专题03 一元一次不等式组的应用重难点题型专训（2知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）
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摘要：
本讲义聚焦一元一次不等式组的应用这一核心知识点，先通过“经济与方案问题”（含利润、利润率等等量关系）和“解决实际问题的步骤”（审设列解验答）夯实基础，再依托7大题型（行程、工程、分配等）实现知识迁移，辅以拓展训练与自我检测，构建完整学习支架。
该资料以现实问题为载体，如行程、购物等情境引导学生用数学眼光观察数量关系，通过例题解析与分层训练培养推理意识和运算能力。课中助力教师高效教学，课后帮助学生巩固应用，强化模型意识与问题解决能力。
内容正文：
专题03一元一次不等式组的应用重难点题型专训
（2个知识点+7大题型+2拓展训练+自我检测）
题型一 列一元一次不等式组
题型二 不等式组的行程问题
题型三 不等式组的工程问题
题型四 不等式组的经济问题
题型五 不等式组的分配问题
题型六 不等式组的方案选择问题
题型七 不等式组的阶梯收费问题
拓展训练一 新定义问题
拓展训练二 一元一次不等式组的综合应用
知识点一：经济与方案问题
经济问题：
常见等量关系：
利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%.
售价=成本X（1+利润率）
【即时训练】
1．（24-25七年级下·广西百色·期末）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的应用，根据新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，则售出的产品数量满足，再解不等式组即可．
【详解】解：由题意可得：，
由可得：，
∴；
故选：A．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有______________本．
【答案】36
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案．
【详解】解：设共有名同学，则图书共有本，
由题意得，
解得：，
又为正整数，
，
当时，
故答案为：36．
知识点二：用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤
审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
设：设出适当的未知数；
列：根据题中的不等关系，列出不等式；
解：解所列的不等式；
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50.
3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．
【即时训练】
1．（25-26七年级上·全国·寒假作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可．
【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐，
∴学生总人数为人．
∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，
∴使用条船，其中坐满的船数为条，
∴最后一条船的人数为人．
∵最后一条船不空也不满，
∴最后一条船的人数大于人，小于人，
即：，
不等式组为．
故选：C．
2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组．
【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为：
．
故答案为：．
【经典例题一 列一元一次不等式组】
【例1】（24-25七年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可．
【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为，
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵，
∴可列不等式组为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________．
【答案】
【分析】设有a个学生，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：，根据最后一个同学最多分得3个，即大于0个小于等于3个，列出一元一次不等式组即可求解．
【详解】由已知条件可得，梨的总数为个，最后一个学生得到梨的个数为：
最后一个同学最多分得3个，
则，即．
故答案为．
【点睛】本题考查了列不等式组，根据题意找到不等关系列出不等式是解题的关键．
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽今年岁，爷爷今年虽不满岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的倍还多，试写出符合爷爷年龄的不等式组．
【答案】
【分析】根据爷爷今年虽不满70岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的4倍还多，分别得出不等式组成方程组即可．
【详解】解：根据题意可得：．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，根据题意得出正确不等关系是解题关键．
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系．
【答案】
【分析】如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打，就有；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人，就有即可．
【详解】解：设篮球数为x，根据题意可得：，
解得： ，
【点睛】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确列出满足题意的不等式是解题的关键．
3．（24-25七年级下·北京西城·月考）阅读下面材料后，解答问题
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：
（a）若，，则，若，，则；
（b）若，，则：若，，则．
请解答下列问题：
(1)①若则或 ___________；
②若则 ___________或 ___________；
(2)根据上述规律，求不等式的解集．
【答案】(1)①，②，
(2)或
【分析】（1）根据题目中给出的信息进行解答即可；
（2）根据题目中给出的信息，列出关于x的不等式组，然后解不等式组即可得出答案．
【详解】（1）解：①若，则或；
②若，则或；
故答案为：①；②；．
（2）解：，
∴①或②，
解不等式组①得：；
解不等式组②得：，
∴不等式的解集是或．
【点睛】本题主要考查了解不等式组的应用，解题的关键是理解题意，当时，或；当时，或．
【经典例题二 不等式组的行程问题】
【例1】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）
A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可．
【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，
∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于，
设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得，
解得，
∴
∴，
又，
∴，
∴，
∴整数，
即他一共跑的圈数是17，
故选：D．
【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
根据路程不变，由速度和时间的关系列出不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围．
【详解】解：依题意得：
解得：．
故答案为：．
1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示．
(1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）；
(2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小；
(3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数．
【答案】(1)
(2)
(3)7
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键．
（1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于；
（2）利用不等式的基本性质求解即可；
（3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可．
【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，
∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数；
（2）解：∵
∴
∴；
（3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，
由题意得：，
解得：，
∴，
∴
又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点，
，
∴，
∴，
∵x是正整数，
∴，即此时小明总共跑的圈数为7．
2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．
(1)若
①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”
②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．
【答案】(1)①M，N；②
(2)①，②或
【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果；
②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间；
①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；
②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：①依题意，，，，
，
甲车从A地出发，始终以的速度行驶，
甲车2小时共行驶了，
甲车出发2小时，行至M处，
乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶，
乙车共行驶了，
乙车行至N处，
故答案为：M，N；
②甲车行至的中点时，所用时间为：，
此时乙车行驶所用时间：，
故答案为：；
（2）①两车在P处相遇，P与N重合，
甲车所用时间为，
此时乙车所用时间为，
乙车的速度为；
②P在非施工道路上不与M，N重合，
若P在上，设甲的行驶时间为t，则，
此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，
，
，
，
解得，
限速为，
，
若P在上，设甲的行驶时间为t，，
则，
此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为，
，
，
，
解得，
限速为，
，
综上所述或．
3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）综合实践：城市交通中的“绿波带”．
在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．
为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题：
(1)假设汽车以的速度匀速行驶：
①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间．
②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围．
(2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围．
【答案】(1)①不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒；②，
(2)
【分析】（1）先求A到B的时间：，推导出不能全程绿灯通过，继而求出在B路口等待红灯时间：，B到C的时间：，则总时间为，即可解答；
②先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可；
（2）先求出B路口的第一次绿灯时段，C路口的第二次绿灯时段，A到C总路程，再根据题意列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：①A到B的时间：，
A路口秒绿灯，秒红灯．
汽车36秒到达B路口，遇到红灯，
因此不能全程绿灯通过；
在B路口等待红灯时间：，
B到C的时间：，
总时间：
答：不能全程绿灯通过，从A到C需要124秒．
②B路口绿灯比A晚x秒亮起，绿灯时间段为至．
汽车36秒到达B路口，B路口为绿灯，
∴，解得，
∵，
∴x的取值范围是：，
C路口绿灯每次都延迟，因此：
第1次绿灯：，
第2次绿灯：，
汽车到达C路口的时间：，
由题意，100秒在第二次绿灯内，
∴，
解得，
∵，
∴y的取值范围是；
（2）解：B比A晚24秒绿灯，B路口的绿灯时段：，
对B路口：，
解得，
C比A晚15秒绿灯，
因此：
C路口的第1次绿灯：，
C路口的第2次绿灯：，即
A到C总路程：，
对C路口： ，
解得，
∵，
∴．
【经典例题三 不等式组的工程问题】
【例1】（2025·四川内江·模拟预测）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.
【答案】（1）甲、乙工程队每天分别能铺设米和米.
（2）所以分配方案有3种．
方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米．
【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解；
（2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000-y）米．根据完成该项工程的工期不超过10天，列不等式组进行分析．
【详解】（1）解：设甲工程队每天能铺设米，则乙工程队每天能铺设（）米.
根据题意得：.解得.
检验:是原分式方程的解.
答：甲、乙工程队每天分别能铺设米和米.
（2）解：设分配给甲工程队米，则分配给乙工程队（）米.
由题意，得
解得．
所以分配方案有3种．
方案一：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案二：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米；
方案三：分配给甲工程队米，分配给乙工程队米．
【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的两倍，若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元．
（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程对各需要多少天？
（2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？
（3）若要完成全部工程的施工费用不超过116万元，且乙工程队的施工天数大于10天，求甲工程队施工天数的取值范围？
【答案】（1）甲、乙两工程队各需要25天和50天；
（2）甲工程队每天的施工费为4万元，乙工程队每天的施工费为3万元；
（3）取值范围是：17≤m＜20．
【详解】分析：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为2x天，根据工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，列方程求解即可；
（2）设甲工程队每天的施工费为a万元，则乙工程队每天的施工费为（a-1）万元，根据甲队的10天的总费用+乙队15天的总费用=85”列方程求解可得；
（3）根据题意表示出甲、乙两队的施工天数，再根据不等关系：①甲队施工总费用+乙队施工总费用≤116，②乙队施工天数＞10，列出不等式组，求出范围．
详解：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为2x天，根据题意得：
+=，
解得：x=25，
经检验：x=25是原方程的根，
则2x=25×2=50（天），
答：甲、乙两工程队各需要25天和50天；
（2）设甲工程队每天的施工费为a万元，则乙工程队每天的施工费为（a-1）万元，
根据题意得：10a+15（a-1）=85，
解得：a=4，
则a-1=3（万元），
答：甲工程队每天的施工费为4万元，乙工程队每天的施工费为3万元；
（3）设全部完成此项工程中，甲队施工了m天，
则甲完成了此项工程的，乙队完成了此项工程的（），
故乙队在全部完成此项工程中，施工时间为：=50-2m（天），
根据题意得：，
解得：17≤m＜20．
答：甲工程队施工天数m的取值范围是：17≤m＜20．
点睛：本题考查分式方程、一元一次一次方程、一元一次不等式组的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程和不等式组是解决问题的关键，注意分式方程要检验．
1．（2025·河南平顶山·模拟预测）某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务．
（1）求工程队A原来平均每天维修课桌的张数；
（2）求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围．
【答案】（1）A队原来平均每天维修课桌60张；（2）6≤2y≤28．
【分析】中考中的不等式一般是和方程一块考查的．类型有方案等．一般为利用方程求量，然后用所求的量在自变量取值范围内求解．
【详解】解：⑴ 设C队原来平均每天维修课桌x张，
根据题意得：，
解这个方程得：x=30，
经检验x=30是原方程的根且符合题意，
2x=60
答：A队原来平均每天维修课桌60张．
⑵ 设C队提高工效后平均每天多维修课桌x张，
施工2天时，已维修（60+60+30）×2=300（张），
从第3天起还需维修的张数应为（300+360）=660（张）
根据题意得：3(2x+2x+x+150)≤660≤4(2x+2x+x+150)
解这个不等式组得:3≤x≤14
∴6≤2x≤28
答：A队提高工效后平均每天多维修的课桌张数的取值范围是：6≤2x≤28
2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍．
(1)求甲种光伏板的单价是多少？
(2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？
【答案】(1)700元
(2)一共有21种购买方案；甲种光伏板180块，乙种光伏板410块总费用最低；最低费用是495000元
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，理解题意，列出正确的方程是解体的关键．
（1）设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，根据题意得，解方程解答即可；
（2）设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，根据题意得，解不等式组，根据题意可得总费用，分析即可得到答案．
【详解】（1）解：设甲种光伏板的单价为元，则乙种光伏板的单价为元，
由题意得，
解得，
经检验，为原方程的根，
∴甲种光伏板的单价为700元．
（2）解：设甲种光伏板的数量为块，则乙种光伏板的数量为块，
由题意得，
解得，
∵为正整数，
∴ 满足条件的有21种取值，所以一共有21种购买方案，
设总费用为元，
则，
∵，∴随的增大而增大．
∴越小，总费用越低，
∴ 当时，总费用越低，
即甲种光伏板为180块，则乙种光伏板为块总费用最低，
最低费用为元．
3．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示，若设矩形小花园边的长为，面积为.
(1)求出S与x之间的函数关系式（写出自变量取值范围）；
(2)当x为何值时；小花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)
(2)当时，小花园的面积最大，最大面积是．
【分析】本题考查二次函数的应用，一元一次不等式组的应用．根据题意正确求出S与x之间的函数关系式是解题关键．
（1）根据题意可知，再根据矩形的面积公式计算即可得出S与x之间的函数关系式，根据，列出一元一次不等式组求解，即得出自变量取值范围；
（2）将S与x之间的二次函数关系式改为顶点式，求解即可．
【详解】（1）解：设矩形小花园边的长为，则，
根据题意有：．
∵，
∴，
解得：，
∴S与x之间的函数关系式为；
（2）解：由（1）可知，
∵，
∴当时，最大，且，
∴当时，小花园的面积最大，最大面积是．
【经典例题四 不等式组的经济问题】
【例1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【答案】A
【分析】此题主要考查了一元一次不等式的应用，正确表示出购买总费用是解题关键．设购买型设备台，型设备台，根据题意列不等式组，再根据为整数求出的值即可．
【详解】解：设购买型设备台，型设备台，根据题意可得：
，
解得：
又∵为整数，
∴，，，
故购买方案有种．
故选：A．
【例2】（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________．
【答案】
【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键．
【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，
第一次花费元；
第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，
第二次花费元；
两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，
，
解得，
恰好是整数，
，
故答案为：．
1．（25-26七年级下·河南周口·期中）A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的
(1)求A款最少购买多少本；
(2)直接写出所有购买方案．
【答案】(1)A最少买20本
(2)第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本
【分析】（1）设A款买x本，则B款买本，根据总费用不超过260元、A数量不少于B的列不等式组求解即可；
（2）根据（1）中x的取值范围写出所有购买方案即可．
【详解】（1）解：设A款买x本，则B款买本，由题意，得
，
解得，
所以A最少买20本；
（2）解：∵，
∴x可取∶20、21、22、……、40，共21种方案，
方案：第1种A款20本，B款40本；第2种A款21本，B款39本；……；第21种：A款40本，B款20本．
2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】我们把形如（、均为整数，且）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，，，为正整数，，故原方程的正整数解有3个，分别为，，；
【问题解决】（1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解；
（2）若关于和的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出的值；
【应用迁移】（3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中类型笔记本7本，类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确．
【答案】（1）；（2）或；（3）正确
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一元一次不等式组的应用；解题的关键根据题意列出方程或不等式；
（1）根据题意, 可得, 根据均为正整数, 即可求解;
（2）根据正整数解的解法计算即可；
（3）设类型笔记本的单价为元，类型笔记本的单价为元，根据题意，可得根据均为正整数，即可求解.
【详解】（1），
，
均为正整数，
；
（2）解：
和是正整数
∴解得：
∵二元一次方程有且只有一个整数解
且为正整数
或．
（3）设A类型笔记本的单价为元，B类型笔记本的单价为元，根据题意，
可得，即，
均为正整数，
设（为正整数），则，
，
，
不能为整数，
故原方程无正整数解．
吴老师的判断正确．
3．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）某服装店销售每件进价分别为400元、340元的A，B两种款式的羽绒服，下表是近两周的销售情况．
销售数量
销售总利润
A款式
B款式
第一周
3件
5件
1400元
第二周
4件
10件
2400元
（注：进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本，利润率）
(1)求A，B两种款式羽绒服的销售单价．
(2)该商场为了在春节期间增加销售量，将这两种款式的羽绒服进行打折销售．若A款式羽绒服打折后利润率不低于，则A款式羽绒服最多打几折？
(3)若该服装店准备用不多于10800元的金额再次采购这两种款式的羽绒服共30件，且购买A款式的数量要多于B款式数量的，则共有几种采购方案？
【答案】(1)A款式羽绒服的销售单价为600元，B款式羽绒服的销售单价为500元
(2)A款式羽绒服最多打八折
(3)共有三种采购方案
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，根据不等关系列出不等式．
（1）设两种款式羽绒服的销售单价分别为元、元，根据表格中的数据列出方程组，解方程组即可；
（2）设A款式羽绒服打m折，根据A款式羽绒服打折后利润率不低于，列出不等式，解不等式即可；
（3）设采购A款式羽绒服n件，B款式羽绒服件，根据总费用不多于10800元，购买A款式的数量要多于B款式数量的，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：设两种款式羽绒服的销售单价分别为元、元．
根据题意，可得：，
解得，
答：A款式羽绒服的销售单价为600元，B款式羽绒服的销售单价为500元．
（2）解：设A款式羽绒服打m折．
根据题意，可得：，
解得．
答：A款式羽绒服最多打八折．
（3）解：设采购A款式羽绒服n件，B款式羽绒服件，
根据题意，可得，
解得：．
∵为整数，
∴的值为8或9或10，共有三种采购方案．
【经典例题五 不等式组的分配问题】
【例1】（24-25七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（ ）
A．8件 B．7件 C．6件 D．5件
【答案】D
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据“购买这批仪器需花62元，但经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．列方程组可得，再由，得到关于x的不等式组，即可求解．
【详解】解：设分别购买A，B，C三种仪器x、y、z台，根据题意得：
，
由得：，
解得：，
根据题意得：，
∴，
解得：，
∵x为整数，
∴x最大取5，
答：A种仪器最多可买5件．
故选：D
【例2】（24-25七年级上·上海·寒假作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设有间宿舍，利用“若每间住人，则余人无住处”得出总人数为，利用“若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）”列式求出范围，再结合为正整数，依次对的值进行判断该班男生是否不足人，即可求解．
【详解】解：设有间宿舍．
根据题意，得：，
解得：，
因为为正整数，
当时，人数为；
当时，人数为；
当时，人数为；
因为该班男生不足人，
所以该班的男生人数是人，
故答案为：．
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？
【答案】全班至少有25人，至多有27人
【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可．
【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得
由①得：，
将代入②，得，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∵是正整数，
∴全班至少有25人，至多有27人．
2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元．
(1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
(2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？
【答案】(1)每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元
(2)该商家有3种进货方案，方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键：
（1）设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，根据购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，根据该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，列出不等式组，求出整数解即可．
【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，
依题意，得：，
解得：；
答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元．
（2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，
依题意，得：解得：
是整数，
，
当时，；
当时，；
当时，；
答：该商家有3种进货方案，
方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；
方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；
方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个．
3．（2025·广西玉林·一模）近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度．
请你根据以下学习素材，完成下列两个任务：
学习素材
素材一
某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式．
素材二
精包装
简包装
每盒10斤，每盒售价300元
每袋8斤，每袋售价210元
问题解决
任务一
在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？
任务二
现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由．
【答案】任务一：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒．任务二：分装方案1：精包装14个，简包装70个；分装方案2：精包装10个，简包装75个；分装方案3：精包装6个，简包装80个；分装方案4：精包装2个，简包装85个；理由见解析
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用；
任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可；
任务二：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出，再结合m，n，为正整数，进一步解答即可．
【详解】任务一：
解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒．
，
解这个方程组，得
答：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒．
任务二：
解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．
依题意得：
，
由①得．
将代入②．
得，
解得：；
∵，
∴，
∴，
∵m，n，为正整数，
∴或或或；
∴，或，或，或，．
分装方案1：精包装14个，简包装70个；
分装方案2：精包装10个，简包装75个；
分装方案3：精包装6个，简包装80个；
分装方案4：精包装2个，简包装85个；
【经典例题六 不等式组的方案选择问题】
【例1】（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围．
设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数．
【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本，
由题意得：，
整理得：，
∵a、b、c为非负整数，
∴，
解得：，
∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，），
对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c，
∴不同的购书方案共有种．
故选：B．
【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，根据题意列出一元一次不等式组，然后求整数解即可．
【详解】解：设购进A种笔记本为x本，则购进B种笔记本为本，
由题意得：，
解得，
∵x为正整数，
∴x的取值为34、35、36、37，
则不同的购买方案种数为4种．
故选：B．
1．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）第十五届体育节到来之际，学校计划购买篮球和排球共60个，其中篮球每个120元，排球每个80元，购买总费用不超过5680元，且篮球数量不少于排球数量的一半．
(1)设购买篮球个，写出应满足的不等式组；
(2)求出符合条件的所有购买方案，并指出哪种方案总费用最低．
【答案】(1)
(2)方案一：购买篮球20个，排球40个； 方案二：购买篮球21个，排球39个； 方案三：购买篮球22个，排球38个；方案一费用最低
【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，能够将生活实际信息转化为数学信息为解题的关键．
（1）根据题意即可求解；
（2）根据（1）即可计算出，根据为正整数确定所有购买方案，最后计算出各方案的总费用即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
，
（2）解：由（1）得，，
解不等式得，，
解不等式得，，
则，
由于为正整数，则有三种方案，
方案一：当时，，即购买篮球20个，排球40个，此时总费用为（元）；
方案二：当时，，即购买篮球21个，排球39个，此时总费用为（元）；
方案三：当时，，即购买篮球22个，排球38个，此时总费用为（元）；
，
方案一费用最低．
2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某工厂计划生产，两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
种产品
种产品
成本（万元/件）
2
5
利润（万元/件）
1
3
(1)若工厂计划获利14万元，问，两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？
【答案】(1)生产A产品8件，生产B产品2件
(2)工厂有3种生产方案
【分析】（1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据“工厂计划获利14万元”列出方程即可得出结论；
（2）设生产产品件，则生产产品件，根据题意，列出一元一次不等式组，求出y的取值范围，即可求出方案．
【详解】（1）解：设生产种产品件，则生产种产品件，
依题意得：，
解得：，
则，
答：生产产品8件，生产产品2件；
（2）解：设生产产品件，则生产产品件
根据题意得，，
解得：．
∵为非负整数，
∴或3或4，
∴或7或6，
答：共有3种方案．
3．（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌排球的单价．
[情境引入]
小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌排球的单价为x元，则列出一元一次方程：”．
(1)根据题意，例题中被覆盖的条件是（填序号）．
①A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价低30元；
②A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元．
(2)[迁移类比]
小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求A、B两种品牌排球的单价．
(3)[拓展探究]
老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，问：学校共有几种购买方案，并求出最省钱的购买方案？
【答案】(1)②
(2)A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元
(3)共有3种购买方案：方案1：购买A种品牌的排球23个，B种品牌的排球27个；方案2：购买A种品牌的排球24个，B种品牌的排球26个；方案3：购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球25个；最省钱的购买方案为方案1．
【分析】（1）根据所列方程得到题意；
（2）设A种品牌排球的单价是x元，B种品牌排球的单价是y元，根据“购买A种品牌的排球个，B种品牌的排球个，共花费元；A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，，根据“总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为正整数，即可得出共有种购买方案，再求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：根据方程可知，表示的是品牌排球的单价，
∵种品牌排球的单价比种品牌排球的单价高元，
∴例题中被覆盖的条件是②；
（2）解：设A种品牌排球的单价是x元，B种品牌排球的单价是y元
根据题意得：，
解得：
答：A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元；
（3）解：设购买种品牌的排球个，则购买种品牌的排球个，
依题意得：，
解得
又∵m为正整数
∴m可以为23，24，25
∴共有3种购买方案
方案1：购买A种品牌的排球23个，B种品牌的排球27个；
方案2：购买A种品牌的排球24个，B种品牌的排球26个；
方案3：购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球25个．
方案1：；
方案2：；
方案3：；
∵，
∴最省钱的购买方案为方案1．
【经典例题七 不等式组的阶梯收费问题】
【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论．
【详解】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得
，
解得．
在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意．
【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________．
【答案】
【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可．
【详解】解：由题意，7元可以最多乘坐：；
8元可以最多乘坐：；
9元可以最多乘坐：；
∴；
故答案为：．
1．（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如：
(1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____．
(2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算：
当（单位：千米）时，（元）；
当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整）
(3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了新定义，列代数式，正确理解的意义是解题的关键．
（1）根据符号表示大于或等于的最小正整数求解即可；
（2）以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），结合的意义列式即可；
（3）把代入求解的范围即可解答．
【详解】（1）解：表示大于或等于的最小正整数，
，，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：由题意得，当（单位：千米）时，，
故答案为：；
（3）解：由题意得，，
得，
故，
即，
故该乘客所行的路程的取值范围：．
2．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人．
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？
(2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？
【答案】(1)每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人；
(2)一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元．
【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用；
（1）设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，根据辆型车和辆型车坐满后共载客人，辆型车和辆型车坐满后共载客人”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租用辆型车，则租用辆型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于人且租用型车数量不超过型车数量的倍，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合，均为不小于的正整数，可得出，进而可得出共有种租车方案，由即型车每辆租金小于型车每辆租金，可得出当租用型车越多时，总租金越小，结合的取值范围，即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可．
【详解】（1）解：设每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆型车坐满后载客人，每辆型车坐满后载客人；
（2）设租用辆型车，则租用辆型车，
根据题意得：，
解得：，
又，均为不小于的正整数，
，
种，
一共有种租车方案．
，
即型车每辆租金小于型车每辆租金，
当租用型车越多时，总租金越小，
当时，辆，总租金为元．
答：一共有种租车方案，当租用辆型车、辆型车时，租金费用最少，最小租金费用为元．
3．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）．
价目表
每月用水量
单价
不超出6立方米的部分
2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分
4元/立方米
超出10立方米的部分
8元/立方米
(1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元；
(2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示）
(3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？
【答案】(1)；
(2)，；
(3)3月份用水立方米，4月份用水立方米．
【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键．
（1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和．
（2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式．
（3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解．
【详解】（1）解：应交水费：（元），
故答案为：；
（2）解：当时，
水费为（元）
当时，
水费为（元）
故答案为：，；
（3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得，
，即．
当，即时，
水费为．
令，
解得（舍去）．
若，即，
水费为．
令，
解得．
∴3月份用水立方米，4月份用水立方米．
【拓展训练一 新定义问题】
【例1】（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（ ）
A．次 B．次 C．次 D．次
【答案】B
【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，设经过次传输，可以结束程序，由，，可得，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，
设经过次传输，可以结束程序，
∵，，
∴，
解得，
∵为正整数，
∴的值为，即经过次传输，可以结束程序，
故选：．
【例2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有______．（填序号）
【答案】①②③
【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，解一元一次不等式组的应用．理解题意，熟练掌握解一元一次方程，解一元一次不等式组是解题的关键．当时，，可判断①的正误；设，则，，，可得，可判断②的正误；由题意知，的整数部分为，则小数部分为， 由，可求，可判断③的正误；由，可得，的整数部分为，则小数部分为，且，可求，然后分情况求解，进而可判断④的正误．
【详解】解：当时，，①正确，故符合要求；
设，则，
∴，
∴，
∴，②正确，故符合要求；
由题意知，的整数部分为，则小数部分为，
∴，
解得，，③正确，故符合要求；
∵，
∴，
∴的整数部分为，则小数部分为，且，
解得，，
当时，，
∴，
解得，；
当时，，
∴，
解得，；
当时，，
∴，
解得，；
综上所述，或或是的解，④错误，故不符合要求；
故答案为：①②③．
1．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之，如果，则．例如：，，，，……请解决下列问题：
(1)填空：①________，②_______；
(2)如果，求实数x的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数x的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用；
（1）利用对非负实数 “四舍五入”到个位的值记为，进而得出，的值；
（2）利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出的取值范围；
（3）利用，为整数，得出关于的不等关系求出即可．
【详解】（1）解：由题意可得：；
∵
∴
∴
（2）∵，
∴，
∴；
（3）∵
∴
解得：
∵为非负整数，则
2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n－≤x＜n＋，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n－≤x＜n＋．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，
＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…
试解决下列问题：
(1)＜π＋2.4＞＝ （π为圆周率）；
(2)如果＜x﹣1＞＝4，求数x的取值范围；
(3)求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围．
【答案】(1)6
(2)4.5≤x＜5.5
(3)x=，，4，，
【分析】（1）利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π+2.4＞的值；
（2）利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；
（3）利用＜x＞，设，k为整数，得出关于k的不等关系求出即可．
【详解】（1）解：由题意可得：＜π+2.4＞＝6；
故答案为：6，
（2）解：∵＜x﹣1＞＝4，
∴3.5≤x﹣1＜4.5，
∴4.5≤x＜5.5；
∴x的取值范围为：4.5≤x＜5.5；
（3）解：∵x≥0，x﹣1为整数，设x＝k，k为整数，则x=k，
∴<k＞＝k﹣1，
∴，
∴<k≤，
∴k＝3，4，5，6，7，
则x=，，4，，．
【点睛】此题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．
3．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，…
试解决下列问题：
(1)填空：①________，________（为圆周率），________；
②如果，求实数的取值范围；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数的值．
【答案】(1)①7，3，4；②
(2)；
(3)，，，．
【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出相关的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，进而得出x的取值范围；
（2）首先将看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；
（3）利用，为整数，设，k为整数，则，得出关于k的不等关系求出即可．
【详解】（1）解：①由题意可得：
，（为圆周率），
∵，
∴；
故答案为：7，3，4；
②∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：解不等式组得：，
由不等式组整数解恰有4个得，，
故；
（3）解：∵，为整数，
设，k为整数，则，
∴，
∴，，
∴，
∴，1，2，3，
则，，，．
【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键．
【拓展训练二 一元一次不等式组的综合应用】
【例1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题可知两次就停止，则有第一次结果15，第二次结果15，由此可得关于x的一元一次不等式组，解之即可得．
【详解】解：由题可得
解得：．
【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是____________________ ．
【答案】
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，第一次敲进长度为，第二次敲进长度为，第三次敲进长度最大值为，根据前两次敲进长度之和小于铁钉总长度，前两次敲进长度与第三次敲进长度的最大值之和大于等于铁钉总长度，列一元一次不等式组，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解不等式得：，
解不等式得：，
因此不等式组的解集为，
故答案为：．
1．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）茶文化是中华民族传统文化的重要组成部分，也是中国文化的瑰宝之一．茶叶种植大户王伯伯参加了茗茶品鉴交流会后，准备在茶园里用篱笆围成一块长方形的区域来培育新品种的茶叶，现有长度为的篱笆，若要求该长方形区域的宽比长少，且篱笆材料需要够用，则长方形区域的长最大为多少米？
【答案】长方形区域的长最大为
【分析】设长方形区域的长为，则宽为，根据题意，列出不等式组，即可求解．
【详解】解：设长方形区域的长为，则宽为，
根据题意，得：，
解得，
答：长方形区域的长最大为．
2．（25-26七年级下·山东烟台·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示：
价格/品种
品种
品种
进价（元/盒）
标价（元/盒）
(1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？
(2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？
【答案】(1)品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒
(2)当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用问题，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确找出等量关系，列出相对应的方程组和不等式组是解决本题的关键．
【详解】（1）解：设品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒，
由题意可得，，解之得：，
答：品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒．
（2）设品种的蓝莓购进盒，则品种的蓝莓购进盒，利润为元，
水果店计划购进品种的盆数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，
，解之得：，
由题意可得，，
，
随的减小而增大，
∴当时，取得最大值，此时，
答：当品种的蓝莓购进盒，品种的蓝莓购进盒时，才能使利润最大，最大利润是2900元．
3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）为探究生活中硬币的质量，某班三个数学兴趣小组都仅用一架天平和一个10克的砝码进行了如下活动（假设同种类每枚硬币的质量相同）．
第一组和第二组的活动探究结果如图所示（状态平衡）：
(1)请算一算，一枚壹元和一枚伍角硬币的质量分别为多少克？
(2)第三组在天平上放置了一个10克的砝码以及3枚壹元和5枚伍角硬币，此时天平刚好保持平衡，请完成第三组的活动记录表：
第三小组活动记录表
天平左边
天平右边
状态
币值
壹元
伍角
壹元
伍角
平衡
枚数
________
________
________
________
(3)现有一袋壹元和伍角硬币，数量在185~195枚之间，称重1000克，直接写出袋中硬币有________元（写出所有可能的答案）．
【答案】(1)1枚壹元硬币的质量为7克，1枚伍角硬币的质量为3克；
(2)天平左边壹元2枚，伍角3枚；天平右边壹元1枚，伍角2枚；
(3)149元或148.5元
【分析】（1）设1枚壹元硬币的质量为克，1枚伍角硬币的质量为克，根据题意列出方程组求解即可；
（2）根据题意先求出一个10克的砝码以及3枚壹元和5枚伍角硬币的总质量，进而即可求解；
（3）设袋中壹元硬币有m枚，则伍角硬币有枚，根据题意列出不等式组，结合m是正整数，是正整数，即可求解
【详解】（1）解：设1枚壹元硬币的质量为克，1枚伍角硬币的质量为克．
由题意可得
解之得
答：1枚壹元硬币的质量为7克，1枚伍角硬币的质量为3克．
（2）解：，，
天平左边壹元2枚，伍角3枚：，
天平右边壹元1枚，伍角2枚：，
（3）解：设袋中壹元硬币有m枚，则伍角硬币有枚，
由题意得：
解得：，
∵m是正整数，是正整数
∴，或，，
∴（元）或（元）
A基础训练
1．（25-26七年级下·江西吉安·期中）一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题干给出的“布克读了一周还没读完，而莉克不到一周就已读完”的条件，提取不等关系，即可列出对应的不等式组．
【详解】解：设布克平均每天读页，则莉克平均每天读页．
∵布克读7天还没读完，说明布克7天读的总页数小于书的总页数，
∴．
∵莉克不到7天就读完了，说明莉克7天读的总页数大于书的总页数，
∴．
因此可得不等式组．
2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（ ）
A． B．7 C．7 D．7
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可．
【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元，
∴超过的千米数为千米，
∵不足1千米按1千米计，
∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，
∴，
解得：，
故选：D．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据图形，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：由图可知：，解得：；
故选：D．
4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，设购买A型污水处理设备a台，则设购买B型污水处理设备台，根据购买资金不超过106万元可得，根据污水处理量不低于1930吨可得，据此可得答案．
【详解】解：设购买A型污水处理设备a台，
由题意得，，
故选：B．
5．（24-25七年级下·四川成都·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表：
A型
B型
原料甲
千克/个
千克/个
原料乙
千克/个
千克/个
已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得：
，
故选：B．
B 提高训练
6．（24-25七年级下·全国·暑假作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________．
【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
7．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本．
【答案】23或26
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分5本，那么最后一人就分不到4本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案．
【详解】解：设共有名同学，则图书共有本，
由题意得，
解得：，
又为正整数，
或，
当时，，
当时，，
则这些图书有或本．
故答案为：23或26．
8．（24-25八年级上·浙江金华·期末）有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为___．
【答案】30mg60mg
【分析】一次服用剂量每日用量每日服用次数，故可求出服用剂量的最大值和最小值，而一次服用的剂量应介于两者之间，依题意列出不等式即可．
【详解】解：由题意得：
当每日用量90mg，分3次服用时，一次服用的剂量最小为mg；
当每日用量120mg，分2次服用时，一次服用的剂量最大为mg；
故一次服用这种药品的剂量范围是30mg60mg．
故答案为：30mg60mg．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式，关键是正确理解题意，表示出服用剂量的最大值和最小值．
9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下：
不超过，2元人次；超过到（含），元/人次；
超过到（含），4元/人次；
超过到（含），5元/人次；
超过到（含），6元/人次；
超过到（含），7元/人次；
超过到（含），8元/人次；
超过部分，票价每增加元可再乘坐．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故答案为：．
10．（24-25八年级上·四川成都·期中）如果一个数表中某一列各数之和为负数，那么改变该列中所有数的符号，称之为一次“操作”，下表是由个整数组成的数表，若经过一次“操作”后，使可使新的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数，则整数的值为_________．
【答案】或/2或1
【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据每一列所有数之和分别为，每一行所有数之和分别为，然后分别根据如果操作第三列或第一行，根据每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，列出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出答案，解题的关键是读懂题意，根据题目中的操作要求，列出不等式组．
【详解】解：∵每一列所有数之和分别为，每一行所有数之和分别为，
则操作第三列，第一行之和为，第二行之和为，
由题意可得，
解得，
∵为整数，
∴或，
故答案为：或．
C 培优训练
11．（2025七年级下·全国·专题练习）某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．
【答案】
【分析】根据矩形的周长公式及面积的计算方法，结合不等关系：面积大于平方米，周长小于米列出不等式组求解即可．
【详解】∵矩形的面积大于平方米，周长小于米，矩形的一边长为，临边长为
∴
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题意正确列出不等式组是解题关键．
12．（2025·浙江·模拟预测）把26个完全相同的玻璃球分别装在五个袋子里，每个袋子里的球数不同且至少1个．用一台电子秤称重量，当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响．如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响．请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的所有组合，例如：，并说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题考查了不等式组的应用，先充分理解题意，再列出不等式组，通过比较得，，再整理进一步分析得，然后推出的值是4或3或2或1个，因为，故的值为4或3或2个，则或，进一步由式可知或9个，即可作答．
【详解】解：设五个袋子里玻璃球的数量分别为个，
由题意可得：
比较式可知，
比较式可知，
由，，式可得
由上面的三个式子可知
∵，且每个袋子里的球数不同且至少1个
∴当时，则或1；
∴当时，则或1；
∴当时，则；
∴当时，则；
∴当时，则；
∴当时，则；
综上或1
进一步由式可知
∵为正整数
∴或9个，
当时，则或，此时，
当时，则，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为；
当时，则，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为；
当时，则或，此时，
则，，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为；
当时，则或，此时，
则，，即5个袋中玻璃球的数量从小到大的顺序为；
综上：符合题意的组合是、、、
13．（24-25七年级下·吉林四平·期末）为实现区域教育均衡发展，某市计划今后几年对区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1300万元．改造两所中学和一所小学共需资金215万元；改造一所中学和三所小学共需资金245万元．
(1)求改造一所中学需资金多少万元？改造一所小学需资金多少万元？
(2)若要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学至少有多少所？
(3)某市计划今年对区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元，剩余资金由市财政拨付．请你根据以上情况通过计算求出可以改造中学几所？改造小学几所？有哪几种改造方案？
【答案】(1)改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元
(2)要改造的小学至少有12所
(3)有四种改造方案：方案一：改造2所中学，8所小学；方案二：改造3所中学，7所小学；方案三：改造4所中学，6所小学；方案四：改造5所中学，5所小学
【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键：
（1）设改造一所中学需资金万元，改造一所小学需资金万元，根据改造两所中学和一所小学共需资金215万元；改造一所中学和三所小学共需资金245万元，列出方程组进行求解即可；
（2）设要改造的小学有所，根据要改造的乡镇中学不超过8所，列出不等式进行求解即可；
（3）设改造中学所，则改造小学所，根据，今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，列出不等式组进行求解即可．
【详解】（1）解：设改造一所中学需资金万元，改造一所小学需资金万元，
根据题意，得
解得
答：改造一所中学需资金80万元，改造一所小学需资金55万元．
（2）设要改造的小学有所，
根据题意，得．
解得．
为整数，
的最小值为12．
答：要改造的小学至少有12所．
（3）设改造中学所，则改造小学所，根据题意，
得
解得．
取整数，
的值为2，3，4，5．
对应的值分别为8，7，6，5．
有以下四种改造方案：
方案一：改造2所中学，8所小学；
方案二：改造3所中学，7所小学；
方案三：改造4所中学，6所小学；
方案四：改造5所中学，5所小学．
14．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表：
型借阅机
型借阅机
单日最大借阅量（册天）
单台采购成本（元台）
如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案．
【答案】共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台．
【分析】设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台，根据题意得，然后解不等式组即可．
【详解】解：万元元，设学校采购A型借阅机台，则采购B型借阅机台，
根据题意得，
解第一个不等式得；
解第二个不等式得，
∴不等式组的解集为，
因为为正整数，
所以的取值为或，
当时，；
当时，，
答：共有种采购方案，方案一：采购型借阅机台，型借阅机台；方案二：采购型借阅机台，型借阅机台．
15．（24-25八年级上·浙江·周测）污水处理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
处理污水量（吨/月）
220
180
经调查：购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买1台A型号设备比购买3台B型号设备少3万元．
(1)求a，b的值；
(2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案；
(3)在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
【答案】(1)，
(2)有四种购买方案：①型设备1台，型设备11台；②型设备2台，型设备10台；③型设备3台，型设备9台；④型设备4台，型设备8台．
(3)应选购型设备3台，型设备9台．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式（组）的应用：根据等量关系列出方程组及根据不等关系列出不等式是解题的关键．
（1）根据购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买1台A型号设备比购买3台B型号设备少3万元，再列出方程组求解即可求解．
（2）设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据不等关系列出不等式，并不等式，根据取正整数，进而可求解；
（3）根据不等关系列出不等式，根据取正整数，进而可求解；
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：．
（2）解：设购买污水处理设备型设备台，型设备台，根据题意得，
，
，
取正整数，
、2、3、4，
、10、9、8，
有四种购买方案：
①型设备1台，型设备11台；
②型设备2台，型设备10台；
③型设备3台，型设备9台；
④型设备4台，型设备8台．
（3）解：由题意：，
，
又，
，
取正整数，
为3，4．
当时，购买资金为（万元），
当时，购买资金为（万元），
，
最省钱的方案是选购型设备3台，型设备9台．
学科网（北京）股份有限公司
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专题03一元一次不等式组的应用重难点题型专训
（2个知识点+7大题型+2拓展训练+自我检测）
题型一 列一元一次不等式组
题型二 不等式组的行程问题
题型三 不等式组的工程问题
题型四 不等式组的经济问题
题型五 不等式组的分配问题
题型六 不等式组的方案选择问题
题型七 不等式组的阶梯收费问题
拓展训练一 新定义问题
拓展训练二 一元一次不等式组的综合应用
知识点一：经济与方案问题
经济问题：
常见等量关系：
利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%.
售价=成本X（1+利润率）
【即时训练】
1．（24-25七年级下·广西百色·期末）某工厂试制新产品2000只，工本费共700元，每只售价2元，在保证盈利1000元以上的情况下，售出的产品数量的范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有______________本．
知识点二：用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤
审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等；
设：设出适当的未知数；
列：根据题中的不等关系，列出不等式；
解：解所列的不等式；
验：考虑求出的解是否具有实际意义;
答：实际问题的答案.
一元一次不等式（组）的应用题的关键语句：
1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50.
3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上．
【即时训练】
1．（25-26七年级上·全国·寒假作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为________．
【经典例题一 列一元一次不等式组】
【例1】（24-25七年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是( )
A． B．
C． D．
【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________．
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）丽丽今年岁，爷爷今年虽不满岁，他的年龄（岁）比丽丽的年龄的倍还多，试写出符合爷爷年龄的不等式组．
2．（24-25七年级下·全国·单元测试）某班名学生上体育课，老师出了一道题：现在我拿出一些篮球，如果每5名同学打一个篮球，有些同学就会没有球打；如果每6名同学打一个篮球，其中有一个篮球打的人数就会不足6人．请写出篮球数x与人数的不等关系．
3．（24-25七年级下·北京西城·月考）阅读下面材料后，解答问题
分母中含有未知数的不等式叫分式不等式，如：；等，那么如何求出它们的解集呢？根据我们学过的有理数除法法则可知：两数相除，同号得正，异号得负，其字母表达式为：
（a）若，，则，若，，则；
（b）若，，则：若，，则．
请解答下列问题：
(1)①若则或 ___________；
②若则 ___________或 ___________；
(2)根据上述规律，求不等式的解集．
【经典例题二 不等式组的行程问题】
【例1】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）
A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈
【例2】（25-26七年级下·全国·课后作业）方方驾驶汽车从甲地匀速行驶去乙地，设汽车的行驶速度为．已知行驶速度限定为不超过，若他以的平均速度行驶，则需到达目的地；若他必须要在内（包括）到达乙地，则的取值范围是_____．
1．（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示．
(1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）；
(2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小；
(3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数．
2．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶．
(1)若
①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点”
②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h
(2)已知两车在P处相遇．
①若P与N重合，求V的值；
②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围．
3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）综合实践：城市交通中的“绿波带”．
在城市交通管理中，“绿波带”能有效减少车辆红灯等待时间，其原理是通过精准调整各路口红绿灯的亮起与切换时间，使车辆按建议速度匀速行驶时，到达每个路口均恰好遇到绿灯．
为响应泉州洛江“智慧交通”建设号召，某模拟线路上依次设有A、B、C三个路口，相邻路口间距为，，汽车以速度（，单位：m/s）从路口出发匀速行驶，出发时路口绿灯刚好开始亮起．各路口红绿灯均按“绿灯30s、红灯30s”交替循环，绿灯亮起时车辆可正常通过，红灯亮起时车辆需停车等待，车辆通过路口的时间忽略不计，忽略黄灯时间及其他通行影响．请解决以下问题：
(1)假设汽车以的速度匀速行驶：
①若A、B、C红绿灯完全同步（即同时绿灯、同时红灯），判断汽车能否全程绿灯通过A、B、C三个路口；若不能，计算从A路口出发到通过C路口的所需时间．
②为实现绿波通行，调整B、C绿灯亮起时间：设B路口绿灯相对A路口延迟秒亮起，C路口绿灯相对A路口延迟秒亮起（，）．要求汽车到达B路口、C路口时能顺利通过路口，即到达时刻在绿灯亮起后到绿灯熄灭前（含端点），直接写出、的取值范围．
(2)若红绿灯按如下规则亮起：A路口绿灯亮起后，B路口绿灯亮起；A路口绿灯亮起后，C路口绿灯亮起．求汽车能全程绿灯匀速通过A、B、C三个路口的“绿波速度”的取值范围．
【经典例题三 不等式组的工程问题】
【例1】（2025·四川内江·模拟预测）某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同.
（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？
（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.
【例2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需天数的两倍，若甲工程队单独做10天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的，共需施工费用85万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1万元．
（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程对各需要多少天？
（2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？
（3）若要完成全部工程的施工费用不超过116万元，且乙工程队的施工天数大于10天，求甲工程队施工天数的取值范围？
1．（2025·河南平顶山·模拟预测）某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务．
（1）求工程队A原来平均每天维修课桌的张数；
（2）求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围．
2．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）光伏发电是“中国智慧”和“中国建设”的体现，光伏发电既安全又绿色，为我们实现“碳达峰”“碳中和”的目标奠定了基础．2024年9月12日，京能宜昌高铁北站产业园（鸦鹊岭片区）分布式屋顶光伏项目（）总承包工程项目正式开工建设．项目部决定购进甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍．
(1)求甲种光伏板的单价是多少？
(2)若项目部购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多50块，且乙种光伏板的数量不低于410块，购进两种光伏板的总费用不超过545000元，求项目部有几种购进方案？哪种方案的费用最低？最低费用是多少元？
3．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示，若设矩形小花园边的长为，面积为.
(1)求出S与x之间的函数关系式（写出自变量取值范围）；
(2)当x为何值时；小花园的面积最大？最大面积是多少？
【经典例题四 不等式组的经济问题】
【例1】（24-25七年级下·安徽滁州·月考）某企业产品换代升级，决定购买台新设备，这种新设备现有两种型号，型每台万元，型每台万元．经预算，该企业购买设备的资金不高于万元，则该企业的购买方案有（ ）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
【例2】（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则___________．
1．（25-26七年级下·河南周口·期中）A笔记本单价5元，B笔记本单价3元，共采购60本；要求：总费用不超过260元，A数量不少于B的
(1)求A款最少购买多少本；
(2)直接写出所有购买方案．
2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】我们把形如（、均为整数，且）的方程称为二元一次整系数方程．若，则可以用以下方法确定其正整数解的数量，例如．，则，，，为正整数，，故原方程的正整数解有3个，分别为，，；
【问题解决】（1）结合上述内容，请直接写出的所有正整数解；
（2）若关于和的二元一次方程有且只有一个正整数解，请求出的值；
【应用迁移】（3）假期临近，吴老师为表彰本学年积极参与班级活动的学生，委托采购小组购买奖品．组长小丽汇报称：“我们购买了两种类型的笔记本，其中类型笔记本7本，类型笔记本12本，总计花费84元，由于未索取收银小票，因此暂不能确定两种笔记本的具体单价．”吴老师听后，敏锐地指出：两种类型笔记本的单价不可能同时为整数．请你结合上述内容分析吴老师的判断是否正确．
3．（24-25七年级下·安徽阜阳·期中）某服装店销售每件进价分别为400元、340元的A，B两种款式的羽绒服，下表是近两周的销售情况．
销售数量
销售总利润
A款式
B款式
第一周
3件
5件
1400元
第二周
4件
10件
2400元
（注：进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本，利润率）
(1)求A，B两种款式羽绒服的销售单价．
(2)该商场为了在春节期间增加销售量，将这两种款式的羽绒服进行打折销售．若A款式羽绒服打折后利润率不低于，则A款式羽绒服最多打几折？
(3)若该服装店准备用不多于10800元的金额再次采购这两种款式的羽绒服共30件，且购买A款式的数量要多于B款式数量的，则共有几种采购方案？
【经典例题五 不等式组的分配问题】
【例1】（24-25七年级下·山东青岛·课后作业）某兴趣小组决定去市场购买A，B，C三种仪器，其单价分别为3元，5元，7元，购买这批仪器需花62元；经过讨价还价，最后以每种单价各下降1元成交，结果只花50元就买下了这批仪器．那么A种仪器最多可买（ ）
A．8件 B．7件 C．6件 D．5件
【例2】（24-25七年级上·上海·寒假作业）学校现有若干个房间分配给初三班的男生住宿，已知该班男生不足人，若每间住人，则余人无住处；若每间住人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么该班的男生人数是___________人．
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？
2．（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元．
(1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？
(2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？
3．（2025·广西玉林·一模）近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度．
请你根据以下学习素材，完成下列两个任务：
学习素材
素材一
某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式．
素材二
精包装
简包装
每盒10斤，每盒售价300元
每袋8斤，每袋售价210元
问题解决
任务一
在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？
任务二
现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由．
【经典例题六 不等式组的方案选择问题】
【例1】（24-25七年级下·湖北襄阳·阶段练习）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
1．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）第十五届体育节到来之际，学校计划购买篮球和排球共60个，其中篮球每个120元，排球每个80元，购买总费用不超过5680元，且篮球数量不少于排球数量的一半．
(1)设购买篮球个，写出应满足的不等式组；
(2)求出符合条件的所有购买方案，并指出哪种方案总费用最低．
2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）某工厂计划生产，两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：
种产品
种产品
成本（万元/件）
2
5
利润（万元/件）
1
3
(1)若工厂计划获利14万元，问，两种产品应分别生产多少件？
(2)若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有几种生产方案？
3．（25-26七年级下·四川攀枝花·期中）下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分．
排球是体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌排球的单价．
[情境引入]
小明通过查看例题的解析发现：“设A种品牌排球的单价为x元，则列出一元一次方程：”．
(1)根据题意，例题中被覆盖的条件是（填序号）．
①A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价低30元；
②A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元．
(2)[迁移类比]
小军看了解析后，认为用二元一次方程组求解也非常方便，请你列出方程组并求A、B两种品牌排球的单价．
(3)[拓展探究]
老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，问：学校共有几种购买方案，并求出最省钱的购买方案？
【经典例题七 不等式组的阶梯收费问题】
【例1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________．
1．（25-26六年级上·上海·月考）已知，符号表示大于或等于的最小正整数，如：
(1)填空：_____；____；若，则的取值范围是____．
(2)某市的出租车收费标准规定如下：以内（包括）收费元，超过后，每行驶，加收元（不足的按计算），用表示所行的公里数，表示行公里应付车费，则乘车费可按如下的公式计算：
当（单位：千米）时，（元）；
当（单位：千米）时，_____（元）（用符号来取整）
(3)某乘客乘车后付费元，求该乘客所行的路程的取值范围．
2．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校七年级拟于5月29号组织60名老师和1160名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用A、B两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5辆)．A型车每辆租金是500元，B型车每辆租金是600元，若2辆A型车和1辆B型车坐满后共载客140人，3辆A型车和4辆B型车坐满后共载客335人．
(1)每辆A型车、B型车坐满后各载多少人？
(2)若年级组计划租用A型车和B型车共28辆，要求B型车数量不超过A型车数量的3倍，请问一共有多少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？
3．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）．
价目表
每月用水量
单价
不超出6立方米的部分
2元/立方米
超出6立方米不超出10立方米的部分
4元/立方米
超出10立方米的部分
8元/立方米
(1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元；
(2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示）
(3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？
【拓展训练一 新定义问题】
【例1】（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（ ）
A．次 B．次 C．次 D．次
【例2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）定义表示不大于x的最大整数，例如：，，．有下列结论：①当时，的值为1；②；③；④是方程的唯一解，其中，正确的有______．（填序号）
1．（24-25七年级下·安徽滁州·期中）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为，即：当n为非负整数时，如果，则；反之，如果，则．例如：，，，，……请解决下列问题：
(1)填空：①________，②_______；
(2)如果，求实数x的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数x的值．
2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n－≤x＜n＋，则＜x＞＝n；反之，当n为非负整数时，如果＜x＞＝n，则n－≤x＜n＋．例如：＜0.1＞＝＜0.49＞＝0，＜1.51＞＝＜2.48＞＝2，＜3＞＝3，
＜4.5＞＝＜5.25＞＝5，…
试解决下列问题：
(1)＜π＋2.4＞＝ （π为圆周率）；
(2)如果＜x﹣1＞＝4，求数x的取值范围；
(3)求出满足＜x＞＝x﹣1的x的取值范围．
3．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）深化理解：
新定义：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即：当为非负整数时，如果，则；
反之，当为非负整数时，如果，则．
例如：，，，，…
试解决下列问题：
(1)填空：①________，________（为圆周率），________；
②如果，求实数的取值范围；
(2)若关于的不等式组的整数解恰有4个，求的取值范围；
(3)求满足的所有非负实数的值．
【拓展训练二 一元一次不等式组的综合应用】
【例1】（25-26七年级下·河南新乡·期中）图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则a的取值范围是____________________ ．
1．（25-26七年级下·河南洛阳·期中）茶文化是中华民族传统文化的重要组成部分，也是中国文化的瑰宝之一．茶叶种植大户王伯伯参加了茗茶品鉴交流会后，准备在茶园里用篱笆围成一块长方形的区域来培育新品种的茶叶，现有长度为的篱笆，若要求该长方形区域的宽比长少，且篱笆材料需要够用，则长方形区域的长最大为多少米？
2．（25-26七年级下·山东烟台·期中）蓝莓是一种极具营养价值的水果，某水果店以元购进两种不同品种的盒装蓝莓，若按标价出售可获利润元（利润售价进价），这两种盒装蓝莓的进价、标价如下表所示：
价格/品种
品种
品种
进价（元/盒）
标价（元/盒）
(1)求这两个品种的蓝莓各购进多少盒？
(2)该店计划下周购进这两种品种的蓝莓共盒（每种品种至少进盒），并在两天内将所进蓝莓全部销售完毕（损耗忽略不计），因品种蓝莓的销售情况较好，水果店计划购进品种的盒数不低于品种盒数的倍，且品种不少于盒，如何安排进货，才能使利润最大，最大利润是多少？
3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）为探究生活中硬币的质量，某班三个数学兴趣小组都仅用一架天平和一个10克的砝码进行了如下活动（假设同种类每枚硬币的质量相同）．
第一组和第二组的活动探究结果如图所示（状态平衡）：
(1)请算一算，一枚壹元和一枚伍角硬币的质量分别为多少克？
(2)第三组在天平上放置了一个10克的砝码以及3枚壹元和5枚伍角硬币，此时天平刚好保持平衡，请完成第三组的活动记录表：
第三小组活动记录表
天平左边
天平右边
状态
币值
壹元
伍角
壹元
伍角
平衡
枚数
________
________
________
________
(3)现有一袋壹元和伍角硬币，数量在185~195枚之间，称重1000克，直接写出袋中硬币有________元（写出所有可能的答案）．
A基础训练
1．（25-26七年级下·江西吉安·期中）一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（ ）
A． B．7 C．7 D．7
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，天平右盘中的每个砝码的质量都是1克，则天平左盘中的每个小立方体的质量的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．
4．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）某大型企业为了保护环境，准备购进A，B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万元，一台B型设备的单价为10万元．经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，由于资金有限，该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，且需要这两种设备每月的污水处理量不低于1930吨，设购买A型污水处理设备a台，则根据题意可以列不等式组为（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25七年级下·四川成都·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表：
A型
B型
原料甲
千克/个
千克/个
原料乙
千克/个
千克/个
已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
B 提高训练
6．（24-25七年级下·全国·暑假作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________．
7．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）把一些图书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一名同学分到了书但不到4本．这些图书有___________本．
8．（24-25八年级上·浙江金华·期末）有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“每日用量90～120mg（包括90mg和120mg），分2～3次服用”．若一次服用这种药品的剂量为amg，则a的取值的范围为___．
9．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下：
不超过，2元人次；超过到（含），元/人次；
超过到（含），4元/人次；
超过到（含），5元/人次；
超过到（含），6元/人次；
超过到（含），7元/人次；
超过到（含），8元/人次；
超过部分，票价每增加元可再乘坐．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______．
10．（24-25八年级上·四川成都·期中）如果一个数表中某一列各数之和为负数，那么改变该列中所有数的符号，称之为一次“操作”，下表是由个整数组成的数表，若经过一次“操作”后，使可使新的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负数，则整数的值为_________．
C 培优训练
11．（2025七年级下·全国·专题练习）某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．
12．（2025·浙江·模拟预测）把26个完全相同的玻璃球分别装在五个袋子里，每个袋子里的球数不同且至少1个．用一台电子秤称重量，当称到不少于11个玻璃球时，超重警铃就会响，否则不响．如图，当①、③、④的状态时，警铃就响；②的状态时，警铃不响．请按从小到大的顺序写出装入5个袋中玻璃球的数量的所有组合，例如：，并说明理由．
13．（24-25七年级下·吉林四平·期末）为实现区域教育均衡发展，某市计划今后几年对区各乡镇中、小学校全部进行改造．根据预算，共需资金1300万元．改造两所中学和一所小学共需资金215万元；改造一所中学和三所小学共需资金245万元．
(1)求改造一所中学需资金多少万元？改造一所小学需资金多少万元？
(2)若要改造的乡镇中学不超过8所，则要改造的小学至少有多少所？
(3)某市计划今年对区乡镇中、小学共10所进行改造，改造资金由市财政和区财政共同承担．若今年市财政拨付的改造资金不超过550万元；区财政投入的改造资金不少于110万元，其中区财政投入到中、小学的改造资金分别为每所15万元和10万元，剩余资金由市财政拨付．请你根据以上情况通过计算求出可以改造中学几所？改造小学几所？有哪几种改造方案？
14．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）年月日起正式施行的《全民阅读促进条例》明确规定每年月第四周为全民阅读活动周．为迎接首个全民阅读活动周，营造“书香校园”，学校计划采购两种型号的自助图书借阅机，方便学生借阅图书．相关信息如下表：
型借阅机
型借阅机
单日最大借阅量（册天）
单台采购成本（元台）
如果学校计划用不超过万元采购两种借阅机共台，并且要求单日总借阅量不低于册，请通过计算说明该学校有哪几种采购方案．
15．（24-25八年级上·浙江·周测）污水处理，保护环境，某市治污公司决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
A型
B型
价格（万元/台）
a
b
处理污水量（吨/月）
220
180
经调查：购买一台A型号设备比购买一台B型号设备多3万元，购买1台A型号设备比购买3台B型号设备少3万元．
(1)求a，b的值；
(2)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该公司有哪几种购买方案；
(3)在（2）问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案．
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