精品解析：江苏苏州市苏州工业园区2025～2026 学年九年级教学调研试卷 数学

2025~2026学年初三教学调研试卷 数学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成．共27小题，满分130分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并用0.5毫米黑色墨水签字笔和2B铅笔正确填涂考试号； 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. “方圆合一”是中国传统文化中一种重要的处世哲学．下列体现“方圆合一”的图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 斗拱是中国古建筑的关键性部件，主要是由“斗”与“拱”拼接形成．如图，是斗拱最底部最核心的坐斗，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 截至2025年，苏州市人工智能产业已形成梯队化、特色化的发展格局．其中，苏州工业园区产业集聚效应显著，产值突破1100亿元，企业数量与创新成果均遥遥领先．1100亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 某校男子篮球队的10名队员的身高如下（单位：）：173，174，176，176，182，182，184，186，190，195．现新进1名队员，他的身高与某位队员的身高相同，则在以下统计量中，一定保持不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 7. 某苹果批发商连续4天购进苹果，并从第3天开始销售，苹果的存量S（吨）与时间t（天）的函数关系如图所示，则苹果从开始进货到销售完毕所用的天数是（ ） A. 4.5天 B. 5天 C. 5.5天 D. 6天 8. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，其中阴影区域三角形的顶点分别是正六边形的三条边的中点．若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 二次根式有意义的条件是__________． 10. 将直线向下平移3个单位长度后，得到的直线是___________． 11. 已知方程组，则_________． 12. 图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形的面积．已知，，则该银杏叶的面积约为_________．（结果保留） 13. 如图，在四边形中，，，E、F分别是边的中点，连接．则长的最大值为_________． 14. 如图，的边经过原点，顶点、分别在反比例函数、的图象上，顶点在轴的正半轴上，且．已知的面积为，则_________． 15. 如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，其中点在边上，连接的延长线与相交于点，则______． 16. 定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 18. 解不等式组 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，，垂足为点E． （1）过点A作，垂足为点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求证：四边形是菱形． 21. 学校打算用长的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长． （1）若矩形生物园的面积是，求这个生物园的边长； （2）求矩形生物园的面积的最大值． 22. 2026年，恰逢苏州博物馆新馆建成20周年．小苏打算用画笔诉说与苏博的专属故事，她从以下4个典型藏品中随机选择进行绘画． （1）若小苏选择1个藏品，则选择“秘色瓷莲花碗”的概率是_________； （2）若小苏选择2个藏品，求选择“秘色瓷莲花碗”和“粉彩百鹿纹尊”的概率． 23. 某校将举行“亲近大自然”户外活动．现随机抽取了部分学生进行了“你最想去的景点”的问卷调查，要求学生只能从A，B，C，D四个景点中选择一个．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查共调查了______名学生； （2）补全图①中的条形统计图，图②中最想去景点C的圆心角的度数为______°． （3）已知该校共有2400名学生，估计最想去景点C的学生人数． 24. 如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 25. 如图，D为的边上一点，连接．点B关于直线的对称点E落在的外接圆上，连接． （1）如图①，求证：； （2）若，，，求的长； （3）如图②，若与相切，且，求证：点D是的黄金分割点． 26. 数学实验：“探”为观“纸”． 三边长度之比为的直角三角形是同学们熟悉的几何图形．那么，能否通过折叠正方形纸片得到这样的三角形呢？下面，我们利用边长为1的正方形纸片进行探究． （1）【实验1】 如图①，已知点P为边的中点，将沿折叠得到．点Q为边上一点，将沿折叠，使与重合．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论； （2）【实验2】 如图②，已知点P为边的中点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，与边的交点为Q，折痕为．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？若存在，请指出所有这样的三角形，并选择其中的一个加以证明； （3）【实验3】 如图③，已知点P为边上一点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，且PE经过边的中点Q，折痕为．是否是三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论． 27. 综合与实践：如影随形． 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． （1）【探究1】 如图①，竖立的两根灯杆中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； （2）【探究2】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时，他的影长是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出满足的等量关系；若不存在，请说明理由； （3）【探究3】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小明和小亮的身高，他们在两根灯杆之间走动（小明在小亮的左侧），且点B、F、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是和． ①若点M、Q重合，请求出他们之间的距离； ②若点M、Q不重合，是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出满足的等量关系；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年初三教学调研试卷 数学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成．共27小题，满分130分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并用0.5毫米黑色墨水签字笔和2B铅笔正确填涂考试号； 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. “方圆合一”是中国传统文化中一种重要的处世哲学．下列体现“方圆合一”的图形中，不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A、选项C、选项D都是中心对称图形，对称中心都是图形的中心； 选项B，不是中心对称图形，没有对称中心， 故选：B． 3. 斗拱是中国古建筑的关键性部件，主要是由“斗”与“拱”拼接形成．如图，是斗拱最底部最核心的坐斗，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可，注意，主视图中存在的线段，在俯视图中被遮住或是看不到的线段要用虚线表示． 【详解】解：由题意得，俯视图为． 4. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的性质对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【详解】解：A、与不能合并，所以A选项错误； B、原式=，所以B选项错误； C、原式=2，所以C选项错误； D、原式==2，所以D选项正确． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 5. 截至2025年，苏州市人工智能产业已形成梯队化、特色化的发展格局．其中，苏州工业园区产业集聚效应显著，产值突破1100亿元，企业数量与创新成果均遥遥领先．1100亿用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数． 【详解】解：1100亿用科学记数法可以表示为． 6. 某校男子篮球队的10名队员的身高如下（单位：）：173，174，176，176，182，182，184，186，190，195．现新进1名队员，他的身高与某位队员的身高相同，则在以下统计量中，一定保持不变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计量的概念，只需分别分析加入新数据后各统计量的变化，即可得到结论． 【详解】解：原数据共10个，已按从小到大排序． ∵原数据中位数为第5个与第6个数据的平均数，第5个和第6个数据均为， ∴原中位数为， 加入新数据后，总数据个数变为11，中位数为排序后的第6个数据． 无论新数据插入排序的哪个位置，排序后第6个数据始终为，因此中位数一定不变．因此B正确； 对其余选项分析： A、平均数：加入新数据后总身高改变，数据个数改变，平均数会发生改变．因此A错误； C、方差：数据分布改变，方差一定改变．因此C错误； D、众数：原数据众数为176和182，若新加入身高为176的队员，众数仅为176，众数发生改变．因此D错误． 7. 某苹果批发商连续4天购进苹果，并从第3天开始销售，苹果的存量S（吨）与时间t（天）的函数关系如图所示，则苹果从开始进货到销售完毕所用的天数是（ ） A. 4.5天 B. 5天 C. 5.5天 D. 6天 【答案】B 【解析】 【分析】先求得购进苹果的速度是4吨/天，销售苹果的速度是8吨/天，据此求解即可． 【详解】解：根据题意和图象可得：购进苹果的速度是吨/天， 当在第3天时，库存物资应该有12吨，在第4天时库存8吨， 所以销售苹果的速度是（吨/天）， 所以剩余的8吨完全销售需要（天）， 故苹果从开始进货到销售完毕所用的天数是（天）． 8. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，其中阴影区域三角形的顶点分别是正六边形的三条边的中点．若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将正六边形均分为小等边三角形，据此确定总的个数与大正三角形的个数，得到概率 【详解】解：如图，三角形内部的小三角形为9个，正六边形内部小三角形为24个， 故飞镖落在阴影区域的概率为 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填写在答题卡相应位置上． 9. 二次根式有意义的条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查二次根式有意义的条件．根据被开方数大于等于0列式计算即可得解． 【详解】解：由题意得，， 解得； 故答案为：． 10. 将直线向下平移3个单位长度后，得到的直线是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后，得到的直线是， 故答案为：． 11. 已知方程组，则_________． 【答案】5 【解析】 【详解】解： 得，， 整理得， 得，， 整理得， ． 12. 图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形的面积．已知，，则该银杏叶的面积约为_________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：扇形的面积． 13. 如图，在四边形中，，，E、F分别是边的中点，连接．则长的最大值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得出，，根据三角形三边关系可知 ，从而得出答案即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接，，如图所示， ，分别为边，的中点， 是的中位线， 同理，是的中位线， ， 根据三角形三边关系可知： ， 当，，三点共线时，最大，且最大值为． 14. 如图，的边经过原点，顶点、分别在反比例函数、的图象上，顶点在轴的正半轴上，且．已知的面积为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，先用反比例函数几何意义表示出、，再证，由面积比得，结合推出，利用等腰三角形三线合一得为中点，最后表示出和的面积分别为和，由两者面积和为列方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵点、分别在反比例函数、的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可得，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得． 15. 如图，在中，，，．将绕点按逆时针方向旋转得到，其中点在边上，连接的延长线与相交于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用旋转的性质可得，，，，，进而可得 ，得到，即得，又利用余角性质得，即得，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：如图，由旋转可得，，，，，， ∴ ，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵ ， , ∴, ∴， ∴，即点为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 16. 定义：如果一个函数，当时，函数值y满足，且，则把该函数称为在范围内的“k倍界”函数．例如，一次函数，当时，，且由，得，则一次函数称为在范围内的“3倍界”函数．若关于x的二次函数是在范围内的“2倍界”函数，则_________． 【答案】或 【解析】 【分析】先求出关于x的二次函数图象的对称轴为直线，得到当或时，二次函数的函数值相等，分和两种情况讨论即可． 【详解】解：∵， ∴关于x的二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴当或时，二次函数的函数值相等， 当时，二次函数有最小值为， 在范围内，当或时，有最大值为， ∵二次函数是在范围内的“2倍界”函数， ∴， ∴； 当时，二次函数有最大值为， 在范围内，当或时，有最小值为， ∴， ∴； 综上，或． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在中，，垂足为点E． （1）过点A作，垂足为点F．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，即为所求. （2） 证明：∵在中，，，， 而， ∴， ∴是菱形. 【解析】 【分析】（1）过作的垂线即可. （2）由证明，进一步可得结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 学校打算用长的篱笆围成一个矩形生物园饲养小兔．如图，生物园的一边靠墙，另外三边用篱笆围成，墙长． （1）若矩形生物园的面积是，求这个生物园的边长； （2）求矩形生物园的面积的最大值． 【答案】（1）长为、宽为． （2）矩形生物园的面积的最大值为. 【解析】 【分析】（1）可设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为，根据等量关系：面积是．列出方程求解即可． （2）设矩形生物园的面积为，设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为，再建立二次函数求解即可． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为． 由题意，得， 解得，． 当时，， ，不合题意舍去， 当时，． 答：长为、宽为． 【小问2详解】 解：设矩形生物园的面积为，设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为． ∴， ∵， 解得：， ∴当时，矩形生物园的面积的最大值为. 22. 2026年，恰逢苏州博物馆新馆建成20周年．小苏打算用画笔诉说与苏博的专属故事，她从以下4个典型藏品中随机选择进行绘画． （1）若小苏选择1个藏品，则选择“秘色瓷莲花碗”的概率是_________； （2）若小苏选择2个藏品，求选择“秘色瓷莲花碗”和“粉彩百鹿纹尊”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式解答即可； （2）分别用A，B，C，D表示4个藏品，根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中选择“秘色瓷莲花碗”和“粉彩百鹿纹尊”的有2种，再根据概率公式解答即可． 【小问1详解】 解：选择“秘色瓷莲花碗”的概率是； 【小问2详解】 解：分别用A，B，C，D表示4个藏品，根据题意，列出表格，如下： A B C D A （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） 一共有12种等可能结果，其中选择“秘色瓷莲花碗”和“粉彩百鹿纹尊”的有2种， 所以选择“秘色瓷莲花碗”和“粉彩百鹿纹尊”的概率为． 23. 某校将举行“亲近大自然”户外活动．现随机抽取了部分学生进行了“你最想去的景点”的问卷调查，要求学生只能从A，B，C，D四个景点中选择一个．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查共调查了______名学生； （2）补全图①中的条形统计图，图②中最想去景点C的圆心角的度数为______°． （3）已知该校共有2400名学生，估计最想去景点C的学生人数． 【答案】（1）600； （2）补全图①中的条形统计图如图所示，138； （3）最想去景点C的学生有920名． 【解析】 【分析】（1）根据统计图中的数据可以求得本次调查的学生数； （2）根据统计图中的数据可以求得选择C的学生数，从而可以将条形统计图补充完整，再根据统计图中的数据可以求得图②中最想去景点C的圆心角的度数； （3）根据统计图中的数据可以计算出最想去景点C的学生数． 【详解】解：（1）本次调查的学生有：120÷20%=600（名）， 故答案为600； （2）选择C的学生有：600-150-100-120=230（名）， 图②中最想去景点C的圆心角的度数为：360°×=138°， 故答案为138； （3）2400×=920（名）， 答：最想去景点C的学生有920名． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 24. 如图，抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴相交于点，对称轴为直线． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点P在直线BC上，且，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据对称轴求出b的值，再由C点坐标求出c的值即可求解； （2）设对称轴与直线的交点为M，连接，推导出，求出，设，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵与y轴相交于点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设对称轴与直线的交点为M，连接，则， 当时，解得或， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入得：， 解得， ∴， ∴， 设， ∴， 解得， ∴． 25. 如图，D为的边上一点，连接．点B关于直线的对称点E落在的外接圆上，连接． （1）如图①，求证：； （2）若，，，求的长； （3）如图②，若与相切，且，求证：点D是的黄金分割点． 【答案】（1） 证明：由轴对称的性质得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）； （3） 证明：过点作的直径，连接， ∵是的直径， ∴，， ∵， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 由轴对称的性质得，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即点D是的黄金分割点． 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质结合圆周角定理求得，推出，即可得到； （2）作于点，根据等腰三角形的性质求得，由圆周角定理求得，得到，据此求解即可； （3）证明，求得，再证明，推出，即可证明点D是的黄金分割点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 略 26. 数学实验：“探”为观“纸”． 三边长度之比为的直角三角形是同学们熟悉的几何图形．那么，能否通过折叠正方形纸片得到这样的三角形呢？下面，我们利用边长为1的正方形纸片进行探究． （1）【实验1】 如图①，已知点P为边的中点，将沿折叠得到．点Q为边上一点，将沿折叠，使与重合．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论； （2）【实验2】 如图②，已知点P为边的中点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，与边的交点为Q，折痕为．图中是否存在三边长度之比为的直角三角形？若存在，请指出所有这样的三角形，并选择其中的一个加以证明； （3）【实验3】 如图③，已知点P为边上一点，将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，且PE经过边的中点Q，折痕为．是否是三边长度之比为的直角三角形？请证明你的结论． 【答案】（1） 解：存在，证明如下： 证明：正方形边长为1，点P为边的中点， ，，， ∵将沿折叠得到， ∴，， ∵将沿折叠，使与重合， ，， ， 在一条直线上，且， ∵在中，，, ， 解得， ， ∴存在三边长度之比为的直角三角形，即． （2） 解：存在，分别是，，，证明过程如下： 证明：正方形边长为1，点P为边的中点， ，，， ∵将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，与边的交点为Q，折痕为 ∴，，， ∵在中，，， ∴， ， ， ∴是三边长度之比为的直角三角形； ， ，， ， ， ，， ， ∴，，这三个直角三角形是相似的，三边长度之比都是为． （3） 解：是，证明如下： 证明：正方形边长为1，点Q为边的中点， ，，， ∵将正方形纸片折叠，使点C、点B分别落在点P、点E处，且PE经过边的中点Q，折痕为， ∴，，，，， ，， ， ， ，即①； 在中，根据勾股定理，有， 化简得②， ②代入①，得③， ③代入②，得， ，， ， ， 三边长度之比也是三边之比为的直角三角形． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，，由正方形的性质可知在一条直线上，且，，在中根据勾股定理求出三条边的长度，三边比例为，即为所求的三角形； （2）由折叠的性质可知，，由勾股定理求出，可得是三边比例为的直角三角形，再证明、都与相似，三边相似比相同； （3）根据正方形的性质，点Q为边的中点，结合折叠的性质，证明，得到，接着在中结合勾股定理，可求出三边比值，结论得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 27. 综合与实践：如影随形． 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． （1）【探究1】 如图①，竖立的两根灯杆中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； （2）【探究2】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时，他的影长是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出满足的等量关系；若不存在，请说明理由； （3）【探究3】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小明和小亮的身高，他们在两根灯杆之间走动（小明在小亮的左侧），且点B、F、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是和． ①若点M、Q重合，请求出他们之间的距离； ②若点M、Q不重合，是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出满足的等量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）①；②存在，或． 【解析】 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的直线互相平行，可得．由平行线可以推导出相似三角形；根据相似三角形对应边成比例，代入数据即可得出； （2）由题意得，利用相似三角形建立比例关系，根据相似三角形对应边成比例，推导的关系； （3）①利用相似三角形比例关系，结合线段和差，通过设未知数建立方程，最终求出； ②由（2）得，同理，分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：能，理由如下： 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，代入上式得， 即， 整理得， 解得； 【小问2详解】 解：存在，、满足的等量关系为， 理由：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①∵点M、Q重合， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 化简得， ∴， ∴； ②点M、Q不重合时，如图，点M在点Q左侧时， 同理，， 由（2）得， 同理， ∴， ∴； 如图，点M在点Q右侧时， 同理，， ∴； 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $