专题04 一元一次不等式组48道含参问题专项训练（8大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04 一元一次不等式组48道含参问题专项训练（8大题型） 题型一 根据一元一次不等式解的情况求参数 题型二 一元一次不等式中的整数解个数问题 题型三 一元一次不等式的最值问题 题型四 一元一次不等式与二元一次方程组结合的参数问题 题型五 根据一元一次不等式组有解的情况求参数 题型六 根据一元一次不等式组无解的情况求参数 题型七 根据一元一次不等式组整数解的个数求参数 题型八 一元一次不等式组与方程组结合求参数 【经典例题一 根据一元一次不等式解的情况求参数】 1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知关于x的方程． (1)若，求代数式的值． (2)已知关于x的方程的解不大于方程的解，试求a的范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）把代入方程，求出的值，再代入代数式计算； （2）分别解两个方程，用含的式子表示解，根据“解的大小关系”列等式，求出的取值范围． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，； ； （2）解：解方程得， 解方程得， 由题意得，， 解得． 2．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）已知方程组 (1)若方程组中的与互为相反数，求的值； (2)若方程组中的与满足，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的求解，一元一次不等式的应用及求解，根据题意建立不等式是解题的关键． （1）由①+②，结合与互为相反数列方程求解； （2）求解方程组，根据题意得到关于待定参数的不等式，求解不等式． 【详解】（1）解： 由①+②，可得， ∵与互为相反数， ∴，解得， 即的值为； （2）解： 由①可得， 把③代入②，得，解得 把代入③，可得 ∵， ∴，解得． 3．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）关于x，y的方程组． (1)解方程组（含m的式子表示解）； (2)方程组的解满足，求m的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法求解即可； （2）将（1）的解代入，解关于m的不等式即可． 【详解】（1）解：， 得，解得:， 把代入①得，解得:， 所以方程组的解为． （2）解：∵，而， ∴，解得，即m的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式等知识点，灵活运用相关计算方法是解答本题的关键． 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知不等式组． (1)求k的取值范围； (2)在第（1）小题的取值范围内，当k取何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键，也考查了不等式的性质． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）根据不等式的性质可得，求出的取值范围，再结合（1）即可得解． 【详解】（1）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴k的取值范围为； （2）解：∵不等式的解集为， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∵k为整数， ∴． 5．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式组． (1)试求出的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，以及一元一次不等式的整数解，用表示出和，是解本题的关键． （1）方程组两方程相加减表示出与，代入不等式组计算即可求出的范围； （2）确定出不等式组的整数解，满足题意即可． 【详解】（1）解：， ①②得：，即， ①②得：， ∵， ∴， 解得：． （2）解：∵的解集为， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴在时，使不等式的解集为． 6．（24-25七年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值篮围 解决此问题的过程如下： 解：∵，，∴．∴ 又 ∴． 同理得：② 由①②得． ∴． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)若，且，，求的取值范围；（写出求解过程） (2)若，且，，请直接写出的取值范围及其最大值． 【答案】(1) (2)，的最大值为25 【分析】本题考查了不等式的性质、解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题关键． （1）先根据，可得①，同理可得②，将①与②相加即可得； （2）先根据，可得③，同理可得④，将③与④相加即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得：②， 由①②得：， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴③， 同理可得：④， 由③④得：， ∴， ∴的最大值为25． 【经典例题二 一元一次不等式中的整数解个数问题】 7．（2025七年级下·江苏·专题练习）的整数解有且仅有1，2，3，问整数对个数． 【答案】整数对有、、、、、，共6对 【分析】先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的整数解情况得到关于a、b的不等式，求出a、b的取值范围即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的整数解有且仅有1，2，3， ∴ 解得： 整数对有、、、、、，共6对． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，正确得到关于a、b的不等式是解题的关键． 8．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）列不等式与解不等式 (1)用不等式表示数量关系：x的3倍与9的差不大于． (2)解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 【答案】(1) (2) 不等式的解集为，所有符合条件的正整数解为 【分析】（1）根据x的3倍即，x的3倍与9的差即，然后可得不等式； （2）先求出不等式的解集，然后写出该不等式的正整数解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：， ， ， ， ∴不等式的解集为， ∴满足条件的正整数解为：． 9．（2025·河北邯郸·一模）已知两个数和a（a为负整数）． (1)设整式的值为P．当时，求P的值； (2)已知，a，5的和的取值范围如图所示，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）直接把代入整式求解即可； （2）根据数轴信息列出不等式，结合a为负整数求解即可． 【详解】（1）； （2）由题意，得， ， 解得， 因为a为负整数，所以a的值为或． 【点睛】本题考查了实数与数轴，读懂数轴图信息是解题的关键． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）规定①：，用来表示n个数的平均数，例如：； 规定②：表示这n个数中最小的数．例如： (1)如果，求x的最大整数解； (2)如果，求整数x的值． 【答案】(1)5 (2)0，1 【分析】（1）由规定①和由规定②，把转化为解答，对所得解集估算，求出最大整数解即可； （2）若，若，若，分类讨论即可． 【详解】（1）解：由规定①知，， 由规定②知，， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴x的最大整数解是5； （2）解：∵，且 ， 若，则，且则， ∴， ∴， ∴，解得，不合题意， 若，则，且，则， ∴， ∴， ∴， ∴x可以取内的任意实数， ∵x是整数， ∴x的值是0，1； 若，则；且，则， ∴， ∴， 则，解得，不合题意． 综上，整数x的值是0，1． 11．（2025·河北邯郸·三模）佳佳和琪琪一起做数学游戏，分别给算式“”中的赋值，比较计算结果的大小，结果较大的人获胜，已知佳佳令． (1)求佳佳计算的的值； (2)若游戏结果是琪琪获胜，求琪琪给赋予的最大整数值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则，将代入“”计算即可； （2）根据题意列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：∵游戏结果是琪琪获胜， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为0． 12．（24-25七年级下·河南商丘·阶段检测）【探究归纳】 解不等式：①；②．总结发现不等式①的解都是不等式②的解，我们称不等式①的解集是不等式②的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集________的解集的“子集”；（填“是”或“不是”） (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，求的最大整数解． 【答案】(1)是 (2)的最大整数解为3 【分析】本题考查解一元一次不等式，理解题中“子集”定义是解答的关键． （1）分别求得两个不等式的解集，然后根据“子集”定义可作出判断； （2）先求得两个不等式的解集，再根据“子集”定义得到关于a的不等式，然后解不等式即可． 【详解】（1）解：解不等式，得； 解不等式，得， ∴的解集是的解集的“子集”． 故答案为：是； （2）解：解不等式，得． 解不等式，得． 关于的不等式的解集是的解集的“子集”， ． 解得：． 的最大整数解为3． 【经典例题三 一元一次不等式的最值问题】 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 14．（2025·河北·模拟预测）现有单价为10元和5元的笔记本共15本，总金额不足95元，根据此信息，小强列出不完整的不等式：　　　　．根据小强所列的不等式，解答以下问题． (1)请写出未知数x表示的意义． (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 【答案】(1)x表示单价为5元的笔记本的本数 (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值，这个值为3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意得出不等关系是解题关键． （1）根据题意结合不等式的意义解答即可； （2）根据题意，列出不等式，求解，根据不等式的意义解答即可． 【详解】（1）解∶根据题意，x表示单价为5元的笔记本的本数； （2）解：最大值，由题意，得， 解得， ∵x为正整数， ∴x有最小值，最小值为12， ∴有最大值，最大值为3， 即单价为10元的笔记本的本数有最大值，这个值为3． 15．（24-25七年级下·四川南充·期末）已知关于x，y的方程满足方程组． (1)若，求m的值； (2)若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子：； (3)在（2）的条件下求的最小值及最大值． 【答案】(1) (2)， (3)的最小值为，最大值为 【分析】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、求代数式的值、化简绝对值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由可得，结合，即可求出，，再代入①计算即可得解； （2）解方程组得出，，结合题意列出不等式组，解不等式组即可得出，再结合绝对值的意义化简即可； （3）先表示出，再结合的取值范围，代入计算即可得解． 【详解】（1）解：由可得：， ∵， ∴由可得：， 解得：， 将代入③可得：， 把，代入①可得：， 解得：； （2）解：由可得：， 将代入②可得：， 解得：， ∵x，y，m均为非负数， ∴， 解得：， ∴； （3）解：由（2）可得，，，， ∴， ∴当时，的值最小为， 当时，的值最大为， ∴的最小值为，最大值为． 16．（24-25七年级下·北京·期末）在数据处理中通常要把一组范围很大的数据（通过某种算法）限制在需要的一定范围内．现定义一种“映射变化”：对于数组 若其中最小值为则用 替换数组中的每个数例如： 原数组为，其中最小值为15，那么是它的“映射变化”数组，这个数组的最大值是 (1)数组通过“映射变化”得到的数组是 ． (2)若数组|的“映射变化”数组的最大值为1，求x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查解不等式，有理数的运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算法则解答即可； （2）根据题意得到最小数为或，然后分为两种情况，分别根据“映射变化”数组的最大值为1，列方程解答即可． 【详解】（1）解：数组，最小时为， ∴“映射变化”后分别为，，， ∴数组通过“映射变化”得到的数组是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴最小数为或， 当为最小数时，这时， 解得， 数组|的“映射变化”后分别为，，， ∵“映射变化”数组的最大值为1， ∴， 解得； 当为最小数时，这时， 解得， 数组|的“映射变化”后数组的最大值为， 解得； 综上所述，x的值为或． 17．（25-26七年级下·河北衡水·开学考试）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字． (1)计算：； (2)现从容器中摸出三个小球，分别标有． ①小球上的数字x能满足：成立，求x的值； ②在①的条件下，把进行恰当排序，并用“+”“-”“×”“÷”符号中的一个或多个连接（可重复使用），直接写出所得结果的最小值． 【答案】(1) (2)①5；② 【分析】（1）先算乘法，再算减法即可求解； （2）①先求出x的范围，进而即可求解；②根据题意，要使结果最小，需使得负数的绝对值最大，列式求解即可 【详解】（1）解： ； （2）解：① 解得： ∵x是或0或5， 满足的只有5 故； ②数字：进行运算，要使结果最小，需使得负数的绝对值最大， ∴最小值为： 18．（24-25七年级上·广东广州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图①，点，，分别表示数，2，，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 解决问题： ①利用上述思想方法及图②解不等式：． ②当为何值时，代数式的最小值是2？ ③当为何值时，图①中的有最大值？最大值为多少？ 【答案】①x取值范围为或；②当a为或时，代数式的最小值是2；③当时，有最大值，最大值为3 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，一元一次方程的应用，数轴，绝对值等知识点， ①根据已知方法即可确定不等式的解集范围； ②根据绝对值几何意义即可确定a的值； ③通过分析点P在数轴上位置来确定的最大值即可． 熟练掌握通过数轴上点之间的距离来分析问题是解决此题的关键． 【详解】①如图所示， 当满足，表示到和1距离之和大于4的范围， ∵， ∴当x在和1之间时，距离之和为4，不满足题意， ∴当x在的左边时，， ∴， 当x在1的右边时，， ∴ ∴x的取值范围为或； ②∵ 表示x到的距离和x到的距离之和， ∴， ∴或 ∴或 当a为或时，代数式的最小值是2； ③如图，点A，B，P分别表示数，2，，， 由题意知，， 当点在线段上（即）时，，其值在到3之间； 当点在点的左侧或和点A重合（即）时，， 当点在点的右侧或和点B重合（即）时，， ∴当时，有最大值，最大值为3． 【经典例题四 一元一次不等式与二元一次方程组结合的参数问题】 19．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知方程组 (1)若方程组的解满足，求m 取值范围； (2)若，直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程组得到，根据，得到，解不等式即可得到答案； （2）根据（1）所求，结合m的值求出x、y的值即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：当时，， ∴原方程组的解为． 20．（24-25七年级下·河北保定·期末）解关于x，y的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的不等式的最小整数解． 【答案】(1) (2)最小整数解为1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组以及求一元一次不等式的整数解． （1）根据二元一次方程组的解相同，可得新方程组，根据解方程组，可得x、y的值 （2）根据方程组的解满足方程和，可得关于a、b的二元一次方程组，根据解方程组，可得a、b的值，代入一元一次不等式，解不等式即可得出最小整数解． 【详解】（1）解：∵方程组的解和方程组的解相同． ∴， 由②①得： ， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）把分别代入和， 可得方程组 解得 ∴ 即， ∴， ∴最小整数解为1． 21．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）已知关于x，y的方程组． (1)解方程组（用含m的代数式表示方程组的解）； (2)在（1）的条件下分别求解下列问题： ①当时，求m的值； ②当时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】此题考查了解二元一次方程组，一元一次方程和一元一次不等式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）①将代入求解即可； ②将代入求解即可． 【详解】（1）解： 得： 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； （2）①当时， ∵ ∴ 解得； ②当时， ∵ ∴ ∴． 22．（24-25七年级下·云南德宏·期末）阅读下列材料： 小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组，小明发现如果把方程组中的看成一个整体，通过整体代入，可以快速求出这个方程组的解．以下是他的解题过程： 解：将①整体代入②，得，解得， 把代入①，得， 所以，这个方程组的解是， 我们把这种解法称为“整体代入法”． (1)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 (2)拓展运用：若关于a，b的二元一次方程组 的解满足，请求出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的解，熟练掌握整体思想的运用是解本题的关键． （1）方程组整理后，仿照题干中的解法求解即可； （2）将方程组两式相加，得到，再根据，列出关于m的不等式，解之即可． 【详解】（1）解：由①变形，得 ， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，得  ， 解得：， ∴这个方程组的解为 ； （2）解：， ，得， 即， 故， ∵， ∴， 解得：， ∴m的取值范围为． 23．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）观察发现： 材料：解方程组 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为 （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请求出的最小整数值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式， （1）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出，然后再把的值代入其中一个方程求出即可； （2）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出，然后再把的值代入方程①求出即可； （3）解方程组求出，然后根据列出关于的不等式，解不等式从而求出答案即可； 解题关键是熟练掌握利用整体代入法解二元一次方程组． 【详解】解：（1）） 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2） 由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 将代入③得：， 解得：， 则方程组的解为； （3）， ①＋②得：， 即， ∵关于，的二元一次方程组的解满足， ∴， 解得：， ∴的最小整数值是． 24．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）【情境呈现】在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：令、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)【灵活运用】若方程组的解为，则方程组的解为 ； (2)【灵活运用】若方程组的解为，其中k为常数． ①求方程组的解： ②是否存在负整数k，使得①中方程组的解满足，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②不存在，见解析 【分析】（1）根据的解为，得出的解为，令，，将方程组变为：，得出即可得出结果； （2）①令，，则可变为：，由的解为，变为的解为，然后解方程即可； ②根据，列出关于k的不等式，解关于k的不等式即可． 【详解】（1）解：∵的解为， ∴的解为， 令，，则方程组可变为：， ∴，解得：． （2）①令，，则可变为：， ∵的解为， ∴的解为， 即，解得：； ②不存在； 由①得：， ∵， ∴， ∴， 又∵k为负整数， ∴不存在． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，读懂题意，熟练掌握换元法解二元一次方程组的一般步骤，是解题的关键． 【经典例题五 根据一元一次不等式组有解的情况求参数】 25．（24-25七年级下·河南开封·期中）含参不等式之有解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）先分别求每一个不等式的解集，再根据有解得到新的不等式即可求解； （2）先求出不等式组的解集，进而根据不等式组的整数解得到新的不等式组，求出未知数的取值范围即可． 【详解】（1）解： 由①得，； 由②得，， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：； （2）解： 由①得，， 由②得，， ∴原不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有5个整数解， ∴， 解得：． 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式． (1)当时， ①解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； ②该不等式的正整数解为____________． (2)m取何值时，该不等式有解？求出其解集． 【答案】(1)①，数轴见解析；②1 (2)当时，该不等式有解．当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为． 【分析】（1）①代入，按解一元一次不等式的基本步骤求解，并在数轴上表示解集； ②根据解集确定正整数解． （2）先整理不等式，再根据含参数的系数正负分情况讨论，确定不等式有解的条件及解集． 【详解】（1）解：①当时，原不等式为， 去分母得， 移项、合并同类项得，两边都除以－2， 得． 原不等式的解集在数轴上的表示如图所示． ②． 【提示】由①可知，该不等式的解集为， ∴该不等式的正整数解为． （2）解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ∴当，即时，该不等式有解． 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法与含参数不等式的分类讨论，掌握解不等式的基本步骤，以及根据系数正负分类讨论解集是解题的关键． 27．（24-25七年级下·河南周口·期中）定义运算：．已知，． (1)直接写出：______，______； (2)若关于x的不等式组有解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式的解集． 【答案】(1)2；1 (2) (3) 【分析】本题考查了新定义、解二元一次方程组、求一元一次不等式（组）的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据新定义，列出二元一次方程组，解方程组可求出的值； （2）根据（1）求出的的值和新定义列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出t的取值范围； （3）根据（1）求出的的值和新定义列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系，再根据解一元一次不等式的步骤即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 联立， 解得：， 故答案为：2；1． （2）解：由题意得，，， 则不等式组为， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 不等式组有解， ， 解得：． t的取值范围为． （3）解：不等式转化为， 整理得：， 的解集为， ， 解不等式得到， ， ， ， 解得：， 不等式转化为， 整理得：， ， 解得：． 不等式的解集为． 28．（24-25七年级下·福建莆田·期中）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是 ； A．    B．    C． D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围； (3)若能被关于的不等式“容纳”，求的取值范围． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查不等式参数解问题及解不等式，解题的关键是注意参数不等式的分类讨论． （1）分别解出不等式比较即可得到答案； （2）解出不等式列不等式即可得到答案； （3）解出不等式根据能被关于的不等式 “容纳”列式即可得到答案． 【详解】（1）解：不等式A的解集为：， A不符合题意； 不等式B的解集为：， ∴B不符合题意； 不等式C的解集为：， ∴C符合题意； 不等式组D的解集为：无解， ∴D不符合题意； 综上，能被不等式“容纳”的是：C． 故答案为：C； （2）解不等式得， 不等式被 “容纳”， ， ； （3）能被关于的不等式 “容纳”， ，不等式的解集为， ， 的取值范围为 29．（24-25七年级下·江西九江·期中）若一个不等式组有解且解集为；则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于x的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为_________； ②不等式组对于不等式组_________（填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． 【答案】(1)5；是 (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，由不等式组的解集情况求参数，理解新定义是解题的关键． （1）①求出不等式组的解集，再根据解集中点值的定义求出的解集中点值即可；②根据不等式组的解集判断即可求解； （2）求出不等式组和的解集，进而得到，据此即可求解． 【详解】（1）解：① 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集中点值为， 故答案为：5． ②不等式组：，不等式组的解集中点值为5， 不等式组对于不等式组中点包含， 故答案为：是． （2）解：不等式组：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组的解集中点值为； 不等式组：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为， 不等式组对于不等式组中点包含， ， ． 30．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）已知一个不等式组有解，是它的解集中的解，若存在一个实数，使得成立，我们把叫做不等式组的“立信幸运数”．例如，不等式组的解集为，任取它的解，则均比大，则它的“立信幸运数”也比要大，若取，则，则是该不等式组的“立信幸运数”． (1)下列不等式组中，“立信幸运数”可能等于的是（　　） A．    B．    C． (2)已知关于的不等式组有解，若是它的解，求它的“立信幸运数”的取值范围． (3)已知，由以上条件可以得到一个关于的不等式组，且该不等式组有解，是该不等式组的解，是该不等式组的“立信幸运数”，，，求的取值范围． 【答案】(1)C (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，弄清定义，根据不等式组的解集情况，确定关于~的不等式组是解题的关键， （1）结合“立信幸运数”的定义进行分析，即可作答． （2）先由不等式组有解，得，故，再结合“立信幸运数”的定义进行分析，得，即，再化简，即可作答． （3）因为，得，因为，，得，因为该不等式组有解，则，再根据是该不等式组的解，是该不等式组的“立信幸运数”，，，得，建立不等式组，再解出，再进行整理，得，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∴， 故A选项不符合题意； ∵， ∴， 即， ∴， 故B选项不符合题意； ∵ ∴ 即， ∴， ∴的“立信幸运数”可能等于， 故答案为：C （2）解：依题意， 由解得， 由解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得， ∵是它的解， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． （3）解：∵， 整理得， 解得， 解得， ∵ ∴ 整理得 ∵ ∴ ∵， ∴ 整理得 ∵ ∴， ∵该不等式组有解， ∴， ∵， ∴，， ∵是该不等式组的解，是该不等式组的“立信幸运数”，，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴ 整理得 解得， ∴， 即， ∵， ∴． 【经典例题六 根据一元一次不等式组无解的情况求参数】 31．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知关于的不等式组 （1）如果不等式组的解集为，求的值； （2）如果不等式组无解，求的取值范围； 【答案】（1）11；（2） 【分析】（1）解两个不等式得出且，根据不等式组的解集为得，解之可得答案； （2）根据不等式组无解，利用“大大小小找不到”可得，解之可得答案． 【详解】解：（1）由，得：， 解不等式，得：， 不等式组的解集为， ∴， 解得； （2）不等式组无解， ， 解得． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 32．（24-25七年级下·上海·月考）已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元一次方程有非负整数解，求m的值． 【答案】或 【分析】本题考查根据不等式组的解集与一元一次方程的解求参数，熟练掌握不等式组的解集与一元一次方程的解是解题的关键． 根据不等式组无解得到，根据一元一次方程有非负整数解得到，且，，，，，…，综合即可解答． 【详解】解：不等式组可化为， ∵该不等式组无解， ∴， ∴． 由得， ∵该一元一次方程有非负整数解， ∴，且，，，，，…（即的倍数） ∴，且，，，，，… 综上，或． 33．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知不等式组无解，求的取值范围． （2）已知不等式组无解，求的取值范围． （3）已知不等式组的解是1，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查已知不等式组的解集求参数， （1）先解不等式组求出关于m的不等式组的解集，根据解集求出答案； （2）先解不等式组求出关于m的不等式组的解集，根据解集求出答案； （3）先解不等式组求出关于m的不等式组的解集，根据解集求出答案； 【详解】解：（1）解得． 由不等式组无解得，得． （2）解得． 由不等式组无解得，得． （3）解得． 由不等式组的解是，得，解得． 35．（24-25七年级下·江苏南通·月考）老师在黑板上写下题目：解一元一次不等式组．其中需要同学们在“□”中填写数字． (1)甲同学填入数字后得到该不等式组的解集为，求甲同学填写的数字； (2)乙同学说：“当在‘□’中填入的数字大于时，该不等式组无解．”请判断乙同学的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)甲同学填写的数字为3； (2)乙同学的说法是错误的． 【分析】（1）设“□”中填写数字为a．解不等式组，根据不等式组的解集为，得到，即可求解； （2）根据不等式组无解，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设“□”中填写数字为a． 则方程组为， 解不等式得， 解不等式得， ∵该不等式组的解集为， ∴， ∴； 即甲同学填写的数字为3； （2）解：由（1）知，解不等式得， 解不等式得， ∵该不等式组无解， ∴， 解得， 故乙同学的说法是错误的． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 36．（24-25七年级下·福建泉州·期中）我们约定一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)若，． ①求常数a、b的值； ②若关于m的不等式组无解，求有理数p的取值范围； (2)非零常数a、b应满足什么条件时，才能使对于任意有理数t都成立？请写出推理过程． 【答案】(1)①，；② (2)当时，对于任意有理数t都成立，过程见解析 【分析】（1）①根据新定义运算法则列出方程组即可求出与的值．②根据新定义运算法则列出方程组即可求出； （2）根据新定义运算法则代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解：①，．由新运算得， ， 整理得， ①②得：， ， 将代入②得， ，； ②， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， 对于任意有理数都成立， ， ． 【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是正确理解新定义运算法则，并根据法则列出方程组和不等式． 【经典例题七 根据一元一次不等式组整数解的个数求参数】 37．（2026·重庆綦江·二模）求不等式组：的所有非负整数解． 【答案】非负整数解为0，1 【分析】先求出两个不等式的解集，再得出不等式组的解集，最后写出非负整数解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴， ∴， 所有非负整数解为0，1． 38．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】a为19或20或21 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ∵a为整数， ∴a为19或20或21． 39．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知关于x，y的方程组． (1)若方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围，并写出a的最小整数解； (2)若，求y的取值范围． 【答案】(1)，a的最小整数解为 (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的解法，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式组的解法是解题的关键； （1）解方程组得，然后由题意易得，进而求解即可； （2）由（1）可得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：解方程组得：， ∵x为非正数，y为负数， ∴，解得：， ∴a的最小整数解为； （2）解：由（1）可得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 即． 40．（25-26七年级下·山东青岛·月考）按要求完成下列各题： (1)解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组：，并写出它的最小负整数解． 【答案】(1)；解集在数轴上表示见解析 (2)，最小负整数解为 【分析】（1）分别求出两个不等式的解集，再求出两解集的公共部分得不等式组的解集，最后在数轴上表示不等式组的解集即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出两解集的公共部分得不等式组的解集，根据解集可得到最小负整数解． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴不等式组的解集为：， 解集在数轴上表示如下： （2）解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴不等式组的解集为：， 其负整数解有，故最小负整数解为． 41．（2025七年级下·江西上饶·模拟预测）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”，例如，不等式组是的“子集”． (1)若不等式组，，则其中不等式组______是不等式组的“子集”（填A或B）； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是______； (3)已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中．下列三个不等式组，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为______． (4)已知不等式组有解，且H是不等式组R：的“子集”，则满足条件的有序整数对有______个． 【答案】(1)A (2) (3) (4)16 【分析】本题考查解一元一次不等式组以及定义运算，读懂题干“子集”的定义以及能求出不等式组的解集是解答此题的关键． （1）根据题意求出不等式组A与B的解集，进而利用题中的新定义判断即可； （2）由题意根据“子集”的定义确定出a的范围即可； （3）由题意根据“子集”的定义得到，再根据a、b、c、d都是整数确定出各自的值，代入原式计算即可求出值； （4）由题意根据“子集”的定义确定出，，然后再分析求解即可． 【详解】（1）解：A：的解集为，B：的解集为 ，M：的解集为， ∴不等式组A是不等式组M的子集，不等式组B不是不等式组M的子集， 故答案为：A； （2）解：不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组是不等式组的“子集”， ∴， 故答案为：； （3）解：∵a，b，c，d为互不相等的整数，其中， ∵A：，B：，C：满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：解不等式组H：得：， ∵不等式组H有解， ∴，， ∵H是不等式组R：的“子集”， ∴，， ∴， 当时，可以取2，3，4，5， 当时，m可以取2，3，4，5， 当时，m可以取2，3，4， 当时，m可以取2，3， 当时，m可以取2.，3， 当时，m可以取2． ∴满足条件的有序整数对有16个． 42．（25-26七年级下·广西贵港·期中）定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1)①；②；③是 (2) (3) 【分析】（1）根据不等式组的解法及“绝对包含”的意义求解即可； （2）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围； （3）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和． 【详解】（1）解：①解不等式组， 不等式的解集为：， 不等式的解集为：， ∴这个不等式组的解集是； ②， 这个不等式组的绝对距离是； ③∵不等式组的解集为，且，即是不等式组的解， ∴不等式组是对绝对包含； （2）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∴的取值范围为； （3）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∵为整数， ∴整数的取值为，，，， ∴满足条件的所有整数的和为：． 【经典例题八 一元一次不等式组与方程组结合求参数】 43．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程用含k的式子表示x、y，根据方程组的解都是非负数得出关于k的不等式组，解之可得； （2）把（1）中方程组的解代入，再解方程可得答案． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得： ， ∴， ∵方程组的解都是非负数， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴， ∴， 整理得：， 解得：． 44．（25-26七年级下·山东东营·期中）已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，当a为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）两个方程相加求出，结合，得到关于的不等式组，进行求解即可； （2）根据不等式的性质，得到，进行求解即可。 【详解】（1）解：，得， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）解：∵不等式的解集为， ∴， ∴， 由（1）知：； ∴， ∴. 45．（25-26七年级下·河南郑州·月考）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组得出，然后代入计算即可得解； （2）由（1）得，结合题意得出，解不等式组即可得出答案； （3）根据题意得出，求解并结合（2）得出，即可得解． 【详解】（1）解：， 由得：， ∴， 得：， ∴， ∵该方程组的解满足， ∴， ∴； （2）由（1）得：， ∵该方程组的解满足为正数，为负数， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴， 解得：， 由（2）可得， ∴， ∴的整数值为0． 46．（25-26七年级下·广东深圳·期中）小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将方程组的两个方程相加，得到关于和的关系式，再将用含的式子表示出来，最后代入，解这个一元一次不等式组得到的取值范围． （2）先对不等式进行变形整理，根据不等式的性质，可知未知数的系数小于0，由此得到关于的不等式，结合（1）中的取值范围，确定符合条件的整数． 【详解】（1）仿照小明的方法，将方程组两个方程相加：， 得 ，进而， 已知， 代入得：， 不等式三边同时减1，得； （2）整理不等式，即， 因为不等式的解集为， 不等号方向改变，根据不等式性质，可得，解得． 结合（1）中的范围，得，其中整数为． 47．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 【答案】(1)③ (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组）、解一元一次方程等知识点，掌握相关解法是解题的关键． （1）先求出方程的解和不等式的解集，然后进行判断； （2）先求出方程组的解和不等式组的解集，根据题意得出关于m的不等式组，最后解不等式组即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解①得：，故方程解不是①的“梦想解”； 解②得：，故方程解不是②“梦想解”； 解③得：，故方程解是③的“梦想解”； 即方程的解是不等式③的“梦想解”． 故答案为：③． （2）解：解方程组得：， ∴， ∵方程组的解是不等式组的梦想解， ∴， ∴， ∴m的整数解为． 48．（24-25七年级下·北京·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 【答案】（1）；（2）①② 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的综合应用： （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． （2）①设，构成方程组，求出的范围，代入即可； ②解方程组得到关于a的不等式组解出，利用，套入a的范围即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）解：， 由①，得：， 由②，得：， ∴； 故答案为：； （2）①设， 构成方程组，解得：， ∵， ∴，解得：； ∴． ②解，得：， ∵， ∴，解不等式组得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元一次不等式组48道含参问题专项训练（8大题型） 题型一 根据一元一次不等式解的情况求参数 题型二 一元一次不等式中的整数解个数问题 题型三 一元一次不等式的最值问题 题型四 一元一次不等式与二元一次方程组结合的参数问题 题型五 根据一元一次不等式组有解的情况求参数 题型六 根据一元一次不等式组无解的情况求参数 题型七 根据一元一次不等式组整数解的个数求参数 题型八 一元一次不等式组与方程组结合求参数 【经典例题一 根据一元一次不等式解的情况求参数】 1．（25-26七年级下·四川绵阳·月考）已知关于x的方程． (1)若，求代数式的值． (2)已知关于x的方程的解不大于方程的解，试求a的范围． 2．（24-25七年级下·贵州铜仁·期末）已知方程组 (1)若方程组中的与互为相反数，求的值； (2)若方程组中的与满足，求的范围． 3．（24-25七年级下·四川绵阳·期中）关于x，y的方程组． (1)解方程组（含m的式子表示解）； (2)方程组的解满足，求m的范围． 4．（24-25七年级下·贵州黔东南·月考）已知不等式组． (1)求k的取值范围； (2)在第（1）小题的取值范围内，当k取何整数时，不等式的解集为？ 5．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）已知关于，的二元一次方程组的解满足不等式组． (1)试求出的取值范围； (2)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式的解集为． 6．（24-25七年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值篮围 解决此问题的过程如下： 解：∵，，∴．∴ 又 ∴． 同理得：② 由①②得． ∴． 请按照上述方法，解答下列问题： (1)若，且，，求的取值范围；（写出求解过程） (2)若，且，，请直接写出的取值范围及其最大值． 【经典例题二 一元一次不等式中的整数解个数问题】 7．（2025七年级下·江苏·专题练习）的整数解有且仅有1，2，3，问整数对个数． 8．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）列不等式与解不等式 (1)用不等式表示数量关系：x的3倍与9的差不大于． (2)解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 9．（2025·河北邯郸·一模）已知两个数和a（a为负整数）． (1)设整式的值为P．当时，求P的值； (2)已知，a，5的和的取值范围如图所示，求a的值． 10．（25-26七年级下·辽宁沈阳·月考）规定①：，用来表示n个数的平均数，例如：； 规定②：表示这n个数中最小的数．例如： (1)如果，求x的最大整数解； (2)如果，求整数x的值． 11．（2025·河北邯郸·三模）佳佳和琪琪一起做数学游戏，分别给算式“”中的赋值，比较计算结果的大小，结果较大的人获胜，已知佳佳令． (1)求佳佳计算的的值； (2)若游戏结果是琪琪获胜，求琪琪给赋予的最大整数值． 12．（24-25七年级下·河南商丘·阶段检测）【探究归纳】 解不等式：①；②．总结发现不等式①的解都是不等式②的解，我们称不等式①的解集是不等式②的解集的“子集”． 【问题解决】 (1)的解集________的解集的“子集”；（填“是”或“不是”） (2)若关于的不等式的解集是的解集的“子集”，求的最大整数解． 【经典例题三 一元一次不等式的最值问题】 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 14．（2025·河北·模拟预测）现有单价为10元和5元的笔记本共15本，总金额不足95元，根据此信息，小强列出不完整的不等式：　　　　．根据小强所列的不等式，解答以下问题． (1)请写出未知数x表示的意义． (2)单价为10元的笔记本的本数有最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 15．（24-25七年级下·四川南充·期末）已知关于x，y的方程满足方程组． (1)若，求m的值； (2)若x，y，m均为非负数，求m的取值范围，并化简式子：； (3)在（2）的条件下求的最小值及最大值． 16．（24-25七年级下·北京·期末）在数据处理中通常要把一组范围很大的数据（通过某种算法）限制在需要的一定范围内．现定义一种“映射变化”：对于数组 若其中最小值为则用 替换数组中的每个数例如： 原数组为，其中最小值为15，那么是它的“映射变化”数组，这个数组的最大值是 (1)数组通过“映射变化”得到的数组是 ． (2)若数组|的“映射变化”数组的最大值为1，求x的值． 17．（25-26七年级下·河北衡水·开学考试）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字． (1)计算：； (2)现从容器中摸出三个小球，分别标有． ①小球上的数字x能满足：成立，求x的值； ②在①的条件下，把进行恰当排序，并用“+”“-”“×”“÷”符号中的一个或多个连接（可重复使用），直接写出所得结果的最小值． 18．（24-25七年级上·广东广州·期中）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离，因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． （1）发现问题：代数式的最小值是多少？ （2）探究问题：如图①，点，，分别表示数，2，，． 的几何意义是线段与的长度之和， 当点在线段上时，；当点在点的左侧或点的右侧时，， 的最小值是3． 解决问题： ①利用上述思想方法及图②解不等式：． ②当为何值时，代数式的最小值是2？ ③当为何值时，图①中的有最大值？最大值为多少？ 【经典例题四 一元一次不等式与二元一次方程组结合的参数问题】 19．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知方程组 (1)若方程组的解满足，求m 取值范围； (2)若，直接写出方程组的解． 20．（24-25七年级下·河北保定·期末）解关于x，y的方程组时，珍珍发现方程组的解和方程组的解相同． (1)求方程组的解； (2)求关于t的不等式的最小整数解． 21．（24-25七年级下·重庆荣昌·期末）已知关于x，y的方程组． (1)解方程组（用含m的代数式表示方程组的解）； (2)在（1）的条件下分别求解下列问题： ①当时，求m的值； ②当时，求m的取值范围． 22．（24-25七年级下·云南德宏·期末）阅读下列材料： 小明在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组，小明发现如果把方程组中的看成一个整体，通过整体代入，可以快速求出这个方程组的解．以下是他的解题过程： 解：将①整体代入②，得，解得， 把代入①，得， 所以，这个方程组的解是， 我们把这种解法称为“整体代入法”． (1)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 (2)拓展运用：若关于a，b的二元一次方程组 的解满足，请求出m的取值范围． 23．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）（1）观察发现： 材料：解方程组 将①整体代入②，得， 解得， 把代入①，得， 所以 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组的解为 （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组 （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请求出的最小整数值． 24．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）【情境呈现】在解方程组时，某同学发现：如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的、分别看作一个整体，通过换元：令、，可以将原方程组化为，解得，把代入、，得，解得，所以原方程组解为． (1)【灵活运用】若方程组的解为，则方程组的解为 ； (2)【灵活运用】若方程组的解为，其中k为常数． ①求方程组的解： ②是否存在负整数k，使得①中方程组的解满足，若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题五 根据一元一次不等式组有解的情况求参数】 25．（24-25七年级下·河南开封·期中）含参不等式之有解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围． (2)已知关于的不等式组有5个整数解，求的取值范围． 26．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知关于x的不等式． (1)当时， ①解该不等式，并把它的解集在数轴上表示出来； ②该不等式的正整数解为____________． (2)m取何值时，该不等式有解？求出其解集． 27．（24-25七年级下·河南周口·期中）定义运算：．已知，． (1)直接写出：______，______； (2)若关于x的不等式组有解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式的解集． 28．（24-25七年级下·福建莆田·期中）若不等式（组）①的解集中的任意解都满足不等式（组）②，则称不等式（组）①被不等式（组）②“容纳”，其中不等式（组）①与不等式（组）②均有解．例如：不等式被不等式“容纳”； (1)下列不等式（组）中，能被不等式“容纳”的是 ； A．    B．    C． D． (2)若关于的不等式被“容纳”，求的取值范围； (3)若能被关于的不等式“容纳”，求的取值范围． 29．（24-25七年级下·江西九江·期中）若一个不等式组有解且解集为；则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式组的解（即中点值满足不等式组），则称不等式组对于不等式组中点包含． (1)已知关于x的不等式组：，以及不等式组：， ①的解集中点值为_________； ②不等式组对于不等式组_________（填“是”或“不是”）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，求的取值范围． 30．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）已知一个不等式组有解，是它的解集中的解，若存在一个实数，使得成立，我们把叫做不等式组的“立信幸运数”．例如，不等式组的解集为，任取它的解，则均比大，则它的“立信幸运数”也比要大，若取，则，则是该不等式组的“立信幸运数”． (1)下列不等式组中，“立信幸运数”可能等于的是（　　） A．    B．    C． (2)已知关于的不等式组有解，若是它的解，求它的“立信幸运数”的取值范围． (3)已知，由以上条件可以得到一个关于的不等式组，且该不等式组有解，是该不等式组的解，是该不等式组的“立信幸运数”，，，求的取值范围． 【经典例题六 根据一元一次不等式组无解的情况求参数】 31．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知关于的不等式组 （1）如果不等式组的解集为，求的值； （2）如果不等式组无解，求的取值范围； 32．（24-25七年级下·上海·月考）已知关于x的不等式组无解，且关于y的一元一次方程有非负整数解，求m的值． 33．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 34．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知不等式组无解，求的取值范围． （2）已知不等式组无解，求的取值范围． （3）已知不等式组的解是1，求的取值范围． 35．（24-25七年级下·江苏南通·月考）老师在黑板上写下题目：解一元一次不等式组．其中需要同学们在“□”中填写数字． (1)甲同学填入数字后得到该不等式组的解集为，求甲同学填写的数字； (2)乙同学说：“当在‘□’中填入的数字大于时，该不等式组无解．”请判断乙同学的说法是否正确，并说明理由． 36．（24-25七年级下·福建泉州·期中）我们约定一种新运算，规定：（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)若，． ①求常数a、b的值； ②若关于m的不等式组无解，求有理数p的取值范围； (2)非零常数a、b应满足什么条件时，才能使对于任意有理数t都成立？请写出推理过程． 【经典例题七 根据一元一次不等式组整数解的个数求参数】 37．（2026·重庆綦江·二模）求不等式组：的所有非负整数解． 38．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 39．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）已知关于x，y的方程组． (1)若方程组中x为非正数，y为负数，求a的取值范围，并写出a的最小整数解； (2)若，求y的取值范围． 40．（25-26七年级下·山东青岛·月考）按要求完成下列各题： (1)解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组：，并写出它的最小负整数解． 41．（2025七年级下·江西上饶·模拟预测）定义：给定两个不等式组P和Q，若不等式组P的任意一个解都是不等式组Q的一个解，则称不等式组P为不等式组Q的“子集”，例如，不等式组是的“子集”． (1)若不等式组，，则其中不等式组______是不等式组的“子集”（填A或B）； (2)若关于x的不等式组是不等式组的“子集”，则a的取值范围是______； (3)已知a，b，c，d为互不相等的整数，其中．下列三个不等式组，，满足：A是B的“子集”且B是C的“子集”，则的值为______． (4)已知不等式组有解，且H是不等式组R：的“子集”，则满足条件的有序整数对有______个． 42．（25-26七年级下·广西贵港·期中）定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 【经典例题八 一元一次不等式组与方程组结合求参数】 43．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）若关于x、y的方程组的解都是非负数． (1)求k的取值范围； (2)若方程与方程组的解相同，求k的值． 44．（25-26七年级下·山东东营·期中）已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)在（1）的条件下，当a为何整数时，不等式的解集为？ 45．（25-26七年级下·河南郑州·月考）已知关于的方程组． (1)若该方程组的解满足，求的值； (2)若该方程组的解满足为正数，为负数，求的取值范围． (3)在（2）的条件下，若不等式的解为，请直接写出整数的值． 46．（25-26七年级下·广东深圳·期中）小明同学在解决关于x、y的二元一次方程组的解满足，求a的取值范围的问题中是这么做的：将方程①+②：得，进而，又．代入得：，，，即的取值范围为． 你能用小明的方法解决下列问题吗？ 已知方程组的解满足． (1)求a的取值范围； (2)求a为何整数时，不等式的解集为？请直接写出a的整数值______． 47．（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）定义：使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)已知①；②；③，则方程的解是它与①②③中的不等式__________的“梦想解”； (2)若关于x，y的二元一次方程组的解是该方程组与不等式组的“梦想解”，求m的整数解． 48．（24-25七年级下·北京·期末）（1）阅读下面的材料并把解答过程补充完整． 问题：在关于x，y的二元一次方程组中，，求a的取值范围． 分析：在关于x，y的二元一次方程组中，利用参数a的代数式表示x，y，然后根据列出关于参数a的不等式组即可求得a的取值范围． 解：由解得，又因为，所以解得 ． （2）请你按照上述方法，完成下列问题： ①已知，且，求的取值范围； ②已知，在关于x，y的二元一次方程组中，，请直接写出的取值范围 （结果用含m的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $