专题01 一元一次不等式重难点题型专训（3知识点+11大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（人教版）

该初中数学一元一次不等式专题复习讲义通过“3个核心知识点-11大基础题型-4类拓展训练”的三级框架构建知识体系，以表格梳理不等式概念、性质及解法步骤，用经典例题串联知识点内在逻辑，重点标注性质应用和含参问题等易错点，体现数学眼光中的抽象能力与几何直观。 讲义亮点在于分层训练与情境化设计，如用BMI指数、购物优惠等实际问题培养模型意识，新定义运算题型提升推理能力，A基础、B提高、C培优训练满足不同学生需求，配套即时检测帮助学生自主查漏，教师可据此实施精准分层教学，助力学生用数学思维解决问题。

专题01 一元一次不等式重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 在数轴上表示不等式的解集 题型七 求一元一次不等式的整数解 题型八 求一元一次不等式解的最值 题型九 列一元一次不等式 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 题型十一 用一元一次不等式解决几何问题 拓展训练一 不等式变形问题 拓展训练二 含参数不等式计算 拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算 拓展训练四 一元一次不等式实际综合应用 知识点一：不等式的有关概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个不等式所有解的全体。 解不等式：求不等式解集的过程 【即时训练】 1．（25-26七年级下·新疆昌吉·期中）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴、，该选项错误． 、，该选项正确． 、，该选项错误． 、，该选项错误． 2．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）用不等号填空：若，且，则__________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，两边同时乘以或除以一个正数，不等式方向不变，两边同时乘以或除以一个负数，不等式方向改变即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 知识点二：不等式的三条基本性质（重中之重） 不等式两边加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若由可得，则x的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】解：∵由可得， ∴， ∴x的值可以是． 2．（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）若，则__________（填“”或“”）． 【答案】 【分析】根据不等式两边同时乘以同一个负数时不等号方向改变的性质即可求解． 【详解】解：，不等式两边同时乘以，不等号方向改变， ． 知识点三：解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （3）移项； 移项时不要忘记变号； （4）合并同类项； （5）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【即时训练】 1．（2026·福建三明·二模）将不等式的解集在数轴上表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式解集，再表示在数轴上即可． 【详解】解：不等式 解得：， 在数轴上表示如下： 故选：C． 2．（2026·福建宁德·一模）不等式的解集是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式，按照解一元一次不等式的基本步骤计算即可得到解集． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义，判断每个式子是否含有不等号（如），统计符合的个数即可求解； 【详解】解：①是等式，不含不等号，不属于不等式； ②含有，属于不等式； ③是多项式，不含不等号或等号，不属于不等式； ④含有，属于不等式； ⑤含有，属于不等式； 综上，属于不等式的有②、④、⑤，共3个； 故选：B 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数：______________； （2）与的积小于7：______________； （3），两数的平方和大于10：______________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】解：（1）的4倍与3的差是正数：， 故答案为：． （2）与的积小于7：， 故答案为：． （3），两数的平方和大于10：， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·山西晋中·期中）自2024年起，国家卫健委启动实施“体重管理年”活动．体重指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个常用标准，计算公式是．如图，14岁男生不低于26.1为肥胖，则14岁男生肥胖时BMI满足的不等关系为（   ） 13～15岁学龄儿童青少年年龄别BMI筛查超重与肥胖界值  单位为 年龄（岁） 男生 女生 超重 肥胖 超重 肥胖 25.2 22.2 25.0 21.9 25.7 22.6 25.6 22.3 26.1 22.8 25.9 22.6 26.4 23.0 26.3 22.9 26.6 23.2 26.6 引自：《学龄儿童青少年超重与肥胖筛查）（WST586-2018） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用不等式表示， 根据不低于用“”表示即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：C． 2．（24-25七年级下·重庆九龙坡·月考）五一节为吸引顾客，某商场举办千元现金返现活动．顾客只要购买一定金额的商品后就可以获得一次抽奖机会．抽奖箱里有三张奖券，分别标有一等奖，二等奖，三等奖．抽到一等奖返现30元，二等奖返现20元，三等奖返现10元．三天后商场对抽奖活动进行了统计．统计如下：五月2号抽到一等奖的次数是五月一号的3倍，抽到二等奖的次数是五月一号的2倍，抽到三等奖的次数是五月一号的4倍．五月3号抽到一等奖的次数与五月一号相同，抽到二等奖的次数是五月一号的4倍，抽到三等奖的次数是五月一号的2倍．三天下来，商场返现的总金额刚好1000元，五月3号的返现金额比五月一号多220元，则五月2号的返现金额是______元． 【答案】460 【分析】设五月一号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、b、c，可得二号和三号的一等奖、二等奖、三等奖的次数，根据返现金额关系列出方程组，化为二元一次方程并求得方程的整数解即可； 【详解】解：设五月一号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、b、c， 则五月一号返现金额=30a+20b+10c， 五月二号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为3a、2b、4c， 则五月二号返现金额=90a+40b+40c， 五月三号一等奖、二等奖、三等奖的次数分别为a、4b、2c， 则五月三号返现金额=30a+80b+20c， 由题意得：， c=22-6b代入15a+14b+7c=100得： b=， ∵150a≤1000，且a为整数， ∴a=0，1，2，3，4，5，6， 将a的值代入，仅当a=2时，b=3为整数， ∴c=22-18=4， ∴五月二号返现金额=90×2+40×3+40×4=460元， 故答案为：460； 【点睛】本题考查了二元一次方程的整数解，不等式的应用；掌握二元一次方程整数解的求法是解题关键． 3．（2025七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【答案】(1) (2)设炮弹的杀伤半径为r，则应有 (3)设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有 (4)用P表示明天下雨的可能性，则有 (5)设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有 【分析】（1）非正数用“”表示； （2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”来表示； （3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示； （5）不比小刚轻，就是与小刚一样重或者比小刚重．用“≥”表示． 【详解】（1）； （2）设炮弹的杀伤半径为r，则应有； （3）设每件上衣为a元，每条长裤是b元，应有； （4）用P表示明天下雨的可能性，则有； （5）设小明的体重为a千克，小刚的体重为b千克，则应有． 【点睛】本题考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠． 【经典例题二 不等式的性质】 【例1】（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A：不等式两边同时减10，得，故A错误． 选项B：的值不确定，无法确定与的大小关系，例如取，此时，不等式不成立，故B错误． 选项C：两边同时乘，不等号方向改变，得，两边同时加1，不等号方向不变，得，故C正确． 选项D：不等式两边同时除以正数2，不等号方向不变，得，故D错误． 【例2】（25-26七年级上·全国·寒假作业）已知，，化简____ ． 【答案】 【分析】本题考查含字母的绝对值的化简，先分别判断绝对值里面的代数式的正负，然后去绝对值，最后合并同类项即可 ． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴， ∵，， ∴，得 ， ∴， ∴ ， ∴原式 ． 故答案为：． 1．（2026·山东济南·一模）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知，然后根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形正确，符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意； 、由题意可知，则，该选项变形错误，不符合题意． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期末）当增大时，代数式的值也跟着增大，我们把这样的代数式叫做“关于的递增代数式”，下列是“关于的递增代数式”的是__________．（填序号） ①；②；③． 【答案】② 【分析】本题考查新定义的理解、不等式性质等知识，理解新定义，熟记不等式性质是解决问题的关键． 通过取任意两个数，令，计算各代数式在处的差值，根据差值的符号判断代数式是否为“关于的递增代数式”即可得到答案． 【详解】解：取任意两个数，令，则， 对于①：，则①不是“关于的递增代数式”； 对于②：，则②是“关于的递增代数式”； 对于③：，由于符号不确定，故③不是“关于的递增代数式”； 综上所述，只有②是“关于的递增代数式”， 故答案为：②． 3．（25-26七年级下·上海普陀·期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： (1)设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． (2)设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)，见解析． 【分析】（1）根据不等式的性质求解即可； （2）根据不等式的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【经典例题三 不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格中的数据，根据时邮资为元即可求解，看懂表格是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当信件质量满足时，邮资为元， ∴此平信的质量可能为克， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的解，根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个 C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解 【答案】C 【分析】解出不等式的解集，根据不等式的解的定义，就是能使不等式成立的未知数的值，就可以作出判断． 【详解】解：A、不等式x−3＞2的解集是x＞5，正确，不符合题意； B、由于整数包括负整数、0、正整数，所以不等式x＜3的整数解有无数个，正确，不符合题意； C、不等式x＋3＜3的解集为x＜0，所以不等式x＋3＜3的整数解不能是0，错误，符合题意； D、由于不等式2x＜3的解集为x＜1.5，所以x＝0是不等式2x＜3的一个解，正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的解集，解答此题关键是掌握解不等式的方法，及整数的分类． 2．（24-25七年级下·河北保定·月考）写出一个解集为的一元一次不等式：______ ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知中一元一次不等式的解集，写出符合的一元一次不等式即可． 【详解】解：写出一个解集为的一元一次不等式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解集的定义，根据给出的解集写出正确的一元一次不等式是解题关键． 3．（2025七年级·全国·模拟预测）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【分析】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【详解】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）一包盐标注的重量是克，允许误差是克，那么实际克重满足的不等式是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义，结合题意，可得的范围，即可求解． 【详解】解：依题意实际克重满足的不等式是： 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·山东济宁·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为__________． 【答案】 【分析】考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到且，即可求m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且 ∴ 故答案是：． 1．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）下列各式中，是一元一次不等式的有（   ） ；；；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是的不等式，叫做一元一次不等式，依此即可求解，正确理解一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】是一元一次不等式；是一元二次不等式，不是一元一次不等式； 不是一元一次不等式；，整理得是一元一次不等式； 是一元一次不等式；不是一元一次不等式； 综上可知：是一元一次不等式，共个， 故选：． 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义和解法，掌握基本概念和运算法则是解题的关键．先根据一元一次不等式的定义求出的值是；再把代入不等式，整理得：，然后求解即可． 【详解】解：根据不等式是一元一次不等式可得：， ∴， ∴原不等式化为：， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东聊城·月考）若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 【答案】m=0， n≠3． 【分析】根据一元一次不等式的定义知道二次项系数为零，一次项系数不为零，即可求出m、n的取值. 【详解】解∵不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式， ∴二次项系数为零，一次项系数不为零， 又∵3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3化简为: mx2+(n-3)x≥0 ∴解得：m=0，n﹣3≠0． 故m=0，n≠3． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义（只有一个未知数，且未知数的次数为1，系数为零，左右两边为整式），熟记一元一次不等式的定义是解题的关键. 【经典例题五 求一元一次不等式的解集】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ∵去括号得 移项得 合并同类项得 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得 ∴不等式的解集为． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·月考）不等式的解集是______． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的步骤求解即可． 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列解不等式的过程错误的是第（　　）步． 解不等式， 解：移项，得…第一步， 合并同类项，得…第二步， 即…第三步． A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第二、三步 【答案】C 【分析】根据题意，逐步骤验证，注意不等号的方向，按照正确解一元一次不等式的方法计算即可找出错误步骤． 【详解】解：对不等式， 正确求解如下，移项得，与题目第一步一致，第一步正确， 合并同类项得，与题目第二步一致，第二步正确， 由可得，题目第三步写成，第三步错误， 因此错误出现在第三步． 2．（25-26七年级下·宁夏中卫·月考）若不等式的解集为，则m必须满足_______． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ∵不等式的解集为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号方向发生了改变， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知代数式的值不大于代数式的值． (1)求x的取值范围； (2)在x的取值范围中，若x的最小整数值满足方程，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，再解不等式即可． （2）求解（1）中不等式的最小整数解，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：∵代数式的值不大于代数式的值， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． （2）解：∵ ∴符合条件的最小整数为， ∴的解为， ∴， ∴， 解得：． 【经典例题六 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（25-26七年级下·山东济南·期中）把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 数轴表示如下： 【例2】（25-26七年级下·上海虹口·期中）写出一个关于x的一元一次不等式______，使其解集在数轴上的表示如图所示． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先观察数轴确定不等式的解集，再根据解集构造一个一元一次不等式即可． 【详解】解：由数轴可知，空心圆圈在 处，且折线向右延伸， 不等式的解集为 ， 解集是 的一元一次不等式可以为 （答案不唯一）． 1．（浙江省金华市2026年5月七年级下学期数学学业水平监测试卷）一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的解集在数轴上的表示方法以及包含用实心点，不包含用空心点解答即可． 【详解】解：由数轴图可知，该不等式组的解集是． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知某个关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解：根据图示可知：该不等式的解集为． 3．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上 (1) ； (2) 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【详解】（1）解： 解得 ∴原不等式的解集为； 数轴表示为： （2）解： 解得 ∴原不等式的解集为 数轴表示为： 【经典例题七 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先求解原不等式得到x的解集，再根据最小整数解为10，得到关于m的不等式组，解出m的取值范围后即可得到整数m的值. 【详解】解：解不等式， 移项得 ， ∵不等式的最小整数解为10， ∴， 不等式三边同时加3，得， 三边同时除以3，得， ∵m为整数， ∴. 【例2】（2026·山东临沂·一模）已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】运用整体思想，将，得到，结合，求出的取值范围，再选取一个合适的整数即可． 【详解】解：， 将，得， ∵， ∴， 解得， ∴可取．（答案不唯一） 1．（25-26七年级下·湖南湘潭·月考）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先求解不等式得到解集，再找出解集范围内的负整数，统计个数即可得到结果． 【详解】解：不等式两边同乘2去分母，得， 移项并合并同类项，得， 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得， ∴范围内的负整数为，共2个． 2．（25-26七年级下·广东茂名·月考）我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 【答案】 【分析】根据新定义运算法则得到关于的不等式，求解并取最大整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， 解得：， 最大整数解是． 3．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）列不等式与解不等式 (1)用不等式表示数量关系：x的3倍与9的差不大于． (2)解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 【答案】(1) (2) 不等式的解集为，所有符合条件的正整数解为 【分析】（1）根据x的3倍即，x的3倍与9的差即，然后可得不等式； （2）先求出不等式的解集，然后写出该不等式的正整数解． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：， ， ， ， ∴不等式的解集为， ∴满足条件的正整数解为：． 【经典例题八 求一元一次不等式解的最值】 【例1】（2026·安徽合肥·一模）已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】本题先根据已知条件用a表示b，结合a、b的非负性求出a的取值范围，，利用不等式的性质求最小值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 将代入得， ∴， ∴， ∴当时，取得最小值，最小值为． 【例2】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 【答案】7 【分析】由条件可得，因此求最大值等价于求的最大值，结合和约束，得到，解不等式可得，从而求出最大值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故求的最大值即求的最大值， 由，得， 代入，得， 即 ， 解得 ∴的最大值为， 此时， 故最大值为． 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次不等式正整数解的应用，理解正整数解的个数与不等式中参数取值范围的关系是关键．先确定满足“正整数解恰有两个”时正整数解的具体值，再据此分析实数的取值范围，从而求出的最大值． 【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是， ∴这两个正整数解为和， 要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）； 同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解）， ∴， ∴的最大值为． 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 【答案】2 【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法． 设小聪答错了道题，则答对了道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解的取值范围，并取最大整数解． 【详解】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意，得：， 化简得：， 移项得：， 两边同除以，不等号方向改变，得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为2． 故答案为：2． 3．（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题考查了列不等式以及分类讨论思想；，熟练运用分类讨论思想是关键． （1）正确列出不等式，然后根据条件计算即可； （2）运用分类讨论思想正确列出不等式，然后根据条件计算即可；． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得，     为正整数，且为偶数， ； （2）解：当输入的为奇数时，， 解得， 则的最小值为19；     当输入的为偶数时，， 解得， 则的最小值为18；     综上所述，符合条件的的最小值为18． 【经典例题九 列一元一次不等式】 【例1】（25-26七年级下·广东梅州·期中）某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，小明妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为，那么小明告诉妈妈的信息是（   ） A．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不超过900元 B．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不超过900元 C．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 【答案】C 【分析】本题考查根据不等式还原实际问题描述，解题关键是按照运算顺序理解不等式各部分的实际意义，明确不等号的含义． 【详解】解：∵一件商品定价为元，列出的不等式为 . ∴表示两件等值商品的总价，表示两件商品总价减去100元，即先减100元； 整体乘表示减100元后再打八折； 不等号表示最后总价不到900元； 因此信息为：买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元． 【例2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，______50（填“”或“”）． 【答案】 【详解】根据图中可得． 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）语句“与的的差是非负数”表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：“与的的差是非负数”表示． 2．（广东深圳市2025—2026学年第二学期学科素养期中调研诊断八年级数学（第一章~第四章））美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______． 【答案】 【分析】先确定往返的路程为，往返的时间为小时，停留48小时，根据总时间不超过168小时列不等式即可． 【详解】解：根据时间得：． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据一次性运输的苹果超过吨即可列出不等式； （2）设装种苹果的车x辆，装种苹果的车辆，根据销售完这两种苹果共获利不低于元即可列出不等式． 【详解】（1）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． （2）解：设辆汽车运种苹果，则有辆汽车运种苹果． 由题意，得． 【经典例题十 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（25-26七年级下·山东济南·期中）为提高学生的安全意识，某校举办了安全知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定答错或不答的题数，再根据得分规则表示总得分，最后结合不等关系列出不等式即可． 【详解】解：∵一共10道题，答对道 ∴答错或不答的题数为道 ∵答对1题得10分，答错或不答1题扣2分 ∴总得分为分 ∵得分不低于80分，“不低于”表示大于等于 ∴可列不等式 ． 【例2】（25-26七年级下·山西晋中·期中）随着Deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便地服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的智能机器人单价为15万元，乙种型号的智能机器人单价为10万元，图书馆经过统筹安排，准备用不超过120万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么图书馆最多能购进________套甲种型号的智能机器人． 【答案】 4 【分析】根据题意设未知数，结合总费用的限制条件列出一元一次不等式，根据未知数为正整数求解最大值． 【详解】解：设图书馆购进甲种型号的智能机器人x套，则购进乙种型号的智能机器人套，x为正整数，且， 根据题意，得， 解得， 因此x的最大取值为4． 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐” “骥骥” “驰驰” “骋骋”． 某校组织师生观看春晚后，计划购买 “骐骐” “骥骥” 这两款徽章共 40 枚作为活动纪念品． 已知 “骐骐” 徽章每枚 22 元，“骥骥” 徽章每枚 16 元． (1)若该校购买这两款徽章共花费 760 元，求购买 “骐骐” 徽章的数量； (2)如果学校购买 “骐骐” 徽章的数量不少于 “骥骥” 徽章数量的 ，求至少购买 “骐骐” 徽章多少枚？ 【答案】(1)20枚 (2)14枚 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式的应用，根据已知条件列出方程和不等式是解题的关键． （1）设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚，根据题意列出方程，解方程即可； （2）设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚，根据题意列出不等式，据此求解即可． 【详解】（1）解：设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚， 由题意得：， 解得：， 即购买 “骐骐” 徽章的数量为20枚； （2）解：设购买 “骐骐” 徽章枚，则购买“骥骥” 徽章枚， 由题意得：， 解得：， 则至少购买 “骐骐” 徽章14枚． 2．（25-26七年级下·山东东营·期中）根据如表所示素材，探索完成任务． 东营作为黄河三角洲中心城市，近年大力推进绿色照明工程，城区主干道、小区、学校已全面普及节能灯 素材一 为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯． 采购批次 甲型节能灯（盏） 乙型节能灯（盏） 采购总费用（元） 第一次 4 5 64 第二次 6 2 52 素材二 两种型号的节能灯共50盏 素材三 总费用不超过360元 问题解决 (1)任务一：求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)任务二：该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯． 【答案】(1)1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元 (2)该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯 【分析】（1）设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元，根据题意列出方程组进行求解即可； （2）设购买m盏甲型节能灯，根据题意，列出不等式，进行求解即可. 【详解】（1）解：设1盏甲型节能灯的售价是x元，1盏乙型节能灯的售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：1盏甲型节能灯的售价是6元，1盏乙型节能灯的售价是8元； （2）解：设购买m盏甲型节能灯，则购买盏乙型节能灯， 根据题意得：， 解得， ∴m的最小值为20． 答：该工厂最少可以购买20盏甲型节能灯． 3．（25-26七年级下·山西晋中·期中）活动目的：采购三晋特色文创玩偶 活动背景：“表里山河，文脉绵长；三晋匠心，指尖流芳”．为传承山西优秀传统文化，某文化传播公司计划采购一批具有三晋特色的文创玩偶，用于“晋韵流芳”主题展览的互动体验和纪念品发放． 素材一：购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元． 素材二：该公司计划购买这两种玩偶共20个．为降低采购成本，文创工坊推出两种优惠方案（只能选择其中一种方案，每种玩偶都需要购买） 素材三：方案一：购买任意玩偶满10个，总价打九折； 方案二：购买“晋侯鸟尊”玩偶每个优惠，其它按原价销售． (1)任务一：求“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价． (2)任务二：设购买“晋侯鸟尊”玩偶个，采用方案一支付费用为，采用方案二支付费用为，请你帮助采购部门选择购买方案． 【答案】(1)“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元； (2)当购买“晋侯鸟尊”玩偶个时，两种方案的费用一样，选择方案一或方案二；当时，方案二费用少，选择方案二；当时，方案一费用少，选择方案一． 【分析】（1）设“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元，根据购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元．建立二元一次方程组求解即可； （2）先根据题意分别表示出，再分别求，即可解答． 【详解】（1）解：设“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元， 根据题意，得， 解得， 答：“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价分别为元，元； （2）解：根据题意，得，， 当时，则，解得； 当，则，解得， ∵为正整数，每种玩偶都需要购买， ∴； 当，则，解得， ∵为正整数，每种玩偶都需要购买， ∴； 答：当购买“晋侯鸟尊”玩偶个时，两种方案的费用一样，选择方案一或方案二；当时，方案二费用少，选择方案二；当时，方案一费用少，选择方案一． 【经典例题十一 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】（24-25七年级下·河北雄安·阶段检测）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，解一元一次不等式，由题意可得，解一元一次不等式即可，根据数轴得出一元一次不等式是解此题的关键． 【详解】解：∵数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧， ∴， 解得：， ∴x的值可以是， 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 1．（25-26七年级下·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 【答案】平行于墙的一边长为，且． 【分析】本题主要考查了用代数式表示， 用总长度减去垂直于墙的两边长，再求出自变量的取值范围，可得答案． 【详解】解：平行于墙的一边长为，且， 解得， 所以平行于墙的一边长为，且． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，嘉琪设计了一个动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 【答案】(1)8，6 (2)点表示的数是 (3)机器人变成彩色的总时长为8秒 【分析】本题考查了数轴、线段的中点、一元一次不等式的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）根据数轴的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据数轴的性质可得，由此即可得； （2）先判断出点只能在点的右侧，再根据线段和差可得，然后根据数轴的性质求解即可得； （3）先确定，求出点表示的数为，点表示的数为，再分三种情况：①，②和③，根据建立不等式求解即可得． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数分别为，， ∴． ∵点是的中点， ∴， ∵点表示的数为， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵，，且点在点的右侧， ∴点只能在点的右侧，位置如图所示： ∴， ∴， ∵点表示的数为，且点在点的右侧， ∴点表示的数是． （3）解：∵点表示的数分别为， ∴， 由题意得：点从点运动到点所需时间为秒， ∴当时，点在上，点在点处，此时，即， ∴当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∴当机器人的运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为， 令，解得． ①当时，点在点的左侧，未追上点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； ②当时，点与点重合，，符合题意； ③当时，点在点的右侧，超过点， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴此时； 综上，当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，， ∵当机器人之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人变成彩色， ∴机器人变成彩色的总时长为（秒）， 答：机器人变成彩色的总时长为8秒． 3．（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)见解析 【分析】（1）根据长方形的面积公式结合进行计算即可； （2）利用纸盒的容积的公式求出a的值，然后把，代入进行计算即可； （3）①结合图形进行计算即可解答；②结合图形可知A与C相对，B与D相对，然后进行即可解答． （4）根据侧面数第一种方法第二种方法第三种方法，底面数第二种方法第三种方法，表示出底面和侧面的个数，然后根据底面和侧面的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：这个纸盒的底面积是，高是， 故答案为：，； （2）由题意得： 当时，纸盒的容积为， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 当时，， 故答案为：，； （3）若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形的两边长分别是，， 故答案为：，； （4）由题意得：可以裁出的侧面：个． 可以裁出的底面：个． ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴， ∴， ∴当时， ∴可以裁出的侧面有（个）， 可以裁出的底面有（个）， ∵四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱， ∴最多可以制作该种型号的长方体纸箱个． 【点睛】本题考查了列代数式，几何问题(一元一次方程的应用)，用一元一次不等式解决几何问题，整式加减的应用，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 【拓展训练一 不等式变形问题】 【例1】（24-25七年级下·河北保定·期末）梓琦同学在进行不等式的变形时，有几道题做错了，请帮助老师找出不等式变形正确的一项（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】依据不等式的基本性质进行分析，即可得到正确结论． 【详解】解：A、由，且时，得，故此选项不符合题意； B、由，得，故此选项不符合题意； C、由，且时，得，故此选项不符合题意； D、由，得，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查不等式的基本性质，在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质： （1）由x＞－3，得x＞－6；___________； （2）由3＋x≤5，得x≤2；______________； （3）由－2x＜6，得x＞－3；____________； （4）由3x≥2x－4，得x≥－4._____________． 【答案】 不等式的基本性质2 不等式的基本性质1 不等式的基本性质3 不等式的基本性质1 【分析】根据不等式的基本性质依次分析各小题即可得到结果． 【详解】（1）由x＞－3，根据不等式的基本性质2，两边同时乘以2得x＞－6； （2）由3＋x≤5，根据不等式的基本性质1，两边同时减去3得x≤2； （3）由－2x＜6，根据不等式的基本性质3，两边同时除以－2得x＞－3； （4）由3x≥2x－4，根据不等式的基本性质1，两边同时减去2x得x≥－4. 故答案为：不等式的基本性质2；不等式的基本性质1；不等式的基本性质3，不等式的基本性质1． 【点睛】本题考查了不等式的性质．不等式两边加上（或减去）同一个数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3)，见解析 (4)，见解析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可； （1）利用不等式的性质进行求解即可； （2）利用不等式的性质进行求解即可． 【详解】（1）解： ， 则不等式的两边同时加上，不等号方向不变，得到， （2）解： ， 则不等式的两边同时加上2，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （3）解： ， 不等式的两边同时乘，不等号方向改变，得到； （4）解： ， 则不等式的两边同时减去，不等号方向不变，得到，不等式的两边同时乘2，不等号方向不变，得到． 2．（24-25七年级下·广西河池·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)a为任意实数 【分析】本题主要考查了利用不等式的性质比大小，以及解不等式．整式的混合运算. （1）根据题意用作差法得出，再结合，利用不等式的性质即可得出结论． （2）把式子代入，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． （2）， ， ， ， 解得． 所以a为任意实数． 3．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【答案】(1)不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）；不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． (2) 【分析】本题考查了不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）联系上下文，结合不等式的性质进行分析，即可作答． （2）模仿题干过程，先由，，得，再结合，，则，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）． 依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）． （2）解：依题意，∵，， ∴①， 又∵，， ∴②， 由①②可得： 【拓展训练二 含参数不等式计算】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值可以是（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， ∴， ∴的值可以是． 【例2】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 【答案】 【分析】根据得出，求出不等式的解集是，根据数轴得出，再求出即可． 【详解】解：， ， 解得： 从数轴可知：， 解得． 1．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）已知． (1)判断不等式是否成立？并说明理由； (2)若成立，则应满足的条件是______． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据不等式的性质判断即可； （2）根据不等式的性质得出，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：不等式成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴不等式成立． （2）解：∵，成立， ∴， 解得：． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知方程组 (1)若方程组的解满足，求m 取值范围； (2)若，直接写出方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程组得到，根据，得到，解不等式即可得到答案； （2）根据（1）所求，结合m的值求出x、y的值即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵方程组的解满足， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：当时，， ∴原方程组的解为． 3．（25-26七年级下·上海黄浦·期中）已知关于x、y的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 【答案】4 【分析】本题考查解二元一次方程组，求一元一次不等式的整数解，先求出二元一次方程组的解，将解代入不等式中，求出不等式的解集，进而求出的最大整数值即可． 【详解】解：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为． 【拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算】 【例1】（24-25七年级下·福建三明·期中）定义新运算：※．例如，※，则不等式※的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的解集，根据题意得出※，进而得出，解一元一次不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：※， 则 ， 故选：B 【例2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）新定义规定以下变换：，若，则的取值范围是____． 【答案】或 【分析】本题为新定义分段不等式问题，根据新定义的规则，对1和的大小关系分两种情况讨论，分别解一元一次不等式，结合每种情况的前提条件，即可得到的取值范围. 【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论： 当，即时， ， 由得 ， 不等式两边同乘得 ， 移项得 ， 系数化为得 ，满足，此情况成立； 当，即时， ， 由得 ， 不等式两边同乘得 ， 移项得 ，满足，此情况成立； 综上，的取值范围是或. 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）在实数范围内规定新运算“@”，其规则是：，已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值． 【详解】解：， ， ， ， 根据图示知，已知不等式的解集是， ， ． 的值为4． 2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，即可解答； （）根据已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，分情况讨论即可． 本题考查了一元一次不等式的应用，理解新定义计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴， ∴， 综上所述，的最大值为． 3．（24-25七年级下·四川甘孜·期末）对于实数 ，我们定义符号的意义为: 当时，； 当时，；如：；，根据该定义运算完成下列问题： (1)_______，当时，_______； (2)若 ，求的取值范围； (3)若关于 的函数为，求该函数的最大值． 【答案】(1)， (2) (3)2 【分析】（1）根据题目定义即可判断； （2）根据 ​，即可得到，解出的值即可； （3）分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：由题意得，， 解得：； （3）解：当 ​时， 解得： ， 即当 时，， ， 随的增大而增大， 当时，最大， 当 时， 解得： ， 即当 时，， ， 随的减小而增大， ， ， ， ， 综上所述，函数 的最大值为 2 ． 【点睛】本题主要考查新定义问题，解一元一次不等式，掌握新定义是解题的关键． 【拓展训练四 一元一次不等式实际综合应用】 【例1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【答案】B 【分析】根据不等式各部分的实际意义，结合x表示原同学人数，分析不等式中每个代数式对应的实际含义，即可判断横线上的条件． 【详解】解：∵设有名原同学，给出的不等式为 ， ∴代表每人分本，代表比原人数多个人，即可以多分给个人， ∴横线上的条件为每人分本，则恰好可多分给个人． 【例2】（25-26七年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 【答案】18 【分析】设这个队答对了道题，则答错或不答道题，根据总得分基础分答对的题目数答错或不答的题目数，结合总得分不低于分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】解：设这个队答对了道题，则答错或不答道题， 根据题意得： ， 展开整理得 解得 的最小值为，即这个队至少答对了道题． 1．（25-26七年级下·山东东营·期中）新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段．李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案： 第一种方案（家用充电）：安装家用充电桩所需费用为1750元，电费每度0.5元； 第二种方案（公用充电）：仅有电费，电费每度1.2元． 请问该车充电总量为多少度时，选择方案一所需充电总费用较少？ 【答案】该车充电总量大于2500度时，选择方案一所需充电总费用较少 【分析】设这辆新能源汽车的充电总量为x度，根据题意，列出不等式进行求解即可． 【详解】解：设这辆新能源汽车的充电总量为x度， 由题意，得 ， 解得； 答：该车充电总量大于2500度时，选择方案一所需充电总费用较少． 2．（2026·山西阳泉·一模）某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元． (1)分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价； (2)若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？ 【答案】(1)请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元 (2)至少有2个组选择智能AI讲解． 【分析】（1）设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为，列方程组求解即可； （2）设有个组选择智能AI讲解，根据“此次讲解的总费用不高于1600元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设请一位人工讲解员的单价为元，租赁一个语音导览器的单价为元． ， 解得：． 答：请一位人工讲解员的单价为240元，租赁一个语音导览器的单价为30元． （2）解：设有个组选择智能AI讲解． ∵此次讲解的总费用不高于1600元， ∴， 解得， 为整数， ． 答：至少有2个组选择智能AI讲解． 3．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·月考）某数码配件店计划购进A、B两款手机壳，已知购进3个A种手机壳和2个B种手机壳共需190元，购进4个A种手机壳和3个B种手机壳共需270元． (1)每个A种手机壳和每个B种手机壳的进价分别是多少元？ (2)A种手机壳每个售价45元，B种手机壳每个售价75元．若该配件店计划购进A、B两种手机壳共100个，其中A种手机壳不少于40个，两种手机壳全部售出后获得的利润不低于2080元，问有哪几种进货方案？ (3)厂家为拓宽市场，下调了两种手机壳的进价：每个A种手机壳降价5元，每个B种手机壳降价10元，该配件店若用（2）中获利最大的方案进货，节省下来资金全部用于再次同时购进A、B两种手机壳，请直接写出再次购进时，两种手机壳数量之和最大的购进方案． 【答案】(1)A种手机壳进价30元，B种手机壳进价50元 (2)共3种进货方案．①A种手机壳40个，B种手机壳60个，②A种手机壳41个，B种手机壳59个，③A种手机壳42个，B种手机壳58个 (3)购进A种手机壳24个，B种手机壳5个 【分析】（1）设每个A种手机壳进价元，每个B种手机壳进价元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购进A种手机壳个，则购进B种手机壳个，根据题意列出不等式，求解即可； （3）设再次购进A种手机壳个，购进B种手机壳个，根据题意列出二元一次方程，结合，，且都是整数，求解即可． 【详解】（1）解：设每个A种手机壳进价元，每个B种手机壳进价元， 根据题意得， 解得， 答：每个A种手机壳进价30元，每个B种手机壳进价50元； （2）解：设购进A种手机壳个，则购进B种手机壳个， 由题意得， 解得， ∵，且为整数， ∴或41或42， ∴共3种进货方案． ①A种手机壳40个，B种手机壳60个； ②A种手机壳41个，B种手机壳59个； ③A种手机壳42个，B种手机壳58个； （3）解：计算（2）中获利最大的方案： 方案1：元； 方案2：元； 方案3：元； 获得最大的方案是方案1， 节省的资金：元， 设再次购进A种手机壳个，购进B种手机壳个， 根据题意得，化简得， 需要是5的倍数，且，，且都是整数， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上，购进A种手机壳24个，B种手机壳5个，两种手机壳数量之和最大． A基础训练 1．（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知，下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项，找出不一定成立的结论即可. 【详解】解：A、∵ ， ∴ ，一定正确. B、∵ ，∴ 又∵ ，∴ ∴ ，一定正确. C、举反例验证，令 ，，，，满足 ， 此时 ， 可得 ，即 ，不一定正确. D、∵ ，∴ 又∵ ，同向不等式相加得 即 ，一定正确. 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 3．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出不等式的解集即可判断． 【详解】解：， 去括号得，， 移项并合并同类项得，， 系数化为1得，． 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）某足球迷协会组织72名球迷租乘汽车赶往比赛场地，为中国队加油助威，可利用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘6人，要求租用的车不留空座，也不超载，则租车方案共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【分析】此题综合考查了方程组和不等式，能够根据不等式组求得未知数的取值范围，从而分析得到所有的情况是解题的关键．设两种车的租用数量为未知数，根据总人数列二元一次方程，求方程的非负整数解的个数，即可得到租车方案的数量． 【详解】解：设租用每辆可乘人的车辆，每辆可乘人的车辆，、均为非负整数． ∵总人数为人，要求不留空座不超载， ∴可得方程 ， 整理得 ， ∵是非负整数， ∴为非负整数， ∵与互质， ∴为的非负倍数． 又∵，即，解得， ∴的可取值为 ，共个不同值，对应种符合要求的租车方案． 即，，，， ∴租车方案共有4种． 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图为歌神的两种计费方案说明．若嘉淇和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务员计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们同一间包厢里欢唱的人数至少有（      ） 歌神KTV 包厢计费方案： 包厢每间每小时225元 每人需另付入场费25元 …………… 人数计费方案： 每人欢唱3小时135元 接着续唱每人每小时20元 A．6 人 B．7 人 C．8人 D．9人 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，设嘉淇和朋友们共有x人，根据题意，列出不等式，求出最小整数解即可． 【详解】解：设嘉淇和朋友们共有x人． 若选择包厢计费方案需付元， 若选择人数计费方案需付 (元)， 由题意，得：， 解得： ∴ 至少有8人． 故选 C． B 提高训练 6．（2025·浙江台州·模拟预测）如果，那么的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：由可知，，， ∴， 由可知，，， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，这是在数轴上表示的一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】根据数轴表示不等式组解集的方法可得答案．本题考查数轴表示不等式的解集，掌握在数轴上表示不等式组解集的方法是正确解答的前提． 【详解】解：由数轴表示不等式解集的方法可得这个不等式组的解集为， 故答案为：． 9．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于、的二元一次方程组，如果，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先由二元一次方程组得到，再根据得，即可求解． 【详解】解：， 得， ∴， ∵， ∴， 解得， 即的取值范围是． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． C 培优训练 11．（24-25六年级下·全国·课后作业）判断下列不等式是不是一元一次不等式． （1）．    （2）．    （3）． 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可， 【详解】解：（1）是一元一次不等式； （2）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （3）不等式的左边不是整式，不是一元一次不等式； 故答案为：（1）是；（2）不是；（3）不是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义的内容是解题的关键． 12．（2026·安徽阜阳·二模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴见解析 【详解】解： 去分母得， 去括号得 移项、合并同类项得， 系数化为1得， 解集在数轴上表示如下： 13．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解答 (1)已知，判断与的大小关系如何？并说明理由； (2)已知都是负数，且，请判断与的大小关系如何？并说明理由． 【答案】(1) ，详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）利用不等式的性质判断即可． （2）先利用不等式的性质得出，，进而可得出． 【详解】（1）解： ． 理由如下：因为， 所以， 即． （2）解∶ ， 理由如下：因为，， 所以． 因为，， 所以， 所以． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“至少含有3600单位的维生素C”可得不等式； （2）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“甲、乙两种原料的费用不超过65元”列出不等式. 【详解】（1）解：设所需甲种原料的质量，由题意得： . （2）解：根据题意，得． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式. 15．（25-26七年级下·广东深圳·期中）下面是小明同学解一元一次不等式的部分解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得…………第三步… (1)小明的解答从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)请写出不等式的正确解答过程，并在数轴上表示它解集； (3)请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议． 【答案】(1)一，去分母时，常数项漏乘6 (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）解：小明的解答从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时，常数项漏乘6； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项合并同类项，得 系数化为1，得； 不等式的解集在数轴上表示如下： （3）建议：去分母时，常数项不要漏乘最小公倍数； 括号前面是“”， 去括号时，括号里的每一项都要变号； 不等式两边同时乘或除以一个负数时，不等号的方向要改变等. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元一次不等式重难点题型专训 （3个知识点+11大题型+4拓展训练+自我检测） 题型一 不等式的定义 题型二 不等式的性质 题型三 不等式的解集 题型四 一元一次不等式的定义 题型五 求一元一次不等式的解集 题型六 在数轴上表示不等式的解集 题型七 求一元一次不等式的整数解 题型八 求一元一次不等式解的最值 题型九 列一元一次不等式 题型十 用一元一次不等式解决实际问题 题型十一 用一元一次不等式解决几何问题 拓展训练一 不等式变形问题 拓展训练二 含参数不等式计算 拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算 拓展训练四 一元一次不等式实际综合应用 知识点一：不等式的有关概念 不等式：用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个不等式所有解的全体。 解不等式：求不等式解集的过程 【即时训练】 1．（25-26七年级下·新疆昌吉·期中）若，则下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西商洛·期中）用不等号填空：若，且，则__________． 知识点二：不等式的三条基本性质（重中之重） 不等式两边加（或减）同一个数或式子，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向必须改变 【即时训练】 1．（25-26七年级下·广西桂林·期中）若由可得，则x的值可以是（    ） A． B． C．0 D． 2．（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）若，则__________（填“”或“”）． 知识点三：解一元一次不等式 解一元一次不等式步骤： （1）去分母；去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项去括号； （2）去括号：移项时不要忘记变号； （3）移项； 移项时不要忘记变号； （4）合并同类项； （5）化系数为1． 说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 【即时训练】 1．（2026·福建三明·二模）将不等式的解集在数轴上表示，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·福建宁德·一模）不等式的解集是_____． 【经典例题一 不等式的定义】 【例1】（24-25七年级下·河南新乡·期中）已知：①；②；③；④；⑤．其中属于不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数：______________； （2）与的积小于7：______________； （3），两数的平方和大于10：______________． 1．（24-25七年级下·山西晋中·期中）自2024年起，国家卫健委启动实施“体重管理年”活动．体重指数（BMI）是衡量人体胖瘦程度的一个常用标准，计算公式是．如图，14岁男生不低于26.1为肥胖，则14岁男生肥胖时BMI满足的不等关系为（   ） 13～15岁学龄儿童青少年年龄别BMI筛查超重与肥胖界值  单位为 年龄（岁） 男生 女生 超重 肥胖 超重 肥胖 25.2 22.2 25.0 21.9 25.7 22.6 25.6 22.3 26.1 22.8 25.9 22.6 26.4 23.0 26.3 22.9 26.6 23.2 26.6 引自：《学龄儿童青少年超重与肥胖筛查）（WST586-2018） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆九龙坡·月考）五一节为吸引顾客，某商场举办千元现金返现活动．顾客只要购买一定金额的商品后就可以获得一次抽奖机会．抽奖箱里有三张奖券，分别标有一等奖，二等奖，三等奖．抽到一等奖返现30元，二等奖返现20元，三等奖返现10元．三天后商场对抽奖活动进行了统计．统计如下：五月2号抽到一等奖的次数是五月一号的3倍，抽到二等奖的次数是五月一号的2倍，抽到三等奖的次数是五月一号的4倍．五月3号抽到一等奖的次数与五月一号相同，抽到二等奖的次数是五月一号的4倍，抽到三等奖的次数是五月一号的2倍．三天下来，商场返现的总金额刚好1000元，五月3号的返现金额比五月一号多220元，则五月2号的返现金额是______元． 3．（2025七年级下·江苏·专题练习）用适当的符号表示下列关系： (1)x的与x的2倍的和是非正数； (2)一枚炮弹的杀伤半径不小于300米； (3)三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元； (4)明天下雨的可能性不小于； (5)小明的体重不比小刚轻． 【经典例题二 不等式的性质】 【例1】（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）若，则下列不等式一定成立的是（） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·全国·寒假作业）已知，，化简____ ． 1．（2026·山东济南·一模）实数，在数轴上的位置如图所示，则下列不等式变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·广东深圳·期末）当增大时，代数式的值也跟着增大，我们把这样的代数式叫做“关于的递增代数式”，下列是“关于的递增代数式”的是__________．（填序号） ①；②；③． 3．（25-26七年级下·上海普陀·期中）在学习不等式性质后，小普和同学们尝试利用不等式性质比较大小： (1)设，，试比较与的大小． 以下是小普同学的解题方法，请将推理过程补充完整． 因为， 所以______．（填“”，“”，“”） 又因为， 所以______． 所以． (2)设，，参考小普同学的推理方法，试判断与的大小，并说明理由． 【经典例题三 不等式的解集】 【例1】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【例2】（24-25七年级下·湖南·期中）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法错误的是（    ） A．不等式的解集是 B．不等式的整数解有无数个 C．不等式的整数解是0 D．是不等式的一个解 2．（24-25七年级下·河北保定·月考）写出一个解集为的一元一次不等式：______ ． 3．（2025七年级·全国·模拟预测）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【经典例题四 一元一次不等式的定义】 【例1】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期中）一包盐标注的重量是克，允许误差是克，那么实际克重满足的不等式是(   ) A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东济宁·月考）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为__________． 1．（24-25七年级下·山东枣庄·月考）下列各式中，是一元一次不等式的有（   ） ；；；；；． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·月考）若是关于的一元一次不等式，则该不等式的解集是________． 3．（24-25七年级下·山东聊城·月考）若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 【经典例题五 求一元一次不等式的解集】 【例1】（25-26七年级下·河南周口·月考）不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·福建福州·月考）不等式的解集是______． 1．（2026七年级下·江苏·专题练习）下列解不等式的过程错误的是第（　　）步． 解不等式， 解：移项，得…第一步， 合并同类项，得…第二步， 即…第三步． A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第二、三步 2．（25-26七年级下·宁夏中卫·月考）若不等式的解集为，则m必须满足_______． 3．（25-26七年级下·湖南衡阳·期中）已知代数式的值不大于代数式的值． (1)求x的取值范围； (2)在x的取值范围中，若x的最小整数值满足方程，求a的值． 【经典例题六 在数轴上表示不等式的解集】 【例1】（25-26七年级下·山东济南·期中）把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海虹口·期中）写出一个关于x的一元一次不等式______，使其解集在数轴上的表示如图所示． 1．（浙江省金华市2026年5月七年级下学期数学学业水平监测试卷）一个不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知某个关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集为__________． 3．（25-26七年级下·甘肃白银·期中）解不等式，并把解集表示在数轴上 (1) ； (2) 【经典例题七 求一元一次不等式的整数解】 【例1】（25-26七年级下·河南郑州·期中）已知关于x的不等式的最小整数解为10，则整数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（2026·山东临沂·一模）已知关于，的二元一次方程组，且，则写出满足条件的的一个整数_____________． 1．（25-26七年级下·湖南湘潭·月考）不等式的负整数解有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级下·广东茂名·月考）我们定义一种新运算：，如，则关于的不等式的最大整数解是______． 3．（25-26七年级下·江西景德镇·期中）列不等式与解不等式 (1)用不等式表示数量关系：x的3倍与9的差不大于． (2)解不等式：，并写出所有符合条件的正整数解． 【经典例题八 求一元一次不等式解的最值】 【例1】（2026·安徽合肥·一模）已知两个实数a、b，满足，且、，则的最小值是（   ） A． B．0 C． D．1 【例2】（25-26七年级下·上海杨浦·月考）已知实数，，满足，，若，则的最大值为______ 1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 3．（24-25七年级下·河北唐山·月考）如图，珍珍同学利用计算器设计了一个计算程序，输入一个正整数值，相应地会输出一个值． (1)若输入的值为偶数，且输出的值不大于6，求输入的值； (2)若输出的值大于52，求输入的最小值．   【经典例题九 列一元一次不等式】 【例1】（25-26七年级下·广东梅州·期中）某商场促销，小明将促销信息告诉了妈妈，小明妈妈假设某一商品的定价为x元，并列出不等式为，那么小明告诉妈妈的信息是（   ） A．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不超过900元 B．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不超过900元 C．买两件等值的商品可减100元，再打八折，最后不到900元 D．买两件等值的商品可打八折，再减100元，最后不到900元 【例2】（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图，______50（填“”或“”）． 1．（25-26七年级下·福建泉州·期中）语句“与的的差是非负数”表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（广东深圳市2025—2026学年第二学期学科素养期中调研诊断八年级数学（第一章~第四章））美国“阿尔忒弥斯2号”载人绕月飞行任务中，飞船需要从地球出发，绕月球飞行后返回地球．已知地球到月球的平均距离约为，飞船在月球轨道附近执行任务（停留）约48小时．整个任务的总时间（包括飞行和停留）要求不超过168小时．设飞船往返的平均速度为，则应满足的不等式是______． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）某苹果种植商组织10辆汽车装运，两种苹果到外地销售．按规定每辆汽车只装一种苹果且必须装满．已知每辆汽车运载量及每吨苹果获利如下表： 苹果品种 每辆汽车运载量 3 2 每吨苹果获利元 500 900 (1)若要求一次性运出苹果超过，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的不等式； (2)若要求共获利不少于15000元，试写出装运种苹果的汽车辆数应满足的另一个不等式． 【经典例题十 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（25-26七年级下·山东济南·期中）为提高学生的安全意识，某校举办了安全知识竞答活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分．设答对了道题，若得分不低于80分，可列出关于的不等式是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·山西晋中·期中）随着Deepseek的AI技术开发，更大激活智能机器人应用市场，为了更方便地服务广大读者，某图书馆准备引进智能机器人服务读者．同时购进甲、乙两种型号的机器人，已知甲种型号的智能机器人单价为15万元，乙种型号的智能机器人单价为10万元，图书馆经过统筹安排，准备用不超过120万元的资金购进甲、乙两种型号的机器人共10套（两种型号均有），那么图书馆最多能购进________套甲种型号的智能机器人． 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）2026马年春晚以“骐骥驰骋势不可挡”为主题，推出了四款吉祥物骏马徽章，分别是“骐骐” “骥骥” “驰驰” “骋骋”． 某校组织师生观看春晚后，计划购买 “骐骐” “骥骥” 这两款徽章共 40 枚作为活动纪念品． 已知 “骐骐” 徽章每枚 22 元，“骥骥” 徽章每枚 16 元． (1)若该校购买这两款徽章共花费 760 元，求购买 “骐骐” 徽章的数量； (2)如果学校购买 “骐骐” 徽章的数量不少于 “骥骥” 徽章数量的 ，求至少购买 “骐骐” 徽章多少枚？ 2．（25-26七年级下·山东东营·期中）根据如表所示素材，探索完成任务． 东营作为黄河三角洲中心城市，近年大力推进绿色照明工程，城区主干道、小区、学校已全面普及节能灯 素材一 为了节能减排，晶扬工厂决定将照明灯换成节能灯． 采购批次 甲型节能灯（盏） 乙型节能灯（盏） 采购总费用（元） 第一次 4 5 64 第二次 6 2 52 素材二 两种型号的节能灯共50盏 素材三 总费用不超过360元 问题解决 (1)任务一：求1盏甲型节能灯和1盏乙型节能灯的售价各是多少元； (2)任务二：该工厂最少可以购买多少盏甲型节能灯． 3．（25-26七年级下·山西晋中·期中）活动目的：采购三晋特色文创玩偶 活动背景：“表里山河，文脉绵长；三晋匠心，指尖流芳”．为传承山西优秀传统文化，某文化传播公司计划采购一批具有三晋特色的文创玩偶，用于“晋韵流芳”主题展览的互动体验和纪念品发放． 素材一：购买3个“晋侯鸟尊”玩偶和4个“刀削面”玩偶共需170元；购买5个“晋侯鸟尊”玩偶和2个“刀削面”玩偶共需190元． 素材二：该公司计划购买这两种玩偶共20个．为降低采购成本，文创工坊推出两种优惠方案（只能选择其中一种方案，每种玩偶都需要购买） 素材三：方案一：购买任意玩偶满10个，总价打九折； 方案二：购买“晋侯鸟尊”玩偶每个优惠，其它按原价销售． (1)任务一：求“晋侯鸟尊”玩偶和“刀削面”玩偶每个的批发单价． (2)任务二：设购买“晋侯鸟尊”玩偶个，采用方案一支付费用为，采用方案二支付费用为，请你帮助采购部门选择购买方案． 【经典例题十一 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】（24-25七年级下·河北雄安·阶段检测）数轴是认识数形结合的重要工具如图，数轴上有A，B两点，分别表示和，且点A在点B左侧，则x的值可以是（   ） A． B． C． D．0 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 1．（25-26七年级下·云南昭通·期中）用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为，设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为多少（用含x的代数式表示）． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，嘉琪设计了一个动画，已知数轴上点，，表示的数分别为，，，是的中点，机器人（看成点）从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动，当机器人到达点时，机器人（看成点）同时从点出发，以个单位长度秒的速度沿数轴正方向运动．设机器人的运动时间为秒． (1)的长为______个单位长度，x的值为______； (2)当时，求点M表示的数； (3)当机器人M，N之间的距离小于等于2个单位长度时，机器人M变成彩色，求机器人M变成彩色的总时长； 3．（25-26七年级上·福建漳州·月考）如图1，边长为的正方形硬纸板的4个角上剪去相同的小正方形，这样可制作一个无盖的长方体纸盒，设底面边长为． (1)这个纸盒的底面积是______，高是______；（用含有a，x的代数式表示） (2)若x的部分取值及相应的纸盒容积如表所示，请通过表中的数据计算：______，______；（表中的其余空格不用填） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 纸盒容积 m n (3)若将正方形硬纸板按图2方式裁剪，亦可制作一个无盖的长方体纸盒．若为该纸盒制作一个长方形盖子，则该长方形盖子的两边长分别是______，______；（用含有a，y的代数式表示） (4)某工厂计划用张长方形白板纸制作图2型号的长方体有盖纸箱，四个侧面和两个底面恰好能做成一个纸箱．如图3，每张白板纸可以用三种方法剪裁，其中第一种裁法：一张白板纸裁成4个侧面：第二种裁法：一张白板纸裁成3个侧面与2个底面：第三种裁法：一张白板纸裁成2个侧面与4个底面．设按第一种方法剪裁的白板纸有m张，按第二种方法剪裁的白板纸有n张．当m，n满足怎样的数量关系时，制作该种型号的长方体纸箱的个数最多？最多可制作多少个？ 【拓展训练一 不等式变形问题】 【例1】（24-25七年级下·河北保定·期末）梓琦同学在进行不等式的变形时，有几道题做错了，请帮助老师找出不等式变形正确的一项（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质： （1）由x＞－3，得x＞－6；___________； （2）由3＋x≤5，得x≤2；______________； （3）由－2x＜6，得x＞－3；____________； （4）由3x≥2x－4，得x≥－4._____________． 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）将下列不等式化成“”或“”的形式，并说明是如何变形得到的． (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级下·广西河池·期末）【阅读材料】我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或式子的大小，解决问题时一般要进行一定的转化，“求差法”就是常用的方法之一．所谓“求差法”，就是通过求差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较两个数a，b的大小，只要求出它们的差．若，则；若，则；若，则． 【解决问题】 (1)已知，试比较，的大小； (2)若，，，求a的取值范围． 3．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考 下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务． ×年×月×日    星期五    晴 我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程． 例（1）已知，试比较与的大小． 解：∵，，．（依据1） ∴．（依据2） 例（2）已知，，试比较与的大小． 解：∵，∴．① ∵，∴．② 由不等式①②，得． 任务： (1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________． (2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系． 【拓展训练二 含参数不等式计算】 【例1】（25-26七年级下·河南南阳·期中）已知关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值可以是（  ） A．5 B．4 C．3 D．2 【例2】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______． 1．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）已知． (1)判断不等式是否成立？并说明理由； (2)若成立，则应满足的条件是______． 2．（25-26七年级下·河南周口·期中）已知方程组 (1)若方程组的解满足，求m 取值范围； (2)若，直接写出方程组的解． 3．（25-26七年级下·上海黄浦·期中）已知关于x、y的方程组，若方程组的解满足，求的最大整数值． 【拓展训练三 一元一次不等式解的新定义运算】 【例1】（24-25七年级下·福建三明·期中）定义新运算：※．例如，※，则不等式※的解集为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·广东深圳·期中）新定义规定以下变换：，若，则的取值范围是____． 1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）在实数范围内规定新运算“@”，其规则是：，已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，求的值． 2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）新定义型阅读理解题：已知任意实数，定义的含义为当时，，当时，． (1)若，求的取值范围； (2)求的最大值． 3．（24-25七年级下·四川甘孜·期末）对于实数 ，我们定义符号的意义为: 当时，； 当时，；如：；，根据该定义运算完成下列问题： (1)_______，当时，_______； (2)若 ，求的取值范围； (3)若关于 的函数为，求该函数的最大值． 【拓展训练四 一元一次不等式实际综合应用】 【例1】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【例2】（25-26七年级下·山东青岛·期中）某校举行“学以致用，数你最行”数学知识抢答赛，规则如下：每位选手有基础分20分，需回答20道题，每答对一道题得4分，每答错或不答一道题扣2分．在这次抢答赛中，八年级1班代表队被评为优秀（88分或88分以上），则这个队至少答对了______道题． 1．（25-26七年级下·山东东营·期中）新能源汽车行业已进入从“高速扩张”向“高质量发展”转型的关键阶段．李叔叔购买了一辆新能源汽车，现在面临充电方案的选择，经过调查，有两种方案： 第一种方案（家用充电）：安装家用充电桩所需费用为1750元，电费每度0.5元； 第二种方案（公用充电）：仅有电费，电费每度1.2元． 请问该车充电总量为多少度时，选择方案一所需充电总费用较少？ 2．（2026·山西阳泉·一模）某初中八年级1班学生在博物馆进行研学活动，博物馆有人工讲解与智能AI讲解两种讲解服务可供选择，人工讲解每个小组可以请一位讲解员，费用由组员均摊，优点是可以随时与讲解员互动，但价格较高；智能AI讲解需组内每位同学租赁语音导览器，不能互动但价格较低．八年级1班共有7个小组，每组6人．若有4个组选择人工讲解、3个组选择智能AI讲解，所需总费用为1500元；若有2个组选择人工讲解，5个组选择智能AI讲解，所需总费用为1380元． (1)分别求请一位人工讲解员和租赁一个语音导览器的单价； (2)若要求此次讲解的总费用不高于1600元，请问至少有几个组选择智能AI讲解？ 3．（25-26七年级下·黑龙江牡丹江·月考）某数码配件店计划购进A、B两款手机壳，已知购进3个A种手机壳和2个B种手机壳共需190元，购进4个A种手机壳和3个B种手机壳共需270元． (1)每个A种手机壳和每个B种手机壳的进价分别是多少元？ (2)A种手机壳每个售价45元，B种手机壳每个售价75元．若该配件店计划购进A、B两种手机壳共100个，其中A种手机壳不少于40个，两种手机壳全部售出后获得的利润不低于2080元，问有哪几种进货方案？ (3)厂家为拓宽市场，下调了两种手机壳的进价：每个A种手机壳降价5元，每个B种手机壳降价10元，该配件店若用（2）中获利最大的方案进货，节省下来资金全部用于再次同时购进A、B两种手机壳，请直接写出再次购进时，两种手机壳数量之和最大的购进方案． A基础训练 1．（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知，下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）不等式的解集在数轴上表示为（  ） A． B． C． D． 4．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）某足球迷协会组织72名球迷租乘汽车赶往比赛场地，为中国队加油助威，可利用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘6人，要求租用的车不留空座，也不超载，则租车方案共有（   ） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 5．（24-25七年级下·全国·单元测试）如图为歌神的两种计费方案说明．若嘉淇和朋友们打算在此的一间包厢里连续欢唱，经服务员计算后，告知他们选择包厢计费方案会比人数计费方案便宜，则他们同一间包厢里欢唱的人数至少有（      ） 歌神KTV 包厢计费方案： 包厢每间每小时225元 每人需另付入场费25元 …………… 人数计费方案： 每人欢唱3小时135元 接着续唱每人每小时20元 A．6 人 B．7 人 C．8人 D．9人 B 提高训练 6．（2025·浙江台州·模拟预测）如果，那么的取值范围是______． 7．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知是关于x的一元一次不等式，则______． 8．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，这是在数轴上表示的一个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是________． 9．（25-26七年级下·北京·期中）已知关于、的二元一次方程组，如果，那么的取值范围是___________． 10．（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    C 培优训练 11．（24-25六年级下·全国·课后作业）判断下列不等式是不是一元一次不等式． （1）．    （2）．    （3）． 12．（2026·安徽阜阳·二模）解不等式：，并将解集在数轴上表示出来． 13．（25-26七年级下·河南南阳·期中）解答 (1)已知，判断与的大小关系如何？并说明理由； (2)已知都是负数，且，请判断与的大小关系如何？并说明理由． 14．（25-26七年级下·全国·课后作业）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 15．（25-26七年级下·广东深圳·期中）下面是小明同学解一元一次不等式的部分解答过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 移项，得…………第三步… (1)小明的解答从第________步开始出现错误，错误的原因是________； (2)请写出不等式的正确解答过程，并在数轴上表示它解集； (3)请你给同学们提出在解一元一次不等式时避免解答出错的一条建议． 学科网（北京）股份有限公司 $