精品解析：2022年四川省内江市第二中学九年级数学中考二模试题

内江二中2021-2022学年度下期初2022届二模考试 数学试卷 一．选择题（ 本大题共12小题，每题3分，共36 分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 2. 据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 全国文明典范城市是全国文明城市的升级版，也是文明城市的标杆．2021年，长沙市抬高创建坐标，全力以赴推进“全国文明城市”向“全国文明典范城市”迭代升级．12月25日，长沙市文明办组织开展“长沙文明十二点”网络征集广纳建言活动，面向社会各界广泛征求意见和建议．芙蓉区某中学的小亮响应号召，对自己居住小区家庭使用垃圾袋的情况进行了调查，小亮随机调查了小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下（单位：个）：7，7，7，8，8，9，9，10，11，14关于这组数据下列结论正确的是（ ） A. 平均数是10 B. 众数是7 C. 中位数是8 D. 极差是6 7. 如图，将以O为位似中心，扩大到 ，各点坐标分别为，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，为线段 上一动点，于点于点Q，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，AB是 的直径， 的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 15 12. 如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，， ，交轴于点，边交反比例函数的图象于点，记 的面积为，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 因式分解： ____________ ． 14. 一组线段，长度分别为1，2，2，3任取三条，能组成三角形的概率是_____ 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 16. 如图，已知，、的交点为，现作如下操作： 第一次操作，分别作 和的平分线，交点为， 第二次操作，分别作和的平分线，交点为， 第三次操作，分别作和的平分线，交点为， … 第次操作，分别作和的平分线，交点为． 若度，那等于__________度． 三．解答题（本大题共5小题，共44分） 17. 计算：． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF． 求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形EBFD是平行四边形． 19. 某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门．某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图： （1）请你求出该班的总人数，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）； （2）在扇形统计图中，“篮球”所在扇形的圆心角度数为______度； （3）在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？ 20. 小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号） 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ B卷 四、填空题（共4小题，每小题6分，共24分） 22. 如果，那么的值为_____． 23. 如图，在中，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时，点也从点开始沿射线方向以 的速度运动．_____秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为？ 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是__． 25. 【阅读】计算的值. 令，则，因此， 所以，即. 依照以上推理，计算：_____． 五、解答题（共3小题，每小题12分，共36分） 26. 定义：在平面直角坐标系中，称两个不同的点P和点Q为“云对称点”如：点（，1）和（，3）是一对“云对称点”． （1）下列函数中，其图象上至少存在一对“云对称点”的，请在相应题目后面的横线上打“√”，不存在的打“×”． ① ________； ②________； ③________； （2）如图，直线l：与反比例函数（）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“云对称点”，若，求k的值； （3）抛物线上是否存在一对“云对称点”？如果存在，请求出这一对“云对称点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由． 27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． （1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EA＝EF＝1，求圆O的半径． 28. 如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC． （1）求二次函数的解析式； （2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江二中2021-2022学年度下期初2022届二模考试 数学试卷 一．选择题（ 本大题共12小题，每题3分，共36 分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】解:∵， ∴的倒数是． 故选择A． 【点睛】本题考查倒数的定义，掌握倒数的定义是解题关键． 2. 据国家卫生健康委员会发布，截至2021年5月23日，31个省（区、市）及新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗51085.8万剂次，将“51085.8万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式，其中，n为整数，一定要将题目中的“51085.8万”转化为数字510858000，即可将题目中的数据用科学记数法表示出来． 【详解】51085.8万=510858000 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查科学记数法的表示形式，科学记数法的表示形式，其中，n为整数，此题容易将题目中的“万”遗漏，掌握科学记数法的表示形式是解题关键． 3. 如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单几何体的三视图中俯视图从上面看得到的图形即可求解． 【详解】解：从上面看简单组合体可得两行小正方形，第二行四个小正方形，第一行一个小正方形右侧对齐． 故选C． 【点睛】此题主要考查三视图的判断，解题的关键是熟知三视图的定义． 4. 以下是我国部分博物馆标志的图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转 ，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意； D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意． 故选：D． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用合并同类项法则可判定A，利用积的乘方法则与幂的乘方法则可判定B，利用同底数幂乘法法则可判定C，利用完全平方公式可判定D． 【详解】解：A. ，故选项A计算不正确； B. ，故选项B计算正确； C. ，故选项C计算不正确； D. ，故选项D计算不正确． 故选择B． 【点睛】本题考查同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式，掌握同类项合并，积的乘方与幂的乘方，同底数幂乘法，完全平方公式是解题关键． 6. 全国文明典范城市是全国文明城市的升级版，也是文明城市的标杆．2021年，长沙市抬高创建坐标，全力以赴推进“全国文明城市”向“全国文明典范城市”迭代升级．12月25日，长沙市文明办组织开展“长沙文明十二点”网络征集广纳建言活动，面向社会各界广泛征求意见和建议．芙蓉区某中学的小亮响应号召，对自己居住小区家庭使用垃圾袋的情况进行了调查，小亮随机调查了小区10户家庭一周垃圾袋的使用量，结果如下（单位：个）：7，7，7，8，8，9，9，10，11，14关于这组数据下列结论正确的是（ ） A. 平均数是10 B. 众数是7 C. 中位数是8 D. 极差是6 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数，众数，中位数和极差的定义求解判断即可． 【详解】解：由题意得这组数据的平均数为，故A不符合题意； ∵数据7出现了3次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为7，故B符合题意； ∵一共有10个数据，处在最中间的2个数据分别是8，9， ∴中位数为 ，故C不符合题意； 极差为14-7=7，故D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了平均数，众数，中位数和极差，熟知四者的定义是解题的关键． 7. 如图，将 以O为位似中心，扩大到 ，各点坐标分别为，，，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先设比例系数为k，根据2k=6求出k值，进一步求出点C坐标． 【详解】解：设比例系数为k，则有2k=6， 解得k=3， ∴点C的坐标为（1×3，2×3），即为（3，6）， 故选：B． 【点睛】本题考查位似变化，掌握位似变换中点的坐标变化特征是解决问题的关键． 8. 化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 9. 如图，在矩形中，为线段上一动点，于点于点Q，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接CM，先证四边形PCQM是矩形，得PQ = CM，再由勾股定理得BD=3，当CM BD时，CM最小，则PQ最小，然后由面积法求出CM的长，即可得出结论． 【详解】解：连接CM，如图， 于点P，于点Q， ， 四边形ABCD是矩形， AD=1，CD=AB=，， 四边形PCQM是矩形， ， 在中，， 当CM BD时，CM最小，则PQ最小， 此时，， ， 的最小值为． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 10. 如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由垂径定理可知，AE=CE，则阴影部分的面积等于扇形AOD的面积，求出，然后利用扇形面积公式，即可求出答案． 【详解】解：根据题意，如图： ∵AB是的直径，OD是半径，， ∴AE=CE， ∴阴影CED的面积等于AED的面积， ∴， ∵ ，， ∴， ∴； 故选：B 【点睛】本题考查了求扇形的面积，垂径定理，解题的关键是掌握所学的知识，正确利用扇形的面积公式进行计算． 11. 若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ） A. 5 B. 8 C. 12 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到解得，再解分式方程得到，根据分式方程的解是正整数，得到 ，且是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得， 不等式组的解集为： 解分式方程得 整理得， 则 分式方程的解是正整数， ，且是2的倍数， ，且是2的倍数， 整数a的值为-1, 1, 3, 5, 故选：． 【点睛】本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 12. 如图，点，分别在轴正半轴、轴正半轴上，以为边构造正方形，点，恰好都落在反比例函数的图象上，点在延长线上，， ，交轴于点，边交反比例函数的图象于点 ，记 的面积为，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点作轴，过点作轴，设，，证明，并得到，，根据反比例函数的性质得，即，继而得到 是等腰直角三角形，已知 的面积为，可得，又因为在反比例函数的图象上，可得，即可求出 ，，再求出直线的表达式，利用方程组确定点 的坐标，求出和，即可得出的面积． 【详解】解：如图，过点作轴，过点作轴，设，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴， ， ∴， ∵在 和 中， ， ∴， ∴，， ∵在 和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 又∵，在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴，， ∵ ， ∴ 是等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵在反比例函数的图象上，即， ∴ ，， ∴，，反比例函数的表达式为， 设：直线的表达式为， ∴，解得：， ∴直线的表达式为， ∵，解得：或， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的点的特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数的解析式等，利用设出的，表示出相关点的坐标是解答本题的关键． 二．填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 因式分解： ____________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解． 先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 14. 一组线段，长度分别为1，2，2，3任取三条，能组成三角形的概率是_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了能组成三角形的条件及概率问题．先确定从四条线段中任取三条的所有可能组合再用能组成三角形的组合数除以总组合数得到概率． 【详解】解：从长度分别为1，2，2，3任取三条，共有四种可能，分别是，，，． 第一组中，能组成三角形； 第二组中，不能组成三角形； 第三组中，不能组成三角形； 第四组中，能组成三角形； 共有两种可能组成三角形． 能组成三角形的概率是：． 故答案为：． 15. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】-3． 【解析】 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，则，根据根与系数的关系得出，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ = =1+2×（-2） =-3 故答案为：-3． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了一元二次方程的解． 16. 如图，已知，、 的交点为，现作如下操作： 第一次操作，分别作 和的平分线，交点为， 第二次操作，分别作和的平分线，交点为， 第三次操作，分别作和的平分线，交点为， … 第次操作，分别作和的平分线，交点为． 若度，那等于__________度． 【答案】 【解析】 【分析】先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC；同理可得∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，得出∠BE3C∠BEC；…据此得到规律∠En∠BEC，最后求得∠BEC的度数． 【详解】如图1，过E作EF∥AB． ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B=∠1，∠C=∠2． ∵∠BEC=∠1+∠2， ∴∠BEC=∠ABE+∠DCE； 如图2． ∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1， ∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1∠ABE∠DCE∠BEC． ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2∠ABE1∠DCE1∠CE1B∠BEC； ∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3∠ABE2∠DCE2∠CE2B∠BEC； … 以此类推，∠En∠BEC， ∴当∠En=1度时，∠BEC等于2n度． 故答案为：2n． 【点睛】本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． 三．解答题（本大题共5小题，共44分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂，二次根式，解题的关键是掌握相应的运算法则，注意熟记特殊角的三角函数值． 利用特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂，有理数的乘方，负整数指数幂分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解： 18. 如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是DA、BC延长线上的点，且∠ABE＝∠CDF． 求证：（1）△ABE≌△CDF； （2）四边形EBFD是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据条件，由ASA即可得出△ABE≌△CDF； （2）由全等三角形的性质得出AE＝CF，由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，证出DE＝BF，即可得出四边形EBFD是平行四边形． 【详解】证明：（1）∵四边形ABD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠BAD＝∠DCB， ∴∠BAE＝∠DCF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴AE＝CF（全等三角形对应边相等）， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴AD+AE＝BC+CF， 即DE＝BF， ∴四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 19. 某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选修其中1门．某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图： （1）请你求出该班的总人数，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）； （2）在扇形统计图中，“篮球”所在扇形的圆心角度数为______度； （3）在该班团支部4人中，有1人选修排球，2人选修羽毛球，1人选修乒乓球．如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的概率是多少？ 【答案】（1）50人，见解析 （2）122.4 （3）见解析， 【解析】 【分析】（1）由排球有12人，占24%，即可求得该班的总人数，继而求得足球的人数，即可补全条形统计图； （2）根据“篮球”所在扇形的圆心角度数=360°×篮球所占百分比即可解答； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2人恰好1人选修排球，1人选修羽毛球的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：该班的总人数为12÷24%＝50(人)， 足球科目人数为50×14%＝7(人)， 补全图形如下： 【小问2详解】 “篮球”所在扇形的圆心角度数=； 【小问3详解】 设选修排球的记为A，选修羽毛球记为和，选修乒乓球记为C．画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中恰好有1人选修排球、1人选修羽毛球的占4种， 所以. 【点睛】本题考查了统计与概率，涉及了、条形统计图、扇形统计图，列表法与树状图法．看懂图中数据是解题关键，解题的难点是利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 20. 小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度．他站在湖边看台上，清晰地看到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°，小山顶端A在水中倒影A′的俯角为60°．已知：点O到湖面的距离OD＝3m，OD⊥DB，AB⊥DB，A、B、A′三点共线，A'B＝AB，求小山的高度AB．（光线的折射忽略不计；结果保留根号） 【答案】（6+3）m 【解析】 【分析】过点O作OE⊥AB于E，设AE＝xm，则AB＝（x+3）m，A′E＝（x+6）m，由∠AOE＝45°，可知OE＝AE＝xm，再由tan60°即可得出x的值，进而得出结论． 【详解】解：过点O作OE⊥AB于点E，则BE＝OD＝3m， 设AE＝xm，则AB＝（x+3）m，A′E＝（x+6）m， ∵∠AOE＝45°， ∴OE＝AE＝xm， ∵∠A′OE＝60°， ∴tan60°， 即， 解得x＝3+3， ∴AB＝3+33＝（6+3）m． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 21. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同. （1）求每次下降的百分率； （2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）每次下降的百分率为 （2）该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，根据题意找准等量关系、列出方程是解答本题的关键． （1）设每次下降的百分率为a，为两次降价的百分率，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设每千克应涨价x元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每次下降的百分率为a， 根据题意可得：，解得：（舍）或， 答：每次下降的百分率为 ； 【小问2详解】 解：设每千克应涨价x元，由题意，得 ， 整理，得，解得：， 因为要尽快减少库存，所以符合题意． 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元． B卷 四、填空题（共4小题，每小题6分，共24分） 22. 如果，那么的值为_____． 【答案】0 【解析】 【详解】原等式可变形为： a﹣2+b+1+|﹣1|=4+2﹣5 （a﹣2）+（b+1）+|﹣1|﹣4﹣2+5=0 （a﹣2）﹣4+4+（b+1）﹣2+1+|﹣1|=0 （﹣2）2+（﹣1）2+|﹣1|=0； 即：﹣2=0，﹣1=0，﹣1=0， ∴=2，=1， =1， ∴a﹣2=4，b+1=1，c﹣1=1， 解得：a=6，b=0，c=2； ∴a+2b﹣3c=6+0﹣3×2=0． 23. 如图，在中，，点 从点开始沿射线方向以的速度运动；同时，点也从点开始沿射线方向以 的速度运动．_____秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为？ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据不同情况表示出四边形的面积，进而列出方程求解． 分三种情况讨论，分别用含时间t的式子表示出相关线段长度，再根据四边形面积与三角形面积的关系列出方程求解． 【详解】解：①当P在线段上，Q在线段上时， ， ， ， 得（舍去）； ②当P在线段上，Q在线段延长线上时， ， ，得； ③当P在线段的延长线上，点Q在线段延长线上时， ， ， 解得，都不符合题意，舍去， 综上：或． 故答案为：或． 24. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D是半径为2的⊙A上一动点，点M是CD的中点，则BM的最大值是__． 【答案】 【解析】 【分析】如图，取AC的中点N，连接MN，BN，利用直角三角形斜边中线的性质，三角形的中位线定理求出BN，MN，再利用三角形的三边关系即可解决问题． 【详解】解：如图，取AC的中点N，连接MN，BN， ∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3， ∵AN=NC=AC=， ∴BN=AC= ∵点M是CD的中点， ∴DM=MC， ∴MN=AD=1 ∴BM≤BN＋NM， ∴BM≤+1=， 即BM的最大值是. 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线的性质，三角形的中位线定理，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型． 25. 【阅读】计算的值. 令，则，因此， 所以，即. 依照以上推理，计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查阅读理解能力，正确理解题中所给解题方法并运用是解题的关键. 仿照所给的推理过程，设所求代数式为S，因为底数都为5，所以两边都乘以5得到，再用将两个等式某些项消掉，再利用合并同类项求解即可. 【详解】解：设， 则， 因此， ， ， ， ∴ 即 五、解答题（共3小题，每小题12分，共36分） 26. 定义：在平面直角坐标系中，称两个不同的点P和点Q为“云对称点”如：点（，1）和（，3）是一对“云对称点”． （1）下列函数中，其图象上至少存在一对“云对称点”的，请在相应题目后面的横线上打“√”，不存在的打“×”． ① ________； ②________； ③________； （2）如图，直线l：与反比例函数（）的图象在第一象限内交于点P，点P和点Q为一对“云对称点”，若，求k的值； （3）抛物线上是否存在一对“云对称点”？如果存在，请求出这一对“云对称点”所连线段的中点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）①×；②×；③√； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据定义只需判断点（m，n）在函数图象上时，（−n，−m）也在函数图象上即可； （2）用含k的式子表示出PQ，再由求解即可； （3）设这一对“云对称点”为点P（m，n）和Q（−n，−m），则PQ的中点为，再将P、Q点代入函数解析式，联立方程组求得或，再分情况求解即可． 【小问1详解】 解：①点P（m，n）是 上的点， ∴n＝2m， ∴−m＝≠−2n， ∴ 的图象上不存在“云对称点”； ②点P（m，n）是上的点， ∴， ∴， ∴的图象上不存在“云对称点”； ③点P（m，n）是上的点， ∴， ∴， ∴的图象上存在“云对称点”； 故答案为：×；×；√； 【小问2详解】 解：设 ， ∵P在反比例函数上， ∴， 联立，得，则是方程的根， ∴， ∴， ∴，， 直线和双曲线的另一交点是，是点P的云对称点， ∴，， ， 过O作 于点C， 在直线中，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设一对云对称点为点 ，， ∴PQ的中点为， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，代入①中得，即， 解得或， 当时，与重合，不是云对称点； 当时，与重合，不是云对称点； 当时，PQ的中点坐标为； 综上所述：这一对“云对称点”所连线段的中点坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，反比例函数的图象及性质，理解定义是解题的关键． 27. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F． （1）求证：DH是圆O的切线；（2）若A为EH的中点，求的值；（3）若EA＝EF＝1，求圆O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB=∠OBD=∠ACB，则DH⊥OD，DH是圆O的切线； （2）如图2，先证明∠E=∠B=∠C，则H是EC的中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，由OD是△ABC的中位线，得：OD=AC=，证明△AEF∽△ODF，列比例式可得结论； （3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，证明DF=OD=r，则DE=DF+EF=r+1，BD=CD=DE=r+1，证明△BFD∽△EFA，列比例式为：，则，求出r的值即可． 【详解】（1）连接OD，如图1，∵OB=OD，∴△ODB是等腰三角形，∠OBD=∠ODB①，在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB②，由①②得：∠ODB=∠OBD=∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是圆O的切线； （2）如图2，在⊙O中，∵∠E=∠B，∴由（1）可知：∠E=∠B=∠C，∴△EDC是等腰三角形，∵DH⊥AC，且点A是EH中点，设AE=x，EC=4x，则AC=3x，连接AD，则在⊙O中，∠ADB=90°，AD⊥BD，∵AB=AC，∴D是BC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，OD=AC=，∵OD∥AC，∴∠E=∠ODF，在△AEF和△ODF中，∵∠E=∠ODF，∠OFD=∠AFE，∴△AEF∽△ODF，∴，∴ =，∴ =； （3）如图2，设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，∵EF=EA，∴∠EFA=∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD=∠EAF，则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，∴DF=OD=r，∴DE=DF+EF=r+1，∴BD=CD=DE=r+1，在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，∴BF=BD，△BDF是等腰三角形，∴BF=BD=r+1，∴AF=AB﹣BF=2OB﹣BF=2r﹣（1+r）=r﹣1，在△BFD和△EFA中，∵∠BDF=∠EFA，∠B=∠E，∴△BFD∽△EFA，∴，∴，解得：r1=，r2=（舍），综上所述，⊙O的半径为． 点睛：本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，第三问设圆的半径为r，根据等边对等角表示其它边长，利用比例列方程解决问题． 试题解析： 28. 如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC． （1）求二次函数的解析式； （2）证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式； （3）在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求的值； 【答案】（1）y=x2+x-1 （2） 证明：∵二次函数的解析式为：y=x2+x-1， 令y=0，得0=x2+x-1， 解得x1=-3，x2=2， ∴C（2，0）， ∴BC=5； 令x=0，得y=-1， ∴M（0，-1），OM=1． 又AM=BC， ∴OA=AM-OM=4， ∴A（0，4）． 设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示， 则 ， 解得x1=5，x2=-6（位于第二象限，舍去） ∴D点坐标为（5，4）． ∴AD=BC=5， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形． 设直线BD解析式为：y=kx+b， ∵B（3，0），D（5，4）， ∴， 解得：k=，b=， ∴直线BD解析式为：y=x+． y=x+ （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式； （3）推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出的值. 【小问1详解】 ∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1）， ∴， 解得a=，c=-1．  ∴二次函数的解析式为：y=x2+x-1． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在Rt△AOB中， ， 又AD=BC=5， ∴是菱形． ①若直线l∥BD，如图1所示． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC∥直线l， ∴， ∵BA=BC=5， ∴BP=BQ=10， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数压轴题，正确解答本题需要熟练掌握函数的图象与性质（二次函数与一次函数）、平面图形的性质与应用（平行四边形、菱形、相似三角形、平行线等）．本题涉及考点较多，虽有一点的难度，但相信不少考生均可顺利解答．第（3）问中，需要注意平行四边形ABCD是菱形，这样后续的计算均可迎刃而解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $