第十一章 不等式与不等式组 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

第十一章 不等式与不等式组 思维导图 【类型一】(一元一次)不等式的定义 1．老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ④ 是等式，不是不等式； ⑤ 是用不等号连接的式子，是不等式； ∴符合条件的不等式共有3个，故C正确． 2．下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A．含有两个未知数，不符合一元一次不等式的定义，故A不符合题意； 选项B．是等式，不是不等式，故B不符合题意； 选项C．含有一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，故C符合题意； 选项D．中不是整式，不符合定义，故D不符合题意． 3．已知是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】先根据一元一次不等式的定义，得且，求出m的值，再把m的值代入不等式，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， ∴， ∴原不等式为， 解得， 所以该不等式的解集为． 【类型二】用不等式表示不等关系 1．“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据 “非负数”就是，按题干描述逐步列式即可得到结果． 【详解】解：∵的可表示为， 的与的差可表示为． 又∵非负数是指大于或等于的数， ∴列出不等式为． 2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的概念及实际应用，根据图形中的标志，可得出通过该桥洞的车高最高为，据此得出答案． 【详解】解：由题意知，图形中的标志表示的是通过该桥洞的车高范围为， 故选：D． 3．用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 【答案】 【分析】根据非负数的定义，非负数是大于或等于的数，据此列出不等式即可. 【详解】解：因为非负数是指大于或等于的数，是非负数，所以可得. 【类型三】不等式的解集用数轴表示 1．一个不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：数轴上，实心点为包含此点，空心点为不包含此点，即数轴显示的解集为：． 2．一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法以及包含用实心点，不包含用空心点解答即可． 【详解】解：由数轴图可知，该不等式组的解集是． 3．请写出一个关于x的不等式组，其不等式组的解集如图所示，则这个不等式组是________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只需写出两个不等式，其解集的交集恰好为即可 【详解】解：观察数轴发现：一个不等式的解集为，一个不等式的解集为，且这个不等式组的解集为， 因此，这个不等式组是． 【类型四】(一元一次)不等式的解 1．若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题将代入各选项不等式，判断不等式是否成立即可得到正确答案． 【详解】解：选项A：不等式为，不成立，故A错误； 选项B：不等式为，成立，故B正确； 选项C：不等式为，不成立，故C错误； 选项D：不等式为，不成立，故D错误． 2．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等式、不等式的解及解的判断方法，理解题意是解题的关键． 将代入各关系式，判断是否成立，若不成立，则不含有该解. 【详解】A、当时，，成立，不符合题意； B、当时，，，不成立，符合题意； C、当时，，，成立，不符合题意； D、当时，，，成立，不符合题意； 故选：B． 3．请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据，0，1都是不等式的解，写出不等式即可． 【详解】解：∵，0，1都是不等式的解， ∴该不等式可以是（答案不唯一）． 【类型五】不等式的性质 1．若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴、，该选项错误． 、，该选项正确． 、，该选项错误． 、，该选项错误． 2．已知，下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项，找出不一定成立的结论即可. 【详解】解：A、∵ ， ∴ ，一定正确. B、∵ ，∴ 又∵ ，∴ ∴ ，一定正确. C、举反例验证，令 ，，，，满足 ， 此时 ， 可得 ，即 ，不一定正确. D、∵ ，∴ 又∵ ，同向不等式相加得 即 ，一定正确. 3．用不等号填空：若，且，则__________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，两边同时乘以或除以一个正数，不等式方向不变，两边同时乘以或除以一个负数，不等式方向改变即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【类型六】列一元一次不等式组 1．一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干给出的“布克读了一周还没读完，而莉克不到一周就已读完”的条件，提取不等关系，即可列出对应的不等式组． 【详解】解：设布克平均每天读页，则莉克平均每天读页． ∵布克读7天还没读完，说明布克7天读的总页数小于书的总页数， ∴． ∵莉克不到7天就读完了，说明莉克7天读的总页数大于书的总页数， ∴． 因此可得不等式组． 2．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 3．根据条件“与和的倍是非正数，的倍与的差小于”列出的不等式组是________． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式组即可． 【详解】解：根据与和的倍是非正数得：， 根据的倍与的差小于得：， 因此可以列不等式组为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列不等式组，解题的关键是根据不等关系列出不等式． 【类型七】解一元一次不等式 1．解不等式，并把解集表示在数轴上 (1) ； (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【详解】（1）解： 解得 ∴原不等式的解集为； 数轴表示为： （2）解： 解得 ∴原不等式的解集为 数轴表示为： 2．解不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【详解】（1）解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： 3．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见详解 【分析】根据解一元一次不等式的步骤依次计算即可，再根据在数轴上表示方法表示出解集即可． 【详解】解： 解集在数轴上表示如下： 【类型八】解一元一次不等式组 1．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】 ，不等式组的所有整数解为，，， 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再得到不等式组的公共解集，最后找出解集范围内的所有整数即可． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的所有整数解为，，，． 2．解不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”的口诀确定不等式组的解集即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了（无解）”的口诀确定不等式组的解集即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：； 不等式组的解集为：． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 3．解不等式（组） (1) (2)（在数轴上把解集表示出来，并写出它的非负整数解） 【答案】(1) (2)；数轴表示见解析，不等式组的非负整数解有0，1 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得： 解不等式②得： 把解集表示在数轴上，如下图所示： 由数轴可知，不等式组的解集为． 不等式组的非负整数解有0，1． 【类型一】不等式(组)的整数解 1．已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 2．不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再找出范围内的非负整数，统计个数即可得到答案． 【详解】解： ， ∴满足的非负整数为，共个． 3．不等式的非负整数解为______． 【答案】0，1，2 【分析】先求出一元一次不等式的解集，再从解集中找出符合要求的非负整数即可． 【详解】解： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 不等式的非负整数解是，，． 【类型二】一元一次方程与不等式 1．若关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解关于的一元一次方程，得到关于的表达式，再根据方程的解为负数列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 方程的解是负数， ， 解得． 2．已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键． 先解方程求出关于的表达式，再根据解为负数列不等式求解. 【详解】解：解关于的方程得，， ∵ 该方程的解为负数， ，即， 解得：， 故选：C． 3．已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则代数式的值为__________． 【答案】8 【分析】本题综合考查解不等式、方程及代数式求值，需注意每一步的符号和计算准确性．本题需先解给定的不等式，找到其最大整数解，再将其代入方程求出的值，最后计算代数式的值．解题的关键在于正确求解不等式和方程，并准确代入计算． 【详解】解：解不等式 ： 解得：， 该不等式最大的整数解为， 将代入方程： ，化简得：， 解得：， 将代入： ． 故答案为：8． 【类型三】代数式与不等式 1．当代数式2x+1的值小于代数式的值时，下列数值中在x的取值范围内的是（ 　　）． A．0 B．-1 C．-2 D．-3 【答案】D 【分析】利用已知条件列出不等式，解出x的范围可知答案． 【详解】解：依题意得，， 两边同时乘以2，得：， 移项合并得：， 系数化为1得：， 四个选项中只有-3小于-2． 故选D． 【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，根据题意列出不等式是解题的关键． 2．若代数式的值不大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求不等式的解集，根据题意，列出不等式，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选A． 3．代数式的值不小于代数式的值，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】根据题意列出不等式，依据解不等式得基本步骤求解可得． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解不等式，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键． 【类型四】一元一次不等式的应用一答题问题 1．某校举行知识竞赛，共有道抢答题，答对一题得分，答错或不答扣分，要使总得分不少于分，则至少应该答对（  ） A．19道 B．20道 C．21道 D．22道 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设答对题数为，则答错或不答题数为，根据得分规则列出不等式，求解的最小整数值． 【详解】解：设答对题数为，则答错或不答题数为，根据题意得： ， 解得， 为整数， ， 故至少答对道． 故选：D． 2．一次智力测验，有20道选择题，评分标准是：对1题加5分，错1题扣2分，不答题不加分也不扣分．小亮有两道题未答，则他至少答对______道题，总分才不会低于60分． 【答案】 14 【分析】设小亮答对x道题，根据题中条件得出答错的题数，再结合总分不低于60分列出一元一次不等式，求解后取最小正整数即可． 【详解】解：设小亮答对x道题， 由题意，小亮有两道题未答，因此答错道题， 根据题意列一元一次不等式得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 因为题数为正整数， 所以的最小值为． 3．为了响应共青团中央的号召，某中学的团员积极参与青年大学习的答题竞赛活动．竞赛活动共有20道题，每道题答对得5分，答错扣2分，不答得0分． (1)若某位参赛团员的最终得分是83分，其中有2道题没有作答，请问该团员答对了多少道题？ (2)若参赛团员的得分至少需要得到85分才能获评“答题能手”，则参赛团员最少需要答对多少道题才能获评“答题能手”？ 【答案】(1)17 (2)无答错题时，至少答对17题；有答错题时，至少要答对18题． 【分析】（1）设该团员答对了x道，则答错了道，根据题意，得，解答即可． （2）设团员至少答对了x道，答错了y道，则不答道，根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用，不等式的应用， 【详解】（1）解：设该团员答对了x道，则答错了道， 根据题意，得， 解得． 答：该团员答对了17道题． （2）解：设团员至少答对了x道，答错了y道，则不答道， 当参赛团员必须每题都得解答时，则即， 根据题意，得， 整理，得， 又x是非负整数， 故x的最小值为18， 答：参赛团员最少需要答对18道题才能获评“答题能手”． 当参赛团员不是每题都得解答时，则， 根据题意，得， 整理，得， 又y是非负整数， 当时，， 又x是非负整数， 故x的最小值为17， 即至少答对17道，答错0道，不答3道，才能获评“答题能手”． 当时，， 又x是非负整数， 故x的最小值为18， 即至少答对18道，答错1道，不答1道，才能获评“答题能手”． 当时，， 又x是非负整数， 故x的最小值为18， 即至少答对18道，答错2道，不答0道，才能获评“答题能手”． 当时，， 又x是非负整数， 故x的最小值为19， 不符合题意，舍去． 故无答错题时，至少答对17题；有答错题时，至少要答对18题． 【类型五】一元一次不等式的应用一收费方案问题 1．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交2000元后，每人收费300元； 方案二：4人免费，其余每人收费打8折． (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，方案一和方案二各是多少钱？ (2)当参加旅游的总人数是多少人时，采用方案一省钱？ 【答案】(1)元；元 (2)当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱 【分析】本题考查了列代数式，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意，即可求解； （2）根据方案一省钱，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：方案一的费用是元， 方案二的费用是（元）； （2）解：令， 解得， 答：当参加旅游的总人数超过164人时，采用方案一省钱． 2．一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、列代数式，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． （1）依据题意，方案①：会员证280元每次20元，可得，总费用为元；方案②：根据题意可得总费用为元，进而得解； （2）依据题意，分时、时，和时，分别计算可以得解； （3）依据题意，分、和时，分别分析计算可以得解． 【详解】（1）解：方案①：会员证280元每次20元， ∴x为次数，总费用为元； 方案②：前30次费用元超过30次部分（次），每次元， ∴总费用为元； 故答案为：；； （2）解：①当时， 方案①费用：； 方案②费用：， 令， ∴． 当时，，方案②更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案①更优惠； ②当时，方案①费用：；方案②费用：； 令， ∴． 当时，，方案①更优惠； 当时，，两种方案费用相同； 当时，，方案②更优惠； （3）解：方案一比方案二最多优惠的金额优惠额方案②费用方案①费用，需找优惠额的最大值： 当时，方案②更便宜，优惠额为负（无优惠）； 当时，优惠额（随x增大而增大）， 时，优惠额元； 当时，优惠额（随x增大而减小），最大值小于20元． 综上，方案一比方案二最多优惠20元． 故答案为：20． 3．“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案． 甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按收费； 乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按收费． 设某位顾客购买了x元的该种粽子． (1)补充表格，填写在横线上（填写化简后的结果）： x（单位：元） 实际在甲超市的花费（单位：元） 实际在乙超市的花费（单位：元） x x ①____________ x ②____________ ③____________ (2)通过计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？ 【答案】(1)①；②；③ (2)当时，到乙超市花费更少；当时，到甲超市花费更少；当时，两家超市花费一样． 【分析】本题主要考查了列代数式，一元一次不等式的实际应用： （1）当时，利用实际在甲超市的花费=超过200元的费用可求出实际在甲超市的花费；当时，利用实际在乙超市的花费超过300元的费用可求出实际在乙超市的花费； （2）当时，恒成立；再分别求出，，时x的取值范围即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，当时，实际在甲超市的花费为元， 当时，实际在甲超市的花费为元， 实际在乙超市的花费为元， 故答案为：①；②；③； （2）解：当，且时，解得，不合题意舍去， ∴当时，恒成立， ∴当时，到甲超市花费更少； 当，且时，解得， 当，且时，解得， 当，且时，解得， 综上所述，当时，到乙超市花费更少；当时，到甲超市花费更少；当时，两家超市花费一样． 【类型六】一元一次不等式的应用一几何问题 1．解决下列与平面直角坐标系有关的知识： (1)已知点，解答下列问题： ①若点Q的坐标为，直线轴，直接写出点P的坐标 ； ②若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若是y轴上一点，且的面积不小于四边形面积的一半，求m的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，割补法求面积，一元一次不等式的应用． （1）①根据直线轴可知点P、Q的横坐标相同，求出，进而求出点P的坐标； ②根据第二象限点的坐标特征及“到x轴、y轴的距离相等”求出a的值，再代入计算即可； （2）过点A作轴于点E，作轴于点D，根据割补法计算即可； （3）连接，分三种情况根据割补法求出，列不等式计算即可 【详解】（1）解：①∵直线轴， ∴点P、Q的横坐标相同， 即， 解得 ∴， 即点P的坐标为， 故答案为：； ②点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ， 解得，， ； （2）如图，过点A作轴于点E，作轴于点D， 则 ， ， ； （3）连接，则， ①当时，点M与O重合，成立； ②如图1，当时，， ， ， ，解得， ； ③如图2，当时，， ， ， ，解得， ． 综上所述：m的取值范围为． 2．如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足，线段与轴相交于点，点在轴上， (1)求，的值； (2)如图1，若三角形的面积大于，求的取值范围； (3)如图2，点，点在线段上，若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次不等式的应用． （1），根据绝对值与平方数的非负性求解、； （2），过点作轴，设，根据，先求出点坐标，再根据三角形面积公式列出不等式求解； （3），先说明是的中点，进而利用面积关系得出，根据得出，根据，得出，即可求解． 【详解】（1）因为，又因为，， 所以， 两式相加得， 解得， 把代入，得， 解得． （2）如图，过点作轴，设 ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 解得： ∴． ∵点在轴上， ∴， ∵， ∴， ，即或， 解得或． （3）∵ ∴是的中点， ∴ ∴，则 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 连接，如图， ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 3．如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在；或 (3)存在；或 【分析】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为： ； ②当时，点P在上，， 解得：； 当时，点P在上，， 解得：， 综上分析可知：或； （2）解：存在； 当时，点在上，， 解得：， ∴此时； 当时，点在上时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或； （3）解：存在； 当时，点Q从点A向点B运动，， ∴， ∴当时，； 当时，点Q从点B向点C运动，则， 解得：， ∴当时，； 当时，点Q从点C向点B运动，则， 解得：， ∴此时没有符合条件的t存在； 当时，点Q从点B向点A运动，， 整理得：， ∵此时， ∴， ∴总成立， ∴时，； 综上分析可知：或时，． 【点睛】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 【类型一】一元一次不等式(组)的最值问题 1．已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（    ） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 【答案】A 【分析】本题考查不等式的知识，解题的关键是掌握不等式的性质，根据题意，可得，求出的取值范围，推出的取值范围，再根据，得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵且， ∴， ∴， ∴有最大值，且最大值为． 故选：A． 2．已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设的最大值为m，最小值为n，则的值是（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】B 【分析】先分别用含有c的式子表示出a，b，再根据非负数的定义和列不等式组并求解出c的取值范围，最后代入s进行求解． 【详解】解：，， ，， ， ， ，，是三个非负数， ， 解得， ∴ ∴ ∴ ∴的最大值，最小值为 ∴． 3．已知方程组的解满足条件，则a的最小值为__． 【答案】11 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据，列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】解： ，得 ， 即， ∵， ∴， 解得， ∴a的最小值为11． 故答案为：11． 【类型二】一元一次不等式(组)的解集求参 1．已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A．1，3 B．3，1 C． D．，3 【答案】B 【分析】先推导出，继而得到，求出，即可解答． 【详解】解：由不等式组，得， ∵关于的不等式组的解集是， ∴， 解得． 2．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组解集的确定，先解出第二个不等式的解集，再根据“同小取小”的解集法则确定参数m的取值范围即可． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 不等式组的解集是 ． 3．若不等式组的解集中的任意x都能使不等式成立，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】表示出不等式组的解集，根据解集的取值范围求出参数的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∵， ∴不等式组的解集为， 解得， ， ∵解集中的任意x都能使不等式成立， ∴， 解得． 【类型三】一元一次不等式(组)新定义运算 1．对于任意实数a，b，定义一种运算．例如：．根据上述定义，不等式组的解集为（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，解题关键是正确列出不等式组． 根据新定义运算，先列出不等式组，再求解． 【详解】解：由， 得， 解得， 由， 得， 解得， ∴原不等式组的解集为． 故选：A． 2．对于任意实数定义一种运算：，例如，．请根据上述的定义，若不等式，则该不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义的含义，一元一次不等式的应用，理解新定义，列出不等式是解题的关键．根据新定义，可得到关于 的不等式，解出即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：A． 3．对于任意实数a、b，定义一种运算：，请根据以上定义解决问题： （1）________ （2）若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】（1）根据新定义代入求值； （2）先根据新定义，变形不等式组，再求出不等式组的解，根据已知得出关于的不等式组，即可求出的范围． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， 解得：， ∵不等式组只有个整数解， ∴个整数解为，， ∴，解得：． 【类型四】一元一次不等式(组)整数解求参 1．已知关于的一元一次方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，则所有满足条件的整数值之和是（    ） A． B．9 C． D．12 【答案】A 【分析】先解一元一次方程得到的表达式，根据方程有整数解得到整数的可能取值，再解不等式组，根据不等式组有且只有四个整数解确定的取值范围，最后筛选出符合条件的整数计算和即可. 【详解】解：先解一元一次方程， 移项得，即， 方程是一元一次方程，且解为整数， ，且是的因数，即， 解得整数为， 再解不等式组， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， 不等式组的解集为 ， 不等式组有且只有四个整数解，大于的四个整数为， ， 不等式同乘得， 移项化简得， 在范围内，符合条件的整数为， 所有满足条件的整数值之和为 ． 故选A． 2．若实数m使关于x的不等式组恰有4个整数解，且使方程组有整数解，则符合条件的整数m可能为：9、10、11、12，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题和二元一次方程组的整数解问题．解题的关键是分别求出不等式组中m的取值范围和方程组有整数解时m需满足的条件，再结合给定的m值进行筛选． 解不等式组得到解集，根据恰有4个整数解确定m的取值范围；解方程组得到x、y关于m的表达式，根据x、y为整数确定m的特征；检验给定的m值是否同时满足上述两个条件． 【详解】解：解不等式组得：， 实数m使关于x的不等式组恰有4个整数解， ， 解得：， 为整数， 为9，10，11，12， 解方程组得：， 方程组有整数解， 只能为9或12， 故选：B． 3．若关于的不等式组的解集中仅有2个整数解，则的整数解之和为__________． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题关键． 先解不等式组，求出解集，再根据“仅有2个整数解”，得m的不等式组，求出m的范围，取其中整数，求和即得． 【详解】解： ， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴， ∵不等式组的解集中仅有2个整数解， ∴， ∴， 解得， ∵取整数， ∴， ∴的整数解之和为． 故答案为：14． 【类型五】一元一次不等式(组)的有、无解 1．若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 2．若不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查含参数的一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法以及一元一次不等式组有解的含义，是解题的关键． 根据题意和解不等式的方法，先化简不等式组，进而求得m的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：解第一个不等式，得：， 解第二个不等式，得：， 若不等式组有解，则需满足， 解得：． 故选：B． 3．不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据解集的情况列出关于a的不等式是解题的关键． 根据已知不等式组解的情况列出关于a的不等式求解即可． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴，解得：； ∵不等式组无解， ∴，解得：； ∵不等式组无解， ∴，解得：． 故答案为：，，． 【类型六】二元一次方程组与不等式结合求解 1．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组得到解集，根据不等式组至少有个整数解确定的取值范围，再解方程组，根据方程组的解为整数找出符合条件的整数，统计其个数即可． 【详解】解：解不等式， ， ， 解得； 解不等式， ； 不等式组的解集为， 不等式组至少有个整数解， ， 解得． ， 由得，， 将代入得，， 整理得， ， 将代入得，， 方程组的解为整数， 为整数， 为整数，且， ，，， 所有满足条件的整数的个数是个． 2．若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用加减消元法解二元一次方程组求参数，根据已知条件推断出与k的关系是解题关键． 两式相减得到与k的关系，再根据k的取值范围求的取值范围即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， ． 故选：A． 3．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，用表示出和是解本题的关键． 方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围． 【详解】解： 得：，即， 得：， ∵关于，的二元一次方程组的解满足不等式组， ∴ 解得：， 故答案为：． 【类型七】解特殊不等式组 1．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集是__________； (2)已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意得到x表示到3的距离大于5的数，然后结合数轴求解； （2）首先求出方程组的解集为，然后代入结合数轴求解即可． 【详解】（1）解：，x表示到3的距离大于5的数， 从如图所示的数轴上看：大于8和小于的数，它们到3的距离大于5， ∴不等式的解集是或； （2）解： 得：，即， ， ， ，m表示到的距离小于等于9的数， 从如图所示的数轴上看：大于等于而小于等于3的数，它们到的距离小于等于9， ∴的取值范围． 2．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义、解不等式等知识点，从材料中得到解题方法是解题的关键． （1）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （2）把当做一个整体，然后利用阅读求出的取值范围，进而确定x的取值范围即可； （3）先在数轴上找出的解，即可得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：， ∴或， ∴或． （3）解：在数轴上找出的解． 由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值． ∵在数轴上1和对应的点的距离为3， ∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边． 若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得， ∴方程的解是或， ∴不等式的解集为． 故答案为． 3．我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【答案】(1) (2)可取的整数值为，． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法及二元一次方程组的解法，熟练掌握求不等式组的解集及二元一次方程组的解的方法是解题关键． （1）根据阅读材料可得：当和异号时不等式成立，据此即可转化为不等式问题求解即可； （2）根据题意求出方程组的解，然后代入不等式组求解即可． 【详解】（1）解：根据两数相乘，异号得负，原不等式可以转化为：或． 解不等式组，不等式组无解； 解不等式组 ，解得． 所以原不等式组的解集为：； （2）解： 得：，解得， 将代入①得，， ∴方程组的解为， ∵， ∴， 解不等式组得：， ∴可取的整数值为，． 【类型八】二元一次方程组与不等式结合应用 1．某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，如图表是近两周的销售情况．该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 销售时段 徽章（个） 钥匙扣（个） 销售收入（元） 第一周 4 3 130 第二周 5 5 200 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） (1)请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价 (2)该商店至少采购徽章多少个？ (3)帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？ 【答案】(1)亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元. (2)该商店至少采购徽章10个； (3)共有三种采购方案：①采购徽章10个，钥匙扣40个；②采购徽章11个，钥匙扣39个；③采购徽章12个，钥匙扣38个。其中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，商店获利最高 【分析】（1）根据题意，亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元,由徽章收入+钥匙扣收入=销售总收入列出方程组求解即可； （2）根据题意，由徽章进货费用+钥匙扣进货费用不超过770列不等式求解即可； （3）根据题意，由利润＝单件利润×数量列不等式求解即可． 【详解】（1）解：亚运会徽章销售单价为x元，钥匙扣的销售单价为y元, 根据题意，得， 解得， 答：亚运会徽章销售单价为10元，钥匙扣的销售单价为30元； （2）解：设该商店采购徽章a个，则采购钥匙扣个， 根据题意，得， 解得， 答：该商店至少采购徽章10个； （3）解：根据题意，得， 解得， ∵，且a为正整数， ∴a可以为10，11，12， 当时，总利润为（元）； 当时，总利润为（元）； 当时，总利润为（元）， ∵， ∴共有三种采购方案：①采购徽章10个，钥匙扣40个；②采购徽章11个，钥匙扣39个；③采购徽章12个，钥匙扣38个。其中，采购10个徽章，40个钥匙扣时，商店获利最高． 2．活动目的：采购三晋特色文创玩偶 活动背景：“表里山河，文脉绵长；三晋匠心，指尖流芳”．为传承山西优秀传统文化，某文化传播公司计划采购一批具有三晋特色的文创玩偶，用于“晋韵流芳”主题展览的互动体验和纪念品发放． 素材一：购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元． 素材二：该公司计划购买这两种玩偶共20个．为降低采购成本，文创工坊推出两种优惠方案（只能选择其中一种方案，每种玩偶都需要购买） 素材三：方案一：购买任意玩偶满10个，总价打九折； 方案二：购买“晋侯鸟尊”玩偶每个优惠，其它按原价销售． (1)任务一：求“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价． (2)任务二：设购买“晋侯鸟尊”玩偶个，采用方案一支付费用为，采用方案二支付费用为，请你帮助采购部门选择购买方案． 【答案】(1)“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元； (2)当购买“晋侯鸟尊”玩偶个时，两种方案的费用一样，选择方案一或方案二；当时，方案二费用少，选择方案二；当时，方案一费用少，选择方案一． 【分析】（1）设“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元，根据购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元．建立二元一次方程组求解即可； （2）先根据题意分别表示出，再分别求，即可解答． 【详解】（1）解：设“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元， 根据题意，得， 解得， 答：“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元； （2）解：根据题意，得，， 当时，则，解得； 当，则，解得， ∵为正整数，每种玩偶都需要购买， ∴； 当，则，解得， ∵为正整数，每种玩偶都需要购买， ∴； 答：当购买“晋侯鸟尊”玩偶个时，两种方案的费用一样，选择方案一或方案二；当时，方案二费用少，选择方案二；当时，方案一费用少，选择方案一． 3．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？ 【答案】(1)A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元； (2)最多能买A型机器人台． 【分析】（1）设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元列出方程组即可得到答案； （2）设买A型机器人台，则买B型机器人台，根据总费用不超过1400万元列出不等式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得， 解得， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元； （2）解：设买A型机器人台，则买B型机器人台， 由题意得， 解得， 答：最多能买A型机器人台． 【类型九】一元一次不等式(组)的新定义应用 1．定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． （1）依据题意，由不等式组的解集是，不等式组的解集是，进而可以判断得解； （2）依据题意，由关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为，则或，进而计算可以得解； （3）依据题意，由是的“相容不等式组”，则，可得，又和的整数解相同，可得，进而可得，最后即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，不等式组的解集是，不等式组的解集是， 不等式组是不等式组的“相斥不等式组”． 故答案为：． （2）由题意，关于的不等式组是的“相斥不等式组”，且不等式组的解集为， 或． 或． （3）由题意，是的“相容不等式组”， ． ． 的整数解为，且和的整数解相同， ． ． ． 综上所述：． 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 【答案】(1)不是 (2) (3)或 【分析】（1）根据“和谐不等式”的定义即可得解； （2）解不等式可得，解不等式得，再根据“和谐不等式”的定义可得； （3）分和两种情况讨论，根据“和谐不等式”的定义得到含n的不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据“和谐不等式”的定义可知：不等式与没有公共整数解， ∴不等式不是的“和谐不等式”， （2）解：解不等式可得， 解不等式得， ∵关于x的不等式不是的“和谐不等式”， 即两个不等式的公共解集中没有整数； 因为小于3的最大整数是2，所以要使公共解集中没有整数， ∴； （3）解：解不等式得， 解不等式得， ①当，即时，则， 此时不等式与不等式总有公共整数解， ∴时，不等式与不等式总是互为“和谐不等式” ②当，即时，， ∵不等式与不等式互为“和谐不等式”， ∴， 解得， ∴， 综上，n的取值范围为：或． 3．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． (1)不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 【答案】(1)不是，是 (2) (3)或 【分析】本题根据新定义“同根不等式”，即两个一元一次不等式有公共整数解，分别解不等式，再结合定义判断是否满足条件，求解参数范围． （1）直接解不等式判断是否有公共整数解即可； （2）根据没有公共整数解列不等式求范围； （3）分大于和小于两种情况讨论，得到的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式得 解不等式得 两个不等式没有公共解，因此没有公共整数解， 故不是的“同根不等式” 解不等式得 解不等式得 两个不等式的公共解为，存在无数个公共整数解， 故是的“同根不等式” （2）解不等式得 解不等式得 不是的“同根不等式” 两个不等式没有公共整数解， 解得 （3）解不等式，整理得 解不等式，整理得 ①当时，不等式化简为 要使两个不等式有公共整数解，需满足 解得，符合条件； ②当时，不等式化简为 ， 两个不等式的公共解为， 因此所有都符合条件 综上，的取值范围是或 【类型十】求差法比较大小的解决应用 1．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；② 【分析】本题考查因式分解的应用、非负数的性质、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，求出题目中的不等关系． （1）①根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ②根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； ③根据不等式的性质，可以求得、的大小关系； （2）①根据，移项并作差，然后即可得到和的关系； ②将两个多项式作差，然后与0比较大小，即可得到与的大小． 【详解】（1）解：①， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； ③， ， ， 故答案为：； （2）解：①， ， ， ， ， ； ② ， ． 2．阅读下列材料，回答问题 两个数的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 因此，比较两个量的大小，可以先求它们的差，再根据差的正负，判断两个量的大小． (1)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板；A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 【答案】(1)从省料角度考虑，应选方案二 (2)当时，图1的周长大于图2的周长；当时，图1的周长等于图2的周长；当时，图1的周长小于图2的周边 【分析】本题主要考查代数式的运用，不等式的性质，理解材料提示的计算方法，不等式的性质是关键． （1）设A型钢板的面积为，B型钢板的面积为，且，分别表示出各自的面积，根据材料提示方法求解即可． （2）根据图示得到周长，根据材料图示方法比较即可． 【详解】（1）解：设A型钢板的面积为，B型钢板的面积为，且， ∴方案一的产品的面积为：，方案二的产品的面积为：， ∴， ∵， ∴， ∴方案二的面积小， ∴从省料角度考虑，应选方案二； （2）解：图1的周长为：，图2的周长为：， ∴ ， 当时，图1的周长大于图2的周长， 当时，图1的周长等于图2的周长， 当时，图1的周长小于图2的周边． 3．【阅读理解】： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】： （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案） ①__________；②当时，__________；③若，则__________； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】： （3）图1是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为；则与大小的大小关系为： ； （4）已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 【答案】（1）＞；＞；＜；（2）；（3）＜；（4），理由见解析 【分析】（1）①用减去，将所得的差再和0比较大小，即可判断；②用减去，再结合，将所得的差再和0比较大小，即可判断；③用减去，然后变形为，再结合，即可判断； （2）先求出与的差，再变形为，即可判断； （3）根据图形表示出新长方形的面积和新正方形的面积，再利用作差法比较即可； （4）设，则，，用减去，再和0比较大小，即可判断． 【详解】解：（1）①∵， ∴； ②∵， 又∵， ∴， ∴； ③∵， 又∵， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：；；； （2） ， ， ， ； （3）∵新长方形的长为，宽为， ∴新长方形的面积， ∵新正方形的长为， ∴新正方形的面积， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4），理由如下： 设，则，， ， ． 【点睛】本题探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“作差法”，考查了整式的混合运算，有理数的混合运算，不等式的性质，长方形和正方形的面积等知识．读懂方法，利用所学知识和方法计算化简是解题的关键． 1．（24-25八年级下·广东佛山·月考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在数轴上表示不等式解集的方法：大于向右画，小于向左画；有等号画实心点，无等号画空心圈，进行判断即可． 【详解】解：不等式为， 方向向右，且处为空心圆圈，观察选项，只有D选项符合． 2．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）在《九章算术》中，经常用数学解决农作物的产量问题．小明根据“今有中等禾，每捆产出稻米55斗，_____．设上等禾每捆产出稻米x斗”列出不等式，则“_____”上应是（    ） A．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 B．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 C．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 D．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 【答案】A 【分析】根据未知数定义，不等式各项和不等号的含义，即可推得横线上的内容． 【详解】解：∵设上等禾每捆产出稻米斗，中等禾每捆产出稻米斗， ∴表示捆上等禾的总产量， 表示捆中等禾的总产量， ∵不等号的实际意义为“不少于”， ∴该不等式表示：取上等禾捆、中等禾捆，产出的稻米不少于斗． 3．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐一判断选项可得到结论． 【详解】解：A、，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，，A一定正确，不符合题意； B、，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，得，不等式两边同加，不等号方向不变，，B一定正确，不符合题意； C、当，时，满足，但，，此时，因此C不一定正确，符合题意； D、，，D一定正确，不符合题意． 4．（25-26八年级上·山西太原·月考）已知是整数，，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解，代数式求值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由条件且，，设，则，为整数. 结合为整数，求满足条件的，再求和，最后计算． 【详解】解：∵，设， ∴，为整数，即可取至， ∵为整数，， ∴被整除， ∵为整数，， ∴被整除， 检验至： 被整除时，， 被整除时，仅满足（被整除）， ∴， 代入：，，， 代入：，，， ∴， 故选：D． 5．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）“的3倍与2的和是负数”用不等式表示为_____． 【答案】 【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合负数的定义列出不等式即可． 【详解】解：的倍是，的倍与的和为， 负数是小于的数， 因此用不等式表示为． 6．（25-26八年级下·山东青岛·月考）若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，不等号方向发生改变，说明不等式两边除以的系数为负数，据此建立关于的不等式求解即可． 【详解】解： 关于的不等式可化为，不等号方向发生改变， 由不等式的性质3可知，系数， 解得． 7．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）按照如下程序，输入x的值并计算，规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则的值为______． 【答案】15 【分析】根据题意列不等式组求出的取值范围，进而得到和的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， ∵所有符合条件的正整数的最大值为，最小值为， ，， ． 8．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）解不等式组：． 【答案】 【分析】此题考查一元一次不等式组的解法，先分别求出不等式组中每个不等式的解集， 再取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围． 【答案】 【分析】先通过可得到关于的表达式，再根据的取值范围列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解：∵， 得，， ， 又∵， ， ∴， ∴， 解得． 10．（25-26九年级下·湖北十堰·月考）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元． (1)求甲、乙商品每件各多少元？ (2)本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元． ①最多可采购甲商品多少件？ ②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案． 【答案】(1)甲商品每件17元，乙商品每件12元 (2)①最多可采购甲商品20件；②方案一：甲商品20件，乙商品10件， 方案二：甲商品19件，乙商品11件，方案三：甲商品18件，乙商品12件，方案四：甲商品17件，乙商品13件． 【分析】（1）设甲商品每件x元，乙商品每件y元，根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题； （2）①设采购甲商品m件，根据题意可以列出相应的不等式，进一步可得答案，②结合①与购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，建立不等式组解题即可． 【详解】（1）解：设甲商品每件x元，乙商品每件y元， ， 解得，， 即甲商品每件17元，乙商品每件12元； （2）解：①设采购甲商品m件， ， 解得，， 即最多可采购甲商品20件； ②由题意可得， ， 解得，， ∴购买方案有四种， 方案一：甲商品20件，乙商品10件， 方案二：甲商品19件，乙商品11件， 方案三：甲商品18件，乙商品12件， 方案四：甲商品17件，乙商品13件． 1．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解： ， 在数轴上表示如下， ， 故选项符合题意． 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）为提高学生的安全意识，某校举办了安全知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定答错或不答的题数，再根据得分规则表示总得分，最后结合不等关系列出不等式即可． 【详解】解：∵一共10道题，答对道 ∴答错或不答的题数为道 ∵答对1题得10分，答错或不答1题扣2分 ∴总得分为分 ∵得分不低于80分，“不低于”表示大于等于 ∴可列不等式 ． 3．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不等式的基本性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，根据解集的不等号方向判断系数符号即可求解． 【详解】∵不等式 的解集为 ，不等号方向发生改变， ∴根据不等式性质，两边同时除以 是负数． 即 ． ∴． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知关于x的不等式组无解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”即可得出答案． 【详解】解：解不等式 移项得 合并同类项得 系数化为得 ∵不等式组无解， ∴根据“大大小小找不到”的原则，可得． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）关于x的不等式组的解集为，请写出一个符合条件的a的值：_________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据不等式组的解集可知，据此可得答案． 【详解】解：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ， ∴符合条件的a的值为：1． 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 【答案】 【分析】将方程组中两个方程作差，得到关于的表达式，再代入不等式，解一元一次不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：， 由得， ， 化简得，， 方程组的解满足， ， 根据不等式的基本性质移项得，． 7．（25-26八年级下·广东深圳·期中）新定义规定以下变换：，若，则的取值范围是____． 【答案】或 【分析】本题为新定义分段不等式问题，根据新定义的规则，对1和的大小关系分两种情况讨论，分别解一元一次不等式，结合每种情况的前提条件，即可得到的取值范围. 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论： 当，即时， ， 由得 ， 不等式两边同乘得 ， 移项得 ， 系数化为得 ，满足，此情况成立； 当，即时， ， 由得 ， 不等式两边同乘得 ， 移项得 ，满足，此情况成立； 综上，的取值范围是或. 8．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）按要求完成计算： (1)解不等式： (2)解不等式组，并通过数轴确定解集． 【答案】(1) (2)数轴见解析，解集为 【详解】（1）解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：解不等式得， 解不等式得， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为． 9．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 【答案】(1)A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． (2)共有三种购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；②购买A型设备6台，B型设备4台；③购买A型设备7台，B型设备3台． 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 【分析】（1） 设购买A型的价格是x万元，购买B型的设备y万元，根据购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元可列方程组求解； （2）设购买A型号设备x台，则B型为台，根据市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，可列不等式组求解． 【详解】（1）解：设A型设备每台万元，B型设备每台万元，则 ， 解得∶ ， 故A型设备每台6万元，B型设备每台4万元． （2）解：设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备台， 根据题意得，， 解得：， ∵为整数， ∴x为5、6，7． 购买方案：①购买A型设备5台，B型设备5台；费用为（万元）， ②购买A型设备6台，B型设备4台；费用为（万元）， ③购买A型设备7台，B型设备3台；费用为（万元）， 最省钱的购买方案为购买A型设备5台，B型设备5台，相应费用为50万元． 10．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程的所有“好解”； (2)关于，，的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)有，，， 【分析】（1）根据题意求得方程的所有非负整数解即可； （2）将第一个方程两边同时乘以再与第二个方程相减后得到关于，的方程，然后根据题意求得其所有非负整数解即可． 【详解】（1）解：∵方程， ∴， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ∴方程的所有“好解”是，，，； （2）解：， ①②，得：， 整理化简，得：， ∴， 将代入①，得：， ∴， ∵“好解”是非负整数解， ∴，，都是非负整数， 当时，恒成立， ∴， 解得：， ∴（是非负整数）， ∴可以取，，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴关于，，的方程组有“好解”，“好解”为，，． 1．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式，再确定不等式组的公共解集，找出解集内的所有整数，计算整数解的和即可得到结果． 【详解】解：， 解不等式得：； 解不等式得：； 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为， 整数解之和为． 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴不等式两边同时减2，不等号方向不变，可得，故A正确． B、∵， ∴不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得，故B正确． C、∵， ∴不等式两边同时乘，不等号方向改变，可得，故C正确． D、∵， ∴不等式两边同时除以，是正数，不等号方向不变，可得，与选项式子不符，故D错误． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了7场，甲队保持不败，得分超过15分，则甲队胜了（    ） A．5场 B．至多5场 C．至少5场 D．至少6场 【答案】C 【分析】本题考查了用一元一次不等式解决实际问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 设甲队胜了场根据甲队得分超过分列一元一次不等式求解，结合为整数确定甲队胜场的最小值，进而选出正确选项． 【详解】解：设甲队胜了场， 则， 解得：， ∴的最小值为， 即甲队至少胜了场， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题，关键是先求出不等式组的解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围．首先分别解两个不等式得到不等式组的解集为，再结合“有且只有三个整数解”的条件确定的取值范围，进而求出的最大值． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； 不等式组的解集为． 不等式组有且只有三个整数解， 这三个整数解为2、3、4， 的取值范围是， 的最大值是5． 故选：D． 5．（25-26七年级下·上海金山·期末）根据题意列不等式：与的3倍的和不大于10：________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据与的3倍的和不大于10得出，即可作答． 【详解】解：∵与的3倍的和不大于10 ∴． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）写出一个整数的值，使大于，则这个整数的值可以是__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了解不等式，通过解不等式得到，从而确定整数为负整数． 【详解】解：由题意得：， 移项得：， 即， 两边同时除以，不等号方向改变得：， 所以， 因此整数可以是任何负整数，如． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了不等式组的含参问题，先分别求解两个不等式，再根据该不等式组的解集得出，求出a和b的值，即可解答． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵不等式组解集为， ∴， 解得：， ∴． 8．（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 【答案】(1)购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元； (2)最多可以购买个篮球． 【分析】设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元，根据购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买个篮球，则购买足球个，根据学校购买篮球和足球的总费用不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元， 依题意得， 解得， 答：购买一个篮球需花费元，购买一个足球需花费元． （2）解：设购买个篮球，则购买足球个， 依题意得， 解得：， 答：最多可以购买个篮球． 9．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： (1)线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ (2)张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） (3)请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【答案】(1)玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元 (2)， (3)在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 【分析】（1）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可； （2）由题意可知购买玩偶m个，则购买徽章个，再根据购买方式列代数式即可； （3）根据题意列不等式计算即可． 【详解】（1）解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元； （2）解：根据题意得：购买玩偶m个，则购买徽章个， 方式一购买，共需（元）， 方式二购买，共需（元）； （3）解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 【答案】(1)不等式组对于不等式组绝对包含，理由见解析； (2)； (3) 【分析】本题考查一元一次不等式组的解法及新定义的应用，关键是理解新定义，将问题转化为不等式组的解集及解的判断问题． （1）先求解不等式组的解集，计算其绝对距离，再判断该绝对距离是否属于不等式组的解集即可； （2）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于和的不等式，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和； （3）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 其绝对距离为； 不等式组的解集为，且，即3是不等式组的解， 不等式组B对于不等式组绝对包含； （2）解：不等式组：有解， ，其绝对距离为； 解不等式组，得； 不等式组D对于不等式组绝对包含， 是的解，即， 由不等式①得， 解得：， ， ，此条件与不等式组C有解的条件一致， 由不等式②得； 又，且， 整数的取值为； 这些整数的和为； （3）解：解不等式组：，得， 不等式组有解， ，解得， 其绝对距离为； 解不等式组：，<x<， 不等式组有解， ，解得，该条件在时自动满足； 不等式组对于不等式组绝对包含， 是的解，即，解得， 结合， 的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组 思维导图 【类型一】(一元一次)不等式的定义 1．老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 3．已知是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集为_____． 【类型二】用不等式表示不等关系 1．“的与3的差是非负数”用不等式表示是（   ） A． B． C． D． 2．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（   ） A． B． C． D． 3．用适当的符号表示下列关系：是非负数___． 【类型三】不等式的解集用数轴表示 1．一个不等式组的解集表示在数轴上如图所示，则这个不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 2．一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 3．请写出一个关于x的不等式组，其不等式组的解集如图所示，则这个不等式组是________． 【类型四】(一元一次)不等式的解 1．若是某不等式的解，则该不等式可以是（    ） A． B． C． D． 2．下列关系式中，不含有这个解的是（    ） A． B． C． D． 3．请写出满足下列条件的一个不等式：使得，，0，1都是该不等式的解：________． 【类型五】不等式的性质 1．若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．用不等号填空：若，且，则__________． 【类型六】列一元一次不等式组 1．一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 2．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 3．根据条件“与和的倍是非正数，的倍与的差小于”列出的不等式组是________． 【类型七】解一元一次不等式 1．解不等式，并把解集表示在数轴上 (1) ； (2) 2．解不等式，并将解集在数轴上表示出来． (1)； (2)． 3．解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【类型八】解一元一次不等式组 1．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 2．解不等式组： (1)； (2)． 3．解不等式（组） (1) (2)（在数轴上把解集表示出来，并写出它的非负整数解） 【类型一】不等式(组)的整数解 1．已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．不等式的非负整数解的个数为（  ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．不等式的非负整数解为______． 【类型二】一元一次方程与不等式 1．若关于x的方程的解是负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于的方程的解为负数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程，若该方程的解是不等式的最大整数解，则代数式的值为__________． 【类型三】代数式与不等式 1．当代数式2x+1的值小于代数式的值时，下列数值中在x的取值范围内的是（ 　　）． A．0 B．-1 C．-2 D．-3 2．若代数式的值不大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．代数式的值不小于代数式的值，则的取值范围是___． 【类型四】一元一次不等式的应用一答题问题 1．某校举行知识竞赛，共有道抢答题，答对一题得分，答错或不答扣分，要使总得分不少于分，则至少应该答对（  ） A．19道 B．20道 C．21道 D．22道 2．一次智力测验，有20道选择题，评分标准是：对1题加5分，错1题扣2分，不答题不加分也不扣分．小亮有两道题未答，则他至少答对______道题，总分才不会低于60分． 3．为了响应共青团中央的号召，某中学的团员积极参与青年大学习的答题竞赛活动．竞赛活动共有20道题，每道题答对得5分，答错扣2分，不答得0分． (1)若某位参赛团员的最终得分是83分，其中有2道题没有作答，请问该团员答对了多少道题？ (2)若参赛团员的得分至少需要得到85分才能获评“答题能手”，则参赛团员最少需要答对多少道题才能获评“答题能手”？ 【类型五】一元一次不等式的应用一收费方案问题 1．某校组织学生外出研学，旅行社报价每人收费400元，当研学人数超过100人时，旅行社给出两种优惠方案： 方案一：研学团队先交2000元后，每人收费300元； 方案二：4人免费，其余每人收费打8折． (1)用代数式表示，当参加研学的总人数是人时，方案一和方案二各是多少钱？ (2)当参加旅游的总人数是多少人时，采用方案一省钱？ 2．一家游泳馆开展冬季促销活动，方案有两种： 方案 优惠方案 方案① 办会员证，每张280元，只限本人使用，凭会员证购买入场券每张20元 方案② 前30次按照每次原价30元收费，超过30次后每次按原价的六折收费 设小明计划这个冬季去游泳次（其中为正整数） (1)若时，选择方案①的总费用为___________元，选择方案②的总费用为___________元； (2)请根据的范围讨论小明选择哪种方案更优惠？ (3)方案一比方案二最多优惠___________元． 3．“端午节”是中华民族古老的传统节日．甲、乙两家超市在“端午节”当天对一种原来售价相同的粽子分别推出了不同的优惠方案． 甲超市方案：购买该种粽子超过200元后，超出200元的部分按收费； 乙超市方案：购买该种粽子超过300元后，超出300元的部分按收费． 设某位顾客购买了x元的该种粽子． (1)补充表格，填写在横线上（填写化简后的结果）： x（单位：元） 实际在甲超市的花费（单位：元） 实际在乙超市的花费（单位：元） x x ①____________ x ②____________ ③____________ (2)通过计算说明，如果顾客在“端午节”当天购买该种粽子超过200元，那么到哪家超市花费更少？ 【类型六】一元一次不等式的应用一几何问题 1．解决下列与平面直角坐标系有关的知识： (1)已知点，解答下列问题： ①若点Q的坐标为，直线轴，直接写出点P的坐标 ； ②若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值； (2)在如图所示的平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，，，，求四边形的面积； (3)在（2）的条件下，若是y轴上一点，且的面积不小于四边形面积的一半，求m的取值范围． 2．如图，平面直角坐标系中中，点，点，且，满足，线段与轴相交于点，点在轴上， (1)求，的值； (2)如图1，若三角形的面积大于，求的取值范围； (3)如图2，点，点在线段上，若，求点的坐标． 3．如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【类型一】一元一次不等式(组)的最值问题 1．已知，为实数，且，，则下列关于的值的说法正确的是（    ） A．有最大值，且最大值为 B．有最小值，且最小值为 C．有最小值，且最小值为 D．有最大值，且最大值为 2．已知a，b，c是三个非负数，且满足，，设的最大值为m，最小值为n，则的值是（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 3．已知方程组的解满足条件，则a的最小值为__． 【类型二】一元一次不等式(组)的解集求参 1．已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A．1，3 B．3，1 C． D．，3 2．已知不等式组的解集是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若不等式组的解集中的任意x都能使不等式成立，则a的取值范围是_______． 【类型三】一元一次不等式(组)新定义运算 1．对于任意实数a，b，定义一种运算．例如：．根据上述定义，不等式组的解集为（    ）． A． B． C． D．无解 2．对于任意实数定义一种运算：，例如，．请根据上述的定义，若不等式，则该不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．对于任意实数a、b，定义一种运算：，请根据以上定义解决问题： （1）________ （2）若关于的不等式组只有个整数解，则的取值范围是________． 【类型四】一元一次不等式(组)整数解求参 1．已知关于的一元一次方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，则所有满足条件的整数值之和是（    ） A． B．9 C． D．12 2．若实数m使关于x的不等式组恰有4个整数解，且使方程组有整数解，则符合条件的整数m可能为：9、10、11、12，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．若关于的不等式组的解集中仅有2个整数解，则的整数解之和为__________． 【类型五】一元一次不等式(组)的有、无解 1．若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．若不等式组有解，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______； 不等式组无解，则a的取值范围是_______． 【类型六】二元一次方程组与不等式结合求解 1．若整数使关于的不等式组至少有个整数解，且使关于，的方程组的解为整数，那么所有满足条件的整数的个数是（   ） A． B． C． D． 2．若方程组的解为x，y，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若关于，的二元一次方程组的解满足不等式组则的取值范围为______． 【类型七】解特殊不等式组 1．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集是__________； (2)已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围． 2．先阅读，再完成练习． 一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． ，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是； ，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)解不等式． (2)解不等式． (3)直接写出不等式的解集： ． 3．我们已经学习了有理数乘法，不等式组与方程组的知识，它们之间有着一定的逻辑关联，请解决以下问题： (1)阅读理解：解不等式． 解：根据两数相乘，同号得正，原不等式可以转化为或， 解不等式组，得；解不等式组，得． 原不等式的解集为或． 问题解决：根据以上材料，解不等式． (2)已知关于，的方程组的解满足不等式组，求满足条件的的整数值． 【类型八】二元一次方程组与不等式结合应用 1．某纪念品商店购进若干亚运会徽章和钥匙扣．已知徽章的进价为5元/个，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个，如图表是近两周的销售情况．该纪念品商店准备用不超过770元的金额再采购徽章和钥匙扣共50个． 销售时段 徽章（个） 钥匙扣（个） 销售收入（元） 第一周 4 3 130 第二周 5 5 200 （进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本） (1)请尝试求出亚运会徽章、钥匙扣的销售单价 (2)该商店至少采购徽章多少个？ (3)帮助该纪念品商店设计采购方案，使这50个纪念品利润不低于516元，在这些采购方案中，哪种方案商店获利最高？ 2．活动目的：采购三晋特色文创玩偶 活动背景：“表里山河，文脉绵长；三晋匠心，指尖流芳”．为传承山西优秀传统文化，某文化传播公司计划采购一批具有三晋特色的文创玩偶，用于“晋韵流芳”主题展览的互动体验和纪念品发放． 素材一：购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元． 素材二：该公司计划购买这两种玩偶共20个．为降低采购成本，文创工坊推出两种优惠方案（只能选择其中一种方案，每种玩偶都需要购买） 素材三：方案一：购买任意玩偶满10个，总价打九折； 方案二：购买“晋侯鸟尊”玩偶每个优惠，其它按原价销售． (1)任务一：求“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价． (2)任务二：设购买“晋侯鸟尊”玩偶个，采用方案一支付费用为，采用方案二支付费用为，请你帮助采购部门选择购买方案． 3．2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？ 【类型九】一元一次不等式(组)的新定义应用 1．定义：如果一元一次不等式组的解都是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相容不等式组”，如果一元一次不等式组的解都不是一元一次不等式组的解，那么称一元一次不等式组是一元一次不等式组的“相斥不等式组”． (1)根据上述定义，判断不等式组是不等式组的______填序号“相容不等式组”或“相斥不等式组”； (2)若关于的不等式组是的“相斥不等式组”，求的范围； (3)若关于的不等式组是的“相容不等式组”，且和的整数解相同，求的范围． 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“和谐不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“和谐不等式”． (1)不等式______的“和谐不等式”（填“是”或“不是”）． (2)如果关于x的不等式不是的“和谐不等式”，求m的取值范围． (3)当时，关于x的不等式与不等式互为“和谐不等式”，求n的取值范围． 3．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“同根不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“同根不等式”． (1)不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”） 不等式______的“同根不等式”（填“是”或“不是”）． (2)若关于的不等式不是的“同根不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“同根不等式”．直接写出的取值范围． 【类型十】求差法比较大小的解决应用 1．根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法： (1)①如果，那么　　； ②如果，那么　　； ③如果，那么　　． (2)如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题： ①若，比较，的大小； ②比较与的大小． 2．阅读下列材料，回答问题 两个数的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数a和b比较大小，那么： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 反过来也对，即： 当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 因此，比较两个量的大小，可以先求它们的差，再根据差的正负，判断两个量的大小． (1)制作某产品有两种用料方案，方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板；方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板；A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 3．【阅读理解】： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式、的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】： （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案） ①__________；②当时，__________；③若，则__________； （2）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】： （3）图1是边长为4的正方形，将正方形一边保持不变，另一组对边增加得到如图2所示的新长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图3所示的新正方形，此正方形的面积为；则与大小的大小关系为： ； （4）已知，，试运用上述方法比较、的大小，并说明理由． 1．（24-25八年级下·广东佛山·月考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）在《九章算术》中，经常用数学解决农作物的产量问题．小明根据“今有中等禾，每捆产出稻米55斗，_____．设上等禾每捆产出稻米x斗”列出不等式，则“_____”上应是（    ） A．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 B．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不少于5170斗 C．取上等禾33捆、中等禾22捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 D．取上等禾22捆、中等禾33捆共量之，产出的稻米不多于5170斗 3．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山西太原·月考）已知是整数，，且，，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）“的3倍与2的和是负数”用不等式表示为_____． 6．（25-26八年级下·山东青岛·月考）若关于的不等式可化为，则的取值范围是_____． 7．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）按照如下程序，输入x的值并计算，规定从“输入一个数x”到“判断结果是否大于70”为一次程序操作．若输入正整数x，程序操作了两次后停止，且所有符合条件的x的最大值为m，最小值为n，则的值为______． 8．（25-26九年级下·陕西西安·阶段检测）解不等式组：． 9．（25-26九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）已知关于x，y的方程组的解满足，求k的取值范围． 10．（25-26九年级下·湖北十堰·月考）某单位需采购一批商品，购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元，而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元． (1)求甲、乙商品每件各多少元？ (2)本次计划采购甲、乙商品共30件，计划资金不超过460元． ①最多可采购甲商品多少件？ ②若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案． 1．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东济南·期中）为提高学生的安全意识，某校举办了安全知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知关于x的不等式组无解，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）关于x的不等式组的解集为，请写出一个符合条件的a的值：_________． 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为__________ 7．（25-26八年级下·广东深圳·期中）新定义规定以下变换：，若，则的取值范围是____． 8．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）按要求完成计算： (1)解不等式： (2)解不等式组，并通过数轴确定解集． 9．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）为了更好治理西太湖水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备．经调查：购买3台A型设备和2台B型设备一共26万元，购买2台A型设备比购买4台B型设备少4万元． (1)求A型、B型设备每台各是多少钱； (2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过54万元，并且A型设备的数量不少于B型设备的数量，则有哪几种购买方案？请写出最省钱的一种购买方案，并写出相应的费用． 10．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如：就是方程的一组“好解”；是方程组的一组“好解”． (1)求方程的所有“好解”； (2)关于，，的方程组有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明理由． 1．（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）不等式组的整数解之和是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级下·吉林长春·期末）若，则下列式子中错误的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）甲、乙两队进行足球对抗赛，比赛规则规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．两队一共比赛了7场，甲队保持不败，得分超过15分，则甲队胜了（    ） A．5场 B．至多5场 C．至少5场 D．至少6场 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）关于的不等式组有且只有三个整数解，则的最大值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26七年级下·上海金山·期末）根据题意列不等式：与的3倍的和不大于10：________． 6．（25-26七年级上·江苏南京·期末）写出一个整数的值，使大于，则这个整数的值可以是__________． 7．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）关于的不等式组的解集为，则___________． 8．（24-25七年级下·山西长治·期末）根据年山西中考体育新政策，体育统一测试环节分值提高为分，增加了专项运动技能测试，分值为分．学生可选择足球、篮球、排球其中项专项运动技能进行测试，各市可根据实际情况增设难度相近的选测项目为了训练，某中学决定购买一定数量的篮球和足球供学生使用．已知购买个篮球和个足球需花费元，购买个篮球和个足球需花费元． (1)购买一个篮球和一个足球各需花费多少元？ (2)如果学校购买篮球和足球的总费用不超过元，且购买篮球和足球共个，那么最多可以购买多少个篮球？ 9．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： (1)线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ (2)张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） (3)请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 10．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若一个不等式组有解且解集为，则称为的“绝对距离”，若的绝对距离是不等式组的解，则称不等式组对于不等式组“绝对包含”． (1)已知关于的不等式组以及不等式组，判断不等式组是否对于不等式组绝对包含，并写出判断过程． (2)已知关于的不等式组和关于的不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，当时，求满足条件的所有整数的和． (3)已知关于的不等式组以及不等式组，且不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $