精品解析：内蒙古集宁一中2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

2025-2026学年第二学期下学期5月期中考试 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：韩辉 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由正弦定理可得， 且，则 ,故 或 . 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将复数化为 的标准形式，再直接求解虚部即可. 【详解】因为. 而复数的虚部是指 中 的值，不含 ，所以这个复数的虚部为 . 3. 若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆锥侧面展开扇形半径和弧长即可由弧度定义公式求解. 【详解】由题可得圆锥侧面展开扇形半径为圆锥母线长为， 圆锥侧面展开扇形弧长为圆锥底面圆周长为， 所以圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是. 故选：A 4. 某文化传播公司有员工25名，其中包含经理1名、保洁1名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部25名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他23名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、方差以及极差的概念一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意，某文化传播公司25名员工的工资情况组成25个数据， 按大小顺序排列，排在中间的数是中位数，去掉一个最大值和一个最小值， 剩余23个数据按大小顺序排列，排在中间的还是原来的数，所以中位数不变； 平均数是与每一个数据都有关系的量，所以可能会发生变化； 方差也是与每一个数据都有关系的量，所以可能会变化； 极差是与最大值和最小值的差，所以去掉最高和最低的两个数据极差会变小． 故选：B． 5. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对立事件的概率关系和相互独立事件的概率公式计算即可. 【详解】因为事件是相互独立事件，所以与相互独立， 所以， 则. 故选：C. 6. 已知，且向量与向量垂直，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量垂直数量积为零建立方程解出即可. 【详解】因为， 所以， 又， 即，解得：. 7. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线向量定理及相关性质、充分必要条件的定义求解判断即可. 【详解】若存在实数，使，则共线； 若，则同向； 所以“存在实数，使”是“”的必要不充分条件. 8. 在平行四边形中，，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据线性运算及数量积的定义计算求解. 【详解】因为， 在平行四边形中，，， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是复数，则下列命题中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】设，然后由复数运算律可得答案. 【详解】，对于A，，则，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，，则，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD 10. 如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A. ，，，四点共面 B. 为异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于AB，在三棱柱中，分别为的中点，连接， 由是的中位线，得，由，且， 得四边形是平行四边形，则，，因此四点共面，A正确，B错误； 对于C，延长，相交于点，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，，当时，， 又，则，D错误. 故选：AC 11. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用简单随机抽样的意义判断A，利用平均数和方差的计算公式判断B，利用百分位数的定义判断C，利用方差的性质判断D. 【详解】对于A，一个总体含有50个个体，某个个体被抽到的概率为， 以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为，故A正确； 对于B，因为数据1，2，，6，7的平均数是，所以， 这组数据的方差是，故B错误； 对于C，该组数据从小到大排列为12，14，15，17，19，23，27，30， 又，即第70百分位数为第6个数为23，故C正确； 对于D，依题意，，则， 故数据的标准差为，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据复数为纯虚数得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：1. 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理求出三角形外接圆半径，进而求出面积. 【详解】由正弦定理，解得． 所以外接圆的面积为． 故答案为： 14. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】解：由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得，所以， 所以该球的体积的最大值是． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）若，，求的外接圆的半径； （2）若，求的面积． 【答案】（1）1. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正余弦定理化简题设条件，推得，求得，由勾股定理判断为直角三角形，即可求得的外接圆的半径； （2）由余弦定理可得，结合题设条件推得的结论，求得，再利用三角形的面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 在中，由和正弦定理可得：， 再由余弦定理得：，整理得. 因为，则．因，故为直角三角形， 所以的外接圆的半径为. 【小问2详解】 因为，又，所以. 由余弦定理，，可得， 又，且，代入化简，可得.解得， 则的面积为. 16. 设复数，其中，当取何值时， （1）； （2）是纯虚数； （3）是零． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】根据实数、纯虚数、零的定义构造方程组求解即可. 【小问1详解】 若，则，解得：或. 【小问2详解】 若是纯虚数，则，解得：. 【小问3详解】 若是零，则，解得：. 17. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. （1）求圆柱的侧面积; （2）求三棱柱的体积. （3）求直三棱柱的外接球的体积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据圆柱的体积和结构特点求圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的侧面积公式求解. （2）根据柱体的体积公式求解. （3）先求三棱柱的外接球半径，再利用球体体积公式求解. 【小问1详解】 设底面圆的直径为，则其高也为; 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为. 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为，因此边长， 所以三棱柱的体积. 【小问3详解】 设三棱柱的外接球半径为， 则， 所以三棱柱的外接球体积为：. 18. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【答案】（1） （2）300人 （3） 【解析】 【分析】（1）由所有频率之和为1求解； （2）由年龄在内的频率计算求解； （3）由频率分布直方图的平均数计算公式计算求解. 【小问1详解】 由题可知组距为， 则： 解得：. 【小问2详解】 这500名中国AI大模型用户的年龄在内的频率为： 所以这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为：人. 【小问3详解】 估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数为： . 19. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训. （1）已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率； （3）从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答） 【答案】（1）样本空间： “选取的2人全部来自部门领导”的概率为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用组合计数方法求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. （3）利用（1）中结果求得基本事件的个数，记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导，直接求出事件包含的基本事件的个数，利用古典概率公式，即可求解. 【小问1详解】 记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，样本空间为： ，共15种， 选取2人全部来自部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. 【小问2详解】 记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 【小问3详解】 由（1）知，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，共有种， 记事件：第一天选到部门领导且第二天选到部门领导， 则事件包含：，共种， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期下学期5月期中考试 高一数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：韩辉 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 若圆锥底面半径为1，高为，则圆锥侧面展开扇形圆心角的弧度数是（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 某文化传播公司有员工25名，其中包含经理1名、保洁1名，为了调查该公司员工的工资情况，有两种方案．方案一：调查全部25名员工的工资情况；方案二：收入最高的经理和收入最低的保洁工资不纳入调查范围，只调查其他23名员工的工资．这两种调查方案得到的数据，一定相同的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差 5. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，且向量与向量垂直，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 7. 已知为非零向量，则“存在实数，使”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在平行四边形中，，，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是复数，则下列命题中正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在三棱柱中，，，，分别为，，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A. ，，，四点共面 B. 为异面直线 C. ，，三线共点 D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实________. 13. 在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则外接圆的面积为________． 14. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）若，，求的外接圆的半径； （2）若，求的面积． 16. 设复数，其中，当取何值时， （1）； （2）是纯虚数； （3）是零． 17. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. （1）求圆柱的侧面积; （2）求三棱柱的体积. （3）求直三棱柱的外接球的体积. 18. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段．为了了解中国AI大模型用户的年龄分布，公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数； （3）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 19. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织两部门的员工参加培训. （1）已知该公司部门分别有3名领导，此次培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，试写出其样本空间，并求出事件“选取的2人全部来自部门领导”的概率； （2）此次培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率； （3）从（1）中的6名领导中，随机选两名领导分别负责第一天和第二天的工作，求第一天选到部门领导且第二天选到部门领导的概率.（无需过程，直接作答） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $