专题07 相交线与平行线章末49道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

专题07相交线与平行线章末49道压轴题型专训（7大题型） 题型一 相交线与垂线综合应用 题型二 利用平移解决实际问题 题型三 根据平行线的性质探究角的关系 题型四 平行线的性质在生活中的应用 题型五 平行线中的翻折问题 题型六 平行拐点模型综合 题型七 平行线与相交线几何证明 【经典例题一 相交线综合应用】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，欣欣的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线垂足是点O．射线与水平线的夹角，根据光的反射原理可知：，求的度数． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 6．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点． 当时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分； 当时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分； 则：当时，三条直线将一个平面分成 部分； 当时，四条直线将一个平面分成 部分； 若n条直线将一个平面分成个部分， 条直线将一个平面分成 个部分． 试探索、、n之间的关系． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料： 我们学过补角，现给出邻补角的定义如下： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图： 直线与相交，与互为邻补角，． 解决问题： 如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角； (2)写出，的对顶角； (3)如果，求，． 【经典例题二 利用平移解决实际问题】 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，古城河在处直角转弯，河宽相等，从M处到达N处，须经过两座桥：，，问如何恰当造桥使得M到N路程最短． 9．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的事，如图所示， 爸爸：“小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？” 爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？” 小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了．” 你认为小刚的方法可以吗？说明理由． 10．（24-25七年级下·广东中山·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）两个一模一样的梯形纸片如图（1）摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图（2）．已知AD=4，BC=8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，求图（2）中平移距离A′A． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 13．（2025·贵州遵义·一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为米，剩余部分为绿化． (1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含的代数式表示）． (2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度． 14．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）解答题． （1）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是、． ①画出平移后的． ②连接、，则这两条线段之间的关系是__________． （2）如图①是体育课上跳远的场景，若运动员落地时后脚跟所在的点为，起跳线为，请用图②说明怎样测量该运动员的跳远成绩，并说明其中的原因． 【经典例题四 根据平行线的性质探究角的关系】 15．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图所示，，且与的平分线交于点F， (1)判断与的数量关系． (2)若，求的大小． 16．（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 17．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，直线分别交于点A、C、E (1)当位置如图1所示，点P为射线上一点时，则，请说明理由． (2)当位置如图2所示，点P为直线EF上一点时，则，的数量关系是 ． 19．（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）学习平行线的证明后，宋老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是小星和小红的探究思路： 我的猜想是：这两个角相等． 思路如下： 你的猜想不一定正确， 举反例如下：   已知：如图，，． 求证： 证明：      已知：如图，，． …    (1)【猜想与证明】请完成小星的证明过程； (2)【发现与探究】根据小红的反例，探索与之间的关系，并证明； (3)【思考与结论】综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请直接写出这两个角的关系． 20．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 21．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1，，射线的端点在射线上（不与点重合），． (1)若，求的度数； (2)把“”改为“”，保持不变，然后将射线沿射线平移到的位置，如图2所示，探究和的数量关系； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线，与的平分线交于点（如图3），若，请用含的式子表示（直接写出答案即可）． 【经典例题五 平行线的性质在生活中的应用】 22．（24-25七年级下·四川达州·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？    23．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，梯子的各条横档互相平行． （1）若，求的度数． （2）用足够长的木棍做横档，假定木棍无浪费且恰好用完．已知每一根横档比上一根横长0.1米，若第二根横档与第三根横档长度之和为0.8米，已知最长的横档长为1.25米，求最短的横档长几米，这条木梯有几根横档？ 24．（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 25．（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 26．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E． （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系． 28．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【经典例题六 平行线中的翻折问题】 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将一张上、下两边平行（即）的纸带沿直线折叠，为折痕．试说明：． 30．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，在长方形中，，，，，将长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，求的度数． 31．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点F处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 32．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是 ． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是 ． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 33．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）补全下面推理过程：生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ∵， ∴（①________）（②________）， ∴（③________）（④________）， ∵， ∴（⑤________）（⑥________）， ∵， ∴（⑦________）， ∴， ∴⑧（________）°． 34．（24-25七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 35．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【经典例题七 平行拐点模型综合】 36．（24-25七年级下·海南三亚·月考）如图，，试证明． 证明：过点作， ∵，． ∴____________（            ）， ∴______（            ）， ∵，∴______（            ）， ∴______， 即． 37．（24-25七年级下·浙江·期末）如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 38．（24-25七年级下·北京·期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角． (1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为　　°； (2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE； ①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数； ②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 39．（24-25七年级下·河北沧州·期末）【特例探究】如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． （1）若，则的度数为____________； 【总结归纳】（2）探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 40．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 41．（24-25七年级下·河北沧州·期中）（1）引入：在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图所示，ABCD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE． 嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证： 证明：如图，过点E作EFAB． （2）思考：当点E在如图所示的位置时，其他条件不变，写出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之间的数量关系并说明理由． （3）应用：如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度数． （4）提升：点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图．若∠EFG＝m°，直接写出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的总度数． 42．（24-25七年级下·山西大同·期中）综合与探究 探索发现： （1）老师在数学课上留下一道思考题：如图1，，点在、之间，连接、，试说明． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 请选择其中一种方法写出证明过程． 解决问题： （2）已知直线，连接，，． ①如图4，分别平分，，求的度数． ②如图5，延长线段至点，过点作交CD的延长线于点，，分别平分，，请判断的度数是否为定值．若是， 直接写出的度数；若不是，请说明理由． 【经典例题八 平行线与相交线几何证明】 43．（24-25七年级下·山东青岛·期中）几何证明题： 已知：如图，．求证：．    44．（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 45．（24-25七年级下·山西朔州·期末）在学习完第七章《相交线与平行线》后，王老师布置了一道几何证明题如下：“如图，直线，被直线所截，平分，求的度数．”善于动脑的小军快速思考，找到了解题方案，并写出了如下不完整的解题过程．请你将该题解题过程补充完整： 解：（已知）， （___________）， （___________）． （邻补角的定义）， ___________°．（等式性质）． 平分（已知）， ___________（角平分线的定义）， ___________．（等式性质）， ___________．（等式性质）． 46．（24-25七年级下·陕西西安·月考）将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝．在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．    (1)在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角（如图1），图中，有______对同位角，______对同旁内角，______对内错角； (2)如图，平面内三条直线两两相交，图中，有______对同位角，______对同旁内角， ______对内错角； (3)如图，平行直线、与相交直线、相交，则图中同旁内角共有______对； (4)如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个． 47．（24-25七年级下·北京大兴·期末）我们通过剪拼的方法，知道“三角形内角和等于”这一结论，但这种实验得到的结论仍需要严格的证明，小明同学利用所学的平行线的相关知识，采用两种方法，通过添加辅助线进行证明，请你选择其中一种方法完成证明． 已知：如图，三角形， 求证：． 方法一： 证明：如图，过点作． 方法二： 证明：如图，过点作，延长到点． 48．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． 如图一，已知，，请说明． 解：分别过点，作，． 因为①，所以． 由②，可知，，． 由题知，所以③． 则，即④． 由⑤，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． （2）【迁移应用】如图二，已知，，的交点为．判断，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，求的大小． 49．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）问题探究： 如图①，已知ABCD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作EFAB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D． 李思同学：如图③，过点B作BFDE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D． 问题解答： (1)请按张山同学的思路，写出证明过程； (2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 问题迁移： (3)如图④，已知ABCD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07相交线与平行线章末49道压轴题型专训（7大题型） 题型一 相交线与垂线综合应用 题型二 利用平移解决实际问题 题型三 根据平行线的性质探究角的关系 题型四 平行线的性质在生活中的应用 题型五 平行线中的翻折问题 题型六 平行拐点模型综合 题型七 平行线与相交线几何证明 【经典例题一 相交线与垂线综合应用】 1．（2025七年级上·全国·专题练习）经过直线上的一点，能用三角板或量角器画直线的垂线吗画出的垂线有几条经过直线外的一点呢 【答案】经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条． 【分析】本题主要考查了画已知直线的垂线，熟练掌握同一平面内，过已知点有且只有一条直线与已知直线垂直是解题的关键． 三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线；量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线． 【详解】解：三角板画法：将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿重合的直线平移三角板，使三角板的另一条直角边过点A（或点B），过点A（或点B）沿直角边向已知直线画直线即可 ，这条直线就是的垂线，在同一平面内，过一点只能画一条直线的垂线； 量角器画法：将量角器的刻度线与已知直线重合，沿已知直线移动量角器，使刻度线经过已知点，作出刻度线上的另一点，用量角器的底边连接已知点和另一点，这条直线就是已知直线的垂线； 故经过直线上一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条；经过直线外一点，能用三角板或量角器画的垂线，这样的垂线能画出条． 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，欣欣的弹力球掉到了床下，他借助平面镜反射的原理找到了弹力球的位置．其中是入射光线，是反射光线，法线垂足是点O．射线与水平线的夹角，根据光的反射原理可知：，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，根据垂直的定义可得，结合，从而可得，即可求解， 【详解】解：， ， ， ， ，且， ． 3．（24-25七年级下·河南安阳·月考）（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【答案】（1）图见解析；（2）；（3），垂线段最短 【分析】本题考查了作垂线、点到直线的距离、以及垂线段最短，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用三角板的两条直角边画图：“一落”、“二移”、“三画”即可得； （2）根据点到直线的距离的定义解答即可得； （3）根据垂线段最短解答即可得． 【详解】解：（1）过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交于点，如图所示： （2）∵是的垂线， ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （3）线段、的大小关系为．理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线被直线所截． (1)请写出图中和中的同位角、内错角和同旁内角． (2)如果，那么和相等吗？为什么？和又是什么关系？ 【答案】(1)是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角 (2)，理由见解析； 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义以及对顶角相等、邻补角互补，熟练掌握有关定义和性质是解决问题的关键． （1）由同位角、内错角、同旁内角的定义容易得出结论； （2）由对顶角相等和邻补角互补等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：是同位角；是同位角；是内错角；是同旁内角； （2）解：，理由如下： ， ； ， ． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，一个方块从某一个起始角开始，经过若干步跳动后，到达终点角，跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从跳到终点位置的路径如下： 路径1：． 路径2：． …… (1)写出任意一条从起始位置→终点位置的路径； (2)从起始位置依次按内错角、同位角、同旁内角的顺序能否到达终点位置？并写出路径． 【答案】(1)．（答案不唯一） (2)能，路径如下： ．（答案不唯一） 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． （1）根据内错角，同位角，同旁内角直接逐个判断即可得到答案； （2）根据内错角、同位角、同旁内角反向推导即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，．（答案不唯一） （2）解：能，路径如下： ．（答案不唯一） 6．（24-25七年级下·安徽安庆·月考）在同一平面内有n条直线，任何两条不平行，任何三条不共点． 当时，如图（1），一条直线将一个平面分成两个部分； 当时，如图（2），两条直线将一个平面分成四个部分； 则：当时，三条直线将一个平面分成 部分； 当时，四条直线将一个平面分成 部分； 若n条直线将一个平面分成个部分， 条直线将一个平面分成 个部分． 试探索、、n之间的关系． 【答案】7；11； 【分析】一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分． 【详解】解：当时，分成2部分， 当时，分成部分， 当时，分成部分， 当时，分成部分， 规律发现，有几条直线，则分成的部分比前一种情况多几部分， ∴、、n之间的关系是． 【点睛】本题是对图形变化问题的考查，根据前四种情况发现有几条直线则分成的空间比前一种增加几部分是解题的关键． 7．（24-25七年级下·全国·单元测试）阅读材料： 我们学过补角，现给出邻补角的定义如下： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图： 直线与相交，与互为邻补角，． 解决问题： 如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角； (2)写出，的对顶角； (3)如果，求，． 【答案】(1)的邻补角是，；的邻补角是，； (2)的对顶角是；的对顶角是； (3)， 【分析】本题考查了邻补角的定义，对顶角的定义，邻补角互补，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据邻补角的定义进行作答即可； （2）根据对顶角的定义进行作答即可； （3）结合邻补角互补的性质，对顶角相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，的邻补角是，； 的邻补角是，； （2）解：的对顶角是；的对顶角是； （3）解：∵， ∴（对顶角相等）， ∴（邻补角定义）， 【经典例题二 利用平移解决实际问题】 8．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，古城河在处直角转弯，河宽相等，从M处到达N处，须经过两座桥：，，问如何恰当造桥使得M到N路程最短． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平移解决最短路径问题，解题的关键是通过平移将折线路程转化为直线距离，利用“两点之间线段最短”的原理确定最短路径． 将点M沿垂直于河岸的方向平移河宽的距离得到点将点N沿垂直于河岸的方向平移河宽的距离得到点连接使其与河岸分别交于D、F两点；过D、F分别作垂直于对应河岸的线段、即为所求的桥的位置，此时M到N的路程最短． 【详解】解：如图，作，且河宽，作，且河宽，连结与河岸相交于D，F两点，作，，即为所求造的桥使得M到N路程最短． 9．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）星期天早晨，小刚和爸爸正在商量往楼梯上铺地毯的事，如图所示， 爸爸：“小刚，你帮我算一下，从一层铺到二层需要地毯几米？” 爸爸：（打断小刚的话）“不量每阶的高度和宽度，你想想有没有办法？” 小刚：（思索）“有了，只需要量出楼梯的总高和总长度再相加，就行了．” 你认为小刚的方法可以吗？说明理由． 【答案】可以，理由见详解； 【分析】本题主要考查了平移的应用，根据题意可知地毯的宽度是确定的，求出长即可，根据平移的性质得到量出楼梯的总高和总长度相加得出答案； 【详解】解：可以，理由如下， 由图可得， 地毯的总长为：，刚好是总长与总高的和， ∴小刚的方法可以． 10．（24-25七年级下·广东中山·期中）某小区准备开发一块长为，宽为的长方形空地， (1)方案一：如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移就是它的右边线．则这块草地的面积为 _____ ； (2)方案二：修建一个长是宽的1.5 倍，面积为的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在到之间，宽在到之间． 这个篮球场能用做比赛吗？ 并说明理由． 【答案】(1)651 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，平方根的定义等知识． （1）由题意，草地的长减小，宽不变，因而可求得草地的面积； （2）设宽，则长为，根据面积公式即可得关于x的方程，由平方根的定义即可求得x，再对x的值进行估算，若满足题意即可，否则不行． 【详解】（1）解：由题意，小路的左边线向右平移就是它的右边线即小路的宽为， 则草地的长减小，宽不变， 面积为； 故答案为：651． （2）能，理由如下： 设宽，则长为， 依题意有：， ∵， ∴， 符合长在到之间，宽在到之间， ∴这个篮球场能用做比赛． 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）两个一模一样的梯形纸片如图（1）摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图（2）．已知AD=4，BC=8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，求图（2）中平移距离A′A． 【答案】3 【分析】由两梯形全等，得到上底及下底对应相等，设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A=x，则B′B=x，由上底及下底的长分别表示出AD′和BC′，根据平移的性质得到图（2）除去阴影部分左边把右边四边形的面积相等，根据阴影部分的面积等于图（2）总面积的，得到阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′面积的一半，由梯形的面积公式分别表示出阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′的面积，把各自表示出的边代入，消去h求出x的值，即为平移距离A′A的长． 【详解】∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′全等， ∴AD=A′D′=4，BC=B′C′=8， 设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A=x，则B′B=x， ∴AD′=A′D′-A′A=4-x，BC′=B′C′-B′B=8-x， 由平移的性质可知：S四边形A′ABB′=S四边形D′DCC′， 又∵S阴影=S四边形A′B′CD， ∴S阴影=S四边形ABCD， ∴h（AD′+BC′）=×h（A′D′+B′C′）， 即h（4-x+8-x）=h（4+8）， 化简得：6-x=3， 解得：x=3， ∴A′A=3． 【点睛】此题考查了平移的性质，以及梯形的面积公式，平移的性质有：对应点的连线平行（或重合）且相等，对应线段平行（或重合）且相等．其中根据平移的性质及题意得出S阴影＝S四边形A′B′C′D′是解本题的关键． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 13．（2025·贵州遵义·一模）如图1，计划在长为30米、宽为20米的矩形地面上修筑两条同样宽的道路①、②（图中阴影部分），设道路①、②的宽为米，剩余部分为绿化． (1)道路①的面积为___________平方米；道路②的面积为___________平方米（都用含的代数式表示）． (2)如图2，根据实际情况，将计划修筑的道路①、②改为同样宽的道路③（图中阴影部分），若道路的宽依然为米，剩余部分为绿化，且绿化面积为551平方米，求道路的宽度． 【答案】(1)， (2)1米 【分析】（1）道路①根据长方形的面积公式求解即可，道路②利用平移，可转化为道路①求解； （2）设道路的宽x米，则余下部分可合成长为m，宽为m的长方形，根据草坪的面积为551平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】（1）解∶道路①的面积为平方米，道路②的面积为平方米 （2）解：根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去） 答：道路的宽度为1米． 【点睛】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 14．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）解答题． （1）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是、． ①画出平移后的． ②连接、，则这两条线段之间的关系是__________． （2）如图①是体育课上跳远的场景，若运动员落地时后脚跟所在的点为，起跳线为，请用图②说明怎样测量该运动员的跳远成绩，并说明其中的原因． 【答案】（1）①画图见解析；②、；（2）过点作于点，的长就是该运动员的跳远成绩，理由：垂线段最短． 【分析】（1）①根据平移的意义进行画图可得；②根据平移的性质求解；平移的基本性质：图形的大小、形状不变（就是全等的）,只是位置改变；任意的对应点的连线都是平行的；任意对应点的距离都是相等的； （2）根据“垂线段最短”可得． 【详解】（1）①如图所示， 所以即为所求． ②由平移的性质知、． 故答案为：、． （2）如图所示： 过点作于点，的长就是该运动员的跳远成绩，理由：垂线段最短． 【点睛】本题考查平移的定义和性质，垂线段最短，掌握各知识点是解题关键． 【经典例题三 根据平行线的性质探究角的关系】 15．（24-25七年级下·山东青岛·期末）如图所示，，且与的平分线交于点F， (1)判断与的数量关系． (2)若，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点E作，根据猪蹄模型进行计算，即可解答； （2）利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：过点E作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， （2）解：∵， ∴． 16．（24-25七年级下·全国·周测）在一次数学活动课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a，b，且，直角三角尺ABC中，，． 【操作发现】（1）如图①，当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____________． 【探索证明】（2）如图②，当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）（2）．理由见解析 【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，，可求出的度数； （2）由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系． 【详解】解：（1）如图，过点作． ，， ， ，， ． ， ． ， ． 故答案为：． （2）．理由如下： 如图． 由（1）可知． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 17．（24-25七年级下·湖南益阳·期末）已知，，点为射线上一点． (1)如图1，当点在线段上时，若，求的度数． (2)如图2，当点在的延长线上时，此时与交于点，则之间满足怎样的等量关系，请说明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）过E作，根据平行线的性质得到，，即可求得. （2）过E作，根据平行线的性质得到，，即． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴. （2）解：． 理由如下： 过E作， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 18．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：，直线分别交于点A、C、E (1)当位置如图1所示，点P为射线上一点时，则，请说明理由． (2)当位置如图2所示，点P为直线EF上一点时，则，的数量关系是 ． 【答案】(1)见详解 (2)当点在点左侧时，；当点在点右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）利用两直线平行内错角相等，得出相等的角，然后等量代换即可； （2）利用两直线平行同旁内角互补，得出角的关系，然后利用角的和差进行表示即可． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴； （2）解：①如图所示，当点在点左侧时， ∵， ∴， ∴； ②如图所示，当点在点右侧时， ∵， ∴， ∴； 故答案为：当点在点左侧时，；当点在点右侧时，． 19．（25-26七年级下·贵州贵阳·期末）学习平行线的证明后，宋老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是小星和小红的探究思路： 我的猜想是：这两个角相等． 思路如下： 你的猜想不一定正确， 举反例如下：   已知：如图，，． 求证： 证明：      已知：如图，，． …    (1)【猜想与证明】请完成小星的证明过程； (2)【发现与探究】根据小红的反例，探索与之间的关系，并证明； (3)【思考与结论】综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请直接写出这两个角的关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 【分析】本题主要考查平行线的性质，关键是熟练掌握“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，同旁内角互补”等平行线的性质定理，并能结合图形进行角的等量代换． （1）利用平行线的同位角相等进行等量代换，证明两个角相等； （2）小红的反例中，利用平行线的同旁内角互补和内错角相等，证明两个角互补； （3）综合前两问的结论，总结出两边分别平行的两个角的关系． 【详解】（1）证明：(已知)， (两直线平行，同位角相等)， (已知)， (两直线平行，同位角相等)， (等量代换)； （2）解：．证明如下： (已知)， (两直线平行，同旁内角互补)， (已知)， (两直线平行，内错角相等)， (等量代换)； （3）解：综上，当一个角的两边与另一个角的两边分别平行时，这两个角的关系为相等或互补． 20．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）如图1，是我国西北地区农村使用的太阳能烧水器，其原理是利用凹面镜的聚光技术，如图2是图1的轴截面示意图，太阳光线，经过凹面镜的反射后，反射光线，交于一点P． (1)如图2，若和，则　　　； (2)如图3，已知，点M，N分别在，上，点P是，之间右侧任意一点，连接，，若，请写出之间的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在（2）的基础上平分，平分，若，，请直接求的值．（不需要写解答过程） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． （1）作辅助线构造平行线，从而得到，根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”求解即可； （2）作辅助线构造平行线，由平行线的性质可得，，由此可求解； （3）由角平分线的性质可得，，再根据（2）中的结论同理可得，由此可求． 【详解】（1）解：过点P作（点R在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点P作（点H在点P的左侧），如图， ∵， ∴， ∴，， ∴, ∵， ∴； （3）解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， 由（2）中的结论可知，， 同理可得， ∴． 21．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图1，，射线的端点在射线上（不与点重合），． (1)若，求的度数； (2)把“”改为“”，保持不变，然后将射线沿射线平移到的位置，如图2所示，探究和的数量关系； (3)在（2）的条件下，过点作的垂线，与的平分线交于点（如图3），若，请用含的式子表示（直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“两直线平行，内错角相等”，得出，根据周角为，结合已知，计算出的度数即可； （2）作，可得，根据“两直线平行，内错角相等”，平角为，推出，根据“两直线平行，同旁内角互补”，推出，由，代入整理式子，即可得出和的数量关系； （3）过点作交于点，则， 根据，点作的垂线，与的平分线交于点，，由（2）得，推出，，，，，由，代入整理式子，即可用含的式子表示． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ； （2）解：如图，作，可得， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作交于点，则， ， 又∵，点作的垂线，与的平分线交于点，，由（2）得， ∴，， ，， ∴， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了平行线的性质、周角与补角、角的和差计算，熟练掌握平行线的性质、正确分析角的和差关系是解题的关键． 【经典例题四 平行线的性质在生活中的应用】 22．（24-25七年级下·四川达州·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？    【答案】当秒或秒时，两灯的光束互相平行 【分析】设A灯转动t秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据两灯的光束互相平行列出方程求解即可． 【详解】解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，，解得； ②当时， ，解得； ③当时，，解得（不合题意）； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质与一元一次方程的综合，熟练运用平行线的性质找等量关系是解题的关键． 23．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，梯子的各条横档互相平行． （1）若，求的度数． （2）用足够长的木棍做横档，假定木棍无浪费且恰好用完．已知每一根横档比上一根横长0.1米，若第二根横档与第三根横档长度之和为0.8米，已知最长的横档长为1.25米，求最短的横档长几米，这条木梯有几根横档？ 【答案】（1）100°；（2）0.25米，11根 【分析】（1）依据AB∥CD，可得∠1=∠3，根据∠1=∠2+20°，即可得到∠2=∠3-20°，再根据邻补角即可得到∠3=100°． （2）根据题意算出第二、三根横档的长，再分别列式求出结果． 【详解】解：（1）∵AB∥CD， ∴∠1=∠3， 又∵∠1=∠2+20°， ∴∠3=∠2+20°，即∠2=∠3-20°， 又∵∠3+∠2=180°， ∴∠3+∠3-20°=180°， ∴∠3=100°； （2）∵第二根横档与第三根横档长度之和为0.8米， 且每一根横档比上一根横长0.1米， 则（0.8-0.1）÷2=0.35米， ∴第二根长0.35米，第三根长0.45米， 则最短的横档长为0.35-0.1=0.25米， （1.25-0.25）÷0.1+1=11根， ∴这条木梯共有11根横档． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，有理数的混合运算的实际应用，解题时注意：两直线平行，同位角相等． 24．（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【详解】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 25．（24-25七年级下·四川成都·期末）某小区车库门口有一种折叠道闸，如图，已知为水平地面，于点A，为折叠栏杆，，D是栏杆上的活动连接点，栏杆在绕点C旋转时栏杆可以折叠成和，且与地面平行，经测量，当时，可以保证家用小车顺利通过，求此时的度数． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，先根据得到，再求出，最后根据求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵与地面平行，， ∴， ∴， ∴． 26．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． 27．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E． （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系． 【答案】（1）画图见解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45° 【分析】（1）补全DE∥AB即可，过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，由平行线性质可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数； （2）设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，则x-y=45°，从而得∠DMN-∠CDM=45°． 【详解】解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H， 则l∥m， 根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°， 又∠HDE=90°， ∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°． （2）如图所示， 设∠DMN=x，∠CDM=y， 由于DE∥FN， ∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x， 又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°， 则x-y=45°， 即∠DMN-∠CDM=45°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到∠CDF=135°是解题的关键． 28．（24-25七年级下·湖南怀化·期末）除夕夜，小明在江边观赏灯光秀时，发现两岸的光线时而相交时而平行．小明想起了学习的《相交线与平行线》，对光线的位置关系产生好奇．经咨询相关工作人员了解到以下信息：如图1，两岸所在直线与平行，即灯射出的光线从开始以/秒顺时针旋转，同时灯射出的光线从开始/秒逆时针旋转，且灯在灯的正对面．设的旋转时间为秒． (1)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (2)在首次到达之前，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由； (3)零点时刻，岸边灯熄灭，岸边灯同时发出两束光线和，如图2，光线从开始绕点以秒逆时针旋转，光线从开始绕点以秒顺时针旋转，在射线旋转一周的时间内，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出时间的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在某一时刻，使得，此时 (2)存在某一时刻，使得，此时 (3)存在某一时刻，使得，此时或27 【分析】（1）根据题意得：，连接，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （2）根据题意得：，设射线交于点G，过点G作，则，根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到关于t的方程，即可求解； （3）分两种情况讨论：当和相遇前时；当和相遇后时，结合一元一次方程解答即可． 【详解】（1）解：存在， 根据题意得：， 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （2）解：存在， 根据题意得：， 如图，设射线交于点G，过点G作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：， 即存在某一时刻，使得，此时； （3）解：存在， 根据题意得：，， 当和相遇前时，， ∴， 解得：； 当和相遇后时，， ∴， 解得：； 综上所述，存在某一时刻，使得，此时或27． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，解题的关键在充分利用数形结合和分类讨论思想进行解答． 【经典例题五 平行线中的翻折问题】 29．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，将一张上、下两边平行（即）的纸带沿直线折叠，为折痕．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质得到、，再根据角的和差即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 30．（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，在长方形中，，，，，将长方形沿着直线折叠，使点C落在处，交于点E，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠，解题关键是根据平行线的性质和折叠得出角之间的关系，然后利用已知角求解． 【详解】解：由折叠可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）如图，在四边形纸片中，，将纸片沿折叠，使点B落在边上的点F处． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． （1）与平行，理由为：由，都与垂直，得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证； （2）由与平行，利用两直线平行同位角相等得到，由折叠得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解： ， 理由如下： 因为将纸片沿折叠， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）由（1）可知， 所以， 因为， 所以， 因为将纸片沿折叠， 所以． 32．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·月考）阅读材料：学习了平行线后，小明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的（如图中的①﹣④，虚线部分表示折痕）．从图中可知，小明画平行线的依据有哪些？填一填． 想法一：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，，则，依据是 ． 想法二：如图④，由图②中的折叠可知，，由图③中的折叠可知，则，所以，依据是 ． 解决问题：如图⑤，于点，于点，．求证：平分． 【答案】想法一：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；想法二：同位角相等，两直线平行；解决问题：见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和平行公理的应用，熟记平行线的判定定理与平行公理推论是解题的关键． 阅读材料：想法一：根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可； 想法二：根据“同位角相等，两直线平行”求解即可； 解决问题：由垂直可证明，由平行线的性质可得到，可证得结论，据此解答即可． 【详解】解：阅读材料：想法一：，， （同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 想法二：由图②中的折叠得，， ， 由图③中的折叠得，， ， ， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； 解决问题：证明：于点，于点， ， ，， 又， ， 平分． 33．（24-25七年级下·辽宁锦州·期中）补全下面推理过程：生活中常见的一种折叠拦道闸，如图1所示，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如图2所示，垂直于地面于，平行于地面，求的度数． 解：如图，过点作， ∵， ∴（①________）（②________）， ∴（③________）（④________）， ∵， ∴（⑤________）（⑥________）， ∵， ∴（⑦________）， ∴， ∴⑧（________）°． 【答案】；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；； 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点作，如图，由于，则，根据两直线平行，同旁内角互补得，由得，即，于是得到结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∵， ∴，（垂直的定义） ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： ；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；垂直的定义；；． 34．（24-25七年级下·福建三明·期中）综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； ②结论： 理由：由题意得：， ， ， ， ， （2），理由如下： 由题意得：，， ， ， ， ． 35．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知：在图图中，，点，点，点与，在同一平面内． (1)探究与表达请直接写出： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系： 图中，，的数量关系； 图中，，的数量关系； 图中，，，，的数量关系； (2)推导与应用如图，将长方形纸片沿折叠，已知，求的度数． 【答案】(1)； ；；；；； (2)． 【分析】（）根据平行线的判定与性质即可求解； （）利用（）中的结论即可求解； 本题考查了平行线的性质和平行定理推论，熟练掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如图，同理， 同理：； （2）由上可知：， ∵，， ∴． 【经典例题六 平行拐点模型综合】 36．（24-25七年级下·海南三亚·月考）如图，，试证明． 证明：过点作， ∵，． ∴____________（            ）， ∴______（            ）， ∵，∴______（            ）， ∴______， 即． 【答案】；；平行于同一条直线的两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等； 【分析】此题考查了平行线的性质．注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用是解此题的关键． 过点作，利用平行于同一条直线的两直线平行得到，由两直线平行，内错角相等得到，两直线平行内错角相等得到，利用等式的性质得到，等量代换即可得证． 【详解】证明：过点作， ∵，． ∴（平行于同一条直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，∴（两直线平行，内错角相等；）， ∴， 即． 故答案为：；；平行于同一条直线的两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，内错角相等；． 37．（24-25七年级下·浙江·期末）如图1，已知直线，且和、分别交于A、B两点，点P在线段上． (1)如图1，，，之间的等量关系是______．如图2，A点在B处北偏东方向，A点在C处的北偏西方向，则______． (2)如图3，，，之间的有何等量关系？请说明理由． 【答案】(1)；85； (2)，理由见解析． 【分析】此题主要考查了平行线的性质和判定，正确添加辅助线是解决问题的关键． （1）在图1中，作，利用平行线的判定和性质即可证明；作即可得到，代入求得的度数． （2）如图所示，过点P作，根据平行线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】（1）解：（1）如图1中，作，则 ∵， ∴， ∴， 作，则， ∵点A在B处北偏东方向，在C处的北偏西方向， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）如图所示，过点P作， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 38．（24-25七年级下·北京·期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k＞0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，∠N=45°，则∠N为∠M的6系补周角． (1)若∠H=120°，则∠H的4系补周角的度数为　　°； (2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE，DE； ①如图1，∠D=60°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数； ②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE（其中n为常数且n＞1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）． 【答案】(1)60 (2)①∠B=75°，②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n． 【分析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解便可； （2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出∠B的方程，求得∠B便可； ②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k与n的关系即可求解． 【详解】（1）解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得，120+4x=360， 解得，x=60， ∠H的4系补周角的度数为60°， 故答案为：60； （2）解：①过E作EF∥AB，如图1， ∴∠B=∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD，∠D=60°， ∴∠D=∠DEF=60°， ∵∠B+60°=∠BEF+∠DEF， 即∠B+60°=∠BED， ∵∠B是∠BED的3系补周角， ∴∠BED=360°-3∠B， ∴∠B+60°=360°-3∠B， ∴∠B=75°； ②当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，此时k=2n． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，理解题意是解题的关键． 39．（24-25七年级下·河北沧州·期末）【特例探究】如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． （1）若，则的度数为____________； 【总结归纳】（2）探究与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， 故答案为：； （2）； 理由：如图1，过点P作， ， ； （3）①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②． 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得， ， ． 40．（24-25七年级下·广东·期末）综合探究 (1)【课题学习】平行线的“等角转化”功能． 如图①，已知点A是外一点，连接．求的度数． 解：过点A作，则______，， 又∵．∴ ； (2)【方法运用】如图②所示，已知，交于点E，，求的度数． (3)【拓展探究】如图③所示，已知，分别平分和，且所在直线交于点F，过F作，若，求的度数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，利用转化思想解答是解题的关键． （1）过点A作，如图①，根据平行线的性质得到，，然后利用平角的定义得到； （2）过点E作，如图②，利用平行线的性质得到，则，，然后把两式相加可得； （3）过E点作，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，设，，结合平行线的性质得到，利用代入求解即可． 【详解】（1）解：过点A作， ∴，， 又∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：过点E作，如图，    ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴. （3）解：过E点作，如图，    ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵ ． 41．（24-25七年级下·河北沧州·期中）（1）引入：在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，如图是一个“美味”的模型—“猪蹄模型”．如图所示，ABCD，点E在直线AB与CD之间，连接AE、CE，求证：∠AEC＝∠BAE+∠DCE． 嘉琪想到了下面的思路，请根据思路继续完成求证： 证明：如图，过点E作EFAB． （2）思考：当点E在如图所示的位置时，其他条件不变，写出∠BAE，∠AEC，∠DCE三者之间的数量关系并说明理由． （3）应用：如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠BAE＝132°，∠DCE＝118°，求∠MEC的度数． （4）提升：点E、F、G在直线AB与CD之间，连接AE、EF、FG和CG，其他条件不变，如图．若∠EFG＝m°，直接写出∠BAE+∠AEF+∠FGC+∠DCG的总度数． 【答案】（1）证明见解析；（2），理由见解析；（3）；（4）． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得证； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论； （3）先根据（2）的结论求出的度数，再根据邻补角的定义即可得； （4）过点作，从而可得，先根据（2）的结论可得，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】证明：（1）如图，过点作， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 即； （3）由（2）已得：， ， ， ； （4）如图，过点作，则， 由（2）的结论得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、邻补角等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 42．（24-25七年级下·山西大同·期中）综合与探究 探索发现： （1）老师在数学课上留下一道思考题：如图1，，点在、之间，连接、，试说明． 下面是两位同学添加辅助线的方法： 请选择其中一种方法写出证明过程． 解决问题： （2）已知直线，连接，，． ①如图4，分别平分，，求的度数． ②如图5，延长线段至点，过点作交CD的延长线于点，，分别平分，，请判断的度数是否为定值．若是， 直接写出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）①；②为定值， 【分析】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，根据题意作出辅助线，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键． （1）选择小刚添加辅助线的方法，证得，进而可求得，即可求得答案；选择小红添加辅助线的方法，求得，结合即可求得答案． （2）过点E作，根据角平分线及平行线的性质即可求解． （3）过点F作，则，根据平行线的性质及等量代换即可求解． 【详解】证明：（1）选择小刚添加辅助线的方法，证明如下： ∵，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 选择小红添加辅助线的方法，证明如下： ∵， ∴． 又， ∴． （2）①过点E作， ∴， ∵，． ∴，， ∵分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴； ②为定值，理由如下： 过点F作，则， ∵，． ∴，， ∵， ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 【经典例题七 平行线与相交线几何证明】 43．（24-25七年级下·山东青岛·期中）几何证明题： 已知：如图，．求证：．    【答案】见解析 【分析】根据对顶角相等，以及已知条件，可得，证明，得出，根据，可得，则． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 44．（24-25七年级下·江西抚州·期中）如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质： （1）由两直线平行，内错角相等，可得，，等量代换可得； （2）由邻补角的定义可得，再由平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 45．（24-25七年级下·山西朔州·期末）在学习完第七章《相交线与平行线》后，王老师布置了一道几何证明题如下：“如图，直线，被直线所截，平分，求的度数．”善于动脑的小军快速思考，找到了解题方案，并写出了如下不完整的解题过程．请你将该题解题过程补充完整： 解：（已知）， （___________）， （___________）． （邻补角的定义）， ___________°．（等式性质）． 平分（已知）， ___________（角平分线的定义）， ___________．（等式性质）， ___________．（等式性质）． 【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；；． 【分析】本题考查了平行线判定和性质；根据平行线性质和判定，邻补角定义，角平分线定义和等式性质进行分析即可． 【详解】解：（已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． （邻补角的定义）， ．（等式性质）． 平分（已知）， （角平分线的定义）， ．（等式性质）， ．（等式性质）． 故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；；；． 46．（24-25七年级下·陕西西安·月考）将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝．在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．    (1)在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角（如图1），图中，有______对同位角，______对同旁内角，______对内错角； (2)如图，平面内三条直线两两相交，图中，有______对同位角，______对同旁内角， ______对内错角； (3)如图，平行直线、与相交直线、相交，则图中同旁内角共有______对； (4)如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)． 【分析】（）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案； （）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案； （）借助（）（）中的两个基本模型可得结论； （）根据平行线的性质，逐一找出与相等的角可得答案． 本题主要考查了相交线，同位角，内错角，同旁内角，平行线的性质等数学常识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，    图中的同位角有：与，与，与，与； 内错角有：与，与； 同旁内角有：与，与； 故答案为：，，； （2）解：如图，    图中的同位角有：与，与，与，与，与，与，与，与， 与，与，与，与； 内错角有：与，与，与，与，与，与； 同旁内角有：与，与，与，与，与，与； 故答案为：，，； （3）解：图中共有（）型的基本图形个，（）型的基本图形个，由以上的结论可知， 图中共有同旁内角：． 故答案为：． （4）解：∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 47．（24-25七年级下·北京大兴·期末）我们通过剪拼的方法，知道“三角形内角和等于”这一结论，但这种实验得到的结论仍需要严格的证明，小明同学利用所学的平行线的相关知识，采用两种方法，通过添加辅助线进行证明，请你选择其中一种方法完成证明． 已知：如图，三角形， 求证：． 方法一： 证明：如图，过点作． 方法二： 证明：如图，过点作，延长到点． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、平角的定义，选择方法一：根据平行线的性质得出，，再结合平角的定义即可得证；选择方法二：根据平行线的性质得出，，再结合平角的定义即可得证，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：选择方法一： ∵， ∴，， ∵， ∴． 选择方法二： ∵， ∴，， ∵， ∴． 48．（24-25七年级下·山东潍坊·期中）（1）【阅读思考】辅助线是在解决几何问题时，为了帮助我们更好地理解和解决问题，而在原图上添加的一些线．这些线不是题目中原本就有的，是我们根据解题的需要自己画上去的． 如图一，已知，，请说明． 解：分别过点，作，． 因为①，所以． 由②，可知，，． 由题知，所以③． 则，即④． 由⑤，可得． 请根据自己的理解，将上述推理过程补充完整． （2）【迁移应用】如图二，已知，，的交点为．判断，，之间的数量关系，并说明理由． （3）【拓展延伸】在第（2）题的条件下，现对图二作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为，…，第次操作，分别作和的平分线，交点为，如图三．若，求的大小． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握平行线的性质． （1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）过作，得到，推出，，结合，即可求解； （3）根据规律，推出，即可求解． 【详解】解：（1）①， ②两直线平行，内错角相等； ③； ④； ⑤内错角相等，两直线平行． （2），理由如下： 如图，过作， ， ， ，， ， ； （3）如图，和的平分线交点为， ． 和的平分线交点为， ； 和的平分线，交点为， ； 以此类推，． 当时，等于． 故答案为：． 49．（24-25七年级下·河南驻马店·月考）问题探究： 如图①，已知ABCD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？ 张山同学：如图②，过点E作EFAB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D． 李思同学：如图③，过点B作BFDE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D． 问题解答： (1)请按张山同学的思路，写出证明过程； (2)请按李思同学的思路，写出证明过程； 问题迁移： (3)如图④，已知ABCD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，求∠F的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)36° 【分析】（1）如图②中，过点E作EFAB，利用平行线的性质求出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，根据∠BED＝∠BEF+∠DEF证明即可； （2）如图③中，过点B作BFDE交CD的延长线于G，利用平行线的性质求出∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，∠EDC＝∠ABF，根据∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF证明即可； （3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x＋y，求出∠CED＝3x+3y，∠BED＝∠CDE＝2y，根据∠AEC＋∠CED＋∠DEB＝180°，构建方程求出x＋y可得结论． 【详解】（1）解：如图②中，过点E作EFAB， ∵ABCD，EFAB， ∴ABEFCD， ∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D； （2）如图③中，过点B作BFDE交CD的延长线于G． ∵DEFG， ∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF， ∵ABCG， ∴∠G＝∠ABF， ∴∠EDC＝∠ABF， ∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC； （3）如图④中， ∵EF平分∠AEC，DF平分∠EDC， ∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF， 设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y， ∵∠CED＝3∠F， ∴∠CED＝3x+3y， ∵ABCD， ∴∠BED＝∠CDE＝2y， ∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°， ∴5x+5y＝180°， ∴x+y＝36°， ∴∠F＝36°． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $