专题06 不等式与不等式组章末易错必刷题型专训（60题20个考点）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

**基本信息** 聚焦不等式与不等式组20个核心易错点，以60道典型题构建从概念到应用的递进训练体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念/性质/解集|9题|辨析式选择、情境化填空|从定义到性质推导，夯实逻辑基础| |求解/表示/最值|12题|步骤纠错、数轴表示|操作技能与几何直观结合，提升运算能力| |实际/几何应用|9题|方案设计、动态几何|模型意识培养，强化应用意识| |新定义/错解/不等式组|30题|迁移创新、参数讨论|综合能力提升，覆盖中考高频易错点|

专题06 不等式与不等式组章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 不等式的概念】 1．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）下列数学式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键是掌握用不等号连接的式子是不等式．根据不等式的定义：用不等号连接的式子是不等式，逐个进行判断即可． 【详解】解：①，是不等式，符合题意； ②，是不等式，符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是多项式，不符合题意； ⑤，是不等式，符合题意； 综上：是不等式的有①②⑤，共3个， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为__________． 【答案】 【分析】a与b的和为负数即是小于0的数，据此列不等式． 【详解】解：由题意得，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）请设计不同的实际情境表示下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)小明有新铅笔a支，旧铅笔b支，总的铅笔数小于5支． (2)小明买了3支铅笔，每支x元，又花了2元买了一块橡皮，花的总钱数大于7． 【分析】本题主要考查了是不等式代表的实际意义，根据不等式的定义，再联系实际即可作答． （1）根据，联系实际即可作答． （2）根据，联系实际即可作答． 【详解】（1）解：小明有新铅笔a支，旧铅笔b支，总的铅笔数小于5支．（答案不唯一） （2）解：小明买了3支铅笔，每支x元，又花了2元买了一块橡皮，花的总钱数大于7．（答案不唯一） 【易错必刷二 不等式的性质】 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴，，，， ∴A错误，B正确，C错误，D错误． 5．（2025·江苏常州·模拟预测）若则______0．（填、或）． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，再解题．已知，试比较与的大小． 解：① ② 故③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）解：正确的解题过程如下： ， ． 【易错必刷三 不等式的解集】 7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（    ） A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【答案】C 【分析】根据，判定区域即可． 【详解】因为， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式解集的意义是解题的关键． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）方程的解有________个，不等式的解有________个． 【答案】 1 无数 【分析】根据方程的解的定义，不等式的解的定义分析即可．方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，不等式的解集是不等式的解的集合，不等式的解往往有多个． 【详解】一元一次方程的解只有一个，是， 一元一次不等式的解集是，解有无数个， 故答案为：1，无数 【点睛】本题考查了方程的解和不等式的解集，理解不等式的解和解集的定义是解题的关键． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件： （1）是不等式的一个解； （2），，0都是不等式的解； （3）不等式的正整数解只有1，2，3； （4）不等式的非正整数解只有，，0； （5）不等式的解中不含0． 【答案】（1）（答案不唯一）  （2）（答案不唯一）  （3）（答案不唯一）  （4） （答案不唯一） （5）（答案不唯一） 【分析】（1）只要解集中含有-2这个解的不等式均可以； （2）只要解集中含有-2，-1，0这三个整数解的不等式均可以； （3）只要不等式的解集中恰好含有1，2，3这三个正整数解的不等式均可以； （4）只要不等式的解集中恰好含有-2，-1，0这三个非正整数解的不等式均可以； （5）只要不等式的解集中不含0的不等式均可以． 【详解】（1）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （2）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （3）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （4）满足题意的不等式为（答案不唯一）； （5）满足题意的不等式为（答案不唯一）； 【点睛】本题根据不等式的解集要求写出一个不等式，考查了不等式的概念． 【易错必刷四 一元一次不等式的定义】 10．（24-25八年级上·浙江·周测）以下是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，理解定义是解答的关键．一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，左右两边都是整式的不等式，叫做一元一次不等式． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； B、是一元一次不等式，符合题意； C、未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意； D、没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意， 故选：B． 11．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则该不等式可列为______． 【答案】 【分析】根据二阶行列式的定义可得，解一元一次不等式即可得． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列一元一次不等式，理解二阶行列式的定义是解题关键． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？ （1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3）；（4）≥2；（5）2x+y≤8 【答案】（2）、（3）是一元一次不等式 【分析】一元一次不等式的定义主要由三部分组成：①不等式的左右两边分母不含未知数；②不等式中只含一个未知数；③未知数的最高次数是1，三个条件缺一不可，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：（1）是等式；（4）不等式的左边不是整式；（5）含有两个未知数，所以不是一元一次不等式， 所以一元一次不等式有：（2）、（3） 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的识别，掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键. 【易错必刷五 求一元一次不等式的解集】 13．（2025·吉林长春·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 移项，得， 两边同时除以，得． 14．（25-26七年级下·福建厦门·月考）的解集是___________． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式， 按照移项，合并同类项的步骤求解即可． 【详解】解：， ， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·河北张家口·期末）下面是小明同学解不等式的过程． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据： ； 第二步的依据： ； 第三步的依据： ． 【答案】不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据所给解一元一次不等式的步骤，写出每步的依据即可． 【详解】解：由题知， 第一步的依据是：不等式的基本性质2， 第二步的依据是：不等式的基本性质1， 第三步的依据是：不等式的基本性质3， 故答案为：不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3． 【易错必刷六 求一元一次不等式的整数解】 16．（2025·贵州黔西南·二模）不等式的最大整数解为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查解不等式及不等式的整数解，解题的关键是求出不等式的解集． 先求出不等式的解集，再找最大的整数解，即可解题． 【详解】解： ， 不等式的最大整数解为3， 故选：C． 17．（24-25七年级下·重庆云阳·期末）已知是正整数，若式子的值是负数，则满足条件的的和是________． 【答案】10 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解及正整数的应用，熟练掌握解一元一次不等式的步骤和正整数的概念是解题的关键．先根据式子值为负数列出不等式，求解出的取值范围，再结合是正整数确定的值，最后求和． 【详解】解：式子的值是负数， ， 不等式两边同时乘得， 移项可得． 又是正整数， 的值为，，，． 它们的和为． 故答案为： ． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的非负整数解． 【答案】，图见解析，非负整数解为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，不等式的非负整数解，在数轴上表示不等式的解集的应用，解此题的关键是能够根据不等式的性质求出不等式的解集． 首先解这个不等式，然后在数轴上表示出解集，最后找出非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 两边都除以5，得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． 由数轴可知，不等式的非负整数解为． 【易错必刷七 在数轴上表示不等式的解集】 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，数轴所表示的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用数轴表示不等式的解．关键是掌握实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集． 观察数轴上表示的解集，判断即可． 【详解】解：由数轴可以看出，两个解集公共部分为， ∴数轴所表示的不等式为， 故选：B． 20．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）若关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是_________.    【答案】 【分析】用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：根据数轴可得，不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴上表示不等式的解集，熟练掌握数轴上表示不等式组的解集的方法是解题的关键． 21．（25-26八年级上·浙江温州·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟记运算步骤是关键． 按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， 解得：． 把解集表示在数轴上，如下图： 【易错必刷八 求一元一次不等式解的最值】 22．（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】先解二元一次方程组，再根据条件列出不等式，解不等式即可求得答案． 【详解】 ①②得： ①②得： 解得 的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式，根据题意列出不等式是解题的关键． 23．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式求出x的取值范围，再根据题意得出关于n的方程，求解即可． 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式的最小整数解为， ∴， ∴， 故答案为：． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值． 【答案】1 【分析】先解关于的一元一次不等式，根据其解集求得最大整数解，从而确定的值，同理求得的值，进而求得代数式值． 【详解】解：不等式的解集，则最大整数解； 不等式的解集，则最小整数解； 则． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求不等式解集的最值，通过解一元一次不等式求得的值是解题的关键． 【易错必刷九 解|x|≥a型的不等式】 25．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性，准确分析判断是解题的关键． 根据绝对值的非负性，等式成立需，即，且代入验证成立． 【详解】， ， ，即， 故选． 26．（24-25七年级上·江西景德镇·期中）若关于的不等式有解，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，可把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和，得到当x位于第8个点时，取得最小值15，即可求出a的取值范围． 【详解】解：由绝对值的几何意义可得， 把视为数轴上表示数x的点到表示数-1(1个)，-2(2个)，-3(3个)，-4(4个)，-5(5个)的点的距离之和， ∴当x位于第8个点时，即当x=-4时， 的最小值为15， ∵， ∴当关于的不等式有解时， a的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】此题考查了绝对值的几何意义和不等式性质，解题的关键是根据题意求得的最小值． 27．（24-25七年级上·四川成都·期末）解不等式：． 【答案】或 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，把转化为或求解即可． 【详解】∴， ∴或， 解得， 解得． 综上可知，或． 【易错必刷十 列一元一次不等式】 28．（24-25七年级下·福建泉州·期中）“与7的差的一半是正数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，“x与7的差的一半是正数”需转化为不等式，首先，“x与7的差”表示为，再取其“一半”即整体除以2，得到，最后，“是正数”对应“”，因此不等式为． 本题考查了不等式的应用，熟练掌握列不等式是解题的关键． 【详解】解： A：，表示“x减去7的一半是正数”，不符合题意． B：，完全符合推导结果． C：，包含等于0的情况，但题目要求“正数”（严格大于0）． D：，表示“x的一半减7是非负数”，顺序错误且符号不符． 故选：B． 29．（24-25七年级下·北京昌平·期末）用不等式表示“的3倍大于或等于10”________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式． 根据题意列不等式即可． 【详解】解：的3倍表示，大于或等于为“”， 则不等式表示“的3倍大于或等于10”为， 故答案为：． 30．（24-25七年级下·全国·假期作业）根据下列数量关系，列出不等式． (1)x的3倍与2的和不少于－4； (2)y的与－10的差小于y的2倍． 【答案】(1)3x＋2≥－4 (2)y－（－10）＜2y 【解析】略 【易错必刷十一 用一元一次不等式解决实际问题】 31．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（    ） A．45 B．44 C．43 D．42 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的应用．设数学书还可以摆m本，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设数学书还可以摆m本，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴数学书最多还可以摆43本． 故选：C． 32．（24-25七年级下·山西运城·期末）某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，求最多可购买多少个足球．若设购买足球m个，则可列不等式为_______． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，理解题意是解题的关键． 根据题意列出不等式即可． 【详解】解：由题意知，购买足球和篮球的花费一共不超过元， 设购买足球个，则购买篮球个， ∴． 故答案为： ． 33．（24-25七年级下·陕西西安·月考）某展览馆为适应更多会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长米，宽米的长方形，现计划将其分成两个同样大的长方形展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． (1)若一个长方形展览区的宽度至少是通道宽度的倍，求通道的最大宽度； (2)已知通道宽度最终确定为米，工程负责人准备用，两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，用种彩砖铺设展览区每平方米需要元，用B种彩砖铺设展览区每平方米需要元，若铺设展览区的总费用不超过元，求最多购买多少平方米种彩砖？ 【答案】(1)通道的最大宽度为米 (2)最多购买平方米种彩砖 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，列不等式． （1）根据题意列不等式，解不等式即可； （2）根据题意列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 答：通道的最大宽度为4米． （2）解：当通道宽度为4米时， 展览区的长为（米）， 展览区的宽为（米）， 展览区的总面积为（平方米）， 设购买平方米种彩砖，则购买平方米种彩砖， 由题意得，， 解得，， 答：最多购买平方米种彩砖． 【易错必刷十二 用一元一次不等式解决几何问题】 34．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明到A站之间的距离，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解，理解题意，正确列出不等式是解此题的关键． 【详解】解：设小明到A站之间的距离， 由题意可得：， 解得：， ∴小明到A站之间的距离最大为， 故选：A． 35．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 36．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据的取值范围必须满足两个条件：一个是这个长方形的周长不大于48米，另一个是长方形的边长大于0，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意可得：， 解不等式组得：， 答：x的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了列不等式组，并求不等式组的解，注意不要漏掉长方形的长要大于0这个隐含条件． 【易错必刷十三 一元一次不等式的新定义】 37．（24-25八年级上·广西贵港·期末）对于任意实数、，定义一种运算：例如，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照定义写出不等式并求解，再求出该不等式的整数解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 该不等式的正整数解为：， 故选：A 【点睛】此题考查了利用新定义解决不等式问题的能力，关键是能根据定义写出不等式并求解． 38．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）定义一种运算：，则不等式的解集是______． 【答案】 【分析】此题考查了新定义，求不等式的解集，解题的关键是列出一元一次不等式．根据新定义列出一元一次不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴可变为， 解得． 故答案为：． 39．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）现定义一种新的运算：，例如：，求不等式的解集． 【答案】 【分析】根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可得． 【详解】解：， 不等式可变形为， 解得， 即不等式的解集为． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式． 【易错必刷十四 一元一次不等式的错解订正问题】 40．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）两位同学对两个一元一次不等式（都不为0）的解提出了自己的想法，甲说：“如果，则两个不等式的解相同”，乙说：“如果两个不等式的解相同，则成立” ．则他们两人的说法为（　　） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式．熟练掌握不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的开口方向发生改变是解题的关键． 由题意可设，然后求解两个不等式的解集，对甲进行判断即可；根据x的解相同，可知无论为正的或者负的，x都同时大于或同时小于同一个数，对乙进行判断即可． 【详解】解：由题意可设， 解得，，解得，， ∴两者的解不同，甲错误； 若x的解相同，则无论为正的或者负的，x都同时大于或同时小于同一个数，即，乙正确， 故选：B． 41．（24-25七年级下·北京西城·期中）以下是一位同学求解不等式时的过程： 发现有错后，请你修改正确答案. 他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注“”或另作标记，提醒自己注意． ① “”内应修改的正确答案是____ ② “去分母”这步，依据的不等式基本性质是_______（请写明基本性质的具体内容） 【答案】 12 不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号开口方向不变 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键在于能够熟练掌握不等式的性质． ①根据去分母的方法进行求解即可； ②根据不等式的性质2：不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变，求解即可． 【详解】 解：①“”内应修改的正确答案是12； ②“去分母”这步，依据的不等式基本性质是不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号开口方向不变． 故答案为：①12；②不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变． 42．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．以下是亮亮同学在解不等式组的过程： 解不等式组 解：由①得，， 由得，， 不等式组的解为 辨认他的错误思路，请你即行即改，写出正确的解答过程． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式组的解集，先判断出亮亮同学在解不等式组过程中的错误地方，再分别解这两个不等式并求解集的公共部分即可． 【详解】解：亮亮同学解不等式①去括号时，括号里面的减号未变号，解不等式时，去分母时不等号右边没有乘以3，正确的解答过程如下： 解不等式组 解：由①得，， ， 由得，， 不等式组的解为 【易错必刷十五 求不等式组的解集】 43．（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是． 44．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组解集为__________ 【答案】/ 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解每个不等式，然后确定不等式组的解集为两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：解不等式：， 移项得：， 合并同类项得：， 解不等式：， 移项得：， 合并同类项得：， 两边除以3得：， 所以不等式组的解集为． 故答案为：． 45．（25-26七年级下·广东深圳·期中）解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②， 得：， 所以不等式组的解集为 ：． 【易错必刷十六 求一元一次不等式组的整数解】 46．（24-25七年级下·全国·单元测试）满足的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查解不等式组的整数解，先求得不等式组的解集，进而可求解． 【详解】解：解不等式组，得， ∴该不等式组的整数解为4， 故选：B． 47．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据整数解的个数得出关于的解题的关键．求出不等式组的解集，再根据该不等式组恰好有3个整数解，即可得出的取值范围． 【详解】解不等式组 得：， ∵该不等式组恰好有3个整数解， ∴该不等式组的整数解为，0． ∴． 48．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）求不等式组的整数解． （2）求满足不等式组的最大整数和最小整数． 【答案】（1）；（2）最大整数为1，最小整数为 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤是解答的关键． （1）先解出不等式组的解集，再求出其整数解即可解答． （2）先解出不等式组的解集，再求出满足不等式组的最大整数和最小整数即可解答． 【详解】解：（1）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴该不等式组的整数解是； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组解集是， ∴满足该不等式组的最大整数是1和最小整数是． 【易错必刷十七 由不等式组解集的情况求参数】 49．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组无解，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解第一个一元一次不等式得到的取值范围，再根据不等式组无解的判定规则得到的取值范围，最后对比选项选出符合条件的答案． 【详解】解： 解不等式①，移项得，即， ∴ 原不等式组可化为， ∵不等式组无解，根据一元一次不等式组解集规则“大大小小找不到”，可得， 对比选项，只有，符合条件． 50．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）若是一元一次不等式组的一个解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式组的解法：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解求解即可． 【详解】∵是一元一次不等式组的一个正数解， ∴， 故答案为：． 51．（24-25七年级下·河南周口·月考）关于x的不等式组． (1)若该不等式组无解，求k的取值范围； (2)如果该不等式组恰好有2022个整数解，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式组无解可知，解之即可； （2）根据不等式组恰好有2022个整数解，那么整数解是从0开始到2021结束的自然数，由此可知，解之即可． 【详解】（1）解：∵不等式组无解， ∴， ∴； （2）解：∵不等式组恰好有2022个整数解， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，正确理解题意是解题的关键． 【易错必刷十八 一元一次不等式组的解集求参数】 52．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是根据不等式组的公共解集，求参数的取值范围，分别求两个不等式的解集，根据公共解集的取法：同小取小是解决此题的关键． 【详解】解：解，得， 解得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 故选：C． 53．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若不等式组的解集是，则______． 【答案】1 【分析】先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于、的方程，求出、的值，继而代入计算即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 54．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如果关于的不等式有个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】此题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法． 先解出不等式组，然后根据关于的不等式有个整数解得到关于的不等式组，解关于的不等式组求出的取值范围． 【详解】解：解不等式组得：， 关于的不等式有个整数解， ， 解得：． 【易错必刷十九 不等式组和方程组相结合的问题】 55．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如果关于x、y的方程组的解为正数，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将看做已知数求出方程组的解表示出与，根据与都为正数， 取出的范围即可． 【详解】解： 解方程组， 得：， 方程组的解为正数， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解， 方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 56．（24-25七年级下·山东聊城·期中）若方程组的解满足，则k取值范围是______． 【答案】 【分析】根据题目中的方程组的特点，可以得到x+y的值，然后根据0≤x+y＜1，即可求得k的取值范围． 【详解】解：， ①+②，得5x+5y=k+4， ∴x+y=， ∵0≤x+y＜1， ∴0≤＜1， 解得，-4≤k＜1， 故答案为：-4≤k＜1． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确题意，求出k的取值范围． 57．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若关于，的方程组的解满足，． (1)求方程组的解用含的式子表示； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】利用加减消元法求解即可； 根据，，得，解之即可． 【详解】（1）解：，得：， 解得， ，得：， 解得， 方程组的解为； （2），， ， 解得． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【易错必刷二十 一元一次不等式组的新定义问题】 58．（24-25七年级下·山东临沂·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是新定义和一元一次不等式的整数解，根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出a的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为， ∵不等式组的解集中有3个整数解， ∴， 解得， 故选：C． 59．（2025·四川南充·模拟预测）定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有________个． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 利用题中的新定义运算化简不等式组，求出解集，即可求出整数解的个数． 【详解】解：， 将不等式组化简得， 解得， 解得， 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，共个， 故答案为：． 60．（24-25七年级下·江西新余·期末）阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则．例如：，，，，…，试解决下列问题： (1)①______（为圆周率）；②如果，则数x的取值范围为______； (2)求出满足的x的取值． 【答案】(1)7；； (2)，4，． 【分析】（1）①利用对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，进而得出的值； ②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的取值范围； （2）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得：； 故答案为：7； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，为整数， 设，k为整数，则， ∴， ∴，， ∴， ∴，3，4，则，4，． 【点睛】本题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解新定义的意义是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 不等式与不等式组章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 不等式的概念】 1．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期末）下列数学式子：①；②；③；④；⑤；其中是不等式的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）将“a与b的和是负数”用不等式表示为__________． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）请设计不同的实际情境表示下列不等式： (1)； (2)． 【易错必刷二 不等式的性质】 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）若，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江苏常州·模拟预测）若则______0．（填、或）． 6．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读下列解题过程，再解题．已知，试比较与的大小． 解：① ② 故③ 问： (1)上述解题过程中，从第________步开始出现错误； (2)请写出正确的解题过程． 【易错必刷三 不等式的解集】 7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（    ） A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）方程的解有________个，不等式的解有________个． 9．（24-25七年级下·全国·课后作业）试写出一个不等式，使它的解集满足下列条件： （1）是不等式的一个解； （2），，0都是不等式的解； （3）不等式的正整数解只有1，2，3； （4）不等式的非正整数解只有，，0； （5）不等式的解中不含0． 【易错必刷四 一元一次不等式的定义】 10．（24-25八年级上·浙江·周测）以下是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·贵州贵阳·月考）阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，如果，则该不等式可列为______． 12．（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子中，是一元一次不等式的有哪些？ （1）3x+5＝0；（2）2x+3＞5；（3）；（4）≥2；（5）2x+y≤8 【易错必刷五 求一元一次不等式的解集】 13．（2025·吉林长春·模拟预测）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·福建厦门·月考）的解集是___________． 15．（25-26八年级上·河北张家口·期末）下面是小明同学解不等式的过程． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据： ； 第二步的依据： ； 第三步的依据： ． 【易错必刷六 求一元一次不等式的整数解】 16．（2025·贵州黔西南·二模）不等式的最大整数解为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 17．（24-25七年级下·重庆云阳·期末）已知是正整数，若式子的值是负数，则满足条件的的和是________． 18．（24-25七年级下·全国·课后作业）解不等式，把解集在数轴上表示出来，并求出它的非负整数解． 【易错必刷七 在数轴上表示不等式的解集】 19．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，数轴所表示的不等式为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级下·陕西榆林·开学考试）若关于x的不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式的解集是_________.    21．（25-26八年级上·浙江温州·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上． 【易错必刷八 求一元一次不等式解的最值】 22．（24-25七年级下·河南南阳·期末）已知二元一次方程组，，则的最小值是（　　） A．1 B． C．0 D． 23．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）关于的不等式的最小整数解为，则的值为______． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知：是不等式的最大整数解，是不等式的最小整数解，求的值． 【易错必刷九 解|x|≥a型的不等式】 25．（25-26七年级上·辽宁丹东·期中）若，则x与3的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·江西景德镇·期中）若关于的不等式有解，则的取值范围是__________. 27．（24-25七年级上·四川成都·期末）解不等式：． 【易错必刷十 列一元一次不等式】 28．（24-25七年级下·福建泉州·期中）“与7的差的一半是正数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·北京昌平·期末）用不等式表示“的3倍大于或等于10”________． 30．（24-25七年级下·全国·假期作业）根据下列数量关系，列出不等式． (1)x的3倍与2的和不少于－4； (2)y的与－10的差小于y的2倍． 【易错必刷十一 用一元一次不等式解决实际问题】 31．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（    ） A．45 B．44 C．43 D．42 32．（24-25七年级下·山西运城·期末）某校准备用不超过1000元购买篮球和足球共15个，其中篮球每个60元，足球每个80元，求最多可购买多少个足球．若设购买足球m个，则可列不等式为_______． 33．（24-25七年级下·陕西西安·月考）某展览馆为适应更多会展需求，对部分展馆地面进行了升级改造，已知该展馆地面为长米，宽米的长方形，现计划将其分成两个同样大的长方形展览区，其余部分为等宽的通道，设通道的宽度为x米． (1)若一个长方形展览区的宽度至少是通道宽度的倍，求通道的最大宽度； (2)已知通道宽度最终确定为米，工程负责人准备用，两种彩砖铺设展览区的地面，用防滑材料铺设通道，经市场调查发现，用种彩砖铺设展览区每平方米需要元，用B种彩砖铺设展览区每平方米需要元，若铺设展览区的总费用不超过元，求最多购买多少平方米种彩砖？ 【易错必刷十二 用一元一次不等式解决几何问题】 34．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，小明想到A站乘公交车，发现他与公交车的距离为．已知小明的速度为，公交车的速度是小明的速度的5倍．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明到A站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    36．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）长方形的一边长为2米，另一边长为米，它的周长不大于48米，求的取值范围． 【易错必刷十三 一元一次不等式的新定义】 37．（24-25八年级上·广西贵港·期末）对于任意实数、，定义一种运算：例如，请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）定义一种运算：，则不等式的解集是______． 39．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）现定义一种新的运算：，例如：，求不等式的解集． 【易错必刷十四 一元一次不等式的错解订正问题】 40．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）两位同学对两个一元一次不等式（都不为0）的解提出了自己的想法，甲说：“如果，则两个不等式的解相同”，乙说：“如果两个不等式的解相同，则成立” ．则他们两人的说法为（　　） A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错 41．（24-25七年级下·北京西城·期中）以下是一位同学求解不等式时的过程： 发现有错后，请你修改正确答案. 他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注“”或另作标记，提醒自己注意． ① “”内应修改的正确答案是____ ② “去分母”这步，依据的不等式基本性质是_______（请写明基本性质的具体内容） 42．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）错题是最好的素材，识错和辨错能有效的检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养．以下是亮亮同学在解不等式组的过程： 解不等式组 解：由①得，， 由得，， 不等式组的解为 辨认他的错误思路，请你即行即改，写出正确的解答过程． 【易错必刷十五 求不等式组的解集】 43．（25-26七年级下·全国·课后作业）不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 44．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）不等式组解集为__________ 45．（25-26七年级下·广东深圳·期中）解不等式组：． 【易错必刷十六 求一元一次不等式组的整数解】 46．（24-25七年级下·全国·单元测试）满足的整数解是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 47．（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是___________． 48．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）求不等式组的整数解． （2）求满足不等式组的最大整数和最小整数． 【易错必刷十七 由不等式组解集的情况求参数】 49．（25-26七年级下·陕西西安·期中）若关于的不等式组无解，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级下·河南驻马店·期中）若是一元一次不等式组的一个解，则的取值范围是______． 51．（24-25七年级下·河南周口·月考）关于x的不等式组． (1)若该不等式组无解，求k的取值范围； (2)如果该不等式组恰好有2022个整数解，求k的取值范围． 【易错必刷十八 一元一次不等式组的解集求参数】 52．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知不等式组的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 53．（25-26七年级下·宁夏银川·期中）若不等式组的解集是，则______． 54．（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如果关于的不等式有个整数解，求的取值范围． 【易错必刷十九 不等式组和方程组相结合的问题】 55．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如果关于x、y的方程组的解为正数，则a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 56．（24-25七年级下·山东聊城·期中）若方程组的解满足，则k取值范围是______． 57．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）若关于，的方程组的解满足，． (1)求方程组的解用含的式子表示； (2)求的取值范围． 【易错必刷二十 一元一次不等式组的新定义问题】 58．（24-25七年级下·山东临沂·期末）对于任意实数m，n，定义一种新运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：，请根据上述定义解决问题：若，且解集中有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（2025·四川南充·模拟预测）定义一种新运算：，则不等式组的整数解共有________个． 60．（24-25七年级下·江西新余·期末）阅读下列材料解答问题：新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之，当n为非负整数时，如果，则．例如：，，，，…，试解决下列问题： (1)①______（为圆周率）；②如果，则数x的取值范围为______； (2)求出满足的x的取值． 学科网（北京）股份有限公司 $