精品解析：江苏省白蒲中学2025-2026学年高二下学期物理（ 创新班）迎期中考数学试题

江苏省白蒲中学2025-2026学年高二下学期物理（ 创新班）迎期中考数学试题 一、单选题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合中元素的互异性，集合并集的运算及充分条件，必要条件的定义即可判断. 【详解】①若，则，， 所以”是“”的充分条件； ②若，则或，解得或或. 当时，，，符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，与集合中元素的互异性相矛盾，故舍去， 所以或，所以”是“”的不必要条件， 所以由①②可知，”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2. 设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的； 若试验基本事件含3种以上，其中表示概率为的两个不同事件， 如掷一枚均匀的骰子，令事件为“点数为偶数”，事件为“点数小于等于3”， 此时，满足， 但事件的对立事件为“点数为奇数”，与事件不同， 故与不互为对立事件，故条件是不充分的. 综上，“”是“与互为对立事件”的必要不充分条件. 3. 函数大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除CD； 由于足够大时，函数的增长速度远远超过的增长速度， 则时，，排除A，因此B符合题意. 4. 有一组样本数据，，，…，，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中（）则两组样本数据的数字特征不一定相同的是（ ） A. 中位数 B. 极差 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得：，所以， 所以新样本数据，，，…，的平均数为 ， 所以平均数相同； 设样本数据，，，…，的方差为， 所以新样本数据，，，…，的方差为，所以方差相同； 设样本数据，，，…，，的中位数为， 新样本数据，，，…，的中位数为， 当样本数据，，，…，，的中位数为时， 新样本数据，，，…，的中位数为， 所以中位数不一定相同； 设原始样本数据的最大值为，最小值为，则其极差为. 由于，因此新样本数据的最大值为，最小值为，则其极差为， 故两组样本数据的极差相同. 5. 已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ） A. 0 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数定义可得，由对称性性质可得，再证明函数为周期为的周期函数，结合周期性性质和奇函数性质求结论. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 因为的图象关于对称， ， 令可得，， 所以，故函数的一个周期为4， 所以． 6. 已知，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式以及同角三角函数关系中的商数关系分析求解即可.. 【详解】由题设有， 故， 因为， 所以若，则，与矛盾； 故 . 7. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得，再由等比数列的通项公式，化简求得，进而求得的值. 【详解】设等比数列的公比为， 当时，可得，则 因为，所以，所以，此时， 又因为，可得， 所以，即， 令，可得，解得或（舍去），所以， 法一：由，提取公因式，可得， 因为，代入化简得，即，所以，解得； 法二：由等比数列的通项公式，可得， 因为，可得，即， 则，即， 因为，所以，可得，所以. 8. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，为上位于第一象限内的一点，中的外角平分线与轴交于点，关于的对称点为，若的离心率为，则的面积与的面积之比的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，由外角平分线的性质可得到，然后利用三角形的面积公式把两三角形的面积用表示出来，求值域即可. 【详解】设，由已知得， 由外角平分线性质得， 所以，所以， 设，则， 所以的面积与的面积之比为 ， 因为，所以． 故选：C． 二、多选题 3小题，每小题6分，共18分 9. 设，为复数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于AC，举反例排除即可；对于B，由即可推出；对于D，由即可推出． 【详解】对于A，易知当，时，，但，故A错误； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，易知当，时，， 此时，故C错误； 对于D，，，故D正确. 10. 在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（ ） A. 机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B. 已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C. 机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D. 移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据分步计数原理，排列组合，结合概率公式逐项判断即可． 【详解】机器人移动4秒到达舞台中心，则机器人需要有两步向西， 剩下两步为东西各一步或者南北各一步，那么路径条数共有种，故A错误； 机器人移动4秒到达舞台中心， 由A可知，在4秒移动中存在一步向正南移动的可能情况是两步向西且南北各一步， 故所求概率为，故B正确； 移动3秒机器人移动到正北方向上，即移动到正北方向距离舞台中心1米、3米处， 则距离为3米可能的情况有1种，距离为1米可能的情况有向北两步向南一步、向北一步向西一步向东一步， 即种，故所求概率为，故C错误； 移动1秒后机器人与的距离为米， 即向北向西、向东向北、向东向南、向南向西，共4种情况， 而与在移动1秒后有种情况，故所求概率为，故D正确． 11. 设函数．若方程有三个不等的实数根，且，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性和极值点判断选项A，结合函数图象分析选项B，利用多项式恒等原理分析选项C，结合函数单调性分析选项D． 【详解】求导得， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是极大值点，极大值； 是极小值点，极小值； 选项A：由单调性可知，是函数的极大值点，故A正确； 选项B： 方程有三个不等实根，等价于直线与有三个交点， 由上述分析知，的极大值为，极小值为， 当时，直线与图象有3个交点； 当或时，交点数为2个； 当或时，只有1个交点，故B正确； 选项C：设是的三个根，对应三次方程， 则： ， ， 由得，代入得： ，故， ， 当时，； 当时，； 当时，； 不恒成立，故C错误； 选项D：由得， 是最大根，且在上单调递增， ， 时，，故， 故，D正确． 三、填空题3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用展开式各项的意义可求解. 【详解】因为的项可以由展开式中含的项与1的乘积构成， 又展开式中的项为； 因为的项可以由展开式中含的项与的乘积构成， 又的展开式中含的项为， 所以的展开式中的项为. 故的展开式中的系数为. 故答案为：. 13. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量的线性关系判断出的位置，设，根据双曲线的定义得到，在中，由余弦定理得到的一个关系式，根据的面积相等得到一个关于内切圆半径的方程，进而求解. 【详解】因为（），所以三点共线，且位于之间， 所以均在双曲线的右支上，如图： 所以, 设，则， 在中，由余弦定理得， 即， 展开并化简得. 因为，所以， 所以 . 设的内切圆半径为r，则 ， 由等面积法可得，解得. 14. 如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，转化为三棱柱的外接球问题，结合正弦定理和余弦定理得到答案 【详解】如图，过作，且，过作，且， 连接，，，，根据题意可知，， 由题意知，，，所以， 又，是平面内的两条相交直线，所以⊥平面， 所以三棱柱为直三棱柱． 则三棱锥与直三棱柱的外接球相同，设其半径为． 由，知，设三角形的外接圆半径为， 则，求得． 设，则，在中，设，， 则，， 代入，解得或（舍），． 四、解答题 本题共5小题，共77分 15. 某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，某机构进行了一项调查，统计结果如下表． 单位：人 体验 性别 合计 青年男性 青年女性 较好 200 一般 100 合计 （1）求出x，y的值； （2）试比较该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率大小； （3）依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验是否与体验者的性别有关？ 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）青年男性有较好体验的概率为，青年女性有较好体验的概率为，且青年男性更大 （3）该游戏软件的使用体验与体验者的性别有关 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）结合列联表，直接列式子求解即可； （3）由（1）可得列联表，计算，并与临界值比较可得结论． 【小问1详解】 由题意，得，解得． 【小问2详解】 由（1）得， 体验 性别 合计 青年男性 青年女性 较好 120 80 200 一般 30 70 100 合计 150 150 300 所以该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率，对于青年男性为， 对于青年女性为，因此青年男性概率更大． 【小问3详解】 零假设为：该游戏软件的使用体验与体验者的性别无关， 由题意计算得，， 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即可以判断该游戏软件的使用体验与体验者的性别有关． 16. 已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m； （2）求的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，结合等腰直角三角形条件求周期得，再利用偶函数性质求m； （2）先根据的最值和零点求坐标，再计算向量的数量积. 【小问1详解】 ∵， ∴ ， 由为等腰直角三角形知，，所以， 得. 因为为偶函数， 所以，得， 所以最小正实数为. 【小问2详解】 令，则，，即，， 取：，即，所以. 令，且在左侧，则，解得：，故， 且在右侧，周期，所以，即. 所以， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，. （1）证明：； （2）若点M到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）取中点，连， 由知， 又平面，所以平面. 因为 平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，证明平面，即可证明； （2）建系，利用空间向量求面面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作交于，则平面，所以 . 又 ，所以中，， 由余弦定理可求得，，所以. 以为原点，如图建系， 平面中，， 设法向量为，则. 即，令，所以. 设平面 的法向量为，, 则. 即，令，所以. 所以. 18. 对于抛物线和点，若上存在不同的两点，，使得，且的倾斜角不等于，则称是的“—圆点”，线段是的“—圆弦”．设抛物线的焦点为，准线为，与轴交于点为上一点，，，． （1）求的方程； （2）判断是否存在“—圆点”？请说明理由； （3）设“4—圆弦”中点的轨迹与轴交于点，点关于原点的对称点为，过点作直线与交于，两点，求证：． 【答案】（1） （2）当时，存在“—圆点”；当时，不存在“—圆点”． （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义和性质结合两点间距离公式及余弦定理计算求解； （2）根据“—圆点”的定义结合垂直平分线的性质判断结论； （3）结合（2）及“4—圆弦”的定义得出坐标，设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理及两点间距离公式求出，进而证明结论． 【小问1详解】 抛物线的焦点为，准线， 准线与轴交点， 设是抛物线上一点，由抛物线定义可得： ，故， ，解得， 在中，由余弦定理得：， 则，解得， ，， 抛物线的方程为． 【小问2详解】 ，则在的垂直平分线上， 的中点满足，且的斜率， 设，由，两式相减得： ，故， 的斜率， 由得，解得， 是抛物线的弦，故中点在抛物线内部，则， 若有解，则，解得， 当时，存在“—圆点”；当时，不存在“—圆点”． 【小问3详解】 结合（2），当时，“4—圆弦”中点的横坐标恒为， 且，即，轨迹为， 与轴交于点，关于原点的对称点为； 设过的直线方程为， 联立得：， 设，由韦达定理得， ， ， ， ， ，， ，命题得证． 19. 已知函数，，. （1）讨论的单调性; （2）若与有相同的最小值，求实数的值; （3）设是的两个不同的极值点，判断与的大小，并证明你的结论. 【答案】（1）当时，是增函数；当时，单调在上单调递减；在上单调递增. （2）. （3） ，证明如下： 函数的定义域为. . 设是的两个不同的极值点，则是方程，即的两个不同实根. 即，所以. 令，则. 令，则. 令，则. 因为，所以恒成立，所以为增函数. 所以，即，所以为增函数，所以. 因为，所以，即. 即. 【解析】 【分析】（1）利用导数，通过讨论的取值范围，分析导函数的正负，即可得函数的单调性； （2）通过讨论的取值范围，分别求得与的最小值，得方程以，即，令，通过分析的单调性，得有唯一零点，从而求得； （3）由是的两个不同的极值点，得是方程，即的两个不同实根.由，得,令，则.通过构造函数，并分析函数的单调性，可得其取值情况，从而判断与的大小关系. 【小问1详解】 函数的定义域为. . 因为恒成立，所以当时，恒成立，是增函数； 当时，令，得. 因为是增函数，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 综上，当时，是增函数； 当时，在上单调递减；在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）得，当时，是增函数，无最小值； 当时，单调在上单调递减；在上单调递增，所以在处取得最小值，最小值为. ，定义域为. . 当时，恒成立，是减函数，无最小值； 当时，令，得. 因为是增函数，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 因为与有相同的最小值，所以，即. 令，则. 令，则. 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以在处取得最大值，最大值为. 所以是减函数. 因为，所以方程有唯一实数根. 所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省白蒲中学2025-2026学年高二下学期物理（ 创新班）迎期中考数学试题 一、单选题（8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 设是两个事件，则“”是“与互为对立事件”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不是充分条件，也不是必要条件 3. 函数大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 有一组样本数据，，，…，，由这组数据得到新样本数据，，，…，，其中（）则两组样本数据的数字特征不一定相同的是（ ） A. 中位数 B. 极差 C. 平均数 D. 方差 5. 已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（ ） A. 0 B. C. 3 D. 4 6. 已知，则（    ） A. B. C. D. 7. 记等比数列的前项和为，若，且，则正整数的值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 8. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，为上位于第一象限内的一点，中的外角平分线与轴交于点，关于的对称点为，若的离心率为，则的面积与的面积之比的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 3小题，每小题6分，共18分 9. 设，为复数，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在舞台上，智能机器人从舞台中心出发，伴着音乐节拍，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，仿佛在跳一支充满不确定性的“随机舞”．与此同时，另一台机器人从舞台中心正东方向2米的位置起步，移动规则与相同，若相遇，则继续独立移动．下列说法中正确的是（ ） A. 机器人移动4秒来到舞台中心的路径条数为12 B. 已知机器人移动4秒到达舞台中心，则其在4秒移动中至少存在一步向正南移动的概率为 C. 机器人在移动3秒来到舞台中心的正北方向上的概率为 D. 移动1秒后机器人与的距离为米的概率为 11. 设函数．若方程有三个不等的实数根，且，则（ ） A. 是函数的极大值点 B. C. D. 三、填空题3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的系数为______． 13. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 14. 如图，在平行四边形中，已知，，，现将沿折起，得到三棱锥，且三棱锥外接球的表面积为，则______． 四、解答题 本题共5小题，共77分 15. 某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，某机构进行了一项调查，统计结果如下表． 单位：人 体验 性别 合计 青年男性 青年女性 较好 200 一般 100 合计 （1）求出x，y的值； （2）试比较该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率大小； （3）依据小概率值的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验是否与体验者的性别有关？ 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知函数（）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且为等腰直角三角形. （1）求的解析式，及为偶函数时的最小正实数m； （2）求的值. 17. 如图，在三棱锥中，与均为等边三角形，. （1）证明：； （2）若点M到平面的距离为1，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 对于抛物线和点，若上存在不同的两点，，使得，且的倾斜角不等于，则称是的“—圆点”，线段是的“—圆弦”．设抛物线的焦点为，准线为，与轴交于点为上一点，，，． （1）求的方程； （2）判断是否存在“—圆点”？请说明理由； （3）设“4—圆弦”中点的轨迹与轴交于点，点关于原点的对称点为，过点作直线与交于，两点，求证：． 19. 已知函数，，. （1）讨论的单调性; （2）若与有相同的最小值，求实数的值; （3）设是的两个不同的极值点，判断与的大小，并证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $