精品解析：2026年四川省内江市第一中学九年级 二模考试数学试题

内江一中初2026届初三二模数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 实数的绝对值是（　　） A. B. C. D. 1 2. 据统计，2024年元旦假期，某市推出多项文旅活动，共接待游客204.58万人次，实现旅游收入14.12亿元．将数据1412000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图，则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（ ） A. 4.8，4.8 B. 13，13 C. 4.7，13 D. 13，4.8 8. 正八边形如图所示，与交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某方舱医院采购A,B两种型号的机器人进行院内物资配送．已知每小时A型机器人配送的物资比B型机器人少200件；配送800件物资A型机器人所用的时间比型机器人多40分钟，两种型号机器人每小时分别配送多少件物资？若设型机器人每小时配送x件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 若干个数，第一个数记为，规定运算：，，，，…，.按上述方法计算：当时，的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 12. 如图，中，，，边上的高，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，点，，分别在边1，，上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 分解因式：____________． 14. 若a，b为实数，且b＝＋－11，则a＋b的立方根为_______． 15. 如图，将半径为的圆形纸片剪去圆心角为的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是________． 16. 如图，在矩形中，为边上一点，连接，作点关于对称的点，连接．若，点到边的距离之比为，则______． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. （1）计算： ； （2）化简：． 18. 如图，在中，，D是中点、F是中点，是的外角的平分线，延长交于点E．连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 20. 开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚处，测得铁塔顶端M的仰角为，沿山坡向上走35m到达处，测得铁塔顶端的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME（结果精确到1m，参考数据：）． 21. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式=___． 23. 已知的三边、、满足，则的面积为_________． 24. 如图，是等边三角形，，点在上，，直线，垂足为，分别是边，直线上的动点，则的最小值是____． 25. 如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线经过点C，则的值是_____． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 26. 阅读材料：教材为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数；第行的个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： （1）的展开式为_________； （2）的展开式中共有_________项，从右往左第二项的系数是_________； （3）计算：． 27. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）已知，求的值． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作轴，垂足为点E，交于点D，连接，求的面积； （3）如图2，连接，点E是线段上（不与点O、B重合）的点，过点E作轴，交抛物线于点F，交于点D，点P是线段上一动点，过P作轴，垂足为Q，点G为线段的中点，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中初2026届初三二模数学试题 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 实数的绝对值是（　　） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】解：| 故选B 2. 据统计，2024年元旦假期，某市推出多项文旅活动，共接待游客204.58万人次，实现旅游收入14.12亿元．将数据1412000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键． 【详解】∵， 故选C． 3. 如图是由个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看是四个小正方形， 故俯视图为： ． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法即可得出结果． 【详解】解：，故选项此符合题意． 不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意． ，故此选项不符合题意． ，故此选项不符合题意． 故选： 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握幂的运算是解此题的关键． 5. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形及轴对称图形的概念逐一判定即可． 【详解】解：A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，不是轴对称图形，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 6. 函数中，自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式及二次根式有意义的条件解答即可. 【详解】∵有意义， ∴x+1≠0，2-3x≥0， 解得：且， 故选D. 【点睛】本题考查分式及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0；要使二次根式有意义，被开方数大于等于0. 7. 为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图，则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（ ） A. 4.8，4.8 B. 13，13 C. 4.7，13 D. 13，4.8 【答案】A 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义求解． 【详解】解：由图可知，视力为4.8的学生人数最多，因此众数是4.8， 将50名学生视力情况按从小到大顺序排列，第25和26位都是4.8，因此中位数是4.8， 故选A． 【点睛】本题考查求一组数据的中位数和众数，正确从条形统计图中获取信息是解题的关键． 8. 正八边形如图所示，与交于点O，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和和正多边形的性质，根据正多边形的性质可得多边形的内角和公式求出，再求出即可解决问题． 【详解】解：∵正八边形，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 某方舱医院采购A,B两种型号的机器人进行院内物资配送．已知每小时A型机器人配送的物资比B型机器人少200件；配送800件物资A型机器人所用的时间比型机器人多40分钟，两种型号机器人每小时分别配送多少件物资？若设型机器人每小时配送x件，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设A型机器人每小时配送x件物资，根据“配送800件物资A型机器人所用的时间比型机器人多40分钟”列出方程即可． 【详解】解：设型机器人每小时配送x件，列方程为， 故选B． 【点睛】此题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 10. 如图，在中，，D、E分别为中点，连接相交于点F，点G在上，且，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，首先得到，，然后证明出，进而得到，然后利用三角形面积公式求出，最后利用求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵D、E分别为中点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线的性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 11. 若干个数，第一个数记为，规定运算：，，，，…，.按上述方法计算：当时，的值等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数式运算规律型，通过计算观察发现规律是解题的关键． 把代入计算，得出规律：的值每三个一循环，而，则，即可得出答案． 【详解】解：当时，则 ， ， ， ， … 由此可知，的值每三个一循环， ∵， ∴， 故选：D． 12. 如图，中，，，边上的高，点，，分别在边，，上，且四边形为正方形，点，，分别在边1，，上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得的长，设，，根据正方形的性质得，推出，求得其相似比，依此类推和的相似比为，据此求解即可． 【详解】解：∵边上的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴和的相似比为， 同理：和的相似比为， ∴和的相似比为， 依此得：和的相似比为， ∴和的相似比为， ∴，即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，图形类规律探究，解题的关键是根据图形的变化寻找规律． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13. 分解因式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】先将原式变形得到相同公因式，提取公因式后利用平方差公式继续分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 14. 若a，b为实数，且b＝＋－11，则a＋b的立方根为_______． 【答案】-2 【解析】 【分析】先根据被开方数的非负性求出a、b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵b＝＋－11 ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴a＋b的立方根为2． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查被开方数的非负性、立方根等知识点，根据算术平方根的性质确定a、b的值是解答本题的关键． 15. 如图，将半径为的圆形纸片剪去圆心角为的一个扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），这个圆锥的高是________． 【答案】12 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，由于剩下扇形的弧长等于圆锥底面的周长，根据弧长公式得，解方程得，然后利用勾股定理可计算出圆锥的高． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，根据题意得， 解得， 所以圆锥的高为． 故答案为12 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 16. 如图，在矩形中，为边上一点，连接，作点关于对称的点，连接．若，点到边的距离之比为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、轴对称的性质、勾股定理，过点作于，交于，则四边形是矩形，得出，结合点到边的距离之比为，得出，，由勾股定理得出，再由勾股定理得出，求出，再利用勾股定理求解即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于，交于， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ， ， 点到边的距离之比为， ， ，， 由轴对称的性质可得：垂直平分， ，， ， ， ， ，即， 解得：， ∴ 故答案为：． 三、解答题（本大题共5小题，共48分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 17. （1）计算： ； （2）化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，求一个数的绝对值，零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，分式的化简等知识点，解题的关键是熟练掌握各运算法则． （1）利用求一个数的绝对值，零指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值的运算法则逐步计算即可； （2）先进行括号内的分式的加法，利用提公因式法和公式法对分式进行因式分解，然后再约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 18. 如图，在中，，D是中点、F是中点，是的外角的平分线，延长交于点E．连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵是外角的平分线， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵F为的中点，D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，点D为中点， ∴， ∴， ∴四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据是的外角的平分线，推得，再由得，则，即可证明； （2）由（1）证明是等边三角形，求出，的长即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知四边形是矩形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵D为的中点， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 19. “基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知，，，，五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图． （1）请将条形统计图补充完整； （2）在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为_________；若该市有中学生参加本次活动，则选择大学的大约有_________人； （3）甲、乙两位同学计划从，，三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率． 【答案】（1） 补全统计图如图所示， （2）；． （3） 【解析】 【分析】（1）根据的人数除以占比得到总人数，进而求得的人数，补全统计图即可求解； （2）根据的占比乘以得到圆心角的度数，根据乘以选择的人数的占比即可求解； （3）根据列表法求概率即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为（人） ∴选择大学的人数为． 【小问2详解】 在扇形统计图中，所在的扇形的圆心角的度数为， 选择A大学的大约有（人） 故答案为：；． 【小问3详解】 列表如下， 甲 乙 共有9种等可能结果，其中有3种符合题意， ∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，列表法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 20. 开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚处，测得铁塔顶端M的仰角为，沿山坡向上走35m到达处，测得铁塔顶端的仰角为．已知山坡坡度，即，请你帮助该小组计算铁塔的高度ME（结果精确到1m，参考数据：）． 【答案】约55米 【解析】 【分析】如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，根据已知可设米，则米，从而在中，利用勾股定理求出米，进而求出，的长，然后再设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于y的方程，进行计算即可解答． 【详解】 解：如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得： ，， 在中，， ∴设米，则米， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴（米），（米）， 设米， 在中，， ∴（米）， ∴米，米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的根， ∴（米）， ∴铁塔的高度约为55米． 【点睛】本题考查了解直角三角形中仰角俯角问题，坡度问题，根据题意，结合图形画出正确的辅助线是解题的关键． 21. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．） 22. 如果是两个不相等的实数，且满足，那么代数式=___． 【答案】2033 【解析】 【分析】根据已知：是两个不相等的实数，且满足，可知m、n是一元二次方程的两个不相等的实数根，得，又，代入所求代数式得解． 【详解】解：是两个不相等的实数，且满足， m、n是一元二次方程的两个不相等的实数根， ， 又， = = = =2033． 故答案为：2033． 【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．熟练运用一元二次方程的根与系数的关系把代数式化成两根和、积的形式是解此题的关键． 23. 已知的三边、、满足，则的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，算术平方根的非负性，完全平方公式，勾股定理的逆定理，先根据，得出，求出，，，根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而求得面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得：，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， ∴的面积为 故答案为：． 24. 如图，是等边三角形，，点在上，，直线，垂足为，分别是边，直线上的动点，则的最小值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，30度角的性质，勾股定理，等边三角形的性质． 作D关于直线的对称点G，连接，则，根据直线得到G、B、D、C在一条直线上，，根据轴对称的性质得到，由垂线段最短可知当时，有最小值，根据等边三角形的性质得到，即，根据30度角的性质得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作D关于直线的对称点G，连接，则， ∵直线， ∴， ∴， 即G、B、D、C在一条直线上， ∴， ∵G、D关于直线对称， ∴， 由垂线段最短可知当时，有最小值． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值是． 故答案为：． 25. 如图，已知直线与双曲线交于A，B两点，将线段AB绕点A沿顺时针方向旋转60°后，点B落在点C处，双曲线经过点C，则的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，根据旋转的性质得到△ABC是等边三角形，根据反比例函数和正比例函数的对称性得出OA=OB，即可得出CO⊥AB，证得△BOM∽△OCN，得到，根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：连接OC、BC，作BM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N， ∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵直线与双曲线交于A，B两点， ∴OA=OB， ∴CO⊥AB，∠BCO=∠ACB=30°， ∴， ∵∠BOC=90°， ∴∠BOM+∠CON=90°， ∵∠BOM+∠MBO=90°， ∴∠CON=∠MBO， ∵∠BMO=∠ONC=90°， ∴△BOM∽△OCN， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了旋转的性质，反比例函数与正比例函数的对称性，三角形相似的判定和性质，反比例函数系数k的几何意义，证得是解题的关键． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分．解答应写出必要的文字说明或推演步骤．） 26. 阅读材料：教材为大家介绍了杨辉三角． 我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例． 在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”． 杨辉三角两腰上的数都是，其余每个数为它的上方（左右）两数之和．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数；第行的个数，，，，恰好对应着展开式中各项的系数；等等． 利用上面的规律，完成以下问题： （1）的展开式为_________； （2）的展开式中共有_________项，从右往左第二项的系数是_________； （3）计算：． 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据规律写出第行的个数对应展开式中各项的系数； （2）根据规律得到的展开式共有项，所有项的系数成对称关系，进而可解题； （3）先通过规律写出的展开式，然后令代入即可； 【小问1详解】 解：根据杨辉三角第行的个数分别为，，，，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据规律可知的展开式共有项， ∴的展开式中共有项， 又根据题意可总结出所有项的系数成对称关系， ∴从右往左第二项的系数与从左往右第二项的系数相等， 根据题干规律可发现每个展开式的系数从左往右第二项的系数都为， ∴的展开式从左往右第二项的系数为， ∴的展开式从右往左第二项的系数为； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：通过规律可知： ， ∵ ， ∴， ∴ ． 27. 如图，为的直径，和相交于点F，平分，点C在上，且，交于点P． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）证明：如图1，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）证明：∵为的直径， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，由等腰三角形的性质得，再证，则，然后证，即可得出结论； （2）由圆周角定理得，再证，然后证，得，即可得出结论； （3）过P作于点E，证，再证，得，则，进而得，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图2，过P作于点E， 由（2）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 28. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a、b为常数，）与x轴交于、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点F为抛物线顶点时，过点F作轴，垂足为点E，交于点D，连接，求的面积； （3）如图2，连接，点E是线段上（不与点O、B重合）的点，过点E作轴，交抛物线于点F，交于点D，点P是线段上一动点，过P作轴，垂足为Q，点G为线段的中点，连接．当线段的长度取得最大值时，求的最小值． 【答案】（1） （2）4 （3）8 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用等腰直角三角形的性质，得到，再利用待定系数法求解析式即可； （2）先利用待定系数法求出的解析式，再利用求面积； （3）设，则，利用两点间的距离公式得到，进而得到的最大值及条件，再根据进行求解． 【小问1详解】 在中，当时，， ∴．在中，， ∴，即， 将分别代入中，得 ，解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 ∵， ∴， 设所在直线的函数表达式为， 将分别代入中， 得解得 ∴所在直线的函数表达式为， 当时，， ∴． ∴， ∴． 【小问3详解】 设，其中， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时， ∴， ∴， 如图3，连接，易得， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当E、Q、G共线时，取最小值，即取最小值， 如图3，过点G作于点H，易得，，则， ∴， ∴当线段的长度取得最大值时，的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $