，即可得到选项． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC， ∴∠EAO=∠FCO 在△△AOE和△COF中 ∴△AOE≌△COF， ∴S△AOE=S△COF， 在△COB和△AOD中 ∴△COB≌△AOD， ∴S△AOD=S△BOC， 同理S△AOB=S△DOC ∵OB=OD， ∴S△AOB=S△DOC， ∴阴影部分的面积是S△AOE+S△DOF=S△DOC=S平行四边形ABCD． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是证明两个三角形全等． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则与性质逐一计算即可求解． 【详解】解：、与不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误； 、，该选项计算正确； 、，该选项计算错误； 、，该选项计算错误． 6. 菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 邻边相等 D. 对边平行 【答案】C 【解析】 【分析】菱形拥有平行四边形的全部性质，且菱形的各边长相等且对角线互相垂直，分析A、B、C、D选项的正确性，即可解题． 【详解】解：菱形具有平行四边形的全部性质， （A）平行四边形对角相等，故本选项错误； （B）平行四边形对边相等，故本选项错误； （C）菱形的邻边相等，平行四边形的邻边不一定相等，故本选项正确， （D）平行四边形对边平行，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质，考查了菱形各边长相等的性质，本题中熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 7. 如图，长方形的边长为2，长为1，点在数轴上对应的数是0，以点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点，则这个点表示的实数是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理求出的长，结合以及数轴的特点即可求解． 【详解】解：∵长方形， ∴，， ∴， 由题意得，， ∴点E表示的实数是． 8. 如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形和等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 由四边形是正方形，是正三角形，得到，，得是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 又是正三角形， ，， 是等腰三角形，， ． 故选：C． 9. 如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（ ） A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，、分别在、上，且，，连接．则为（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、正确作出辅助线、灵活应用全等三角形性质与判定是解题关键． 延长至H，使，证，，设正方形边长为a，根据全等三角形的性质及勾股定理即可求得正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：延长至H，使，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中 ， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 设正方形的边长为a， ∵，， ∴，， 在中， ， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 分解因式：x2－25=_________________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为x2﹣25=x2﹣52，所以直接应用平方差公式即可：． 13. 化为最简二次根式：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 如图，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，则树折断之前有_______米． 【答案】16 【解析】 【分析】树折断之前有x米，画出模型图，结合勾股定理即可作答． 【详解】解：树折断之前有x米，模型如图， 根据题意有：，，，， 即， 根据勾股定理有：， ∴， ， ∴， 解得：（负值舍去）， 即树折断之前有米． 15. 一个正多边形的内角和与外角和相等，这个多边形的每个内角的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】设这个正多边形的边数为，根据题意列方程求出的值，再用正多边形的内角和除以边数即可求解． 【详解】解：设这个正多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴每个内角的度数为． 16. 如图，点，分别是，的中点，点，距离为，则点，距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】由点，分别是，的中点，则，然后代入即可求解． 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴点，距离为． 17. 已知菱形的两条对角线长分别是4和8，则菱形的面积为________． 【答案】16 【解析】 【分析】直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半，进而得出答案． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是4和8， 菱形的面积为：． 故答案为：16． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形面积求法是解题关键． 18. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 19. 如图，将一个边长分别为，的矩形纸片折叠，使与重合，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，进而用表示出，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】根据题意得，，， 由折叠可知，， ， 四边形是矩形， ， 在中，， 即，解得． 20. 如图，在菱形中，，与交于点O，点为延长线上的一点，与，分别交于点，，且，连接和，，则以下4个结论：①；②平分；③；④，正确的序号是_______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用菱形的性质求出，得到，即可判断①；求得，推出平分，即可判断②；过E作于G，求得，得到，再根据，由菱形的轴对称得，即可判断④；利用同底等高三角形的面积相等得到，即可判断③． 【详解】解：∵在菱形中，，与交于点O， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵在菱形中，， ∴， ∴，， ∴， ∴平分，故②正确； 过E作于G， ∵，， ∴， ∴， ∴，即； ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴由轴对称得， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴，故③错误． 三、解答题（21题8分，22题7分，23题7分，24题8分，25题10分，26题10分，27题10分） 21. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）3． 【解析】 【分析】（1）先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【详解】解：（1） （2） 【点睛】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握平方差公式及二次根式的运算法则是解题关键． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中有线段和，点，，，均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出以为边菱形，点和均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为； （2）在方格纸中画出以为直角边的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上； （3）在（）（）条件下，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）如图，四边形即为所求； （2）如图，即为所求； （3）． 【解析】 【分析】直接利用菱形的性质结合网格得出符合题意的图形； 利用等腰直角三角形的性质结合网格得出答案； 结合网格即可得出的长． 【小问1详解】 解：由网格可知：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴菱形的面积为， ∴四边形即为所求； 【小问2详解】 解：由网格可知：，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴即为所求； 【小问3详解】 解：如图， 由网格可知，， ∴的长为． 23. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动，感受数学与生活的联系．如图，当张角为时，顶部边缘D到桌面的距离为，此时底部边缘A与之间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘到桌面的距离为，则底部边缘与之间的距离长多少厘米？ 【答案】厘米 【解析】 【分析】先由勾股定理可得，再由勾股定理计算即可求解． 【详解】解：在中，， 由题意得， 在中，， ∴的长为厘米，即底部边缘与之间的距离长为厘米． 24. 如图，在四边形中，为的中点，延长交的延长线上于点． （1）如图1，求证：四边形是平行四边形； （2）如图2，若，连接，请直接写出图中和线段相等的所有线段． 【答案】（1）证明：∵E为AD中点， ∴AE＝DE， 在△AEF和△DEC中，， ∴△AEF≌△DEC（SAS）， ∴∠F＝∠ECD， ∴BF∥CD， ∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）图中和线段CD相等的所有线段为DF、FA、AC、AB． 【解析】 【分析】（1）利用SAS证明△AEF≌△DEC，求出∠F＝∠ECD，得到BF∥CD，然后根据平行四边形的判定定理得出结论； （2）根据四边形ABCD是平行四边形可知CD＝AB，然后证明四边形ACDF是菱形，根据菱形的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB， 由（1）知△AEF≌△DEC， ∴AE＝DE，FE＝CE， ∵CE⊥AD， ∴四边形ACDF是菱形， ∴CD＝DF＝FA＝AC， 即图中和线段CD相等的所有线段为DF、FA、AC、AB． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及菱形的判定和性质，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题关键． 25. 某商店欲购进，两种商品，若购进种商品件和种商品件需元；购进种商品件和种商品件需元． （1）求，两种商品每件的进价分别为多少元； （2）若该商品店每销售件种商品可获利元，每销售件种商品可获利元，该商品店准备购进，两种商品共件，且这两种商品全部售出后利润不少于元，则至少购进多少件种商品？ 【答案】（1）种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元 （2）至少购进件种商品 【解析】 【分析】（1）根据两种商品的购买情况列二元一次方程组求解即可； （2）设出种商品的购进数量，然后表示出种商品的购进数量，根据“这两种商品全部售出后利润不少于元”列一元一次不等式，求解即可． 【小问1详解】 解：设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元． 由题意得：，解得， 答：种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进种商品件，则购进种商品件． 由题意得：， 解得． 答：至少购进件种商品． 26. 如图，菱形，连接对角线，过点作于点，交于点，连接，若． （1）如图1，求证：； （2）如图2，连接，求证：； （3）如图3，过点作的垂线，分别交延长线于点，延长线于点，过点作，垂足为，若，，求的长． 【答案】（1）证明：四边形为菱形， ，，， ， 设，则， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）证明：四边形为菱形， ，， 在与中， ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，进而可设，然后利用三角形的内角和定理结合已知条件可分别求得和的度数，最后根据等角对等边即可得证； （2）根据菱形的性质可证，由此可得，再结合已知条件即可证得结论； （3）在的延长线上取一点，使得，连接，先证明四边形为平行四边形，由此可得，再由勾股定理可得的长，再证明四边形为正方形，进而可证明，由此可设，然后利用三角形的内角和定理结合已知条件可分别求得和的度数，再根据等角对等边可得， 最后由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在的延长线上取一点，使得，连接， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形，   ，， ，， ， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，即，   在与中， ， ， ， 设，则， 由（2）可知，，则， ， ， ， ， ， ， ． 27. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，且四边形为矩形，． （1）求点A的坐标； （2）点是上动点，连接，以为斜边在矩形内部作等腰直角，过点D作，延长交于点，设，，用含的式子表示； （3）在（2）的条件下，点是上一点，连接，连接交于点，且，当，时，求点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3）D点坐标为 【解析】 【分析】（1）先计算，由矩形的性质得，结合点在轴上，直接得到； （2）由等腰直角的性质，证，得、；结合矩形边长关系，由，推导得； （3）取中点，由直角三角形斜边中线得，结合角度相等证，由推得；在中算得，代入得，最终得． 【小问1详解】 解：，四边形为矩形， ， ； 【小问2详解】 解：四边形是矩形，， 轴，， ， ， 又∵， ∴四边形是矩形， ，， 是以为斜边的等腰直角三角形， ， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴ 解得； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，即是直角三角形． 取的中点F，连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， 由（2）得， 解得， ∴， 由（2）得，， ∵，N在x轴上， ∴． 【点睛】本题核心技巧是矩形中K型全等模型的应用，结合直角三角形斜边中线性质实现角度与线段转化；避坑需注意全等对应边、对应角找错，角度推导漏等量代换． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $