第十一章不等式与不等式组章末复习 课时分层训练2025-2026学年七年级数学下册（人教版）

第十一章 不等式与不等式组章末复习 考点1 不等式的性质 1．若，则下列式子不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 考点2 不等式的解法 4．下列数中，能使不等式成立的的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．若代数式的值为非负数，则x的取值范围是______． 6．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是__________． 7．解不等式，并把它的解集在所给的数轴上表示出来． 8．解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 9．解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 考点3 一元一次不等式组的解法 10．解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A．1，3 B．3，1 C． D．，3 12．若不等式组的解集中的任意x都能使不等式成立，则a的取值范围是_______． 13．解不等式组：． 14．解不等式组：． 考点4 一元一次不等式组的应用 15． 项目 内   容 主 题 校园“碳中和”——班级绿色出行方案探究 背 景 出行方式：步行、骑自行车、乘公交车（三种方式均有人选择）； 碳排放量：步行（0kg /人）、骑自行车（0.2kg /人）、乘公交车（0.8kg/人）； 每班人数：45 人（每人每天恰好选择一种方式） 案例 条    件 案例一： （1班） ①乘公交车人数为5人；碳排放总量为 10kg． 案例二： （2班） ①骑自行车人数比乘公交车人数多10人； ②步行人数至少15人，不超过25人． 案例三： （3班） ①骑自行车人数是乘公交车人数的2倍； ②骑自行车人数至少12人； ③碳排放总量不超过10kg． 任务： (1)案例一中：求1班步行人数和骑自行车人数分别是多少人？ (2)案例二中：求2班碳排放总量的取值范围是多少？ (3)案例三中：求3班步行人数可能有多少人？ 16．为保障八年级研学旅行顺利开展，学校计划租用、两种型号的新能源客车共13辆，用于接送师生往返研学基地．两种客车的载客量、日租金如表： 车型 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） 型客车 55 2000 型客车 19 1000 学校要求：租车总费用不超过25000元． (1)最多能租用型客车多少辆？ (2)若八年级师生共600人，且所有师生都有座位，请写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 17．为了响应《关于全面推进健康学校建设的指导意见》号召，某校决定在每天下午组织学生“校园跑”，并购买跑鞋给优秀完成任务的学生作为奖励，该校购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元． (1)求A，B两种品牌跑鞋的单价各是多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的跑鞋共20双，正逢鞋店的“优惠促销”活动，A种品牌的跑鞋单价优惠3元，B种品牌的跑鞋单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双，为了节约资金，学校应制定怎样的购买方案？ 18．项目背景：为助力乡村振兴、惠农富农，了解沙田柚的价格情况．小玉、小林、嘉嘉三人到某合作社买沙田柚．小玉、小林先买，购买情况如下： 购买甲种礼盒（只装） 购买乙种礼盒（只装） 一共花费费用 小玉 箱 箱 元 小林 箱 箱 元 项目任务： (1)求甲、乙两种礼盒每箱的售价； (2)嘉嘉计划从该合作社购买甲、乙两种包装的沙田柚礼盒共箱，预算为元．若不超过预算，嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒多少箱？ 19．阅读以下素材并解决问题： 制定战机模型购买方案 项目背景 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京天安门广场举行，歼-20S，歼-30A等隐形战机震撼亮相．某工厂看准商机，推出了一系列战机模型，某航模专卖店决定购买，两种型号的战机模型． 素材一 购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共420元；购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共700元． 素材二 据统计该航模专卖店需购买，两种型号的战机模型共50个，但总费用不超过3890元，且型号战机模型的数量不少于型号战机模型数量的． 问题解决： (1)任务一：，两种型号的战机模型的单价分别为多少元？ (2)任务二：有哪几种购买方案？ (3)任务三：在任务二的基础上，计算出哪种方案最省钱，最低购买费用是多少元？ 20．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 不等式与不等式组章末复习 考点1 不等式的性质 1．若，则下列式子不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质，逐一判断各选项是否一定成立，找出不一定成立的选项即可. 【详解】A. ∵ ，根据不等式性质，不等式两边同时减，不等号方向不变， ∴ ，一定成立，A不符合题意； B. ∵ ，取，，满足，此时，，即，不满足；取，时，满足，且，因此不一定成立，B符合题意； C. ∵ ，根据不等式性质，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变， ∴ ，一定成立，C不符合题意； D. ∵ ，根据不等式性质，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变， ∴ ，一定成立，D不符合题意. 综上，答案选B. 2．用不等式的性质说明图中的事实，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】根据不等式的性质，观察给出的图片可得，得到，结合选项即可求解． 【详解】解：观察给出的图片可得，由可得，A选项符合． 3．若，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：， ，又 ， ，不等式成立． 对选项B：，，不等式两边同除以负数，不等号方向改变， ，即，不等式成立． 对选项C：，，，， ，即 ，不等式成立． 对选项D： ， ，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，得，化简得，即，故不成立． 考点2 不等式的解法 4．下列数中，能使不等式成立的的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】先解一元一次不等式得到的取值范围，再对比选项选出符合要求的答案即可． 【详解】解： ， 移项得 ， ∴ ； 对比选项： A选项：，满足不等式要求，故A选项符合题意； B选项：，不满足不等式要求，故B选项不符合题意； C选项：，不满足不等式要求，故C选项不符合题意； D选项：，不满足不等式要求，故D选项不符合题意． 5．若代数式的值为非负数，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据非负数的定义列出不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解: 依题意得 ， 移项得 ， 系数化为，不等号方向改变，得， 即x的取值范围是． 6．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】两方程相加得出，由得到关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：， 将方程组中两个方程相加得， 两边都除以3，得：， ∵， ∴， 解得：. 7．解不等式，并把它的解集在所给的数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化成1即可求得不等式的解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 在数轴上表示为： ． 8．解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【详解】解：， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为，得， 将解集在数轴上表示如图： 9．解不等式：，将解集在如图所示的数轴上表示出来，并写出它的非负整数解． 【答案】；画图见解析；非负整数解为0，1，2，3 【分析】先解不等式，求得，然后将解集在数轴上表示出来，由图即可求出非负整数解． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 化系数为1得：； 将解集表示在数轴上如图所示： 不等式的非负整数解为0，1，2，3． 考点3 一元一次不等式组的解法 10．解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组的解集为 在数轴上表示为： 11．已知关于的不等式组的解集是，则的值分别为（） A．1，3 B．3，1 C． D．，3 【答案】B 【分析】先推导出，继而得到，求出，即可解答． 【详解】解：由不等式组，得， ∵关于的不等式组的解集是， ∴， 解得． 12．若不等式组的解集中的任意x都能使不等式成立，则a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】表示出不等式组的解集，根据解集的取值范围求出参数的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∵， ∴不等式组的解集为， 解得， ， ∵解集中的任意x都能使不等式成立， ∴， 解得． 13．解不等式组：． 【答案】 【详解】解： 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为． 14．解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组的解集为． 考点4 一元一次不等式组的应用 15． 项目 内   容 主 题 校园“碳中和”——班级绿色出行方案探究 背 景 出行方式：步行、骑自行车、乘公交车（三种方式均有人选择）； 碳排放量：步行（0kg /人）、骑自行车（0.2kg /人）、乘公交车（0.8kg/人）； 每班人数：45 人（每人每天恰好选择一种方式） 案例 条    件 案例一： （1班） ①乘公交车人数为5人；碳排放总量为 10kg． 案例二： （2班） ①骑自行车人数比乘公交车人数多10人； ②步行人数至少15人，不超过25人． 案例三： （3班） ①骑自行车人数是乘公交车人数的2倍； ②骑自行车人数至少12人； ③碳排放总量不超过10kg． 任务： (1)案例一中：求1班步行人数和骑自行车人数分别是多少人？ (2)案例二中：求2班碳排放总量的取值范围是多少？ (3)案例三中：求3班步行人数可能有多少人？ 【答案】(1)1班步行人数为10人，骑自行车人数为30人． (2)2班碳排放总量的取值范围是． (3)3班步行人数可能是21人，24人或27人． 【分析】根据总人数固定，结合不同出行方式的碳排放量规则，利用一元一次方程和一元一次不等式组一一求解． 【详解】（1）解：设1班步行人数为人， 则骑自行车人数为人． 由题意得， 解得， 骑自行车人数为（人）， 答：1班步行人数为10人，骑自行车人数为30人． （2）解：设2班乘公交车人数为人，碳排放总量为， 则骑自行车人数为人，步行人数为人． 由题意得， 解得， 碳排放总量 化简整理得， ∵， ∴， 答：2班碳排放总量的取值范围是． （3）解：设3班乘公交车人数为人， 则骑自行车人数为人，步行人数为人． 由题意得， 化简整理得， ∴， 又∵只能取正整数， ∴可取6，7，8， 当时，步行人数为（人）， 当时，步行人数为（人）， 当时，步行人数为（人）， 答：3班步行人数可能是21人，24人或27人． 16．为保障八年级研学旅行顺利开展，学校计划租用、两种型号的新能源客车共13辆，用于接送师生往返研学基地．两种客车的载客量、日租金如表： 车型 载客量（人/辆） 日租金（元/辆） 型客车 55 2000 型客车 19 1000 学校要求：租车总费用不超过25000元． (1)最多能租用型客车多少辆？ (2)若八年级师生共600人，且所有师生都有座位，请写出所有的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)最多能租用A型客车12辆． (2)所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆． 最省钱的租车方案是租用A型客车10辆，B型客车3辆． 【分析】（1）设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆，根据租车总费用不超过25000元建立不等式求解即可； （2）设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆，根据租车总费用不超过25000元，总载客量不低于600建立不等式组求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设租用A型客车x辆，则租用B型客车辆， 由题意得，， 解得， ∴x的最大值为12， 答：最多能租用A型客车12辆； （2）解：设租用A型客车m辆，则租用B型客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可以为10或11或12， 当时，， 当时，， 当时，， 所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆； ∵一辆A型客车的租金比一辆B型客车的租金多， ∴当A型客车数量最少时，最省钱， ∴租用A型客车10辆，B型客车3辆最省钱； 答：所有租车方案为：方案1：租用A型客车10辆，B型客车3辆；方案2：租用A型客车11辆，B型客车2辆；方案3：租用A型客车12辆，B型客车1辆． 最省钱的租车方案是租用A型客车10辆，B型客车3辆． 17．为了响应《关于全面推进健康学校建设的指导意见》号召，某校决定在每天下午组织学生“校园跑”，并购买跑鞋给优秀完成任务的学生作为奖励，该校购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元． (1)求A，B两种品牌跑鞋的单价各是多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的跑鞋共20双，正逢鞋店的“优惠促销”活动，A种品牌的跑鞋单价优惠3元，B种品牌的跑鞋单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双，为了节约资金，学校应制定怎样的购买方案？ 【答案】(1)A种品牌跑鞋的单价是40元，B种品牌跑鞋的单价是60元； (2)为了节约资金，学校应购买10双A种品牌的跑鞋，10双B种品牌的跑鞋． 【分析】（1）设种品牌跑鞋的单价是元，种品牌跑鞋的单价是元，根据“购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买双种品牌的跑鞋，则购买双种品牌的跑鞋，根据“此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设种品牌跑鞋的单价是元，种品牌跑鞋的单价是元， 根据题意得， 解得， 答：A种品牌跑鞋的单价是40元，B种品牌跑鞋的单价是60元； （2）解：设购买双种品牌的跑鞋，则购买双种品牌的跑鞋， 根据题意得， 解得． 又为正整数， 可以为10，11，12，13，14． ∴购买种品牌的跑鞋越少，总费用越少， 答：为了节约资金，学校应购买10双A种品牌的跑鞋，10双B种品牌的跑鞋． 18．项目背景：为助力乡村振兴、惠农富农，了解沙田柚的价格情况．小玉、小林、嘉嘉三人到某合作社买沙田柚．小玉、小林先买，购买情况如下： 购买甲种礼盒（只装） 购买乙种礼盒（只装） 一共花费费用 小玉 箱 箱 元 小林 箱 箱 元 项目任务： (1)求甲、乙两种礼盒每箱的售价； (2)嘉嘉计划从该合作社购买甲、乙两种包装的沙田柚礼盒共箱，预算为元．若不超过预算，嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒多少箱？ 【答案】(1)甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元 (2)嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒箱 【分析】（1）设甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元，根据等量关系列方程组求解即可； （2）设购买甲包装箱箱，乙包装箱，根据总价不能超过元，列出关于的一元一次不等式，解不等式求出的取值范围，再根据为整数求出的值． 【详解】（1）解：设甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元． 由题意可得：， 解得：， 答：甲每箱的售价为元，乙每箱的售价为元． （2）解：设购买甲包装箱箱，乙包装箱， 根据题意可得：， 解不等式得：， 为整数， 的最小值为， 答：嘉嘉至少要购买甲种包装的沙田柚礼盒箱． 19．阅读以下素材并解决问题： 制定战机模型购买方案 项目背景 2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵仪式在北京天安门广场举行，歼-20S，歼-30A等隐形战机震撼亮相．某工厂看准商机，推出了一系列战机模型，某航模专卖店决定购买，两种型号的战机模型． 素材一 购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共420元；购买个型号的战机模型和购买个型号的战机模型共700元． 素材二 据统计该航模专卖店需购买，两种型号的战机模型共50个，但总费用不超过3890元，且型号战机模型的数量不少于型号战机模型数量的． 问题解决： (1)任务一：，两种型号的战机模型的单价分别为多少元？ (2)任务二：有哪几种购买方案？ (3)任务三：在任务二的基础上，计算出哪种方案最省钱，最低购买费用是多少元？ 【答案】(1)型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元 (2)共有种购买方案：方案一：购买个型号战机模型，个型号战机模型；方案二：购买个型号战机模型，个型号战机模型；方案三：购买个型号战机模型，个型号战机模型 (3)方案三最省钱，最低购买费用是3800元 【分析】（1）设型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元，利用的购买价格的购买价格总价列出二元一次方程组，运算求解即可； （2）设购买个型号战机模型，则购买个型号战机模型，利用的购买价格的购买价格，型号战机模型的数量不少于型号战机模型数量的列出不等式组，运算求解即可； （3）分别计算方案的总费用，再对比即可． 【详解】（1）解：设型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：型号战机模型的单价是元，型号战机模型的单价是元； （2）解：设购买个型号战机模型，则购买个型号战机模型， 根据题意得： 解得：， 又∵为正整数， ，或， 则共有种购买方案， 方案一：购买个型号战机模型，个型号战机模型； 方案二：购买个型号战机模型，个型号战机模型； 方案三：购买个型号战机模型，个型号战机模型； （3）选择方案一所需费用为：（元）， 选择方案二所需费用为：（元）， 选择方案三所需费用为：（元）， ∵， ∴方案三最省钱，即购买个型号战机模型，个型号战机模型最省钱， 最低购买费用是元． 20．为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $