专题07 不等式与不等式组章末63道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组9大压轴题型，通过63道典例构建从基础求解到综合应用的递进训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解集压轴|7道|含参数方程关联、解题过程纠错|从方程解到不等式解集的转化| |整数解压轴|8道|最小整数解应用、运算程序关联|解集边界与整数解的对应关系| |最值压轴|7道|实际问题最值、方程组参数范围|不等关系中变量取值范围确定| |不等式组解集|8道|新定义运算、关联方程判断|不等式组解集的几何与代数表达| |不等式组整数解|7道|含参不等式组整数解个数、数轴应用|解集区间与整数解的计数逻辑| |与方程组结合|7道|方程组解的非负性、理想集定义|方程组与不等式组的解的关联| |特殊不等式组|7道|分式不等式、含绝对值不等式|转化思想在特殊不等式中的应用| |新定义运算|7道|符号定义、相依方程判断|新运算规则下不等关系构建| |实际应用|5道|购物车转运、饮水温度控制|用不等式组解决实际优化问题|

专题07 不等式与不等式组章末63道压轴题型专训（9大题型） 题型一 一元一次不等式的解集压轴 题型二 一元一次不等式的整数解压轴 题型三 一元一次不等式的最值压轴 题型四 一元一次不等式组的解集压轴 题型五 一元一次不等式组的整数解压轴 题型六 一元一次不等式组与方程组结合压轴 题型七 特殊不等式组压轴 题型八 一元一次不等式的新定义运算 题型九 一元一次不等式组的实际应用 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴】 1．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）已知是方程的解，求关于x的不等式的解集． 【答案】 【分析】先把代入方程求出m的值，再把m的值代入关于x的不等式求出x的取值范围即可． 【详解】解：是方程的解， ， 解得， 不等式可化为， ， ， ， 解得 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知代数式的值不大于代数式的值． (1)求x的取值范围； (2)在x的取值范围中，若x的最小整数值满足方程，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，再解不等式即可． （2）求解（1）中不等式的最小整数解，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：∵代数式的值不大于代数式的值， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2）解：∵ ∴符合条件的最小整数为， ∴的解为， ∴， ∴， 解得：． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期中）下面是小虎同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 两边都除以，得第五步 任务： (1)上述解题过程中，第二步是依据____________（运算律）进行变形的； (2)上述解题过程从第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________； (3)请写出正确的解该不等式的过程． 【答案】(1)分配律 (2)五，不等式两边都除以时，不等号的方向没有改变 (3)正确过程见解析 【分析】（1）第二步是去括号，依据分配律进行变形； （2）逐步分析，即可求解； （3）根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】（1）解：上述解题过程中，第二步是依据分配律进行变形的； （2）解：上述解题过程从第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以时，不等号的方向没有改变，不符合不等式的基本性质3． （3）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得． 4．（2026·河北石家庄·一模）计算：．芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（■代表被污染的数字） (1)如果被污染的数字是，请计算：； (2)如果计算结果大于6，求被污染的数字的最小整数值． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）代入计算即可；（2）设被污染的数字为x，列不等式求解即可； 【详解】（1） ； （2）设被污染的数字为x， 则， ， ， ， ， ∴被污染的数字的最小整数值是3． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：不等式两边同乘以6，得．……第一步 移项，得．……第二步 合并同类项，得．……第三步 x系数化成1，得．……第四步 (1)去分母的依据是； (2)解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现处错误，其中最后一处错误在第步，错误的原因是； (3)请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 【答案】(1)不等式的性质2 (2)三；四；不等式的两边同除以时不等号方向未改变 (3)过程及数轴表示见解析 【分析】（1）根据不等式的性质2求解； （2）根据不等式的性质求解； （3）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，然后在数轴表示即可． 【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的性质2； （2）解：解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现三处错误，其中最后一处错误在第四步，错误的原因是不等式的两边同除以时不等号方向未改变； （3）解： 不等式两边同乘以6，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 x系数化成1，得． 在数轴上表示不等式的解集如下： 6．（25-26七年级下·全国·单元测试）下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：不等式两边同乘以6，得．……第一步 去括号，得．……第二步 移项，得．……第三步 合并同类项，得．……第四步 y系数化成1，得．……第五步 (1)任务一：上述过程中，第一步的依据是 ； (2)任务二：小明第 步出现错误，这一步错误的原因是； (3)任务三：请帮助小明写出正确的解题过程，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】(1)不等式的性质2 (2)二；去括号后括号中第二项没变号 (3)，数轴表示见解析 【分析】（1）根据不等式的性质分析即可； （2）根据小明的解题步骤逐步分析即可； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集． 【详解】（1）解：第一步不等式的两边同时乘以6，依据是不等式的性质2； （2）解：小明第二步出现错误，这一步错误的原因是去括号后括号中第二项没变号； （3）解：， 不等式两边同乘以6，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， y系数化成1，得， 在数轴上表示不等式的解集如下： 7．（25-26七年级下·河北衡水·开学考试）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字． (1)计算：； (2)现从容器中摸出三个小球，分别标有． ①小球上的数字x能满足：成立，求x的值； ②在①的条件下，把进行恰当排序，并用“+”“-”“×”“÷”符号中的一个或多个连接（可重复使用），直接写出所得结果的最小值． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】（1）先算乘法，再算减法即可求解； （2）①先求出x的范围，进而即可求解；②根据题意，要使结果最小，需使得负数的绝对值最大，列式求解即可 【详解】（1）解： ； （2）解：① 解得： ∵x是或0或5， 满足的只有5 故； ②数字：进行运算，要使结果最小，需使得负数的绝对值最大， ∴最小值为： 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴】 8．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 【答案】 【分析】先求得不等式的最小整数解为．代入一元一次方程求得，再代入代数式求值，即可求解． 【详解】解：， 解不等式，得． ∴不等式的最小整数解为． ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴将代入方程，得， 解得． ∴． 9．（24-25七年级下·重庆巫山·期末）整式的值为，若的取值范围如图所示，求的负整数值． 【答案】或 【分析】根据不等式的性质，结合数轴表示的不等式解集，构造不等式解答即可． 本题考查了解不等式，不等式的整数解，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵整式的值为， ∴， 根据题意可得：， 解得：， ∴的整数值为． 10．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 【答案】4 【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，先求出二元一次方程组的解，将解代入不等式中，求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 11．（2026·河北石家庄·一模）根据如图所示的运算程序，回答下列问题． (1)若输入，计算输出的值； (2)若输出的，求输入的最大整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入程序框图求解； （2）根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：当时， ∴输出的值为； （2）解：根据题意得， 解得 ∴输入的最大整数的值为． 12．（24-25七年级下·河北保定·期末）解关于x，y的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的不等式的最小整数解． 【答案】(1) (2)最小整数解为1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及求一元一次不等式的整数解． （1）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值 （2）根据方程组的解满足方程和，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，可得a、b的值，代入一元一次不等式，解不等式即可得出最小整数解． 【详解】（1）解：∵方程组的解和方程组的解相同． ∴， 由②①得： ， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）把分别代入和， 可得方程组 解得 ∴ 即， ∴， ∴最小整数解为1． 13．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)下列不等式与互为“和谐不等式”是_______（只填序号）： ①②③ (2)若关于x的不等式是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)①； (2)； (3)的取值范围为或． 【分析】（1）根据“和谐不等式”的定义即可判断； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得； （3）分两种情况讨论根据“和谐不等式”的定义得到含的不等式，解得即可． 本题主要考查解一元一次不等式的整数解和不等式的性质，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：①不等式与有公共整数解， ②不等式与没有公共整数解， ③与没有公共整数解， 与互为“和谐不等式”是①， 故答案为：①； （2）解：不等式， 解得， 不等式， 解得． 关于的不等式是的“和谐不等式”， ， ； （3）解：不等式， 解得， 不等式， 整理得， ①当，即时，， 关于的不等式与不等式互为“和谐不等式”， ， ； ②当，即时，， ， 两个一元一次不等式有公共整数解， 此时关于的不等式与不等式互为“和谐不等式”， 综上所述，的取值范围为或． 14．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的二元一次方程（m﹣1）x+ny＝0的一个解为，再从条件①条件②中选择一个作为已知，求m，n的值． 条件①：n是不等式3（z+2）＜12的最大整数解． 条件②点A（m，n）在第二象限的角平分线上． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 选择条件　 　． 解： 【答案】①或②，m＝﹣1，n＝1 【分析】选条件①，求得n的值，然后代入，即可求得m的值；选条件②，得到n＝﹣m，然后代入，即可求得m、n的值． 【详解】解：选条件①，由3（z+2）＜12解得，z＜2， ∵n是不等式3（z+2）＜12的最大整数解 ∴n＝1， ∴关于x，y的二元一次方程为（m﹣1）x+y＝0， 将代入得，m﹣1+2＝0，解得m＝﹣1， 故m＝﹣1，n＝1； 选条件②∵A（m，n）在第二象限的角平分线上． ∴n＝﹣m， ∴关于x，y的二元一次方程（m﹣1）x﹣my＝0， 将代入得m﹣1﹣2m＝0， 解得m＝﹣1， ∴n＝﹣m＝1， 故m＝﹣1，n＝1； 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，象限平分线的性质，二元一次方程的解，根据题意得出n的值或n与m的关系是解题的关键． 【经典例题三 一元一次不等式的最值压轴】 15．（2025·河北·模拟预测）现有单价为10元和5元的笔记本共15本，总金额不足95元，根据此信息，小强列出不完整的不等式：　　　　．根据小强所列的不等式，解答以下问题． (1)请写出未知数x表示的意义． (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 【答案】(1)x表示单价为5元的笔记本的本数 (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值，这个值为3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意得出不等关系是解题关键． （1）根据题意结合不等式的意义解答即可； （2）根据题意，列出不等式，求解，根据不等式的意义解答即可． 【详解】（1）解∶根据题意，x表示单价为5元的笔记本的本数； （2）解：最大值，由题意，得， 解得， ∵x为正整数， ∴x有最小值，最小值为12， ∴有最大值，最大值为3， 即单价为10元的笔记本的本数有最大值，这个值为3． 16．（24-25七年级下·四川南充·期末）已知关于x，y的方程满足方程组． (1)若，求m的值； (2)若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子：； (3)在（2）的条件下求的最小值及最大值． 【答案】(1) (2)， (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、求代数式的值、化简绝对值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由可得，结合，即可求出，，再代入①计算即可得解； （2）解方程组得出，，结合题意列出不等式组，解不等式组即可得出，再结合绝对值的意义化简即可； （3）先表示出，再结合的取值范围，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：由可得：， ∵， ∴由可得：， 解得：， 将代入③可得：， 把，代入①可得：， 解得：； （2）解：由可得：， 将代入②可得：， 解得：， ∵x，y，m均为非负数， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由（2）可得，，，， ∴， ∴当时，的值最小为， 当时，的值最大为， ∴的最小值为，最大值为． 17．（25-26八年级上·全国·寒假作业）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？ (2)若，且，试求x的最小值． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查换元法解二元一次方程组，二元一次方程组与不等式： （1）根据的解为，得到的解满足，进行求解即可； （2）分别用含的式子表示出，结合，且，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的解为， ∴的解满足， 解得． （2）解：， 由①得：， 由②得：， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴x的最小值是5． 18．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，．设点A，B，C在数轴上所对应数的和是P．    (1)若P的值不大于11，求点A表示的数x的最大值． (2)若原点O在图中数轴上点C的右边a个单位长度，且P不小于，求a的最大值． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】（1）点A表示的数为x，点B表示的数为，点C表示的数为，根据P的值不大于11，列出不等式即可求解； （2）点C表示为，点B表示为，点A表示为，根据P不小于，列出不等式即可求解． 【详解】（1）点A表示的数为x， 点B表示的数为，点C表示的数为， 由题可得， 解得， 的最大值是2． （2）原点O在图中数轴上点C的右边a个单位长度， 点C表示为，点B表示为，点A表示为， 由题可得， 解得， 的最大值为6． 【点睛】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是能够根据题意列出不等式． 19．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，小砾同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数x值，相应地会输出一个y值． (1)若输入一个正偶数，且输出y的值不大于6，求输入x的值． (2)若输出y的值大于52，求输入x的最小值． 【答案】(1)2 (2)18 【分析】本题考查了列不等式以及分类讨论思； （1）正确列出不等式，然后根据条件计算即可； （2）运用分类讨论思想正确列出不等式，然后根据条件计算即可； 熟练运用分类讨论思想是关键． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． ∵为正偶数， ∴． （2）①当输入的值为奇数时，， 解得， 则x的最小值为19； ②当输入x的值为偶数时，， 解得， 则x的最小值为18． 综上所述，符合条件的x的最小值为18． 20．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 【答案】(1)2 (2)学校可能组织学生去景点A或景点B 【分析】本题考查了不等式的应用，解决本题的关键是熟练掌握通过题目条件找出不等关系并能正确列出不等式， （1）根据题意先计算出时间，再列出不等式求解即可； （2）设景点与校门口的距离为．根据题意得，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴t的最大值为2； （2）解：设景点与校门口的距离为． 根据题意得， 解得． ∴学校可能组织学生去景点A或景点B． 21．（25-26七年级下·安徽池州·期中）某网店借助直播平台开展“直播带货”直销活动．他们用元购进一批酥梨和黄梨，销售完后共获利元，酥梨和黄梨的进价和售价如表： 酥梨（元） 黄梨（元） 进价 售价 (1)求该网店购进酥梨和黄梨分别是多少？ (2)该网店第二次以原价购进酥梨和黄梨，购进黄梨数量不变，而购进酥梨的数量是第一次的倍．酥梨按原售价出售，而黄梨让利销售．若酥梨和黄梨销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于元，求黄梨最低售价为多少元？ (3)在（2）的条件下，网店在获得的利润取最小值时，决定售出的酥梨每千克捐出元，黄梨每千克捐出元给慈善机构，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值（精确到）． 【答案】(1)该网店购进酥梨，黄梨 (2)黄梨最低售价为元 (3)的最大值约为 【分析】（1）设该网店购进酥梨，黄梨，根据“用元购进一批酥梨和黄梨，销售完后共获利元”，列方程求解即可； （2）设黄梨售价为元，根据利润列不等式求解即可； （3）在（2）的条件下，酥梨每千克的利润为，黄梨每千克的利润为，根据题意列不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设该网店购进酥梨，黄梨， 依题意得：， 解得：， 答：该网店购进酥梨，黄梨； （2）设黄梨售价为元， 依题意得， 解得． 答：黄梨最低售价为元； （3）依题意得， 解得， 答：的最大值约为． 【经典例题四 一元一次不等式组的解集压轴】 22．（25-26七年级下·山西晋中·期中）解下列不等式组，并在数轴上表示出不等式组的解集 (1) (2) 【答案】(1) ，在数轴上表示见解析 (2) ，在数轴上表示见解析 【详解】（1）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为； 在数轴上表示为： （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示为： 23．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知与，都是方程的解． (1)求k、b的值； (2)若y的值不小于0，求x的取值范围； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将与代入求解即可； （2）由（1）得，根据“y的值不小于0”列不等式求解即可； （3）由（1）得，进而得到，根据列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， 解得； （3）解：由（1）得， ∴． ∵， ∴， 解得． 24．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）定义一种新运算“#”：当时，； 当时，． 例如：，． (1)填空：__________ (2)若，求x的取值范围； (3)已知，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)的取值范围是 【分析】（1）通过比较和3的大小，可知选择计算； （2）根据等式右边的运算形式确定，解不等式即可； （3）由题意可知，分情况讨论或，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，． （2）解：∵， ∴， 解得：． （3）解：当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当， ∴， ∴， 解得：， 此时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 综上：的取值范围是． 25．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足． (1)求该方程组的解；（用含的式子表示） (2)求的取值范围； (3)若关于的不等式的解集为，且为整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)的值为 【分析】（1）利用加减消元法求解可得； （2）根据，列出关于a的不等式，即可求解； （3）根据不等式的性质可得，即可求解． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， ，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， ， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 即a的取值范围为； （3）解：， ， ∵不等式的解集为， ，解得， 由（2）可知， ∴满足条件的的取值范围是， 又是整数， 满足条件的的值为． 26．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解． 解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 请你仿照上面的方法，解下列不等式 【答案】或 【分析】根据有理数的乘法法则得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集，即可求出答案． 【详解】解：将不等式，转化为①或②， 解不等式组①，得， 解不等式组②，得， 原不等式的解集为或． 27．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【答案】(1)③ (2)（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分别求出三个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得； （2）求出一元一次不等式组的整数解，则可得其关联方程的解，由此即可得； （3）先分别求出两个一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据关联方程的定义即可得． 【详解】（1）解：方程①的解为， 方程②的解为， 方程③的解为， ， 解不等式④得：， 解不等式⑤得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的关联方程是③； （2）解：， 解不等式⑥得：， 解不等式⑦得：， 则不等式组的解集为， 所以这个不等式组的整数解为1， ∵不等式组的一个关联方程的解是整数， ∴这个关联方程可以是（答案不唯一）； （3）解：方程的解为， 方程的解为， ， 解不等式⑧得：， 解不等式⑨得：， 则不等式组的解集为， ∵方程都是关于的不等式组的关联方程， ∴， 解得． 28．（25-26七年级下·河南·月考）下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务． 解不等式． 解：，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 …．第五步 (1)①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的； ②该题第________步出现错误，错误的原因是________； (2)请你根据平时的学习经验，就不等式的求解过程给其他同学提一条建议．________． (3)张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程． 解不等式①，得________； 解不等式②，得________； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； ∴原不等式组的解集为________． 【答案】(1)①不等式的基本性质2；②五，不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号 (2)解一元一次不等式时需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变 (3)；；见解析； 【详解】（1）解：①以上解题过程中，第一步是依据不等式的基本性质2进行变形的； ②该题第五步出现错误，错误的原因是不等式两边同时除以一个负数，不等号要变号； （2）解：解一元一次不等式时需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变； （3）解不等式①，得； 解不等式②，得； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来： ∴原不等式组的解集为． 【经典例题五 一元一次不等式组的整数解压轴】 29．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）解不等式组，在数轴上画出解集，并写出不等式组（2）的所有整数解 (1) (2) 【答案】(1)无解，在数轴上表示见解析 (2)，在数轴上表示见解析，所有整数解为所有不大于的整数，即 【分析】（1）分别解两个不等式，在数轴上画出解集，即可得出不等式组的解； （2）分别解两个不等式，在数轴上画出解集，得出不等式组的解，即可得出所有整数解． 【详解】（1）解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集在数轴上表示为： 所以不等式组无解， （2）解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集在数轴上表示为： ∴不等式组的解为， 所有整数解为所有不大于的整数，即 30．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】a为19或20或21 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ∵a为整数， ∴a为19或20或21． 31．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知方程组的解满足为正数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)在满足（1）的条件下，若不等式的解集为，且为整数，求的值． 【答案】(1) (2)整数的值为， 【分析】（1）解方程组求出，再根据为正数，为非负数，可得关于的不等式组，解不等式组求出的取值范围； （2）根据不等式的解集中不等号的方向不同，可知，求出，再结合（1）中的取值范围，可得，在取值范围内找到整数解即可． 【详解】（1）解：， ①②得：， 解得：， ①②得：， 解得：， 原方程组的解为， 为正数，为非负数， ， 解不等式组得：； （2）解：不等式的解集为， 可得：， 解得：， 由（1）知， ， 整数的值为，． 32．（25-26七年级下·吉林·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程组用m表示x，y，根据x为非正数，y为负数，得出不等式组，即可求解； （2）不等式化为，由解为可得，可得m的范围，结合（1）即可求解． 【详解】（1）解：解方程组得， ∵x为非正数，y为负数， ∴， 解得． （2）解：由得，， ∵不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 由m为整数得，． 33．（2026·河北张家口·一模）一个一元一次不等式的解集如图所示． (1)写出一个符合条件的一元一次不等式________（未知数为x，写出一个即可）； (2)设m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ①求m的取值范围； ②若，直接写出整数n的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)①；②和． 【分析】（1）根据数轴得出解集，再写出符合条件的一元一次不等式即可； （2）①根据题意可得，，且，即可得解；②根据已知不等式，得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可知，数轴表示的解集为， 则符合条件的一元一次不等式为； （2）解：①m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ，，且， ， ， ， m的取值范围为； ②由①可知，，， ， ， ， ， ∵，即， ∴ ， 整数n的值为和． 34．（25-26七年级下·山西晋中·期中）解不等式（组） (1)求不等式组：的所有整数解． (2)下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：第一步 去括号，得：第二步 移项，得：第三步 合并同类项，得：第四步 系数化为1，得：第五步 ①小星同学的解答过程从第 步开始出错；错误原因 ． ②请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)整数解为 (2)①一；不等式两边同乘以公分母6后，化简错误；②过程见解析 【分析】（1）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出其中的整数解即可． （2）①根据小星的解题步骤分析即可； ②按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 其整数解为． （2）解：①小星同学的解答过程从第一步开始出错；不等式两边同乘以公分母6后，化简错误； ②去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 35．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）解决下列问题： (1)解不等式组，并写出非负整数解． (2)一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3小时；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时．已知船在静水中的速度是8千米/时，则水流的速度是多少？ 【答案】(1)不等式组的解集为，其非负整数解为； (2)水流的速度是2千米/时． 【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，并求出两个解集的公共部分即可，最后根据不等式组的解集即可求得不等式组的整数解； （2）设水流速度是千米/时，则这艘船顺流的速度是千米/时，逆流的速度是千米/时，根据路程等于速度乘以时间，以及来回路程相等，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：， 由①，解得， 由②，解得． 所以不等式组解集为， 其非负整数解为； （2）解：设水流速度是千米/时，则这艘船顺流的速度是千米/时，逆流的速度是千米/时， 根据题意得：， 解得：． 答：水流的速度是2千米/时． 【经典例题六 一元一次不等式组与方程组结合压轴】 36．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程用含k的式子表示x、y，根据方程组的解都是非负数得出关于k的不等式组，解之可得； （2）把（1）中方程组的解代入，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴， ∵方程组的解都是非负数， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：． 37．（24-25七年级下·全国·假期作业）关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值． 【答案】k的值为，0，1，2，3． 【详解】解： ①＋②，得，∴． ∵，∴，解得． 解不等式③，得．解不等式④，得． ∵关于x的不等式组有解，∴． 综上所述，． 故符合条件的整数k的值为，0，1，2，3． 38．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知关于，的方程组， (1)若，求的值； (2)方程组的解均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，整式的加减运算等． （1）利用加减消元法用含a的式子表示出x和y，结合，即可求解； （2）根据方程组的解均为非负数，列关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可； （3）根据（2）中结论，可得，，再去绝对值，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ①＋②得：， ， 将代入②得：， ，， ， ， ， ； （2）解：关于，的方程组的解均为非负数， ， ； （3）解：， ，， ． 39．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于，的二元一次方程组（为常数）． (1)若方程组的解也满足方程，求的值； (2)若方程组的解也满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法． （1）先解方程组得出，再根据方程组的解也满足方程，得出，解关于k的方程，即可求解； （2）得，，得出，根据题意，进而解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：， 得，， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为：， ∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得：； （2）解： 得：， ∴， ∵方程组的解也满足不等式， ∴， 解得：． 40．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如果一个不等式（组）的解组成的集合包含了一个方程（组）的解，那就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“理想集”．例如，不等式的解集为，方程的解为，显然，所以是的“理想集”． (1)不等式的解集是下列方程______（填序号）的“理想集” ①；②；③． (2)若不等式组的解集是方程的“理想集”，求的整数解． (3)是否存在实数使得不等式组的解集是方程组的“理想集”，若存在，求出的取值范围；若不存在请说明理由． 【答案】(1)② (2) (3)不存在，见解析 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的综合应用，解题的关键是熟练掌握不等式组和方程组的解法． （1）根据“理想集”定义进行求解即可； （2）先求出方程的解为，再求出不等式组的解集不等式组得：，然后根据不等式组的解集是方程的“理想集”得出，求出k的取值范围即可； （3）先求出解方程组的解，然后根据题意得出，然后解不等式组，进行判断即可． 【详解】（1）解：由不等式得：； ①方程的解为：，所以不是的“理想集”； ②方程的解为，，因此是的“理想集”； ③方程的解为，，因此不是的“理想集”； 综上分析可知：不等式的解集是方程②的“理想集”； （2）解：由方程得：， 解不等式组得：， 由题可得：， 解得：， 的整数解为； （3）解：解方程组得：， 由题可得：， 解得：， 不存在． 41．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． (1)给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； (2)已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 【答案】(1)②③ (2)①；②或 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出每个方程的解和不等式组的解集，根据新定义求解即可得出答案； （2）①解不等式组及一元一次方程，根据子集方程的概念列出关于的不等式组，解之可得答案；②根据子集方程的概念可得答案． 【详解】（1）解：①的解为， ②的解为， ③的解为， 由得， 由得：， 所以不等式组的解集为， 其中是不等式组的解的有，， 所以为不等式组的子集方程的是②③， 故答案为：②③； （2）①由得：， 由得：， 解方程得， 由题意知，， 解得； ②方程，都不是该不等式组的子集方程， 或，即， 故答案为：或． 42．（24-25七年级下·广西南宁·期末）阅读理解； 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，成为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，当时，，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序号）； ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】（1）先求得方程的解，再计算不等式或不等式组的解，根据定义判定解答即可． （2）根据方程组得，根据定义，得，解不等式求a的取值范围即可； （3）解方程组得 不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 【详解】（1）解： 解得； ①解不等式，得，是不等式的解，符合题意； ②解不等式，得，是不等式的解，符合题意； ③解不等式组，得，不是不等式组的解，不符合题意； 故答案为：①②． （2）解：根据方程组得， 根据定义，得， 解得． （3）解： 得， 解得； 把代入①解得，， 故方程组的解为． 由，得， 解得， 又x，y均为正数， 故， 解得， 故b的取值范围是． 【点睛】本题考查了解方程，解方程组，解不等式，解不等式组，熟练掌握定义，解方程，解不等式是解题的关键． 【经典例题七 特殊不等式组压轴】 43．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）我们用表示不大于的最大整数，例如请解决下列问题： （1）= ． = ．（其中为圆周率）； （2）已知满足方程组求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用题中的新定义计算即可求出所求； （2）求出方程组的解得到[x]与[y]的值，即可确定出x与y的范围． 【详解】（1）[π]=3，[2-π]=-2； 故答案为：3；-2； （2）解方程组得：， 则-1≤x＜0，2≤y＜3． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 44．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）已知关于、的方程组（实数m是常数）. （1）求方程组的解（用字母的代数式表示）. （2）若方程组的解满足且. ①求的取值范围； ②化简：. 【答案】（1）；（2）；（3）2 【分析】（1）利用加减消元法求解即可；（2）①根据（1）所求的方程组的解列不等式求解即可；②根据m的取值范围去绝对值再求解即可. 【详解】解： ②×2-①得： 解得： 把代入②得： 所以方程组的解为： （2）①由且 则 解（1）得m>-2 解（2）得m<0 ∴的取值范围为： ②由 ∴， ∴=-m+2+m=2 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次不等式组，绝对值的定义，是基础知识，需熟练掌握． 45．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 【答案】或或无解． 【分析】按照题中的思路解不等式即可． 【详解】解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时， 当即时，此不等式为无解． 【点睛】本题考查了解不等式的问题，掌握解不等式的思想方法是解题的关键． 46．（24-25七年级下·宁夏石嘴山·月考）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①得， 解不等式组②得． 所以原不等式的解集为或． 请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式． 【答案】 【分析】根据题意，由材料中的解不等式的方法进行解不等式，即可求出答案. 【详解】解：根据题意， ∵，则； ∵， 分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①，得：， 解不等式组②，得：无解， ∴原不等式的解集为：. 【点睛】本题考查了解不等式组，以及解分式不等式，解题的关键是熟练掌握材料，利用材料的方法进行解题. 47．（24-25七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据实数的乘法法则以及解一元一次不等式组解决此题． （2）根据实数的除法法则以及解一元一次不等式组解决此题． 【详解】（1）由两数相乘，异号为负，得： ①或②， 解不等式组①，无解；解不等式组②， 的解集为 （2）由两数相除，同号为正，得： ①或②， 解不等式组①，；解不等式组②， 不等式的解集为或 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解决本题的关键． 48．（24-25七年级下·福建福州·期末）阅读下列材料：已知，且，，试确定的取值范围. 解： ......① 又......② 由①与②组成不等式组，得 解得 将代入得： （依据不等式性质） （依据不等式性质） 即 的取值范围为： （1）请仿照上述方法，完成问题：已知，且，，试确定的取值范围. （2）若设（1）中，，求的最大值与最小值差的平方根. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可； （2）由（1）得，，得到n=2m-2,在进行分析即可得出的最大值与最小值，再求差的平方根即可. 【详解】解: (1) ① ② 由①和②组成不等式组得 解得 将代入得 , 即 的取值范围为: (2) 的最大值为, 最小值为 的最大值与最小值差的平方根为 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程，难度一般． 49．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）阅读： 我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解:（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即 时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴   如图， 综合（1）、（2）原不等式的解为： 根据以上思想，请探究完成下列个小题： ； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）分①x+1≥0，即x≥-1，②x+1<0，即x<-1，两种情况分别求解可得； （2）分①x-2≥0，即x≥2，②x-2<0，即x<2，两种情况分别求解可得． 【详解】， ①当，即时：， 解这个不等式，得： 由条件，有：； ②当，即 时： 解这个不等式，得： 由条件，有：, ∴   综合①、②，原不等式的解为：． （2） ①当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，不符合，舍去； ②当，即时：， 解这个不等式，得： 符合条件 综合①、②，原不等式的解为： 【点睛】考查解一元一次不等式，读懂题目中含绝对值的不等式的解题的方法是解题的关键. 【经典例题八 一元一次不等式的新定义运算】 50．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如，，，． (1)______． (2)如果，那么的取值范围是______． (3)如果，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中所给定义可直接进行求解； （2）由题中所给定义可直接进行求解； （3）由题意可得，然后求解即可． 【详解】（1）由题意得： ， 故答案为； （2）∵符号表示不大于的最大整数，， ∴的取值范围是； 故答案为； （3）∵符号表示不大于的最大整数，， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的应用，熟练掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 51．（24-25七年级下·河北唐山·期末）现定义运算“”，对于任意有理数、，都有，例如：，请根据上述知识解决问题： (1)化简：； (2)若（1）的代数式值大于而小于9，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义的运算进行整式的加减乘运算即可； （2）根据题意列出不等式，然后先求出每个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： （2）由已知得 解不等式①得 解不等式②得 所以不等式组的解集为：． 【点睛】题目主要考查整式的混合运算及求不等式组的解集，熟练掌握运算法则是解题关键． 52．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）对于任意实数m，n定义一种新运算，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中恰有两个整数解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，准确理解题意正确计算是本题的解题关键． 根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出a的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， ， ， 解集中恰有两个整数解，小于3的连续两个整数是1，2， ， ， a的范围为． 53．（24-25七年级下·河南三门峡·月考）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中，是不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)① (2) 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“相依方程”的定义列出关于k的不等式组并求解即可． 【详解】（1）① 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； ② 移项得， 系数化为1得，； ③ 移项得， 系数化为1得，； 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组的“相依方程”是①， 故答案为：①； （2）解不等式，得． 解不等式，得． ∴原不等式组的解集为． 解方程，得． ∵关于x的方程是不等式组的“相依方程”． ∴． 解得． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． 54．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称一元一次方程为这个一元一次不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为．因为在的范围内，所以是的“子方程”． (1)方程______不等式组的“子方程”；（填“是”或“不是”） (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程是关于的不等式组的“子方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解题的关键是正确理解“子方程”的定义． （1）求得方程的解和不等式组的解集，即可判断； （2）求得方程的解和不等式组的解集，即可得出的取值范围； （3）求得方程的解和不等式组的解集，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：由，得， 由，得， ∵在的范围内， ∴是的“子方程”， 故答案为：是． （2）解：由，得， 由，得， ∵是不等式组的“子方程”， ∴， 解得，， 答：的取值范围是． （3）解：由，得， 由，得， ∵是关于的不等式组的“子方程”， ∴， ∴， 答：的取值范围是． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，理解定义，掌握解一元一次方程、解一元一次不等式组、解一元一次不等式的步骤是正确解答的前提，理解“子方程”的意义． 55．（24-25七年级下·四川广元·期末）阅读与思考 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为， 不等式组的解集为． ， 方程为不等式组的“相伴方程”． 阅读上面的内容完成下列问题： (1)填空：下列方程是不等式组的“相伴方程”的是__________；（填序号） ①；        ②；        ③． (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组等知识点，能准确解一元一次方程和不等式组是解此题的关键． （1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，求出结果即可． 【详解】（1）解不等式组得： 解方程①得：， 解方程②得：， 解方程③得：， 不等式组的“相伴方程”的是②． 故答案为：②． （2）解不等式组得： 解方程得：， 是不等式组的“相伴方程” 解得： 的取值范围为． 56．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“关联方程”是__________（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“关联方程”，试求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式组和一元一次方程的解： （1）分别求出三个方程的解和不等式组的解集，根据“关联方程”的概念即可得出答案； （2）解不等式组后，根据新定义即可得出答案； （3）分别解出方程和不等式组，根据新定义即可求 【详解】（1）①的解为： ②的解为： ③的解为： 不等式组的解为： 因为在中 所以不等式组的“关联方程”是③ （2）不等式组得， 解方程得：， 所以， 解得． （3）解得， 解得， ， ， ， ． 【经典例题九 一元一次不等式组的实际应用】 57．（24-25七年级下·全国·单元测试）一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．85公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时55公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过300公斤时警示音响起，求x的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意找到关系式．根据“大胖进入电梯后承载重量大于300公斤，小瘦进入电梯后承载重量小于300公斤”列不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：由题意，得 解得． 答：的取值范围是． 58．（24-25六年级下·上海浦东新·期末）已知方程组的解满足：为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，是否存在，使成立？ (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1)． (2)存在，使成立． (3)时，不等式的解集为． 【分析】（1）解关于和的二元一次方程，根据题意可得到关于的一元一次不等式组，求解即可得到的取值范围． （2）根据的取值范围取值范围，可将化简，得到关于关于的一元一次方程，求解即可得到答案． （3）将不等式移项并合并同类项，根据题目要求，可知，解不等式，即可得到的取值范围，取符合条件的整数即可． 【详解】（1）解关于和的二元一次方程 解得 由于为非正数，为负数，得不等式组 解得 ． （2）， ，． ，． 化简，得 ， 解得 ． 经检验，满足． 所以，存在，使成立． （3）将移项并合并同类项，得 解集为， ． 解得 ． 又， 的解集为． 的整数值为． 时，不等式的解集为． 【点睛】本题主要考查二元一次方程的解法、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法、绝对值的性质等，熟悉绝对值的性质，牢记二元一次方程、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法是解题的关键 59．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 60．（24-25七年级下·山西晋城·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由得（为正整数），   ∴    则有   又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，为3的倍数，从而， ∴， ∴的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解____________； (2)若为自然数，则满足条件的有______ 个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 【答案】(1) (2)4 (3)有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔 【分析】（1）根据题意可知，求方程的正整数解，先把方程做适当的变形，再列举正整数代入求解． （2）参照例题的解题思路进行解答； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支，根据题意得，其中x、y均为自然数．参照例题的解题思路解该二元一次方程即可． 【详解】（1）解：由，得（x、y为正整数）． 所以，即， ∴当时，， 即方程的正整数解是； 故答案为：； （2）解：若为自然数， 则有：，即． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 即满足条件x的值有4个， 故答案为：4； （3）设单价为每本3元的笔记本买了本，单价为每支5元的钢笔买了支， 根据题意得， 解得，（为正整数）， ∴，解得， 又∵是3的倍数， ∴的取值为1或4． ∴的正整数解为或者， 即有两种方案：①买10本笔记本，1支钢笔，②买5本笔记本，4支钢笔． 【点睛】本题考查二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题关键是要读懂题目给出的已知条件，根据条件求解．注意笔记本和钢笔是整体，所有解均不可能出现小数和负数，这也就说要求的是正整数． 61．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某电器超市销售每台进价160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况，（进价、售价保持不变，利润销售收入进货成本） 销售 时段 销售量 销售 收入 A型号 B型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若超市准备用不多于7500元的金额再购进这两种型号的电风扇共50台，且该超市销售完这批电风扇利润能超过1850元，则该超市有哪几种进货方案． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多于7500元，销售完这批电风扇利润能超过1850元，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是正整数， ∴a的值是36，37， ∴该超市有两种采购方案：采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 62．（24-25七年级下·山东济宁·期末）数学活动 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2的转运问题，进行了调研获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为___（用含n的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车？ (3)若该超市需转运120辆购物车，使用电梯总次数为6次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 【答案】(1) (2)该超市直立电梯一次最多能转运14辆购物车 (3)共有3种运输方案：①扶手电梯运4次，直立电梯运2次；②扶手电梯运5次，直立电梯运1次；③扶手电梯运6次，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加，从而得到辆购物车叠放时长，化简即可得到答案； （2）根据（1）中式子先求出一列长度为的购物车列包含多少辆购物车，然后进一步计算即可； （3）设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次，根据题意得到，解出的取值范围，然后根据为正整数，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可知一辆购物车长，每增加一辆购物车增加， 所以辆购物车叠放是长， 故答案为：； （2）解：因为该超市直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车， 因此由（1）可得， 解得， （辆）， 答：该超市直立电梯一次最多能转运14辆购物车； （3）解：设用扶手电梯运输次，则直立电梯运输次， 由（2）得：直立电梯一次性最多可以运输14辆购物车， ， 解得：， 为正整数， ，5，6， 共有3种运输方案：①扶手电梯运4次，直立电梯运2次；②扶手电梯运5次，直立电梯运1次；③扶手电梯运6次． 63．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 1．《中国居民膳食指南2022版》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态． 2．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 1．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为． 2．若接水过程中不计热量损失，混合温度可以用下列公式转化：混合后温度混合后体积温水温度温水体积开水温度开水体积． 【问题解决】 (1)若小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水，求小康分别接温水和开水的体积；（不计热量损失） (2)按照每杯水量计算，小康一天喝 杯水，能符合中国居民膳食指南提到的“足量饮水”的建议；（结果取整数） (3)若小康先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康至少要接多长时间温水才能达到饮水的适宜温度？ 【答案】(1)小康接温水，开水 (2)6 (3) 【分析】（1）设小康接温水，则接开水，根据混合后温水的温度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即小康接温水的体积），再将其代入中，即可求出小康接开水的体积； （2）设小康一天喝杯水，根据成年人每天需喝水，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论； （3）设小康同学接温水，根据混合后的温度不超过，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设小康接温水，则接开水， 根据题意得：， 解得：， ． 答：小康接温水，开水； （2）解：小康一天喝杯水， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， ， 小康一天喝6杯水． 故答案为：6； （3）解：设小康同学接温水， 根据题意，得：，解得：， 的最小值为13.5． 答：小康至少要接温水才能达到饮水的适宜温度． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 不等式与不等式组章末63道压轴题型专训（9大题型） 题型一 一元一次不等式的解集压轴 题型二 一元一次不等式的整数解压轴 题型三 一元一次不等式的最值压轴 题型四 一元一次不等式组的解集压轴 题型五 一元一次不等式组的整数解压轴 题型六 一元一次不等式组与方程组结合压轴 题型七 特殊不等式组压轴 题型八 一元一次不等式的新定义运算 题型九 一元一次不等式组的实际应用 【经典例题一 一元一次不等式的解集压轴】 1．（24-25七年级下·四川遂宁·期中）已知是方程的解，求关于x的不等式的解集． 2．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知代数式的值不大于代数式的值． (1)求x的取值范围； (2)在x的取值范围中，若x的最小整数值满足方程，求a的值． 3．（25-26七年级下·河南郑州·期中）下面是小虎同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 两边都除以，得第五步 任务： (1)上述解题过程中，第二步是依据____________（运算律）进行变形的； (2)上述解题过程从第____________步开始出现错误，这一步错误的原因是____________； (3)请写出正确的解该不等式的过程． 4．（2026·河北石家庄·一模）计算：．芳芳在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．（■代表被污染的数字） (1)如果被污染的数字是，请计算：； (2)如果计算结果大于6，求被污染的数字的最小整数值． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：不等式两边同乘以6，得．……第一步 移项，得．……第二步 合并同类项，得．……第三步 x系数化成1，得．……第四步 (1)去分母的依据是； (2)解答过程中，从前一步到后一步的变形，共出现处错误，其中最后一处错误在第步，错误的原因是； (3)请写出不等式的正确解答过程，并把解集表示在数轴上． 6．（25-26七年级下·全国·单元测试）下面是小明同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解不等式． 解：不等式两边同乘以6，得．……第一步 去括号，得．……第二步 移项，得．……第三步 合并同类项，得．……第四步 y系数化成1，得．……第五步 (1)任务一：上述过程中，第一步的依据是 ； (2)任务二：小明第 步出现错误，这一步错误的原因是； (3)任务三：请帮助小明写出正确的解题过程，并把解集在数轴上表示出来． 7．（25-26七年级下·河北衡水·开学考试）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字． (1)计算：； (2)现从容器中摸出三个小球，分别标有． ①小球上的数字x能满足：成立，求x的值； ②在①的条件下，把进行恰当排序，并用“+”“-”“×”“÷”符号中的一个或多个连接（可重复使用），直接写出所得结果的最小值． 【经典例题二 一元一次不等式的整数解压轴】 8．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 9．（24-25七年级下·重庆巫山·期末）整式的值为，若的取值范围如图所示，求的负整数值． 10．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知关于、的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 解： 11．（2026·河北石家庄·一模）根据如图所示的运算程序，回答下列问题． (1)若输入，计算输出的值； (2)若输出的，求输入的最大整数的值． 12．（24-25七年级下·河北保定·期末）解关于x，y的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的不等式的最小整数解． 13．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)下列不等式与互为“和谐不等式”是_______（只填序号）： ①②③ (2)若关于x的不等式是的“和谐不等式”，求m的取值范围； (3)若，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 14．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知关于x，y的二元一次方程（m﹣1）x+ny＝0的一个解为，再从条件①条件②中选择一个作为已知，求m，n的值． 条件①：n是不等式3（z+2）＜12的最大整数解． 条件②点A（m，n）在第二象限的角平分线上． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 选择条件　 　． 解： 【经典例题三 一元一次不等式的最值压轴】 15．（2025·河北·模拟预测）现有单价为10元和5元的笔记本共15本，总金额不足95元，根据此信息，小强列出不完整的不等式：　　　　．根据小强所列的不等式，解答以下问题． (1)请写出未知数x表示的意义． (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 16．（24-25七年级下·四川南充·期末）已知关于x，y的方程满足方程组． (1)若，求m的值； (2)若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子：； (3)在（2）的条件下求的最小值及最大值． 17．（25-26八年级上·全国·寒假作业）已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若该方程组的解是，那么关于x，y的二元一次方程组的解是多少？ (2)若，且，试求x的最小值． 18．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，．设点A，B，C在数轴上所对应数的和是P．    (1)若P的值不大于11，求点A表示的数x的最大值． (2)若原点O在图中数轴上点C的右边a个单位长度，且P不小于，求a的最大值． 19．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，小砾同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数x值，相应地会输出一个y值． (1)若输入一个正偶数，且输出y的值不大于6，求输入x的值． (2)若输出y的值大于52，求输入x的最小值． 20．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）学校组织学生进行一次徒步旅行．校门口到A，B，C三个景点的距离分别为，，，学生从校门口出发，以平均每小时的速度前往景点，在景点游玩时间为t小时，再以平均每小时的速度返回． (1)若学校组织学生前往景点C游玩，且恰好在返回校门口，求t的最大值； (2)若，学生在前返回校门口，则学校可能组织学生去A，B，C中的哪几个景点？ 21．（25-26七年级下·安徽池州·期中）某网店借助直播平台开展“直播带货”直销活动．他们用元购进一批酥梨和黄梨，销售完后共获利元，酥梨和黄梨的进价和售价如表： 酥梨（元） 黄梨（元） 进价 售价 (1)求该网店购进酥梨和黄梨分别是多少？ (2)该网店第二次以原价购进酥梨和黄梨，购进黄梨数量不变，而购进酥梨的数量是第一次的倍．酥梨按原售价出售，而黄梨让利销售．若酥梨和黄梨销售完毕，要使第二次销售活动获利不少于元，求黄梨最低售价为多少元？ (3)在（2）的条件下，网店在获得的利润取最小值时，决定售出的酥梨每千克捐出元，黄梨每千克捐出元给慈善机构，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值（精确到）． 【经典例题四 一元一次不等式组的解集压轴】 22．（25-26七年级下·山西晋中·期中）解下列不等式组，并在数轴上表示出不等式组的解集 (1) (2) 23．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知与，都是方程的解． (1)求k、b的值； (2)若y的值不小于0，求x的取值范围； (3)若，求y的取值范围． 24．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）定义一种新运算“#”：当时，； 当时，． 例如：，． (1)填空：__________ (2)若，求x的取值范围； (3)已知，求x的取值范围． 25．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足． (1)求该方程组的解；（用含的式子表示） (2)求的取值范围； (3)若关于的不等式的解集为，且为整数，求的值． 26．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）阅读材料：解不等式，根据有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可以转化为不等式组求解． 解：，转化为① 或② ，解不等式组①，得，解不等式组②，得． ∴原不等式的解集是或． 请你仿照上面的方法，解下列不等式 27．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 28．（25-26七年级下·河南·月考）下面是东东同学在学习解不等式（组）的过程中遇到的问题，请认真阅读并帮助东东完成相应任务． 解不等式． 解：，…第一步 ，…第二步 ，…第三步 ，…第四步 …．第五步 (1)①以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的； ②该题第________步出现错误，错误的原因是________； (2)请你根据平时的学习经验，就不等式的求解过程给其他同学提一条建议．________． (3)张老师将以上不等式与不等式组成不等式组，请你帮助东东同学完善下列解不等式组的过程． 解不等式①，得________； 解不等式②，得________； 把不等式①和②的解集在同一数轴上表示出来； ∴原不等式组的解集为________． 【经典例题五 一元一次不等式组的整数解压轴】 29．（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）解不等式组，在数轴上画出解集，并写出不等式组（2）的所有整数解 (1) (2) 30．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 31．（25-26七年级下·安徽滁州·期中）已知方程组的解满足为正数，为非负数． (1)求的取值范围； (2)在满足（1）的条件下，若不等式的解集为，且为整数，求的值． 32．（25-26七年级下·吉林·期中）已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解集为？ 33．（2026·河北张家口·一模）一个一元一次不等式的解集如图所示． (1)写出一个符合条件的一元一次不等式________（未知数为x，写出一个即可）； (2)设m、n是该不等式的两个解，m，n的平均数是1， ①求m的取值范围； ②若，直接写出整数n的值． 34．（25-26七年级下·山西晋中·期中）解不等式（组） (1)求不等式组：的所有整数解． (2)下面是小星同学解不等式的过程： 解：去分母，得：第一步 去括号，得：第二步 移项，得：第三步 合并同类项，得：第四步 系数化为1，得：第五步 ①小星同学的解答过程从第 步开始出错；错误原因 ． ②请写出你认为正确的解答过程． 35．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·开学考试）解决下列问题： (1)解不等式组，并写出非负整数解． (2)一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了3小时；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了5小时．已知船在静水中的速度是8千米/时，则水流的速度是多少？ 【经典例题六 一元一次不等式组与方程组结合压轴】 36．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 37．（24-25七年级下·全国·假期作业）关于x，y的方程组的解满足，且关于x的不等式组有解，求符合条件的整数k的值． 38．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）已知关于，的方程组， (1)若，求的值； (2)方程组的解均为非负数，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，化简：． 39．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于，的二元一次方程组（为常数）． (1)若方程组的解也满足方程，求的值； (2)若方程组的解也满足不等式，求的取值范围． 40．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如果一个不等式（组）的解组成的集合包含了一个方程（组）的解，那就称这个不等式（组）的解集为这个方程（组）的“理想集”．例如，不等式的解集为，方程的解为，显然，所以是的“理想集”． (1)不等式的解集是下列方程______（填序号）的“理想集” ①；②；③． (2)若不等式组的解集是方程的“理想集”，求的整数解． (3)是否存在实数使得不等式组的解集是方程组的“理想集”，若存在，求出的取值范围；若不存在请说明理由． 41．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为该不等式组的子集方程． (1)给出下列方程： ①； ②； ③． 其中为不等式组的子集方程的是 　　（填序号）； (2)已知关于的不等式组． ①若方程是该不等式组的子集方程，求的取值范围； ②若方程，都不是该不等式组的子集方程，则的取值范围是 　　． 42．（24-25七年级下·广西南宁·期末）阅读理解； 定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值，成为此方程（组）和不等式（组）的“理想解”，当时，，则称“”是方程与不等式的“理想解”． 问题解决： (1)请判断方程的解是此方程与以下哪些不等式（组）的“理想解” （直接填写序号）； ①；②；③． (2)若关于x，y的方程组与不等式有“理想解”，求a的取值范围； (3)若关于x，y的方程组与不等式的“理想解”均为正数（即“理想解”中的x，y均为正数），求b的取值范围 【经典例题七 特殊不等式组压轴】 43．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）我们用表示不大于的最大整数，例如请解决下列问题： （1）= ． = ．（其中为圆周率）； （2）已知满足方程组求的取值范围． 44．（24-25八年级上·江苏南京·开学考试）已知关于、的方程组（实数m是常数）. （1）求方程组的解（用字母的代数式表示）. （2）若方程组的解满足且. ①求的取值范围； ②化简：. 45．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集， 解:利用不等式的性质，不等式两边都除以， 因不知的符号，所以应分情况讨论: 当即时， 当即时，； 当，即时，此不等式为无解． 请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式． 46．（24-25七年级下·宁夏石嘴山·月考）阅读下面材料：分子、分母都是整式，并且分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式． 小亮在解分式不等式时，是这样思考的：根据两数相除，同号得正，异号得负．原分式不等式可转化为下面两个不等式组： ①或② 解不等式组①得， 解不等式组②得． 所以原不等式的解集为或． 请你参考小亮思考问题的方法，解分式不等式． 47．（24-25七年级下·陕西安康·期末）阅读下列关于不等式的解题思路： 由两实数的乘法法则“两数相乘，同号得正”可得： ①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得， 等式的解集为或 请利用上面的解题思路解答下列问题： (1)求出的解集； (2)求不等式的解集． 48．（24-25七年级下·福建福州·期末）阅读下列材料：已知，且，，试确定的取值范围. 解： ......① 又......② 由①与②组成不等式组，得 解得 将代入得： （依据不等式性质） （依据不等式性质） 即 的取值范围为： （1）请仿照上述方法，完成问题：已知，且，，试确定的取值范围. （2）若设（1）中，，求的最大值与最小值差的平方根. 49．（24-25七年级下·四川宜宾·期中）阅读： 我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解:（1）当，即时： 解这个不等式，得： 由条件，有： （2）当，即 时， 解这个不等式，得： 由条件，有： ∴   如图， 综合（1）、（2）原不等式的解为： 根据以上思想，请探究完成下列个小题： ； 【经典例题八 一元一次不等式的新定义运算】 50．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：对于实数，符号表示不大于的最大整数．例如，，，． (1)______． (2)如果，那么的取值范围是______． (3)如果，求的取值范围． 51．（24-25七年级下·河北唐山·期末）现定义运算“”，对于任意有理数、，都有，例如：，请根据上述知识解决问题： (1)化简：； (2)若（1）的代数式值大于而小于9，求的取值范围． 52．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）对于任意实数m，n定义一种新运算，等式的右边是通常的加减法和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中恰有两个整数解，求a的取值范围． 53．（24-25七年级下·河南三门峡·月考）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”．例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①；②；③中，是不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 54．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称一元一次方程为这个一元一次不等式组的“子方程”．例如：的解为，的解集为．因为在的范围内，所以是的“子方程”． (1)方程______不等式组的“子方程”；（填“是”或“不是”） (2)若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； (3)若方程是关于的不等式组的“子方程”，求的取值范围． 55．（24-25七年级下·四川广元·期末）阅读与思考 定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”． 例如：方程的解为， 不等式组的解集为． ， 方程为不等式组的“相伴方程”． 阅读上面的内容完成下列问题： (1)填空：下列方程是不等式组的“相伴方程”的是__________；（填序号） ①；        ②；        ③． (2)若关于的方程是不等式组的“相伴方程”，求的取值范围． 56．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”．例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． (1)在方程①，②，③中，不等式组的“关联方程”是__________（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若方程都是关于的不等式组的“关联方程”，试求的取值范围． 【经典例题九 一元一次不等式组的实际应用】 57．（24-25七年级下·全国·单元测试）一天上班高峰时，某大厦电梯已经挤了很多人，现在所有人重量为x公斤．85公斤的大胖硬是挤了进去，这时电梯因超重警示音响起，大胖不得不走出电梯等待下一班．此时55公斤的小瘦抓紧机会坐上了电梯，警示音未响起，电梯缓缓关上了门，留下了尴尬的大胖．已知当电梯承载的重量超过300公斤时警示音响起，求x的取值范围． 58．（24-25六年级下·上海浦东新·期末）已知方程组的解满足：为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，是否存在，使成立？ (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为？ 59．（24-25七年级下·全国·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 60．（24-25七年级下·山西晋城·期末）阅读下面材料，完成任务． 我们知道二元一次方程有无数组解，但在实际生活中我们往往只需要求出其正整数解． 例：由得（为正整数），   ∴    则有   又为正整数， ∴为正整数． 由2与3互质可知，为3的倍数，从而， ∴， ∴的正整数解为 任务： (1)请你写出方程的正整数解____________； (2)若为自然数，则满足条件的有______ 个； (3)七年级某班为了奖励学习进步的学生，购买了单价为每本3元的笔记本与单价为每支5元的钢笔两种奖品，共花费35元，问有几种购买方案？ 61．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）某电器超市销售每台进价160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况，（进价、售价保持不变，利润销售收入进货成本） 销售 时段 销售量 销售 收入 A型号 B型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若超市准备用不多于7500元的金额再购进这两种型号的电风扇共50台，且该超市销售完这批电风扇利润能超过1850元，则该超市有哪几种进货方案． 62．（24-25七年级下·山东济宁·期末）数学活动 数学项目学习小组为解决某超市购物车从1楼到2的转运问题，进行了调研获得如下信息： 信息1 购物车的尺寸示意图如图①所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成购物车列．如图②所示，3辆购物车叠放所形成的购物车列，长度为． 信息2 购物车可以通过扶手电梯或直立电梯转运．为安全起见，该超市的扶手电梯一次最多能转运24辆购物车，直立电梯一次最多能转运2列长度均为的购物车列． 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)当n辆购物车按如图②所示的方式叠放时，形成购物车列的长度为___（用含n的代数式表示）； (2)求该超市直立电梯一次最多能转运多少辆购物车？ (3)若该超市需转运120辆购物车，使用电梯总次数为6次，则有哪几种方案可供选择？请说明理由． 63．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【阅读材料】 养成健康饮水的习惯 素材1 1．《中国居民膳食指南2022版》中提到“足量饮水”的建议：在温和气候条件下，成年人每天需喝水，如果等到渴了再喝水，身体可能已经处于缺水状态． 2．建议大家养成主动饮水的习惯．喝水时要注意避免喝过冷或过热的水，否则会引起胃肠道不适，健康饮水的适宜温度在． 素材2 1．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．已知温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为． 2．若接水过程中不计热量损失，混合温度可以用下列公式转化：混合后温度混合后体积温水温度温水体积开水温度开水体积． 【问题解决】 (1)若小康先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水，求小康分别接温水和开水的体积；（不计热量损失） (2)按照每杯水量计算，小康一天喝 杯水，能符合中国居民膳食指南提到的“足量饮水”的建议；（结果取整数） (3)若小康先用水杯接了开水，为了身体的健康，小康至少要接多长时间温水才能达到饮水的适宜温度？ 学科网（北京）股份有限公司 $