专题03 定义、命题、定理重难点题型专训（2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年人教版七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦初中数学“定义、命题、定理”核心知识点，系统梳理命题的定义、组成及真假判断，衔接基本事实与定理的概念，构建从识别命题、分析结构到逻辑证明的递进式学习支架。 资料通过8大题型覆盖命题判断、题设结论分析等基础内容，结合几何代数推理题培养数学思维，拓展训练如构造反例提升推理意识，自我检测助力课后查漏补缺，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识形成完整认知体系。

专题03 定义、命题、定理重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 定理与证明 题型六 举反例 题型七 以几何、代数为背景的推理与论证 题型八 逻辑推理与论证 拓展训练一 构造反例 拓展训练二 多条件命题推理证明 知识点一：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于定义的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．同角或等角的余角相等 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查定义的概念，掌握定义是对名称或术语的含义进行描述，据此判断选项是解题的关键． 根据定义的概念，判断每个选项是否是对某个名称或术语的含义进行描述． 【详解】解：A、“直角三角形的两个锐角互余”，是直角三角形的性质，不是定义，不符合题意； B、“同角或等角的余角相等”，是余角的性质，不是定义，不符合题意； C、“点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度”，是对点到直线的距离这个术语的含义进行描述，属于定义，符合题意； D、“两直线平行，内错角相等”，是平行线的性质，不是定义，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 【答案】是 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】若，则，是一个命题. 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题. 知识点二：证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山西晋中·期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时先假设每一个内角都大于，然后，…，这种证明方法是（    ） A．综合法 B．举反例法 C．数学归纳法 D．反证法 【答案】D 【分析】根据反证法的定义进行回答即可． 【详解】解：在证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时先假设每一个内角都大于，然后，…，这种证明方法是反证法． 故选：D． 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 2．（24-25七年级下·全国·课前预习）证明： 的过程称为证明． 【答案】演绎推理 【解析】略 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（24-25七年级下·四川南充·月考）下列命题中真命题是（    ） A．同位角相等 B．两点之间，线段最短 C．相等的角是对顶角 D．互补的角是邻补角 【答案】B 【分析】根据平行线的性质对A进行判断；根据线段最短的公理对B进行判断；根据对顶角的定义对C进行判断；根据邻补角的定义对D进行判断． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，所以A选项错误； B、两点之间，线段最短，所以B选项正确； C、相等的角不一定是对顶角，所以C选项错误； D、有一条边共线且互补的两个角是邻补角，所以D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理． 【例2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）命题“两个锐角的和是直角”是 命题（填“真”或“假”）. 【答案】假 【详解】两个锐角的和可能是锐角，直角或钝角，即两个锐角的和是直角是假命题. 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列语句是命题的为（　　） A．作直线AB的垂线 B．同角的余角相等吗？ C．延长线段AO到C，使OC＝OA D．两直线相交，只有一个交点 【答案】D 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断． 【详解】A、作直线AB的垂线为描述性语言，它不是命题； B、同角的余角相等吗？它为疑问句，不是命题； C、延长线段AO到C，使OC＝OA，它为描述性语言，它不是命题； D、两直线相交，只有一个交点，它为判断性语言，它是命题． 故选D． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题． 2．（24-25七年级下·全国·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题 【分析】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键． 【详解】解：（1）0是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题； （3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题； （5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题； 故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2—10n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2-10n的值都是负数．判断小明的猜想是真命题还是假命题，并说明你的理由． 【答案】假命题，理由见解析. 【详解】试题分析：利用反例可证明小明的猜想为假命题． 试题解析：假命题．理由如下： 如：当n=10时，n2-10n=102-10×10=0，不是负数，所以小明的猜想是假命题． 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 【例1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 【答案】D 【分析】任何一个命题，都由题设和结论两部分组成．题设，是命题中的已知事项，结论，是由已知事项推出的事项． 【详解】“两条直线相交只有一个交点”的题设是两条直线相交． 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是命题和定理，解题关键是理解题设和结论的关系. 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是 ，结论是 ．该命题的逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 【答案】 两个三角形周长相等 它们的面积相等 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等 假 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解答本题的关键是熟练掌握命题由题设和结论两部分组成．其中题设是已知的条件，结论是由题设推出的结果． 根据“其中题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项”即可写出条件和结论；根据逆命题就是交换原命题的题设和结论即可写出逆命题；由于面积相等的三角形可以作无数个，但是周长不一定相等，即可判断逆命题的真假性． 【详解】解：命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是：两个三角形周长相等； 结论是：它们的面积相等； 该命题的逆命题是：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等； 这个逆命题是假命题， 故答案为：两个三角形周长相等；它们的面积相等；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形的周长相等；假． 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，正确的是 A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．如果两个角是对顶角，那么它们相等 C．如果对顶角，那么相等 D．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等 【答案】B 【详解】试题分析：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”， 命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故选B． 考点：命题与定理． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）“同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”这个命题的条件是 ，结论是 ，这个命题是 命题． 【答案】 同一平面内，若a⊥b，c⊥b a∥c 真 【分析】将原命题改写成“如果…，那么…”的形式后即可确定条件和结论． 【详解】解：改写成“如果…，那么…”的形式是：如果同一平面内，a⊥b，c⊥b，那么a∥c，即“同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”这个命题的条件是： 同一平面内，若a⊥b，c⊥b，结论是：a∥c. 这个命题是真命题． 故答案为(1). 同一平面内，若a⊥b，c⊥b    (2). a∥c    (3). 真 【点睛】本题考查命题与定理的知识，解题的关键是能够将原命题改写成“如果…，那么…”的形式． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）把下列命题改成“如果…那么…”的形式． (1)不相交的两条直线是平行线 (2)相等的两个角是对顶角 (3)经过一点有且只有一条垂线 (4)直角都相等． 【答案】(1)如果两条直线不相交，那么这两条直线平行 (2)如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 (3)如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直 (4)如果所有的角是直角，那么它们都相等 【分析】(1)根据命题及其组成即可写得； (2) 根据命题及其组成即可写得； (3) 根据命题及其组成即可写得； (4) 根据命题及其组成即可写得． 【详解】（1）解：不相交的两条直线是平行线， ∵原命题的条件是：“两条直线不相交”，结论是：“这两条直线平行”， ∴命题“不相交的两条直线是平行线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两条直线不相交，那么这两条直线平行”； （2）解：相等的两个角是对顶角， ∵原命题的条件是：“两个角相等”，结论是：“这两个角是对顶角”， ∴命题“相等的两个角是对顶角”写成“如果…那么…”的形式为：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”； （3）解：经过一点有且只有一条垂线， ∵原命题的条件是：“经过一点”，结论是：“有且只有一条垂线”， ∴命题“经过一点有且只有一条垂线”写成“如果…那么…”的形式为：“如果经过一点，那么有且只有一条直线与已知直线垂直”； （4）解：直角都相等． ∵原命题的条件是：“所有的直角”，结论是：“都相等”， ∴命题“直角都相等”写成“如果…那么…”的形式为：“如果所有的角是直角，那么它们都相等”． 【点睛】本题考查了命题的组成，命题由题设和结论两部分组成，把命题写成“如果…，那么…”的形式时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论． 【经典例题三 判断命题真假】 【例1】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的真假，反例的定义，解题的关键是掌握反例． 根据反例的定义，结合命题逐项进行判断即可． 【详解】解：A．当时，且，命题成立，不符合题意； B． 当时，且，命题成立，不符合题意； C． 当时，， ，，不满足条件，不符合题意； D．当 时，，，所以，但，该命题为假命题，该选项符合题意； 故选：D． 【例2】 （25-26七年级下·甘肃甘南·月考）命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题是 命题.（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了命题和定理，根据逆命题是通过交换原命题的题设和结论得到的，再根据三角形内角和定理判断其真假； 【详解】解：∵原命题“等边三角形三个内角都相等” ∴题设是“等边三角形”，结论是“三个内角都相等”， ∴逆命题是“三个内角都相等的三角形是等边三角形”， ∵三角形内角和为， ∴每个角为， ∴三角形三边相等， ∴三角形是等边三角形， 故答案为：真． 1．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了原命题，逆命题，正确判断命题的真假是解题的关键．根据逆命题、原命题，和学习的数学知识，判断解答即可即可，判断一个命题是假命题，只要举反例即可． 【详解】解：内错角相等，两直线平行，是真命题， 它的逆命题是：两直线平行，内错角相等，也是真命题， 故符合题意； 若，则，是真命题， 它的逆命题是：若，则， 举反例：若，但是， 逆命题是假命题， 故不符合题意； 末位数字是的数，能被整除，是真命题， 它的逆命题是：能被整除的数，末位数字是， 举反例：能被整除，末位数字不是， 逆命题是假命题， 故不符合题意； 命题：对顶角相等，是真命题， 它的逆命题是：相等的角是对顶角， 举反例：如下图所示， ， 但是和不是对顶角， 逆命题是假命题， 故不符合题意． 综上所述，原命题和逆命题均是真命题的个数是个． 故选：A． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 【答案】① 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的定义，熟练掌握它们的概念是解题的关键 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先根据互逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等，它的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等，它的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题． 所以，逆命题成立的是① ； 故答案为：① 3．（25-26七年级上·上海·假期作业）判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 【答案】(1)原命题是真命题．逆命题：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题． (2)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是假命题． (3)原命题是真命题．逆命题：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题． (4)原命题是假命题．逆命题：如果，那么．逆命题是真命题． 【分析】本题考查了逆命题，命题真假的判断，熟练掌握命题是解题的关键． （1）（2）（3）（4）先判断原命题的真假，再写出逆命题，再判断命题的真假； 【详解】（1）解：∵如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两条直线只有一个交点，那么它们相交．逆命题是真命题； （2）解：∵，，满足，但不满足； ∴如果，那么，这是假命题，故原命题是假命题； 其逆命题为：如果，那么，这是假命题， 例如：，，满足，但不满足； （3）解：∵相反数的和为零， ∴原命题是真命题； 逆命题为：如果两个数的和为零，那么这两个数互为相反数．逆命题是真命题； （4）解：∵当时，或． ∴原命题是假命题； 逆命题为：如果，那么．逆命题是真命题． 【经典例题四 举例说明假（真）命题】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，余角与补角，先写出原命题的逆命题，再找到满足且的反例即可． 【详解】解：对于命题“如果，那么与互补”的逆命题为“如果与互补，那么”，能说明这个命题为假命题的反例可以为：，， 故选：C． 【例2】（25-26七年级下·浙江绍兴·月考）可以用来说明“，则”是假命题的反例是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是命题与定理，要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：∵当时，，但是， ∴是假命题的反例． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的外角性质即可判断． 【详解】、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是钝角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是假命题，此选项符合题意； 、∠是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 2．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为 时，不是一个素数． 【答案】 【分析】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被和它自身整除的自然数）是解题的关键．通过代入不同的自然数（）到中，计算结果并判断是否为素数，找到反例． 【详解】解：当时，，是素数； 当时，，，不是素数． 故答案为： 3．（2026七年级下·全国·专题练习）请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 【答案】(1)例如，两个的角相等，但它们不是直角． (2)例如，，，则，但，． (3)例如，，，则，但不是钝角． 【分析】本题考查举反例证明假命题的方法．对于每个命题，需要找出一个实例满足条件但不满足结论，从而说明命题不成立．反例需基于初中数学知识，如角的概念、有理数运算等． （1）根据原命题举出反例即可求解； （2）根据原命题举出反例即可求解； （3）根据原命题举出反例即可求解． 【详解】（1）解：两个角相等时，不一定都是直角， 例如，两个的角，它们相等，但都是锐角，不是直角． ∴命题“相等的角是直角”是假命题． （2）解：∵如果，和可能互为相反数， 例如，，，此时，但，． ∴命题“如果，那么，”是假命题． （3）解：如果，可能不是钝角， 例如，（锐角），，则，但是锐角，不是钝角． ∴命题“如果，那么是钝角”是假命题． 【经典例题五 定理与证明】 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列能作为证明依据的是(     ) A．已知条件 B．定义和基本事实 C．定理和推论 D．以上三项都可以 【答案】D 【详解】解：已知条件、定义和基本事实、定理和推论都可以作为证明的依据．故选D． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 2．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 【答案】A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 【详解】试题分析：根据命题包括真命题、假命题，真命题包括定义、定理、基本事实等作答． 试题解析：解：命题包括真命题、假命题．真命题包括定义、定理、基本事实等．故A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 【经典例题六 举反例】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（   ） A．16 B．15 C．24 D．42 【答案】D 【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可． 【详解】解：A、16是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意； B、15不是偶数，也不是8的倍数，既不满足命题的题设，也不满足结论，故不能作为反例，不符合题意； C、24是偶数，也是8的倍数，同时满足命题的题设和结论，故不能作为反例，不符合题意； D、42是偶数，但42不是8的倍数，满足命题的题设，但不满足命题的结论，故能作为反例，符合题意． 故选：D． 【例2】 （24-25七年级下·全国·单元测试）要说明命题“若a·b＝0，则a＋b＝0”是假命题，可举反例 ． 【答案】当a=0，b=1时，ab=0，但a+b=1≠0(答案不唯一) 【分析】可先假设命题为真命题，再举出反例，推翻假设，进而得出结论． 【详解】假设其为真命题，即ab=0，则a+b=0； 当a=0，b=1时，ab=0，但a+b=1≠0， 所以假设不成立，所以命题为假命题．故答案为当a=0，b=1时，ab=0，但a+b=1≠0(答案不唯一) 【点睛】本题考查了反证法，关键是能够运用反证法证明一些命题的真假 1．（2025·安徽合肥·三模）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先比较大小,确定满足条件的数,再代入计算判断即可 【详解】∵2,1件都不符合条n＜1， ∴C,D 都不符合题意； 当n=-2时，满足-2＜1，但是， 故A符合题意； 当n=时，满足＜1，但是， 故B符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了举反例解题，准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 2．（24-25七年级下·北京·期中）能说明“如果，那么”是假命题的反例是： ， ． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以， 当，时，有，但， ∴，是假命题的反例， 故答案为：；． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【答案】(1)该命题为真命题． (2)该命题为假命题，反例见解析． (3)该命题为真命题． (4)该命题为假命题，反例见解析． 【分析】本题主要考查命题和反例的定义： （1）真命题； （2）假命题，当点，，为三角形的三个顶点时，可作为反例； （3）真命题； （4）假命题，当时，可作为反例． 【详解】（1）该命题为真命题． （2）该命题为假命题， 反例：如图所示，，之和大于线段的长，点在直线外．    （3）该命题为真命题． （4）该命题为假命题． 反例：当时，． 【经典例题七 以几何、代数为背景的推理与论证】 【例1】（24-25七年级·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 【答案】A 【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯子左侧几个杯子，再观察3号杯子的两个出口即可得出答案． 【详解】解：号杯子左侧出口比右侧高， 水先从左侧流出，进入3号杯子， 杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭 水最终会先灌满3号杯子， 故选：A． 【点睛】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 【答案】 【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论． 【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形； 结合后两个图可以看出：d代表圆； 因此a代表线段，c代表三角形， 所以图形的连接方式为：. 故答案为. 【点睛】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形． 1．（24-25七年级上·湖北鄂州·期末）在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A，B，C，不同的线段或圆中的 某两个图形组成的，例如由A，B组成的图形记为，在乙组图形的，，，四个图形中，表示“”和“”的是　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】分析：根据题意分析可得：4种简单图形A，B，C，D各不相同，得到A、B、C、D所代表的图形，即可得到结论． 详解：如图：     由甲组的A*B   B*C   B*D可知：   B是稍大一点的圆，C为横线段，D为稍小一点的圆，A为竖线段．  所以“A*D”应当选（b），“A*C”应当选（d）．  故选D． 点睛：本题考查了推理与论证，在两个或三个图形中，先确定公有的是谁，再确定其他的，从而使问题解决，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 2．（24-25七年级下·浙江·月考）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有 ，一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母） 【答案】 A、C、E B、D、F、G. 【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案． 【详解】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断， 由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷． 结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷； 同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷； 由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数， 所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示： 进行下一步推理： 因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷； 而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷． 因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷， 根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷． 综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷． 故答案为A、C、E；B、D、F、G. 【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识. 3．（24-25七年级·全国·课后作业）如图所示，通过画图可知：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是可得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，这个结论正确吗？          【答案】不正确 【分析】通过题意举出反例证明结论错误即可. 【详解】解:对于如图所示的等腰直角△ABC, 该三角形三条边的垂直平分线的交点在该三角形斜边AC的中点O处,并不在三角形的内部,故“任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部”的结论是错误的. 故答案为不正确 【点睛】对于本题,首先要判断该结论是否正确,若该结论正确,则给出证明;若该结论错误,只需举出反例即可;判断本题所给结论的关键是考虑问题要全面,即:该三角形是锐角三角形,钝角三角形,直角三角形的情况都要考虑到.通过对等腰直角三角形三条边的垂直平分线的交点在斜边AC的中点O处,即可举出反例,从而使本题解答. 【经典例题八 逻辑推理与论证】 【例1】（24-25七年级下·山东济南·自主招生）甲、乙、丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么，整个比赛的第10局的输方（    ） A．必是甲 B．必是乙 C．必是丙 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据丙共当裁判8局，因此，甲乙打了8局；甲共打了12局，因此，丙甲共打了4局，利用乙共打了21局，因此，乙丙打了13局．因此，共打了25局，那么，甲当裁判13局，乙当裁判4局，丙当裁判8局，由于实行擂台赛形式，因此，每局都必须换裁判；即，某人不可能连续做裁判．因此，甲做裁判的局次只能是：1、3、5、…、23、25；由于第11局只能是甲做裁判，显然，第10局的输方，只能是甲，据此即可判定． 【详解】解：根据题意，知丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛， 又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局， 三个人之间总共打了(8+4+13)=25局， 考查甲，总共打了12局，当了13次裁判，所以他输了12次． 所以当n是偶数时，第n局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了推理论证，要首先能够判断出比赛的总场数以及三人各自当裁判的次数，然后根据甲当的裁判次数和总的场数进行分析求解． 【例2】（24-25七年级下·广东江门·自主招生）小明说：“我年龄肯定最小”；小红说：“我不是年龄最小的那个人”；小张说：“我年龄不是最小，但也不是最大的”；小李说：“只有我是年龄最大的”．若四人的年龄各不相同，但仅有一人说错，则四人中年龄最大的是 ． 【答案】小红 【分析】本题考查了逻辑推论，注重对问题条件的分析，寻找矛盾是解题的关键，运用假设，得出矛盾的结论，则结论就是假设的反面，再结合排除法来解答即可． 【详解】解：假设小明说错，则小明不是年龄最小的，其余三人说的是对的，即是小红不是年龄最小的，小张不是年龄最小的，小李是年龄最大的，不是年龄最小的，从而没有年龄最小的，与四人的年龄各不相同，存在年龄最小的相矛盾，所以小明说的是正确的，小明年龄最小； 假设小红说的是错的，则小红是年龄最小的，这与小明年龄最小相矛盾，所以小红说的是对的，小红不是年龄最小的； 假设小张说的是错的，另根据小明年龄最小，则小张年龄最大，且小李说的对的，于是小张年龄最大与小李年龄最大相矛盾，所以小张说的是对的，小张年龄不是最大，也不是最小； 由前三人说的是对的可得小李说的是错的，则小李年龄不是最大的； 综上可得小红年龄是最大的， 故答案为：小红． 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）图书馆为将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（i，j为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找关键词，，，则下列相关表述错误的是（    ） A．当时，只需要选择这本书就可以找到所有的关键词 B．当时，从这本书查不到需要的关键词 C．当a2j，a5j，a6j全是1时，可以从这本书查到需要的关键词 D．当时，从这本书一定查不到需要的关键词 【答案】B 【分析】根据题意aij的值要么为1，要么为0，当关键词Ai出现在书Bj中时，元素aij=1，否则aij=0（i，j为正整数），按照此规定对每个选项分析推理即可． 【详解】解：根据题意aij的值要么为1，要么为0， A、a21+a51+a61=3，说明a21=1，a51=1，a61=1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书B1中， 而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“A2，A5，A6”的书，故A表述正确； B、当a22+a52+a62＜3时，则a22、a52、a62是必有值为0的，即关键词“A2，A5，A6”不同时具有， 从而不选择B2这本书，故B表述错误； C、当a2j，a5j，a6j全是1时，则a2j=1，a5j=1，a6j=1，故关键词“A2，A5，A6”同时出现在书Bj中， 则选择Bj这本书，故C表述正确； D、根据前述分析可知，只有当a22+a52+a62=3时，才能选择B2这本书，而a22+a52+a62的值可能为0、1、2、3， 故D表述正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键． 2．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）某送货员负责为A～E五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如下表所示： 商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件） A 15 6 B 10 5 C 8 5 D 4 7 E 13 4 （1）如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 （写商场编号）； （2）在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 （写商场编号）． 【答案】 A、B、C或A、B、E或A、C、E或A、D、E，（一种即可）； A、B、E 【分析】本题考查了数据分析，逻辑推理和方案选择能力，理解题目要求计算出每个组合，并计算出收益，然后选择最优方案是解题的关键； （1）根据三个商场送甲种货物，送乙种货物，分组列举求解即可； （2）分别计算出每组满足方案的收益，再比较，选择收益最多的，即可． 【详解】已知有A、B、C、D、E五个商场，送货员一个上午最多前往三个商场，要满足最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，列出所有满足条件的组合， 组合一：A、B、C 甲种货物数量：（件），，满足甲种货物数量要求． 乙种货物数量：（件），，满足乙种货物数量要求． 组合二：A、B、D 甲种货物数量：（件），，不满足甲种货物数量要求，舍去． 组合三：A、B、E 甲种货物数量：（件），，满足甲种货物数量要求． 乙种货物数量：（件），，满足乙种货物数量要求． 组合四：A、C、D 甲种货物数量：（件），，不满足甲种货物数量要求，舍去． 组合五：A、C、E 甲种货物数量：（件），，满足甲种货物数量要求． 乙种货物数量：（件），，满足乙种货物数量要求． 组合六：A、D、E 甲种货物数量：（件），，满足甲种货物数量要求． 乙种货物数量：（件），，满足乙种货物数量要求． 组合七：B、C、D 甲种货物数量：（件），，不满足甲种货物数量要求，舍去． 组合八：B、C、E 甲种货物数量：（件），，满足甲种货物数量要求． 乙种货物数量：（件），，不满足乙种货物数量要求，舍去． 组合九：B、D、E 甲种货物数量：（件），，不满足甲种货物数量要求，舍去． 组合十：C、D、E 甲种货物数量：（件），，不满足甲种货物数量要求，舍去． 综上，满足条件的组合有A、B、C；A、B、E；A、C、E；A、D、E 故答案为：A、B、C或A、B、E或A、C、E或A、D、E，（一种即可）； （2）由（1）得满足条件的组合有A、B、C；A、B、E；A、C、E；A、D、E，四种，收益为： 组合：A、B、C 收益：甲种货物收益为元，乙种货物收益为元，总收益为元． 组合： A、B、E 收益：甲种货物收益为元，乙种货物收益为元，总收益为元． 组合：A、C、E 收益：甲种货物收益为元，乙种货物收益为元，总收益为元． 组合：A、D、E 收益：甲种货物收益为元，乙种货物收益为元，总收益为元． 综上，满足条件的组合A、B、C；A、B、E；A、C、E；A、D、E，其收益分别为65元、68元、66元、66元．其中收益最大的组合是A、B、E． ∴他的最优方案是前往A、B、E商场收益最大， 故答案为∶A，B，E． 3．（24-25七年级下·北京·自主招生）某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 【答案】甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672 【分析】根据所给的真假话条件以及楼层奇偶性条件，通过假设甲说真话来逐步推导每个人下电梯的顺序和对应的楼层，进而得出甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数． 本题考查了逻辑推理问题的应用，充分利用题干条件：4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯是解题的关键． 【详解】解：假设甲说真话并推导相关信息： 若甲说的是真话，那么甲是第二个下电梯的，且因为“4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯”，所以甲在奇数楼层，同时甲说“乙说的是假话”，即乙说的是假话； 因为乙说的是假话，而丙说“乙说的确实是假话”，所以丙说的是真话，那么丙是最后一个下电梯的，且丙在奇数楼层； 由于甲丙说的是真话，所以乙和丁说的是假话．因为乙说“我将是最先下电梯的”是假的，所以乙不是最先下电梯的，那么丁是最先下电梯的． 又因为乙和丁说假话，所以乙和丁都在偶数楼层下电梯，所以丁在2层或4层． 确定每个人可能所在的楼层范围： 因为甲是第二个下电梯且在奇数层，所以甲在3层或5层； 因为乙是第三个下电梯且在偶数层，所以乙在4层或6层； 因为丙是最后一个下电梯且在奇数层，所以丙在5层或7层． 根据假话内容进一步分析： 因为乙和丁始终说假话，所以乙说“没有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即有人和乙在相邻楼层下电梯； 丁说“有人和我在相邻楼层下电梯”是假的，即没有人和丁在相邻楼层下电梯． 分情况讨论丁所在楼层： 若丁在2层，为了满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯，此时甲可以在5层，乙在6层，丙在7层，这种情况是合理的； 若丁在4层，若甲在5层，此时乙无论在6层还是其他偶数层，都无法满足有人和乙在相邻楼层下电梯且没有人和丁在相邻楼层下电梯的条件，所以这种情况无法成立． 综上，甲在5层，乙在6层，丙在7层，丁在2层． 即甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 答：甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是5672． 【拓展训练一 构造反例】 【例1】（24-25七年级下·山东济宁·期末）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据有理数的大小比较法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， ∴命题“若，则”是假命题， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的知识，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【例2】（24-25七年级下·山西·期末）证明“若，则．”是假命题，可举出反例： ． 【答案】答案不唯一，例如当，但 【分析】可根据、的正负性来考虑即可，例如用、来进行判断即可． 【详解】反例：取，，有，但． 故答案为：，，，但． 【点睛】本题考查了命题与定理，举反例说明说明命题是假命题时，在选取反例时要注意遵循这一原则：反例的选取一定要满足所给命题的题设要求，而不能满足命题的结论． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）请你举出一个反例，说明命题“相等的角是对顶角”是假命题（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）． 【答案】见解析 【详解】如图，，但是与不是对顶角． 故“相等的角是对顶角”是假命题 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 【答案】(1)2是偶数，但2不是4的整数倍（答案不唯一） (2)是有理数，但不是正数（答案不唯一） (3)角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角．（答案不唯一） 【分析】本题考查了命题，证明命题为假命题，通常用反例说明，此反例满足命题的题设，但不满足命题的结论．据此判断即可． 【详解】（1）解：偶数，，不是整数，所以不是的整数倍，说明“任何偶数都是的整数倍”是假命题． 所以反例为：2是偶数，但2不是4的整数倍； （2）解：当时，，是负数，不是正数，说明“对于任意有理数，代数式的值总是正数”是假命题． 所以反例为：是有理数，但不是正数； （3）解：在角平分线分成的两个角，它们有公共顶点且相等，但不是对顶角，说明“有公共顶点且相等的角是对顶角”是假命题． 所以反例为：角平分线分成的两个角，有公共顶点且相等，但不是对顶角． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内． 请你根据下列要求从①，②，③，④中选择三项，其中两项作为条件，另一项作为结论写出命题（用“如果……，那么……”的形式） (1)写出一个真命题． (2)写出一个假命题，并举出反例． 【答案】(1)选择②③作为条件，①作为结论，如果，那么 (2)选择②③作为条件，④作为结论．如果，那么． 反例：如图．如果，那么． 【分析】（1）根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，即可确定选择的条件和结论． （2）根据图形及平行线的判定，平面内，两条直线都跟同一条直线垂直，这两条直线不可能垂直，即可解决写出假命题的问题． 【详解】（1）解：选择作为条件，作为结论， 如果，，那么． （2）解：选择作为条件，作为结论， 如果，，那么． 反例：如图，如果，，那么． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及命题的真假判断等知识点，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键，这些定理是判断由条件能否推出结论，从而确定命题真假的核心依据． 【拓展训练二 多条件命题推理证明】 【例1】（2025·河北石家庄·模拟预测）探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（    ） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式求解，然后根据各种说法的条件逐项验证即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程根的判别式为：， 甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意； 乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意； 综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程有实数根的条件，根据题中所给条件，结合一元二次方程根的判别式讨论是解决问题的关键． 【例2】（24-25七年级下·北京西城·期中）某校举办数学节活动，其中一项活动环节是进活动室门需要先破译密码．根据下面四个已知条件，推断正确密码是 ． ①只有两个汉字正确且位置正确； ②只有两个汉字正确但位置都不正确； ③只有三个汉字正确但位置都不正确； ④四个汉字都不正确． 【答案】北京学校 【分析】本题考查逻辑推理，结合①②④可确定第二、第四个字分别为“京”“校”，结合③④确定另外两个字及位置，即可求解． 【详解】解：由①②可得，没有“市”字， 由④可得，没有“一”字， 结合①可得，第二、第四个字分别为“京”“校”， 结合③④可得，有“学”“校”“北”三个字，且“北”字不是左边数第三个字， 综上可得，从左到右四个字分别为：北，京，学，校． 推断正确密码是：北京学校， 故答案为：北京学校． 1．（25-26七年级下·河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)证明过程见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．解题时一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①； （2）命题一证明：根据得到，接着得到即可证明；命题二证明：根据得到，接着由得到即可证明；命题三证明：根据得到，接着得到即可证明． 【详解】（1）解：命题一：已知①②，求证：③； 命题二：已知①③，求证：②； 命题三：已知②③，求证：①； （2）命题一：已知①②，求证：③ 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题二：已知①③，求证：② 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题三：已知②③，求证：① 证明：， ， ． ， ， ， ． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 3．（24-25七年级下·四川广元·期末）如图，已知，，现有3个条件：①；② ；③． (1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是______，结论是______；（填序号） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程． 【答案】(1)①，③或③，① (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是③；或者选择的条件是③，结论是①； （2）解：选择的条件是①，结论是③，证明如下： ∵（已知）， ∴（垂线的定义）， ∴（余角的定义）， ∵，（已知）， ∴（等量代换）， ∴（等角的余角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）； 选择的条件是③，结论是①，证明如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（垂线的定义）， ∴（余角的定义）， ∴（等量代换） ∵（已知）， ∴（等角的余角相等）． A基础训练 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 【答案】D 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断. 【详解】解：A、作线段为描述性语言，不是命题； B、今天的天气好吗？语句为疑问句，不是命题； C、连接、两点为描述性语言，不是命题； D、同角的余角相等，是命题， 故选：D. 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可. 2．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，已知，直线与直线有公共点，命题“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角的概念、平行线的性质对每个选项进行一一判断即可． 【详解】A．∵， ∴， ∴此命题不符合题意； B．∵与虽然是内错角，但与不平行， ∴． ∴此命题符合题意； C．∵与是同旁内角，不是内错角， ∴此命题不符合题意； D．∵与是同旁内角，不是内错角， ∴此命题不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查了内错角、平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质． 3．（2025七年级·全国·模拟预测）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． 5．（2025·湖南长沙·一模）某次素养竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这五道题的得分情况： 题号 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 得分 甲 C A B C B 4 乙 C B B C C 3 丙 C C B B B 2 丁 C C B B A 则丁同学的得分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，进而得出正确选项，即可得出结论， 此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键． 【详解】解：解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对， 针对于乙来看，第1，2，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错了第2题，那么其余四道全对， 针对于丙来看，第1，3，5道选对了，至少得分为3分，而丙得分2分，所以，此种情况不符合题意， 当甲选错第3题时，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙的得分是3分，此种情况不符合题意， 当甲选错第4题，那么其余四道都对， 针对于乙来看，第2，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意， 故甲选错第5题，第5题选B错误，其余各题均选对，据此，乙前4题选对了第1，3，4题，得3分，因此乙选C错误， 因为每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的， 所第5题正确答案为A， 所以五道题的正确选项分别是：，对照丁的答案可得丁选对了第1，2，5题，得3分， 故选：． B 提高训练 6．（24-25七年级下·广东东莞·期中）把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为： 【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 【详解】解：把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 ． 7．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）能说明命题“如果，那么”是假命题的n的值可以是 ．（只写一个） 【答案】0 【分析】本题考查了举反例判断假命题．只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题． 【详解】解：当时，符合条件， 但， ∴命题“如果，那么”是假命题, 故答案为：0（答案不唯一）． 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 【答案】C，A，D，B 【分析】因为三人都猜对了一半，假设甲说的前半句正确，来看看后面的说法有没有矛盾，有矛盾就是错误的没矛盾就是正确的． 【详解】解：①假设甲说的：C是亚军正确，则他说D是季军错误， 于是乙说：D是殿军正确，则乙说的A得亚军就错误， 故丙说：B得亚军正确，与假设甲说的：C是亚军正确互相矛盾， 所以：甲说的：C是亚军错误； ②假设甲说的：C是亚军错误，则他说D是季军正确， 于是乙说：D是冠军错误，则乙说的A得亚军就正确， 故丙说：B得亚军错误，C是冠军正确； 没有矛盾， 故：冠，亚，季，殿军分别为：C，A，D，B． 故答案为：C，A，D，B． 【点睛】本题主要考查了推理能力，往往假设一个正确或错误，来推看看有没有矛盾． 9．（24-25七年级下·福建厦门·期末）数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是数字类的逻辑推理，利用规则进行列表，从而可得答案. 【详解】解：五人依次记为，从开始报数： 如下表： （小明） （小华） 第一轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第二轮 拍手 报数 报数 拍手 报数 第三轮 报数 拍手 拍手 报数 拍手 第四轮 报数 报数 拍手 报数 报数 第五轮 拍手 报数 拍手 拍手 报数 第六轮 报数 拍手 报数 报数 报数 ∵小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．” ∴游戏结束时对应的数字是； 故答案为： 10．（25-26七年级下·北京·月考）为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初三（6）班举办了“古诗词”大赛，现有小中，小雅，小双三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分均分别为a，b，c，（且a，b，c均为正整数），选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据所给信息， ，判断小中同学共得到了 轮第一名． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小中 a a 27 小雅 a b c 11 小双 c b 10 【答案】 5 5 【分析】本题考查逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系，抓住第二轮比赛情况是解题关键．根据三位同学的最后得分情况列出关于a，b，c的等量关系式，然后结合且a，b，c均为正整数确定a，b，c的值，从而确定小中同学共得到了几轮第一名． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵a，b，c均为正整数， 若每轮比赛第一名得分a为4，则最后得分最高的为， ∴a必大于4， 又∵， ∴最小取3， ∴， ∴，，， ∵小中同学最后得分27分， ∴他5轮第一，1轮第二． 故答案为：5，5． C 培优训练 11．（24-25七年级·全国·假期作业）举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题． 【答案】证明见解析 【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可． 【详解】证明：两个不相等的角互为补角， 这两个角一个角大于，一个角小于， 即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题. 【点睛】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 【答案】见解析 【详解】如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直． 题设：两条射线分别是邻补角的角平分线； 结论：它们互相垂直．是真命题； 如图，，是邻补角，，分别平分，． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn． （1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题? （2）写出一个真命题，并证明． 【答案】（1）3个；（2）见解析 【分析】（1）直接利用命题的定义进而得出答案； （2）结合平行线的判定与性质分别分析得出答案． 【详解】（1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②． （2）以上3个命题都是真命题． (i)∵∠AFE=∠FED， ∴b∥c， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∵∠BAC=∠BDC， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∴m∥n； (ii)∵∠AFE=∠FED， ∴b∥c， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∵m∥n， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∴∠BAC=∠BDC； (iii)∵m∥n， ∴∠ABD+∠BDC=180°， ∵∠BAC=∠BDC， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∴b∥c， ∴∠AFE=∠FED． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，正确掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 14．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 【答案】(1)①②，③或②③，①或①③，② (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）根据平行直线的性质和判断即可得到答案； （2）根据平行直线的性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，再结合平行直线的判断方法，即可证得． 【详解】（1）解：①选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ②选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； ③选择作为题设的条件是，，作为结论的条件是； （2）解：①如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如果，，那么； 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ③如果，，那么； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（2025·山东潍坊·一模）【问题提出】 甲、乙两人轮流从一堆石子中取石子，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始石子总数为n，探究先手或后手必胜的策略． 【问题探究】 （1）基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，填写下表并总结规律： 石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 先手是否有必胜的策略 是 是 否 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （2）扩展情形分析：若每次最多取3颗（）． 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略． 当时，先手第一次取______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 【问题解决】 当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择______（先手或后手），你的必胜策略是什么？ 【问题拓展】 若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取______颗以确保必胜． 【答案】 问题探究：（1）是，是，否，是，；（2），；（3） 问题解决：先手，具体策略为先手第一次取颗，后面每次都与后手和为，则先手必胜； 问题拓展： 【分析】本题考查逻辑推理，以及找规律，解题的关键在于根据基础情形逐步扩展到一般情况． 问题探究：（1）分析涉及表格每个数字是否先手有必胜的策略，找到规律即可． （2）利用（1）中规律求解即可； （3）利用（1）和（2）中规律求解即可； 问题解决：利用（3）的结论求解即可． 问题拓展：先手第一次取完后，留下是的倍数即可先手必胜． 【详解】解：问题探究：（1）当时，先手取1颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜； 当时，先手取2颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜； 当时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为，即可后手必胜； 当时，先手取1颗，后面每次都与后手和为，即可先手必胜； ∴填写下表并总结规律： 石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 先手是否有必胜的策略 是 是 否 是 是 否 是 结论：当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 故答案为：是，是，否，是，； （2）当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略． 当时，先手第一次取1颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 故答案为：，； （3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为的倍数时，不管先手取多少，后手每次都与先手和为，则后手必胜，即后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 故答案为：； 问题解决：∵， ∴选择先手可以必胜，具体策略为先手第一次取颗，后面每次都与后手和为，则先手必胜． 故答案为：先手； 问题拓展：若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取颗，后面不管后手怎么取都可以保证先手获胜． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 定义、命题、定理重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 定理与证明 题型六 举反例 题型七 以几何、代数为背景的推理与论证 题型八 逻辑推理与论证 拓展训练一 构造反例 拓展训练二 多条件命题推理证明 知识点一：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列属于定义的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．同角或等角的余角相等 C．点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度 D．两直线平行，内错角相等 2．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 知识点二：证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·山西晋中·期中）在证明“三角形中必有一个内角小于或等于”时先假设每一个内角都大于，然后，…，这种证明方法是（    ） A．综合法 B．举反例法 C．数学归纳法 D．反证法 2．（24-25七年级下·全国·课前预习）证明： 的过程称为证明． 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（24-25七年级下·四川南充·月考）下列命题中真命题是（    ） A．同位角相等 B．两点之间，线段最短 C．相等的角是对顶角 D．互补的角是邻补角 【例2】（24-25七年级下·吉林长春·期中）命题“两个锐角的和是直角”是 命题（填“真”或“假”）. 1．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）下列语句是命题的为（　　） A．作直线AB的垂线 B．同角的余角相等吗？ C．延长线段AO到C，使OC＝OA D．两直线相交，只有一个交点 2．（24-25七年级下·全国·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数； ； （2）两个锐角的和是钝角； ； （3）画两个相等的角； ； （4）同旁内角互补； ； （5）所有的质数都是奇数吗？ ； （6）两条直线相交，只有一个交点． ， 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2—10n的值都是负数．于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2-10n的值都是负数．判断小明的猜想是真命题还是假命题，并说明你的理由． 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 【例1】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）“两条直线相交只有一个交点”的题设是（ ） A．两条直线 B．相交 C．只有一个交点 D．两条直线相交 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）命题“周长相等的两个三角形的面积相等”的条件是 ，结论是 ．该命题的逆命题是 ，这个逆命题是 命题． 1．（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式，正确的是 A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．如果两个角是对顶角，那么它们相等 C．如果对顶角，那么相等 D．如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）“同一平面内，若a⊥b，c⊥b，则a∥c”这个命题的条件是 ，结论是 ，这个命题是 命题． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）把下列命题改成“如果…那么…”的形式． (1)不相交的两条直线是平行线 (2)相等的两个角是对顶角 (3)经过一点有且只有一条垂线 (4)直角都相等． 【经典例题三 判断命题真假】 【例1】（25-26七年级下·浙江湖州·期中）对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【例2】 （25-26七年级下·甘肃甘南·月考）命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题是 命题.（填“真”或“假”） 1．（25-26七年级下·河北石家庄·月考）下列命题内错角相等，两直线平行；若，则；末位数字是的数，能被整除；对顶角相等．原命题和逆命题均是真命题的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2025七年级下·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 3．（25-26七年级上·上海·假期作业）判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (2)如果，那么； (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零； (4)如果，那么，． 【经典例题四 举例说明假（真）命题】 【例1】（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【例2】（25-26七年级下·浙江绍兴·月考）可以用来说明“，则”是假命题的反例是 ． 1．（24-25七年级下·河南鹤壁·期中）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为 时，不是一个素数． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）请举反例说明下列命题是假命题： (1)相等的角是直角． (2)如果，那么． (3)如果，那么是钝角． 【经典例题五 定理与证明】 【例1】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列能作为证明依据的是(     ) A．已知条件 B．定义和基本事实 C．定理和推论 D．以上三项都可以 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）用 的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 1．（24-25七年级下·江苏南京·月考）有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 2．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 3．（24-25七年级下·全国·单元测试）“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 【经典例题六 举反例】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知命题A：“任何偶数都是8的整数倍”．在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例的是（   ） A．16 B．15 C．24 D．42 【例2】 （24-25七年级下·全国·单元测试）要说明命题“若a·b＝0，则a＋b＝0”是假命题，可举反例 ． 1．（2025·安徽合肥·三模）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例，反例中的可以为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25七年级下·北京·期中）能说明“如果，那么”是假命题的反例是： ， ． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）指出题中的假命题，并举反例说明． (1)已知点P到，两点的距离，之和等于线段的长，则点P在线段上． (2)已知点P到，两点的距离，之和大于线段的长，则点P在直线上． (3)当时，有． (4)当时，有． 【经典例题七 以几何、代数为背景的推理与论证】 【例1】（24-25七年级·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 1．（24-25七年级上·湖北鄂州·期末）在甲组图形的四个图中，每个图是由四种图形A，B，C，不同的线段或圆中的 某两个图形组成的，例如由A，B组成的图形记为，在乙组图形的，，，四个图形中，表示“”和“”的是　　 A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·浙江·月考）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有 ，一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母） 3．（24-25七年级·全国·课后作业）如图所示，通过画图可知：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是可得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，这个结论正确吗？          【经典例题八 逻辑推理与论证】 【例1】（24-25七年级下·山东济南·自主招生）甲、乙、丙3人用擂台赛形式进行训练，每局2人进行单打比赛，另1人当裁判，每一局的输方当下一局的裁判，由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了12局，乙共打了21局，而丙共当裁判8局．那么，整个比赛的第10局的输方（    ） A．必是甲 B．必是乙 C．必是丙 D．不能确定 【例2】（24-25七年级下·广东江门·自主招生）小明说：“我年龄肯定最小”；小红说：“我不是年龄最小的那个人”；小张说：“我年龄不是最小，但也不是最大的”；小李说：“只有我是年龄最大的”．若四人的年龄各不相同，但仅有一人说错，则四人中年龄最大的是 ． 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）图书馆为将某一本书和某一个关键词建立联系，规定：当关键词出现在书中时，，否则（i，j为正整数）．例如：当关键词出现在书中时，，否则．根据上述规定，某读者去图书馆寻找关键词，，，则下列相关表述错误的是（    ） A．当时，只需要选择这本书就可以找到所有的关键词 B．当时，从这本书查不到需要的关键词 C．当a2j，a5j，a6j全是1时，可以从这本书查到需要的关键词 D．当时，从这本书一定查不到需要的关键词 2．（24-25七年级下·北京门头沟·期末）某送货员负责为A～E五个商场送货，每送一件甲种货物可收益1元，每送一件乙种货物可收益2元，某天五个商场需要的货物数量如下表所示： 商场 需甲种货物数量（件） 需乙种货物数量（件） A 15 6 B 10 5 C 8 5 D 4 7 E 13 4 （1）如果送货员一个上午最多前往三个商场，且要求他最少送甲种货物30件，最少送乙种货物15件，写出一种满足条件的送货方案 （写商场编号）； （2）在（1）的条件下，如果送货员想在上午达到最大的收益，写出他的最优送货方案是 （写商场编号）． 3．（24-25七年级下·北京·自主招生）某居民楼共有8层，电梯在1层时刚好进来了4个人，他们互相都认识，且都准备上楼分别去往4个互不相同的楼层，4人之间开启了一段有趣的对话： 甲：“我是第二个下电梯的，乙说的是假话．” 乙：“我将是最先下电梯的，并且没有人和我在相邻楼层下电梯．” 丙：“我将是最后一个下电梯的，乙说的确实是假话．” 丁：“我是第三个下电梯的，乙才是最后一个下电梯的，并且有人和我在相邻楼层下电梯．” 如果4个人之中有两人始终说真话，他们刚好都在奇数楼层下电梯，而另两人始终说假话，他们刚好都在偶数楼层下电梯．那么甲乙丙丁依次去往的楼层所组成的四位数是多少？ 【拓展训练一 构造反例】 【例1】（24-25七年级下·山东济宁·期末）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25七年级下·山西·期末）证明“若，则．”是假命题，可举出反例： ． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）请你举出一个反例，说明命题“相等的角是对顶角”是假命题（要求：画出相应的图形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）举反例说明下列命题是假命题． (1)任何偶数都是4的整数倍； (2)对于任意有理数x，代数式的值总是正数； (3)有公共顶点且相等的角是对顶角． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内． 请你根据下列要求从①，②，③，④中选择三项，其中两项作为条件，另一项作为结论写出命题（用“如果……，那么……”的形式） (1)写出一个真命题． (2)写出一个假命题，并举出反例． 【拓展训练二 多条件命题推理证明】 【例1】（2025·河北石家庄·模拟预测）探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（    ） A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确 【例2】（24-25七年级下·北京西城·期中）某校举办数学节活动，其中一项活动环节是进活动室门需要先破译密码．根据下面四个已知条件，推断正确密码是 ． ①只有两个汉字正确且位置正确； ②只有两个汉字正确但位置都不正确； ③只有三个汉字正确但位置都不正确； ④四个汉字都不正确． 1．（25-26七年级下·河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 3．（24-25七年级下·四川广元·期末）如图，已知，，现有3个条件：①；② ；③． (1)请在上述3个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是______，结论是______；（填序号） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程． A基础训练 1．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列选项是命题的是（    ） A．作直线 B．今天的天气好吗？ C．连接、两点 D．同角的余角相等 2．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，已知，直线与直线有公共点，命题“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025七年级·全国·模拟预测）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 4．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 5．（2025·湖南长沙·一模）某次素养竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A，B，C三个选项中，只有一个是正确的．如表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题选择的答案和这五道题的得分情况： 题号 第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 得分 甲 C A B C B 4 乙 C B B C C 3 丙 C C B B B 2 丁 C C B B A 则丁同学的得分是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 B 提高训练 6．（24-25七年级下·广东东莞·期中）把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为： 7．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）能说明命题“如果，那么”是假命题的n的值可以是 ．（只写一个） 8．（24-25七年级下·全国·单元测试）某中学七年级共有四个班，每班各选5名同学组成一个代表队，这四支代表队（分别用A，B，C，D表示）进行数学知识应用竞赛，前三名将参加数学知识竞赛，甲，乙，丙三位同学预测的结果分别为：甲：C得亚军；D得季军；乙：D得冠军；A得亚军；丙：C得冠军；B得亚军．已知每人的预测都是半句正确，半句错误，则冠，亚，季，殿军分别为 ． 9．（24-25七年级下·福建厦门·期末）数学游艺会上有一项“手脑并用”游戏，其规则是：五人一组如图围成一圈，第一个同学从1开始，依次循环报数，遇到“3的倍数”或“含数字3”则只拍手不报数；若有人违反规则，则游戏结束．某次游戏结束时，每个人都有拍手也有报数，每一轮（5个数）都有人拍手有人报数．小明：“我拍手的次数比别人都多，还好我没有犯错．”小华：“我拍手的次数比别人都少，我也没有犯错．”则游戏结束时对应的数字是 ． 10．（25-26七年级下·北京·月考）为了传承中华文化，激发学生的爱国情怀，提高学生的文学素养，某学校初三（6）班举办了“古诗词”大赛，现有小中，小雅，小双三位同学进入最后的冠军角逐，决赛共分为六轮，规定：每轮分别决出第1，2，3名（没有并列），对应名次的得分均分别为a，b，c，（且a，b，c均为正整数），选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军．如表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况，根据所给信息， ，判断小中同学共得到了 轮第一名． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 第六轮 最后得分 小中 a a 27 小雅 a b c 11 小双 c b 10 C 培优训练 11．（24-25七年级·全国·假期作业）举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题． 12．（24-25七年级下·全国·课后作业）把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题． 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，直线a，b，c被直线m，n所截，已知条件①∠BAC=∠BDC；②∠AFE=∠FED；③mn． （1）从①②③中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出多少个命题? （2）写出一个真命题，并证明． 14．（24-25七年级下·贵州遵义·期中）如图，有如下三个论断：①，②，③．请以其中2个条件为题设，另1个条件为结论构成一个真命题． (1)你选择作为题设的条件是______；作为结论的条件是______．（填序号） (2)请证明你选择的命题． 15．（2025·山东潍坊·一模）【问题提出】 甲、乙两人轮流从一堆石子中取石子，规定每次至少取1颗，最多取m颗，取到最后一颗者获胜．设初始石子总数为n，探究先手或后手必胜的策略． 【问题探究】 （1）基础情形验证：当每次最多取2颗（）时，填写下表并总结规律： 石子总数（n） 1 2 3 4 5 6 7 先手是否有必胜的策略 是 是 否 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （2）扩展情形分析：若每次最多取3颗（）． 当时，先手取1颗（或2颗或3颗），后手相应可取3颗（或2颗或1颗）．因此后手有必胜的策略． 当时，先手第一次取______颗，可迫使后手陷入必输状态． 结论：当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． （3）数学归纳猜想：若每次最多取m颗（），当n为______的倍数时，后手有必胜的策略，否则先手有必胜的策略． 【问题解决】 当，时，你来参与游戏，为确保必胜，你应选择______（先手或后手），你的必胜策略是什么？ 【问题拓展】 若规则改为每次至少取2颗（最后一次可取1颗），最多取4颗，其余策略不变．当时，先手第一次应取______颗以确保必胜． 学科网（北京）股份有限公司 $