江苏省常州高级中学2025-2026学年高二年级第二学期期中调研数学试卷

江苏省常州高级中学 2025~2026学年高二年级第二学期期中调研 数学试卷 命题人：徐文春 审卷人：缪峰美 2026.04 说明：1．请将所有题目的答案填涂在答卷纸上． 2．本卷总分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的、） 1、已知函数，则的值为 A、0 B. π C. D. 2．设A,B为两个相互独立的随机事件，且P(A)=2P(B).已知A,B同时发生的概率是，则P(B)= A. B. C. D. 3．曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示，则 A.0 B. -1 C.1 D. 4．如图，在三棱柱中，E,F分别是BC,CC1的中点，则 A. B. C. D. 5．若函数在区间(0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为 A. (-∞,-1] B. (-∞,1) C.[0,+∞) D.(-∞,1] 6．曲线f(x)=lnx上的点到直线x-y+3=0的最短距离是 A.1 B. C. D. 3 7．已知某批零件的尺寸X服从正态分布，其中X∈(97,99)的零件为合格品，且，现从这批零件中随机抽取200个，用Y表示这200个零件中合格品的个数，则E(Y)的值是 A.180 B.192 C.195 D.180 8．已知函数f(x)=x-alnx,，若存在，使得，则a的最大值是 A. B. C.1 D.3 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．） 9．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为3或4”，事件N=“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是 A.事件M发生的概率为 B.事件M与事件N互斥 C.事件M与事件N相互独立 D.事件M+N发生的概率为 10．已知x,y为正实数，则的充要条件的是 A. B. C.x+lny<y+lnx D.x-cosy<y-cosx 11．设函数，则 A.当a<-1时， f(x)有三个零点 B.当a>0时， x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b，使得x=为曲线y=f(x)的对称轴 D．存在a，使得点（1,-3）为曲线y=f(x)的对称中心 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12．已知,是空间两个单位向量，且,夹角为, ，则的值是 13．若函数恰有两个极值点，则实数a的取值范围是 14．随机抛一枚质地均匀的硬币8次，定义数列满足： ，记事件A：对于任意1≤n≤8，均有，且.则P(A)= 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（本题满分13分）已知函数f(x)，满足·In （1）求f(x）的解析式； （2）求函数在上的最大值. 16.（本题满分15分）在一个摸球游戏中，有一个装有3个红色、2个蓝色球的不透明盒子，各球除颜色可能不同外，其余均相同.每次游戏，参与者需要从盒子中随机取一个球，取球后将球放回盒子中，且连续取三次. （1）设三次中恰好有两次取出的球颜色相同的概率为P，求P； （2）若游戏组织者规定，当三次取球中出现红色球的次数大于等于两次时，参与者获胜；否则，游戏组织者获胜.请判断此游戏是否公平，并通过计算说明理由. 17.（本题满分15分）已知函数 （1）若f(x)的图象在x=0处的切线l过点P(-4,-6)，求a的值及l的方程； （2）若f(x)有两个不同的极值点，且当时恒有f(x)<-4a，求a的取值范围. 18.（本题满分17分）某连锁餐厅有4家分店，将分店按照规模从小到大依次编为1号到4号．每家分店都配备了一定数量的员工，配备方案为：第k号分店员工包含第k号店长和 名服务员.为了加强各分店之间的员工交流与经验分享，提升整体服务水平，餐厅总部决定进行一轮员工轮岗工作，具体安排为：从每家分店随机选派1名员工到下一家分店进行工作，即从1号分店选派1名员工到2号分店，再从2号分店（含轮岗人员）选派1名员工到3号分店，再从3号分店（含轮岗人员）选派1名员工到4号分店，最后从4号分店（含轮岗人员）选派1名员工到1号分店. （1）在轮岗过程中，求从第2号分店选派一名员工是店长的概率； （2）在第4号分店选中店长的条件下，若该店长为第X号店长，求随机变量X的分布列． 19.（本题满分17分）已知函数 （1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； （2）设是f(x)的一个零点，证明曲线在点处的切线也是曲线y=lnx的切线. 学科网（北京）股份有限公司 $江苏省常州高级中学 2025-2026学年第二学期高二年级期中调研 数 学试卷 参考答案与评分标准 1.B2.A3.C 4.D 5.D 6.c 7.B 9.AC 10.BD 11.AD 12.-1 13.←0) 14 15。(本题满分13分) (1)已知函数满足： f)=f②ne=x+32x3 其中f'(2)是常数。首先对f(x)求导： f'()=f'2) 2 -1+x 将x=2代入导函数，得： f'(2)= f'(2) 2 -1+2→f'(2)= f'(2) 2 十1 解得： f'(2 2 =1→f'(2)=2 将∫'(2)=2代入原函数，得到解析式： f(z)=2Inx-x+ 2)束)=f)-2z2在层 上的最大值 首先写出9(x)的表达式： g(x)= 2n-z+）-22-2n2-- 对9(x)求导： g6)=2-1-3x 2 令9()=0，解方程： 2-1-3m=0→3知2+x-2=0 解得： x=-1±V1+24 -1±5 6 6 2 在区间 内，有效解为亚=3。 计算各关键点的函数值： (传)=2h号专2（付）°=-2n8-方-20r ()=2h号--()=2h号音≈-21 2 90=2n1-1-3a2=8=-25 24 最大值为 =233。 16.(本题满分15分) 2红1蓝： 25 2蓝1红： ,×5=125 54 36 90 18 P= 125+125 125 25 (2)红球次数 x() 获胜概率为 P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3) )()+()()-路+- 2781 81 44 81 44 组织者获胜概率为 1-125=125,因125≠125， 故游戏不公平。 17.(本题满分15分) (1)切线方程求解 f(0)=(-2)e°-0+0-4a=-2-4a f'(x)=e2+(x-2)e”-2ax+2a=(c-1)e-2a(x-1)=(x-1)(e-2a) f'(0)=(-1)1-2a)=2a-1 切线方程：y-（-2-4a）=(2a-1)(x-0),即y=(2a-1)x-2-4a。 代入P(-4,-6): -6=(2a-10(-4)-2-4a→-6=-8a+4-2-4a→-6=-12a+2→a=3 减方-（×号小加-2-4号-台-兰，用2-3到-14=0 （2)因为f(m)=(c-2)e-az2+2am-4a,且f()<-4a,所以 (x-2)e2-ax2+2ax<0 g(x)=(c-2)e2-ax2+2ax=(z-2)(e2-aac) 则 g(c)=(x-1)e-2a(c-1)=(x-1)(e2-2a).因为g)有两个不同 的极值点x1,c2,(1<C2),所以当a≤0时，e-2a>0,则g(x)只有一个极值 e e 点不符合题意，当a>0且0卡2,0当1=n2a,2=1,即0<Q<2时，当 0<c<1时，9()<0恒成立，即(e2-ax)(-2)<0,即a<”恒成立，设 h=0<<)o=ee<0 ,所以h(x)在(0,1)上单调递减，则 e h(x)>h(1)=e,则a≤e,故 0<a<2:②当1=1,2=血2a,即 e a7 2时，当x∈(0，ln2a)时，9(x)<0恒成立，即(e2-ac(x-2)<0恒成 立，若ln2a>2,则当x=2时，(e2-ax(x-2)=0,不满足题意， 所h2a≤2，此时e-ar>0,即a<三，段e=兰0<<a2四，则 p'(r)=(c-1)ee x2一，易得p()在(0,1)上单调递减，在(1，n2a)上单调递增，所以 1n2a≤2 e 1a<p()=e,解得a<e,故2 <a<e 综上，的取值范图是(0，)·（气e) 18.(本题满分17分) 11,111.13 )P=2×2+2×4=4+8= 8 1111 2)P(AnB,)=号×4×G×6= 1 240 1111 P(AnB2)=3×4×5=60 111 P(AnBg)=4X后=20 4.14 P(AnB)=55 25 P(A)= 1 1,1,11+2+6+24 33 11 120+60+ 20 +5 120 120 40 P(X=3)= 2 P(X==高i 8 x的分布列为： X 1 2 3 4 P 1 2 2 8 33 33 11 11 19。(本题满分17分) 2 （1)fa=+-故f()在(-o0,1）)和(1，+∞)上均单调递增。 x→-o时，e”→0，x-1 f(c)→-1： f(0)=1-(-1)=2>0,故（-∞，1)有一个零点。 综上，f(x)有两个零点。 (2)设fx)=0→e=20+1 xo-1,y=e2在A处的切线斜率为e0,方程为 y=e2o(z-x0)十e0=eox-e0x0十e20。设该切线也是y=lnx的切 线，切点为6,1nb,斜率为方，故方=。”→6=e ,切线方程为 y=eo(x-eo）+ln(eo)=e0x-1-c0,对比两切线方程： -e0r0+e=-1-20→e2(1-x0)=-(1+0）→e0-0+1 c0-1 与f(x0)=0一致，故成立。