江苏常州市北郊高级中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

**基本信息** 以2026春晚机器人技术为情境设计概率统计题，融合导数应用、立体几何等核心知识，通过分层设问实现数学思维与应用能力的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5/77|概率分布列、空间向量、导数证明|15题以机器人部件检测为真实情境，17题分层设问单调性与不等式证明，19题综合考查双曲线相切逻辑推理|

2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 答题卡 贴条形码区 班级： 姓名： 一、 单选题：本大题共8小题， 每小题5分，共40分 1 CA]CB]CCJC0] 5 CA]CB]CCJ CD] 2 CAJ CB]CC]CD] 6 CA]CB]CC]CD] 3 CA]CB]CC]CD] 7 CA]CB]CC]CD] 4 C4]CB]CCJ CD] 8 CA]CB]CCJ CDJ 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 9 CA]CB]CC]CD] 10 CAJ CB]CCJCD] 11 CAJ CB]CC]CD] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡 相应的位置上， 12. 13. 14. 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本大题共6小题，共计77分，请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明或演算步骤 15. 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16. D A D B 。。。。。。。 。。。。。。 。。。9.0.00。。00.005 。。。。。。 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。 。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。。。。 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18. 。。0。。。。。。。。g。。。。。 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19. 。。。。。。。。 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。 。。。。。。。 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 2026年5月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.己知全集U=1,2,3,4,5},集合M={L,2,N={3,4,则CMUW0() A.{5 B.1,2 C.{3,4 D.{1,2,3,4} 2.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是() A.f()=x与g(x)=V B.fx)=1与g(x)=-1 x+1 C.f()=gx与g()=gr D.f(x)= -xx<1与8()=k- x-1,x≥1 2 3.设f)是可导函数，且mf+340-f0=2,则f0)=（） △x→0 △x A.2 B.3 C.6 D.-2 4.己知事件A,B为随机事件，则A,B为互斥事件”是“A,B为对立事件”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.如图，三棱锥O-ABC中，G为△ABC的重心，M是OC的中点，则MG=() A.104+08+0c B.104+108+L00 3 3 6 104+108-Loc 3 3 6 3 6 6.已知f()为奇函数，当x<0时，f(y)=x+sn+1,则曲线y=f(x)在x=乃处的切线方 程是() A.x+y-π-2=0B.x+y-2=0 C.x-y+2=0 D.x-=0 7,若对任意的x,飞∈(mo),且X<,都有血，二血<2，则m的最小值是（) X2-为 A.1 B.e C.1 D.3 e e 8.空间直角坐标系O-z中，过点P(,,)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面a的方程 为a(x-)+b(y-)+c(z-o)=0,阅读上面材料，解决下面问题：己知平面a的方程为 2x-y-z=2,点M(-1,2,2),则点M到平面a距离为() A.4v6 B.4 C.5v6 D.26 3 6 3 试卷第1页共4页 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.若a,b,c,d均为实数，且a>b>0,c>d>0,则下列不等式恒成立的是() A.ac>bd B.a-c>b-d a b C.a+c>b+d D. d c 10.己知函数f(x)=ax+bx2+x(a≠0)，则下列选项正确的是() A.若b2-3a≤0，则f(x)在R上无极值点 B.若a>0,b>0,则f(x)在(0，+m)上单调递增 C当a=16-2,若关于的方程因-有三个实根，则c(别】 D.当aLb-2,若了（付在区间(0，m)上最大值为，则m的取值范围为33 14 11.己知函数f(x),8(x)的定义域为R,8'(x)为8(x)的导函数，且f(x)+g'(x)=2, (x)-8'(4-x)=2,若8x)为偶函数，则下列结论一定成立的是() A.f(4)=2 B.8(2)=0 C.f0)+f3)=4 D.f(-1)=f(-3) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.随机变量X~N(2,o),若P(X>1)=0.68,则P(2≤X<3)= 13.己知向量a=(1,2,3),b=(2,-4,-6),d=V14,若(a+b)c=7,则(a,c)= 14已知函数f()=号r+(2a-l)x-21 nxacR,对于x∈L,e],均有f八x)22, 则实数a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.在2026马年春晚武术节目《武B0T》中，宇树科技机器人展示了醉拳、双节棍、弹射空 翻等高难度动作，向全世界人民展示了我国机器人高动态、高协同的集群控制技术。己知机 器人做一个空翻动作需要三类部件，分别是接收动作指令部件，翻译动作指令部件，实行动 作指令部件，记为甲、乙、丙部件，完成空翻动作需要这三类部件同时正常运行，在节目开 始前需要对这三类部件进行检测，若发现异常则需要调适。己知部件甲，乙，丙需要调整的 概率分别为0.1,0.3,0.4，且各部件的状态相互独立. (1)求设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率： (2)记设备在检测过程中需要调整的部件个数为X,求X的分布列及数学期望， 试卷第2页共4页 16.如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为矩形，且A4=AB=2AD,E,F分别 为CD,DD的中点. (1)证明：AF∥平面AEB; (2)求平面AB,B与平面ABB夹角的余弦值. D E C A F B C 17.己知曲线f(x)=ae-x+b在x=0处的切线过点1，a+2a-1). (1)试求b-a的值： (2)讨论f(x)的单调性： (3)i证明：当a>0时，f)>2a+ 2 试卷第3页共4页 18.如图，在四棱锥 E-ABCD 中，底面是直角梯形 $$A B C D ， A B \parallel D C ， \angle A D C = 9 0 ^ { \circ } ， A B = 2 ，$$ $$C D = 1 ， A D = \sqrt 3 ， A E = \sqrt 6 ， \triangle B C E$$ 为正三角形. (1)求证：平面 BCE⊥ 平面 ABCD； (2)设点G是三棱锥 E-ACD 外接球的球心，求该外接球的半径； (3)在第(2)问的条件下，求直线GA与平面 ADE 所成角的正弦值. E D C B 19.已知函数 $$f \left( x \right) = \frac { 4 e ^ { x - 2 } } { x } - 2 x \left( x > 0 \right) ，$$ 函数 $$g \left( x \right) = - x ^ { 2 } + 3 a x - a ^ { 2 } - 3 a \left( a \in R \right) .$$ (1)若过点 O( 0，0)的直线l与曲线 y= f(x)相切于点P， 与曲线 y=g(x) 相切于点Ω. ①求 a 的值： ②当 P，Q 两点不重合时，求线段 PQ 的长； (2)若 $$\exists { x _ { 0 } } > 1 ，$$ ，使得不等式 $$f \left( x _ { 0 } \right) \le g \left( x _ { 0 } \right)$$ 成立，求 a 的最小值. 试卷第4页共4页 2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 2026年5月 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知全集，集合，则（    ） A． B． C． D． 2.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3.设是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C．6 D． 4.已知事件A，B为随机事件，则“A，B为互斥事件”是“A，B为对立事件”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5.如图，三棱锥中，为△ABC的重心，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 6.已知为奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 7.若对任意的 ，，且，都有，则m的最小值是（    ） A． B． C．1 D． 8.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B．4 C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.若均为实数，且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10.已知函数，则下列选项正确的是（    ） A．若，则在上无极值点 B．若，则在上单调递增 C．当，若关于的方程有三个实根，则 D．当，若在区间上最大值为，则的取值范围为 11.已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.随机变量，若，则________． 13.已知向量，若，则_________． 14. 已知函数，对于，均有，则实数的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.在2026马年春晚武术节目《武BOT》中，宇树科技机器人展示了醉拳、双节棍、弹射空翻等高难度动作，向全世界人民展示了我国机器人高动态、高协同的集群控制技术。已知机器人做一个空翻动作需要三类部件，分别是接收动作指令部件，翻译动作指令部件，实行动作指令部件，记为甲、乙、丙部件，完成空翻动作需要这三类部件同时正常运行，在节目开始前需要对这三类部件进行检测，若发现异常则需要调适。已知部件甲，乙，丙需要调整的概率分别为0.1，0.3，0.4，且各部件的状态相互独立． （1）求设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率； （2）记设备在检测过程中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望． 16.如图，在直四棱柱中，底面为矩形，且分别为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17.已知曲线在处的切线过点. (1)试求的值； (2)讨论的单调性； (3)证明：当时，. 18.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，为正三角形． (1)求证：平面平面； (2)设点是三棱锥外接球的球心，求该外接球的半径； (3)在第（2）问的条件下，求直线与平面所成角的正弦值． 19.已知函数，函数. (1)若过点的直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. ①求的值； ②当两点不重合时，求线段的长； (2)若，使得不等式成立，求的最小值. 试卷第 - 1 - 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 答题卡 贴条形码区 班级： 姓名： 一、 单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 5 2 6 3 7 4 8 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分 0 000000000 10 11 00000000000 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡 相应的位置上. 12 13 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 四、解答题：本大题共6小题，共计77分，请在答题卡指定区域内作答，解 答时应写出文字说明、证明或演算步骤 15: ，。。。。。。。。。。。。。。。。。 。。。。。。。。。。。。。 。。。。。 ....... 请蒲在题题悔颧题域博啓筷题超超黑墨矩矩遐在限嘘庭域助悔笨秦藐效 16. D C 1 A B F D ▣▣gg▣▣▣▣。。gge”▣▣g▣4▣▣▣▣。▣g▣▣▣▣4。▣▣▣▣ 17. 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题的答题区域内答题，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18 E 9 D …………………………………………… 。。。。。。。。。。。。。。 ………………………………………… ,。。，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。:。。。。。。。。。。。。。。2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分： 1.A2.D3.B4.B5.C6.D7.A8.A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.AC 10.ABD 11.ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.0.1813.120 14a9 四、解答题：本题共5小题，共77分： 15.解：(1)用A,B,C分别表示事件：“设备在检测过程中，部件甲，乙，丙需要调整”， 则P(A)=0.1,P(B)=0.3,P(C)=0.4 用D表示事件：“设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整则 D=ABUBAUAB P(D)=P(ABUBAUAB)=P(A)P(B)+P(B)P(A)+P(A)P(B) =0.1×0.7+0.3×0.9+0.1×0.3=0.37 所以部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率为0.37 6分 (2)X的所有可能取值为0,1,2,3 P(X=0)=P(ABC=P(A)P(B)P(C)=0.9×0.7×0.6=0.378 P(X=1)=P(ABC+P(BAC)+P(CAB)=0.1×0.7×0.6+0.3×0.9×0.6+0.4×0.9×0.7=0.456 P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=0.018+0.028+0.108=0.154 P(X=3)=P(ABC)=0.1×0.3×0.4=0.012 所以X的分布列为 X 0 1 0.378 0.456 0.154 0.012 ..10分 故X的数学期望为E(X)=0×0.378+1×0.456+2×0.154+3×0.012=0.8 13分 16.解：(1)不妨设AD=1,则A4=AB=2,如图建立空间直角坐标系， 则A(1,0,2),B(1,2,0),E(0,1,2),A(1,0,0),F(0,0,1),D(0,0,0), 所以AE=(-1,1,0),A4B=(0,2,-2),AF=(-1,0,1), 设m=(x,y,2)是平面AEB的一个法向量， 则m4店=+y=0 取x=1,则y=z=1, i·AB=2y-2z=0 所以平面AEB的一个法向量m=(1,1,1), 3分 又AF.=0,所以AF⊥m,因为AFa平面AEB,所以AF∥平面AEB.7分 (2)因为DA⊥平面A4B,B,所以DA=(1,0,0)是平面ABB的一个法向量，9分 高二数学第1页共4页 又因为cos(m,D4=m:DA。1-V5 .13分 所以平面48，B与平面4BB夹角的余弦值为 .15分 3 17.解：(1)函数f(x)=ae-x+b,求导得f'(x)=ae-1,则f'(0)=a-1,而f(0)=a+b, 因此曲线f(x)在x=0处的切线方程为y-a-b=(a-1)x,即y=(a-1)x+a+b, 依题意，a2+2a-1=a-1+a+b,所以则b-d2=0 4分 (2)由(1)知函数f(x)=ae-x+a,其定义域为R,求导得f'(x)=ae-1, 当a≤0时，f(x)<0f(x)在R上单调递减； 当a>0时，由f'(x)=ae-1=0,得x=-ha, 当x<-lna时，f(x)<0,f(x)在(-o,-lha)上单调递减； 当x>-a时，f(x)>0,f(x)在(-ha,+o)上单调递增： 所以当a≤0时，f(x)在R上单调递减： 当a>0时，f(x)在(-o,-lna)上单调递减，在(-na,+o)上单调递增. 9分 (3)由(2)得f(x)m=f(-n四=a(ea+a)+lna=l+a2+hna, 3 1 要证明f()>2ha+即证1+d+ha>2ha+即证a-hae 2>0, 11分 令8回=a-m,求导得g@=2a-。201, 由g回0，得0sa号，由g@>0,得a≥ 2 即商数g回布0马)上单调造流，在号上中时造抛， 因此ga。g号（停-：b号hv50,即g回=n-片0拉成立 21 21 2 所以当a>0时，f)>2na+3 15分 18.解：(1)证明：设O为BC的中点，连接AC,OA,OE, E 在RtADC中，AC=√DC2+AD2=2· 又BC=2-1+(=2,所以△MBC为正三角形，所以OA=5. D 又△BCE为正三角形，则OE=√3，OE⊥BC 又AE=V6,OA2+OE2=AE2,所以OE⊥OA 又OA,BCC平面ABCD,OAOBC=O,所以OE⊥平面ABCD. 因为OEC平面BCE,所以平面BCE⊥平面ABCD. 5分 (2)由(1)可知OA,OB,OE两两垂直， 故以O为坐标原点，OA,OB,OB所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如 图， Z 月4aq.at.0.)叭ce-10.4s-aa E 设G(x,y,2) 高二数学第2页共4页 x2+y2+(a-3=R (x-3+y2+z2=R 2 1 则x+(+1+z=R ,解得{y= 2 5 故三棱锥E-ACD外接球的半径为 2 11分 (3)由(2)得GA= (513 DA= 33 2’22 0,AE=（5,03), 2’2 设平面ADE的法向量为m=(x,y,z), m.DA=0 3 则 -x+二y=0 2 21 ,令x=3,则z=5,y=-1,则 mAE=0 -√5x+V3z=0 m=(5,-1,3), 14分 设直线GA与平面ADE所成角为&， 1 GA.m 则sina= cos(GA.m) 2 Gm万x万 直线GA与平面ADE所成角的正张值为 2 .17分 19解：（1)@f四=4xc --2,设p 4e0-2 0 -2 4e*-2 --2x0 知=54=fk)4c)-25=2 x 切点P(2,-2,k=-1.1方程y+2=-(t-2),即y=-x, 装m日如产0ara4a-0, 由△=1+3a2-4(a+3a)=0→(6a-1(a-1)=0,可得a=3或1： 5分 ②当a=1时，xg=2,此时Q(2,-2),P,0重合，舍去 t时e2(2gE 9分 (2)由(1)②可知，当1时，P0重合，存在x=2>1,有f(x)=g(x) 10分 高二数学第3页共4页 下证a<1时，不存在x,>1,使得不等式f(x)≤g(x)成立，既f(x)>g(x)恒成立 由(1)可知，y=-x是f(x)的一条切线 先证明f(x)≥-x恒成立： 令F(田=f)-(←)=4e x,则（x）=4x-22-1，且F'(2)=03 则r6W=4er-)+≥0 x 当x∈(-m,2),F(x)<0,F(w)单调递减，当x∈(2，+∞)，F(x)>0,F(x)单调递增； 故F(x)mm=F(2)=0,则f(x)≥-x. 13分 再证明-x>g(x),令h()=-x-g(x)=x2-(3a+1)x+a2+3a,a<1,x>1 ①当对称轴x手中Ea2),则a<,m=h马5十6a0 2 4 m当对路轴x-生e(o小即a兮=0-a>0 2 综上所述，-x>g(x). 所以当a<1时，f()≥-x,>g(),所以a的最小值为1. 17分 高二数学第4页共4页 2025~2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷（参考答案） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1 ．A 2 ．D 3．B 4 ．B 5 ．C 6．D 7 ．A 8 ．A 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 9 ．AC 10 ．ABD 11 ．ABC 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12 ．0.18 13 ．120° 14 .a ≥ 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 15．解：（1）用A，B，C分别表示事件：“设备在检测过程中，部件甲，乙，丙需要调整”， 则，， 用D表示事件：“设备在检测过程中，部件甲，乙中至少有1个需要调整”则 所以部件甲，乙中至少有1个需要调整的概率为0.37 .......................6分 （2）X的所有可能取值为0，1，2，3 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.378 0.456 0.154 0.012 .......................10分 故X的数学期望为 .......................13分 16．解：（1）不妨设，则，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，， 设是平面的一个法向量， 则，取，则， 所以平面的一个法向量， .......................3分 又，所以，因为平面，所以平面. .......................7分 （2）因为平面，所以是平面的一个法向量， ...............9分 又因为， .......................13分 所以平面与平面夹角的余弦值为. .......................15分 17.解：（1）函数，求导得，则，而， 因此曲线在处的切线方程为，即， 依题意，，所以则. .......................4分 （2）由（1）知函数，其定义域为，求导得， 当时，在上单调递减； 当时，由，得， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. .......................9分 （3）由（2）得， 要证明，即证，即证， ....................11分 令，求导得， 由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，即恒成立， 所以当时，. .......................15分 18.解：（1）证明：设为的中点，连接，，， 在中，. 又，所以△ABC为正三角形，所以. 又为正三角形，则，. 又，，所以. 又平面，，所以平面. 因为平面，所以平面平面． .......................5分 （2）由（1）可知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 设 则，解得 故三棱锥外接球的半径为 .......................11分 （3）由（2）得，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则，，则， .......................14分 设直线与平面所成角为， 则．直线与平面所成角的正弦值为. .......................17分 19.解：（1）①，设 ， 切点.方程，即， 联立， 由，可得或1； .......................5分 ②当时，，此时重合，舍去. 当时，，此时， 此时. .......................9分 （2）由（1）②可知，当a=1时，PQ重合，存在，有 ........................10分 下证a＜1时，不存在，使得不等式成立，既恒成立 由（1）可知，是的一条切线 先证明恒成立： 令，则，且； 则 当； 故，则. .......................13分 再证明，令， （i） 当对称轴，即，； （ii） 当对称轴，即， 综上所述，. 所以当a＜1时，，所以a的最小值为1. .......................17分 高二数学 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $