B2 苏州市工业园区2025年中考一楼数学试卷-【壹学知道】2026年江苏13大市中考数学精编28+6套卷

B2 苏州市工业园区2025年中考一模数学试卷 (满分：130分考试时间：120分钟) 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.下列实数中，无理数是 A.0 B.√5 c号 D.8 2.某团队通过收集80多万份代码文件，构建了包含3500000个样本的数据集，用于提高模 型的推理能力.3500000用科学记数法可以表示为 ( ) A.3.5×10° B.3.5×10 C.0.35×10 D.35×10 3分式方程，321的解是 品外 A.x=-1 B.x=1 C.x=5 D.x=2 4.围棋起源于中国，古代称为“弈”.如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子.若白方落 囚 子后的对弈图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的 ) A.① B.② C.③ D.④ 坏数 10 9 87 321 0123456789序月 ※ (第4题) (第5题) (第6题) 5.小明6次射击的成绩如图所示，则他的射击成绩的中位数为 A.3.5环 B.7环 C.7.5环 D.8环 6.沿圆柱体上底面直径截去一部分后的物体如图所示，则它的俯视图是 帕 D 7.已知实数a,b满足a一b=一1，一1<a十b<0,则下列判断正确的是 A.0<a<号 B.-1<a<-2 C.1<b<8 .-2<b<-2 D 8.已知点A(x1,y),B(x2,y2)在一次函数y=kx十1的图像上，且y1<1<y2,则下列结论一 定成立的是 ( ) A.I<I2 B.x1>x2 C.x1十x2=0 D.x1·x2<0 B2-1 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9.计算：(3a)2= 10.若m,n互为相反数，则m2十mn一3= 11.如图，在长10m、宽6m的矩形ABCD地面内有两条道路，一条是宽度为1m的矩形，另 一条是平行四边形，且EF=1m,其余部分是草坪（图中阴影部分）.一只自由飞行的小鸟 随机地落在该地面内，则小鸟落在草坪上的概率是 EF 图1 图2 B D (第11题) (第12题) (第13题) 12.苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气.图1是一块扇面 形的苏州砖雕作品《兰》，图2是它的设计图，其中扇形OBC和扇形OAD有相同的圆心O, 且圆心角∠O=108°.已知OA=100cm,OB=40cm,则该砖雕的面积为 cm2. (结果保留π) 精绵28+6 13.如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距60m,在建筑物的顶部测得铁塔底部的俯 角为30°，测得铁塔顶部的仰角为45°，则铁塔的高度为 m.（结果保留根号) 14.定义：如果一个函数的图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，那么把该点称为这个函数 图像的“倍值点”.例如，一次函数y=x十1的图像的“倍值点”为(1,2).若关于x的二次 函数y=(m-1)x2+mx十m的图像上有唯一的“倍值点”，则m= 15.如图，在△ABC中，∠BAC=64°，∠C=36°.将△ABC绕点A按逆时针方向旋转后得到 △ADE,AE与BD相交于点F.当DE∥AB时，∠AFD= (第15题)》 (第16题) 16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=一x十4与双曲线y=(>0)相交于点A,B,直线 AO与该双曲线在第三象限的交点为C,以AC为斜边作Rt△ADC,直角顶点D落在第 二象限.若AD平分∠BAC,△ABD的面积为4，则k= B2-2 三、解答题（本大题共11小题，共82分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(5分)计算：-1|-(-2)3-√4+2sin30°. 4x≥2.x-6, 18.(5分)解不等式组：x十1x-1. 3 19.（6分)先化简，再求值：（片2其中z=2+1. 20.(6分)如图，E是□ABCD的边BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接 AC,BF,且AF=BC.求证：四边形ABFC为矩形. 21.(6分)2024年以来，环金鸡湖的10座独具匠心、颜值颇高的驿站陆续开放运营，迅速成 为热门打卡地.小明和小亮计划利用“五一”假期，分别从以下4座驿站中随机选择一个 驿站打卡. (1)小明选择打卡“金鸡驿06”的概率是 (2)求小明和小亮同时选择同一个驿站打卡的概率.（用画树状图或列表等方法说明） 金鸡驿01 金鸡驿02 金鸡驿05 金鸡驿06 B2-3 22.(8分)某校开展学生安全知识竞赛.现抽取部分学生的竞赛成绩（满分为100分，得分均 为整数)进行统计，绘制了如下两幅不完整的统计图， 学生安全知识竞赛成绩频数分布直方图 学生安全知识竞赛成绩扇形统计图 频数 90 25%/ 20% 10% 30 ABCDE 0L 50.560.570.580.590.5100.5成绩/分 根据图中信息，回答下列问题. (1)a= ,n= (2)补全频数分布直方图. (3)学校将对成绩在90分以上（不含90分）的同学颁发奖状.已知该校共有2000名学 生，请你估计该校获得奖状的学生人数. 23.(8分)某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，尽可 能减少库存，增加盈利，商场采取了降价措施.假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元， 商场平均每天可多售出2件， (1)如果商场通过销售这批衬衫每天盈利1050元，那么衬衫的单价降了多少元？ (2)当单价下降多少元时，销售这批衬衫每天盈利最大？最大盈利是多少元？ 24.(8分)如图，抛物线y=x2十bx十c与x轴相交于点A(一1,0)，B(3,0),与y轴相交于点 C,连接BC. (1)求该抛物线的函数表达式 (2)若点P在抛物线上，且∠PAB=∠ABC,求点P的坐标. B2-4 25.(10分)如图，△ABC内接于⊙O,点D在AB上（点D不与点A重合），点E在BC上，且 四边形BDCE是菱形 (1)求证：AC=DC. (2)若AB=5,c0s∠BAC-3,求⊙0的直径长. (3)过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点F,若AF∥DC,求证：D是AB的黄金分割点， ) e0 26.(10分)综合与实践：古井探秘 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡.在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符 号.图1是苏州平江区某居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图2是该井的侧面 示意图，其中AB为井口直径，AB=80cm,CD为水面直径，且AB∥CD.A'B'为AB经 水面所成的虚像(A'B'与AB关于CD对称)，点P为观测点，PA',PB分别与CD相交 于点M,N. 【发现】 如图2，当观测点P在AB上自由移动时，MN的长度是否会发生改变？如果不变，求出 MN的长；如果改变，请说明理由， 【探索】 图3是当观测点P在井口上方1m处（即图4中的PQ=1m)时拍摄的一张照片，量得照 片中的水面直径CD'=5.6cm,井口的倒影直径MN'=3.3cm.请你利用示意图4，求 出井口到水面距离AC的长。 井口 水面C M 水面C 井底 井底 R 图1 图2 图3 图4 B2-5 27.(10分)数学实验：折叠正方形纸片. 通过纸片的折叠，可以发现许多有趣的现象，这些现象可以用有关的数学原理进行分析、 解释，所以纸片的折叠是一种有效的数学学习方式.如图，PQ是将正方形纸片ABCD折 叠后得到的一条折痕，其中点P,Q分别在边AD,CD上， (1)折叠正方形纸片ABCD,使得PA,CQ依次落在直线PQ上.请你利用无刻度的直尺 和圆规，在图1中分别作出折痕PE,QF(不写作法，保留作图痕迹)，其中点E,F分 别在边BC,AB上.设PE,QF的交点为O,则∠POQ (2)在(1)的条件下，折叠正方形纸片ABCD,使得BC落在直线PQ上.请你利用无刻度 的直尺和圆规，在图2中作出折痕MV(不写作法，保留作图痕迹)，其中点M,N分别 在边AB,CD上.设MN,PE的交点为G,则点G落在正方形纸片ABCD的哪一条对 称轴上？请说明理由. (3)如图3，正方形纸片ABCD的边长为16cm.在(2)的条件下，当P为边AD的中点时， 则随着点Q位置的改变，△PAM的周长是否会发生改变？如果不变，求出△PAM 的周长；如果改变，求出△PAM的周长的最小值，并求出此时折痕MN的长， 图1 图2 图3 B2-6【作法提示】①作射线AE并截取AB=a;②作线 (3)①如图1，粗线即为落在坡面上的影端轨迹. 段AB的垂直平分线，垂足为D,并截取DC=b;③连 北 接AC,BC.△ABC即为所求. (2)如图2，△ABC即为所求 B 1- 东 O(A 图1 ②如图2，由影端轨迹可知，A,N,P三点共线，过 点N作NH⊥OP于点H,过点H作HF⊥OB于点 F,连接NF,ON. 由题意可知，∠APO=58°，∠NFH=30°，∠FOH= 图2 45°.设NH=hcm. 【作法提示】①任意作一条直线MN,作直线MN NH 在Rt△FHN中，FH= h 的垂线，垂足为D,并截取AD=b;②以点D为圆心、 tan∠NFH-tan3o 2Q为半径画圆，再以AD为直径画圆，两圆相交于点 h =3h(cm). 3 E,F;③连接AE,AF并延长分别交直线MN于点B, 3 C.△ABC即为所求. FH √5h 在Rt△OFH中，OH= 27.解析：本题是情景型问题，主要考查了投影、 sin∠FOH-sin45= 三角函数的应用、方案的制定、读图识图的能力，读懂 3h=6h(cm). 题意，画出立体图形是解题的关键.(1)根据竿影顶端 2 位置即可确定观测季节.(2)①根据观测时间并结合题 在Rt△NHP中，HP= NH h 图2，即可得出结论：②根据题图2中的双曲线是轴对 an∠AP0-tan58≈ 称图形，可选用相距正午等时间的两处标记点，连接两 (cm). 处标记点即可确定正东西方向.(3)①沿影端轨迹在坡 面画出粗线即可；②可根据题意画出立体图形，构造 由题意可知，OP=15cm,∴.OH+HP=15cm, Rt△FHN,Rt△OFH和Rt△NHP,然后通过解直角 6h+ 8b=15,解得h≈4.9. 三角形和方程思想即可求得点N到地平面的距离. 答：点N到地平面的距离约为4.9cm 解：(1)由题图1可知，竿影顶端在14：00的标记 点在11：00和12：20的标记点的东北方向，结合题图2 可知，他的这次观测大约在秋冬季节. 故答案为秋冬 (2)①：4月20日在春分日和夏至日之间，.结 合题图2可知，当天的影端轨迹最接近题图2中的双 曲线d. 图2 ②方案：选用相距正午等时间（如上午10：00和下 午14：00)的两处标记点. B2 苏州市工业园区2025年中考一模数学试卷 理由：由题图2可知，双曲线d是轴对称图形，对 1.B解析：本题考查了无理数的定义.0是整数， 称轴为过点O的正南北向的直线，选用相距正午等时 属于有理数，故A选项不符合题意；，5不是完全平方 间的两处标记点，则两处标记点关于双曲线d的对称 轴对称，连接两处标记点即可确定出正东西方向. 数5是无理数，故B选项符合题意；号是分数，属 150 于有理数，故C选项不符合题意：8=2是整数，属于 该地面内，则小鸟落在草坪上的概率是5-3 Γ604 有理数，故D选项不符合题意 12.2520π解析：本题考查了扇形面积的计算。 2.A解析：本题考查了用科学记数法表示较大 由题意知，砖雕的面积S砖雕=S形D一S嘲形(c三 的数.用科学记数法表示较大的数的一般形式为a× 108×x×1002108Xπ×402_108×元×(1002-40)_ 10",其中1≤|a<10,n的值等于原数的整数位数减 360 360 360 1.∴.3500000=3.5×105. 2520π(cm). 3.C解析：本题考查了分式方程的解法.3 2 13.(60十20√3)解析：本题考查了解直角三角 形的应用—仰角俯角问题，合理添加辅助线构造直 1,方程两边都乘(x一2)，得x一2=3，解得x=5,检验： 角三角形是解题的关键.如图，过点A作AE⊥CD于 当x=5时，x一2≠0，.x=5是原分式方程的解. 点E,则四边形ABDE是矩形，∴.AE=BD=60m.在 4.A解析：本题考查了中心对称图形的定义.根 Rt△AEC中，∠CAE=45°，∴.CE=AE=60m.在 据对弈图可知，白方在①处落子后的对弈图是中心对 称图形 R△ABD中，n∠DAE=am30-RE-停：DE 5.C解析：本题考查了折线统计图和中位数.由 题图可知，小明6次射击的成绩（单位：环）依次是7,6， 3AE3X60=203(m),∴.CD=CE+DE=(60+ 3 7,9,8,10,从小到大重新排列后为6,7,7,8,9,10，.中 20/3)m. 位数为(7+8)÷2=7.5（环）. 6.D解析：本题考查了几何体的三视图.俯视图 是从物体的上面看所得到的图形，该几何体从上面看 可得到两个半圆的组合图形，故D选项符合题意. 45° 7.B解析：本题考查了解一元一次不等式. -日E 30 a-b=-1且-1<a十b<0,∴.b=a+1,.-1<a+ a十1<0，-1<a<-号，故A选项错误，B选项正 D 确：a=b-1,-1<b-1<-,0<b<号，故 14. 解析：本题是新定义题，主要考查了二次 C、D选项错误 函数图像上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程 8.D解析：本题考查了一次函数图像上点的坐 的关系、根的判别式，将“倍值点”转化为函数y=2x是 标特征以及一次函数的图像与性质.当x=0时，y= 解题的关键.，关于x的二次函数y=(m一1)x2十m.x十 kx+1=1,即一次函数y=kx十1的图像过定点(0， m的图像上有唯一的“倍值点”，∴.二次函数y= 1 1).又点A(x1y1),B(x2,y2)在一次函数y=kx十1 的图像上，且y<1<y2.点A(y),B(x22)在y (m-1Dx+mx十}m的图像与函数y=2x的图像有 轴的异侧，∴x1,x2异号，即x1·x2<0. 唯一公共点，即关于x的一元二次方程(m一1)x2十m.x十 9.9a2解析：本题考查了积的乘方.(3a)2=32· 4m=2.x有两个相等的实数根，整理，得(m一1).x2+ 1 a2=9a2. 10.一3解析：本题考查了相反数.，m,n互为 (m-2)x十4m=0,,b=4ac=(n-2)2=4(m-1) 相反数，，.m十n=0,.m2十mn-3=m(m十n)-3= 4 4m=0且m一1≠0，解得m=3 0-3=-3 15.76解析：本题考查了旋转的性质、平行线的 11.是 解析：本题考查了几何概率.，矩形ABCD 性质、等腰三角形的性质.在△ABC中，∠BAC=64°， 的面积为10×6=60(m),草坪的面积为(10一1)× ∠C=36°，∴.∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°- (6-1)=45(m),.一只自由飞行的小鸟随机地落在64°-36°=80°，∴.∠ADE=∠ABC=80°..AB∥DE, 151 ∴.∠BAD+∠ADE=180°，∴.∠BAD=180°-80°= 解不等式①，得x≥一3； 100,:AD=AB,∠ADF=2(180-∠BAD)- 解不等式②，得x<2. .原不等式组的解集为一3≤x<2. 2180°-100)=40.由旋转的性质可知，∠DAE 1 19.解析：本题考查了分式的化简求值.先把括号 ∠BAC=64°，∴.∠AFD=180°-∠ADF-∠DAE= 内通分，进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为 180°-40°-64°=76°. 乘法运算，然后约分化简，最后代人求值即可. 16.3解析：本题考查了反比例函数与一次函数 解：原式三x+1)(x-1)·十1)2 2 的交点问题、全等三角形的判定与性质、反比例函数的 x+1 1当 比例系数k的几何意义、中位线定理以及图形面积的 x=√2+1时，原式= 2 =√2 2+1-1 计算，根据题意，正确添加辅助线是解题的关键.如图， 20.解析：本题考查了矩形的判定、平行四边形的 延长CD交直线AB于点E,连接OD,OB,分别过点 判定与性质、全等三角形的判定与性质，证明△ABE2 A,B作AG⊥x轴于点G,BH⊥x轴于点H.,AD平 分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD.·AD⊥CE,∴∠ADC= △FCE得到AB=FC是解题的关键.由题意易证 ∠ADE=90°.又.AD=AD,.△ACD≌△AED △ABE≌△FCE(AAS),得AB=FC,再由AB∥FC, (ASA),.CD=DE,.D是CE的中点.，直线OA与 证得四边形ABFC是平行四边形，最后由AF=BC即 反比例函数的图像交于点A,C,点A,C关于原点对 可得出结论。 称，.O是AC的中点，OD∥AE,.S△)=S△D 证明：四边形ABCD是平行四边形， 4.点A,B在直线y=一x十4上，∴.可设点A(a, .AB=CD,AB∥CD,.∠BAE=∠CFE. -a十4)，B(b,一b+4).又点A,B在反比例函数y= E是□ABCD的边BC的中点，.BE=CE. 空的图像上∴a(-一a十)=(-b十4)=，Saw= (∠BAE=∠CFE, 在△ABE和△FCE中，∠AEB=∠FEC, SaE=7.又：Sam+58EG=S6,十S BE=CE, 六S#5:=SAm=4,小Ss6=号(a-b)(4一b十 ,.△ABE≌△FCE(AAS),.AB=FC. AB∥FC,.四边形ABFC是平行四边形. 4-a)=2(a-b)[8-(a+b]=4.又a(-a+4) 又AF=BC,∴.四边形ABFC为矩形 b(-b+4),∴.a2-b2=4a-4b,∴.a+b=4,a-b=2, 21.解析：本题考查了用列表法或画树状图法求 ∴.a=3,b=1,∴.k=a(-a十4)=3×(-3十4)=3. 事件的概率、概率公式.(1)由题意知，共有4种等可能 的结果，其中小明选择打卡“金鸡驿06”的结果有1种， 根据概率公式即可得出结果.(2)列表得出所有等可能 的结果数以及小明和小亮同时选择同一个驿站打卡的 结果数，再根据概率公式即可得出结果， 解：(1)由题意知，共有4种等可能的结果，其中小 17.解析：本题考查了实数的混合运算.先分别对 明选择打卡“金鸡驿06”的结果有1种，∴.小明选择打 绝对值、乘方、算术平方根和特殊角的三角函数值进行 卡“金鸡驿06”的概率为子 化简，再计算即可. 解：原式=1-（一8》-2+2×号-1+8-2+1=8， 故答案为 18.解析：本题考查了解一元一次不等式组.先求出 (2)将这4座驿站分别记为A,B,C,D,列表如下， 每个不等式的解集，再求出这两个解集的公共部分即可. 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中小明和小 /4x≥2x-6①， 亮同时选择同一个驿站打卡的结果有4种，∴.小明和 解号>1®. 小亮同时送择同一个驿站打卡的概率为言一子 -152 A B C D 最大盈利是1250元. A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) 24.解析：本题考查了用待定系数法求二次函数 B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) 的表达式、二次函数的图像与性质、等腰三角形的判定 C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) 与性质以及一元二次方程的解法，画出图形并结合线 D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 段相等列出方程是解题的关键.(1)用待定系数法求解 即可.(2)先求出C(0,一3)，易证△BOC是等腰直角三 22.解析：本题考查了频数分布直方图、扇形统计 角形，过点P作PH⊥x轴于点H,连接AP,根据题意 图、用样本估计总体.(1)根据A组的人数是30，所占 易证△AHP是等腰直角三角形，则有PH=AH,设 的百分比是10%，即可求得抽取的总人数，进而可求 P(p,p一2p一3)，则H(p,0),分点P在x轴上方和 得B组、C组、E组的人数，从而求得a,n的值.(2)根 据(1)的结果即可补全频数分布直方图.(3)用总人数 下方，由PH=AH建立方程，求解即可. 0=1-b+c, b=-2, 乘对应的比例即可得出结果 解：(1)根据题意，得 解得 (0=9+3b+c, c=-3. 解：(1)抽取的总人数是30÷10%=300，则B组 的人数是300×20%=60，C组的人数是300×25%= .该抛物线的函数表达式为y=x2一2x一3. 75,E组的人数是300-30-60-75-90=45，.a= (2)过点P作PH⊥x轴于点H,连接AP,则 75m=360×8=54 ∠AHP=90°.将x=0代入y=x2-2x-3,得y=-3, C(0,-3),又B(3,0),∴.OC=OB=3.:∠BOC 故答案为75：54. 90°，∴.△BOC是等腰直角三角形，.∠ABC=45°. (2)补全频数分布直方图如图所示. :∠PAB=∠ABC,∴∠PAB=45°，.∠APH=45 频数 90 ∴.△AHP是等腰直角三角形，∴.PH=AH.设P(p, p-2一3)，则H(p,0).①当点P在x轴上方时，如 60 图1，则AH=p+1,PH=p2-2p-3,.p2-2p-3= 30 p+1,解得p=4或p=一1（与点A重合，舍去），∴.p 4,则p2-2p-3=5,.P(4,5);②当点P在x轴下方 50.560.570.580.590.5100.5成绩/分 时，如图2，则AH=+1,PH=-2+2十3，∴.-+ 320×0=30人). 2p十3=p十1，解得p=2或p=-1(与点A重合，舍 答：估计该校获得奖状的学生有300人。 去)，=2，则2-2-3=一3，∴P(2,一3).综上所 23.解析：本题考查了一元二次方程的应用、二次 述，点P的坐标为(4,5)或(2，-3). 函数的性质与应用.(1)设衬衫的单价降了x元，根据 题意列出关于x的一元二次方程，解方程并根据问题 的实际意义作出取舍即可.(2)根据题意可得，每天盈 利为=(20+2.x)(40一x),结合二次函数的性质即可 H 求出最大盈利. 解：(1)设衬衫的单价降了x元.根据题意，得 (20十2.x)(40-x)=1050,整理，得.x2-30x+125=0, 图1 图2 解得x1=5,x2=25,经检验，x1=5,x2=25都符合题 25.解析：本题考查了菱形的性质、平行线的性 意.又为了扩大销售，尽可能减少库存，.x=25. 质、圆的有关性质、圆内接四边形的性质、垂径定理、等 答：衬衫的单价降了25元. 腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定 (2)设每天盈利为心元.根据题意，得=(20+ 理、三角函数的定义、圆的切线的性质、相似三角形的 2x)(40-x)=-2x2+60x+800=-2(x-15)2+ 判定与性质以及黄金分割，根据题意添加适当的辅助 1250.-2<0,.当x=15时，有最大值1250， 线构造直角三角形是解题的关键.(1)根据菱形的性 .当单价下降15元时，销售这批衬衫每天盈利最大， 质、圆内接四边形的性质得到∠CAB=∠ADC,即可得 153 出结论.(2)连接OB,OC,OE,过点C作CG⊥AD于点 G,设OE与BC交于点H,根据等腰三角形的性质、三 8号.即⊙0的￥径长为5⊙0的直径长为2× 2 角函数的定义、菱形的性质求得AC=CD=BD=3, 38=33. 2 AD=2,然后设OH=.x,则OB=OE=OC=3x,EH= 2x,再根据勾股定理求得x的值，即可得出结果. G (3)根据切线的性质和平行线的性质易证∠ACD ∠ABC,可得△CAD∽△BAC,于是有AC=AB. ADAC,进而 可得那部然后根据黄金分剂的定义即可得曲 图1 结论 (3)证明：如图2，连接AO并延长交⊙O于点P, (1)证明：，四边形BDCE是菱形，.∠BDC= 连接PC. ∠BEC. AP为⊙O的直径，.∠ACP=90°，∠APC+ :∠BDC+∠ADC=180°，∴.∠BEC+∠ADC= ∠PAC=90. 180°. ,∠APC=∠ABC,∴.∠ABC+∠PAC=90°. :四边形ABEC是圆内接四边形，.∠BEC十 AF为⊙O的切线，∴.∠PAF=90°，即∠CAF+ ∠CAB=180°， ∠PAC=90°， ∴.∠CAB=∠ADC,.AC=DC. .∠CAF=∠ABC (2)解：如图1，连接OB,OC,OE,过点C作CG AF∥DC,.∠CAF=∠ACD,∴.∠ACD= AD于点G,设OE与BC交于点H. ∠ABC. .AC=DC,CGLAD,..AG=DG. 又：∠DAC=∠CAB,∴△CADn△BAC,AS cms∠BAC-C-方可设AG=DG=6,则 AB AC AC=CD=3k,AD=2k. :四边形BDCE是菱形，BD=CD=BE= 又由.得AC-(D=D小8部 EC=3k, .D是AB的黄金分割点， ..AB=AD+BD=2k+3k=5k. 又AB=5,.5k=5,.k=1, D ..AC=CD=BD=BE=EC=3,AD=2, .BE=EC,..OE LBC,BH=HC. :OB=OC,∠BOE=∠COE-2∠B0C 图2 :∠BAC= 1 ∠BOC,∴.∠BOE=∠COE= 26.解析：本题考查了轴对称的性质、矩形的判定 与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定 ∠BAC, 与性质以及中位线定理，正确添加辅助线构造相似三角 Cos∠BOE=cos∠BAC= 3 形，并将照片中线段长的比转化为相似比是解题的关 ∠0E=8器号可设0H=,则OB 键.【发现】过点P作PE⊥CD于点E,通过证明三角形 全等，得到M,N分别是PA'和PB的中点，即可得出结 OE=OC=3x,..EH=OE-OH=3x-x=2x. 论.【探索】延长PQ交AB'于点E,交MN于点F,由题 BH2=OB2-OH2,BH=BE-EH2 ..OB2-OH2=BE2-EH2,(3)2-x2=32 意易得浴-答-器由MN/B得到△PMN☑ (2,整理得=是又>0，r=写0B= △PA'B',从而根据相似三角形的性质列出方程，即可 求出AC的长. 154 解：【发现】MN的长度不变 段垂直平分线的性质，正确作出图形是解题的关键。 如图1，过点P作PE⊥CD于点E,则∠PEM= (1)分别作出∠APQ,∠CQP的平分线即可.根据三角 90 形外角的性质得到∠APQ十∠CQP=270°，再根据角 又由题意，得∠ACM=∠A'CM=∠PEM= 平分线的定义得到∠OPQ+∠OQP=135°，最后根据 ∠CAB=90°，.四边形ACEP是矩形，∴.AC=PE. 三角形的内角和定理即可得到∠POQ=45°.(2)延长 ,A'B'与AB关于CD对称，AC=A'C,A'B'= PQ,BC交于点T,作∠BTP的平分线即可.根据 AB=80cm,∴.A'C=PE. “AAS”易证△PTG≌△ETG,得到G是PE的中点，从 又，∠CMA'=∠EMP,∴.△A'CM≌△PEM 而得出结果.(3)作∠APQ的平分线交BC于点E,连 (AAS) 接ME,根据折叠的性质求出C△PaM=AP十AM十 ∴.A'M=PM,即M是PA'的中点. MP=AP+AM+ME,可知C△Aw的最小值为24cm, 同理可得BN=PN,即N是PB'的中点. 将MN向上平移使得点M与点A重合，证明△BMP≌ MN是△PAB'的中位线，MN=号AB' △MDN'(ASA),从而得到BP=MV',在Rt△BAP 中，根据勾股定理求出BP的长，从而得出MN的长. 2×80=40(em. 解：(1)如图1，作∠APQ的平分线交边BC于点 【探索】如图2，延长PQ交A'B'于点E,交MN于 E,作∠CQP的平分线交边AB于点F,PE与QF的交 点F,则PE⊥A'B',PF⊥MN,则四边形ACFQ和四 点为O. 边形CA'EF都是矩形，∴.AC=QF,AC=EF, 四边形ABCD是正方形，.∠D=90 又AC=A'C,∴.AC=QF=EF. ,∠APQ=∠D+∠DQP,∠CQP=∠D+ 由题意知，PQ=1m=100cm,CD'=5.6cm, ∠DPQ, MN'=3.3cm, .∠APQ+∠CQP=∠D+∠DQP+∠D+ 器器器 ∠DPQ=∠D+180°=90°+180°=270°. PE,QF分别是∠APQ,∠CQP的平分线， ·MN∥A'B',.△PMN∽△PA'B',.M ∴AB :∠0PQ+∠OQP=号（∠APQ+∠CQP) PF_3.3 PE5.6 2×270-135 设AC=xcm,则QF=EF=xcm,∴.PF=PQ十 .∠POQ=180°-（∠OPQ+∠OQP)=180°- QF=(100+x)cm,PE=PQ+QF+EF=(100+2x)cm, 135°=45°. 00+2-9解得x=230AC=230am= 故答案为45. 2.3m. 答：井口到水面距离AC的长为2.3m. 图1 图2 水面C M 水面C E (2)如图2，延长PQ,BC交于点T,作∠BTP的平 分线交边AB于点M,交边CD于点N,MN与PE的 井底 井底 A'i- 交点为G 图1 图2 ,四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC,∴.∠APE= 27.解析：本题是四边形综合题，主要考查了正方 ∠PEC 形的折叠问题、尺规作图、三角形外角的性质、角平分 .PE平分∠APQ,∴.∠APE=∠TPE,.∴.∠PEC= 线的定义、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、线 ∠TPE 155 TG平分∠BTP,.∠PTG=∠ETG. 10”,其中1≤a<10,n的值等于原数的整数位数减 又：TG=TG,.△PTG≌△ETG(AAS), 1..300000=3×105. .PG=EG,即G是PE的中点，.点G在边AB, 4.A解析：本题考查了二次根式的乘法.√12× CD的垂直平分线上. (3)如图3，作∠APQ的平分线交BC于点E,连接 ME. 5.B解析：本题考查了平行线的性质.：直角顶 由(2)可知，MN垂直平分PE,∴.MP=ME, 点在直线a上，∠1=32°，∴.∠3=180°-90°-32°= ∴.C△mM=AP+AM+MP=AP+AM+ME. 58.,a∥b,∴.∠2=∠3=58. :AP=号AD=8cm,当A,M,E三点共线时， AM+ME最小，最小值即为AB的长，故C△M的最小 值为24cm,此时点E和点B重合.如图4，将MN向上 平移使得点M与点A重合，则MN'=MN,BP⊥MN'. .'∠PMN'+∠BMN'=90°，∠MBP+∠BMN'= 6.D解析：本题考查了积的乘方、幂的乘方、同 90°， 底数幂的乘除法和合并同类项.(2a)3=2(a)3= .∠PMN'=∠MBP. 8a,故A选项不正确；a与a2不是同类项，不能合并， 四边形ABCD为正方形，.AB=AD,∠BAD= 故B选项不正确；a3·a=a3+4=a,故C选项不正确； ∠ADC=90°，即M'B=MD,∠BMP=∠M'DN'= a÷a3=a-3=a,故D选项正确」 90°， 7.C解析：本题考查了由实际问题抽象出二元 ∴.△BMP≌△MDN'(ASA),.BP=MN', 一次方程组，找出等量关系是解题的关键.本题的等量 ∴.BP=MN. 关系是：绳长-木长=4.5尺，号绳长=木长-1尺.根 :P为边AD的中点，AP=号AD=号X16 y-x=4.5, 据题意列方程组得 8(cm).在Rt△BAP中，BP=√/AB+AP=√16+8= 2y=x-1. 8/5(cm),∴.MN=85cm. 8.D解析：本题考查了解直角三角形的应 AM 用—仰角俯角，熟练掌握锐角三角函数的定义是解 题的关键.由题意，得四边形ABCE是矩形，，AE= 2 BC=6m.在Rt△AED中，∠DAE=45°，.DE AE·tan45°=6×1=6(m);在Rt△AEC中，∠CAE B(E) 图3 图4 30CE=AE·tan30°=6×5=25(m,:CD= 3 CE+DE=(23+6)m. B3 南通市崇川区、如皋市、启东市2025年 9.A解析：本题考查了相似三角形的判定与性 中考一模数学试卷 质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关 1.A解析：本题考查了绝对值的定义.根据绝对 键.△ABC是等边三角形，∴.AB=BC=AC,∠B= 值的定义，-2025的绝对值是2025. ∠C=60°..·∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+ 2.C解析：本题考查了几何体的三视图.由几何 ∠CDE,又：∠ADE=60°=∠B,.∠BAD=∠CDE. 体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形可知，该 几何体是一个柱体，又知俯视图是一个圆，故该几何体 又：∠B=∠C,:△ABD△DCE.÷8-8B设 是一个圆柱， AB=BC=x.BD=4,CE=2,..DC=x-4,. 4 3.B解析：本题考查了用科学记数法表示较大 的数.用科学记数法表示较大的数的一般形式为a× 2,解得x=8,即BC=8,DC=4,D是BC的中点. 156